(共57张PPT)
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.2 函数的极值与最大（小）值
第1课时 函数的极值与导数
探究点一 函数极值概念的理解
探究点二 求函数的极值
探究点三 利用极值求参数的值或者范围
【学习目标】
1.了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件,极大值、极小值与导
数的关系.
2.会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数不超过三次）.
知识点一 函数极值的定义
1.极小值点与极小值：对于函数,若函数在点 处的函数值
比它在点附近其他点处的函数值都____,___,而且在点 附
近的左侧__________,右侧__________,我们就把___叫作函数 的极小值
点,_____叫作函数 的极小值.
小
0
2.极大值点与极大值：对于函数,若函数在点 处的函数值
比它在点附近其他点处的函数值都____,___,而且在点 附
近的左侧__________,右侧__________,我们就把___叫作函数 的极大值
点,_____叫作函数 的极大值.
大
0
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数的极小值点就是函数图象上相对最低的点.( )
×
[解析] 函数的极小值点不是点,它是函数的极小值对应的自变量的值.
（2）一个函数的极大值一定大于极小值.( )
×
[解析] 由定义知，极值只是说明某个点的函数值与该点附近的函数值比较是最
大或最小的，并不意味着该点的函数值在整个定义域内是最大或最小的.
（3）函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.( )
√
（4）一个函数在它的定义域内最多只有一个极大值和一个极小值.( )
×
[解析] 一个函数在它的定义域内可能有多个极大值和极小值.
（5）若在内有极值,则在 内不单调.( )
√
[解析] 若在内有极值,则在 的极值点的两侧附近其单调性一定相
反,故在 内不单调.
知识点二 求函数极值的步骤
一般地，可按如下方法求函数 的极值：
解方程，当 时：
（1）如果在附近的左侧，右侧，那么 是极____值；
大
（2）如果在附近的左侧，右侧，那么 是极____值.
可将,, 的变化情况列成如下表格:
左侧 右侧
0 -
单调递增 极大值 单调递减
左侧 右侧
- 0 +
单调递减 极小值 单调递增
小
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知函数的导函数为，若,则一定是 的极值点. ( )
×
[解析] 例如，，则，但0不是函数 的极
值点.
（2）可导函数在极值点处的导数一定为0.( )
√
（3）设函数的定义域为，是的极小值点，则
是 的极大值点.( )
√
[解析] 函数与函数的图象关于轴对称，故是
的极大值点.
探究点一 函数极值概念的理解
例1（1） 函数的定义域为开区间，导函数在 内的图象如
图所示，则函数在开区间 内的极大值点有( )
A
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[解析] 依题意，记函数的图象与轴的交点的横坐标从小到大为,,, .
当时，；
当时，；
当 时，；
当时，；
当时，.
所以 为极小值点，为极大值点，为极小值点，
故函数在开区间 内的极大值点有1个.故选A.
（2）设函数在上可导，其导函数为 ，且
函数 的图象如图所示，则下列说法中正确
的是( )
D
A.函数有极大值和极小值
B.函数有极大值和极小值
C.函数有极大值和极小值
D.函数有极大值和极小值
[解析] 由题图可知，当时，；当时， ；
当时，；当时，.
所以函数在 处取得极大值，在处取得极小值，
即函数有极大值和极小值 .故选D.
变式（1） 设函数在上可导，其导函数为，若函数在 处
取得极小值，则导函数 的图象可能是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为函数在处取得极小值，所以导函数在 附近的左
侧小于零，在 附近的右侧大于零，由图可知只有选项B符合题意，故选B.
（2）已知是函数的导函数，函数 的
图象如图所示，则 的极大值点为 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由图可知，当时，，
所以；
当 时，，所以；
当时，，所以 ；
当时，，所以.
所以 的单调递增区间为和，单调递减区间为.
故 的极大值点为 .故选A.
［素养小结］
解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的，对于导函数的图
象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与 轴相交，在
该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大
值，若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值.
探究点二 求函数的极值
例2（1） 求函数 的极值.
解:.令，即，解得 或
.当变化时，， 的变化情况如下表：
3
0 - 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
因此，当时，函数取得极大值，且极大值为；当 时，
函数取得极小值，且极小值为 .
（2）求函数 的极值.
解:，令，即，得.
当 时，；当时，.
所以的单调递增区间为 ，单调递减区间为，
所以当时，取得极大值， 无极小值.
变式（1） 已知函数，求 的极值.
解：由，得.
令，即 ，得；令，即，得.
所以函数在 上单调递减，在上单调递增，
所以当时， 取得极小值，且极小值为， 无极大值.
（2）[2024·南京五校高二调研] 已知函数，且 的
单调递增区间是 .
①求实数 的值；
解： 函数的定义域为，且 .
因为的单调递增区间是，所以一元二次不等式 的
解集是 ，
所以和1是一元二次方程的两个根，所以 ，解得
.
②求函数 的极值.
解： 当时，，令，得或 .
当变化时，， 的变化情况如下表：
1
- 0 0 -
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
所以当时，取得极小值 ；
当时，取得极大值 .
［素养小结］
求函数极值的步骤:
（1）求导数,令 ,求方程的根;
（2）列表，判断极大值点和极小值点;
（3）求极值.
探究点三 利用极值求参数的值或者范围
例3（1） 已知是函数的极小值点，那么 的取值
范围是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由函数，可得 ，令
，即，解得或，
要使得 是函数的极小值点，则需满足，
解得，所以实数 的取值范围是 .故选A.
（2）函数既有极大值，又有极小值，则 的
取值范围是___________________.
[解析] 由，得 ，
因为函数既有极大值，又有极小值，所以 ，
即，解得或，故的取值范围为 .
变式（1） 若是函数的极值点，则 _____.
[解析] 由题可知，且，所以 ，解得
.
经检验，当时，，， ，
易知当时，，单调递增，当时， ，
单调递减，所以是函数的极大值点，符合题意，故 .
（2）已知函数在处取得极值，求函数 的另
一个极值.
解： ,.
依题意可得,，即 解得
故 ,.
令，得或，当 变化时，, 的变化情况如下表：
1
0 - 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
函数的另一个极值在 处取得，是极大值，且极大值为 .
［素养小结］
已知函数的极值点,确定函数解析式中的参数时,需要注意以下两点:
（1）根据极值点处的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解;
（2）因为“”不是“ 为极值点”的充要条件,所以利用待定系数法求解
后应注意验证.
拓展 若函数在区间上不存在极值点，则实数 的取值范
围为____________________________.
[解析] 由得.
令，解得或 ，令，解得,
所以函数在和 上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处有极大值，在 处有极小值.
因为函数在区间上不存在极值点，所以或 或
解得或或,故实数 的取值范围为
.
1.在函数的极值的定义中,一定要明确函数在 及其附近有定义,否
则无从比较.
2.函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,是一个局部概念,在函数的
整个定义域内可能有多个极值,也可能无极值，而且极小值未必小于极大值.
仅是可导函数在处有极值的必要条件,当且仅当在 附
近的左、右两侧的符号产生变化时，才可以是 的极值点.
3.由定义可知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值相比较，该点的函
数值是最大的或最小的,并不意味着在函数的整个定义域内，该点的函数值是最
大的或最小的.
4.函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.
5.若在内有极值，那么在 内绝不是单调函数，即在定义域上
单调的函数没有极值.
6.若函数在 上有极值，则相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，
同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.
7.若函数有极值，且在极值点 处有切线，则切线为水平直线，即切线
斜率 .
分类讨论思想在极值中的应用
例 [2024·河北唐山海港高级中学高二月考] 已知函数 ，
.
（1）若函数在处取得极值，求 的值；
解:因为，所以 ，又
在处取得极值，所以，解得.
当 时，.
由，得或；由 ，得.
故在，上单调递增，在 上单调递减，
所以是函数的极小值点， 符合题意.
（2）讨论函数 的极值.
解:由（1）得 ，令
，得或 .
①若，则，此时在上单调递增，函数 无
极值.
②若，则 .
当时，；当时， .
故的单调递增区间为，，单调递减区间为 .
所以的极小值为,极大值为 .
③若，则.
当时， ；当时， .
故的单调递增区间为，，单调递减区间为 .
所以的极小值为，极大值为 .
综上所述，当时，的极小值为，极大值为 ；
当时， 无极值；
当时，的极小值为，极大值为 .
练习册
一、选择题
1.已知函数在 处连续，下列说法中正确的是( )
B
A.如果，那么一定是 的极值点
B.如果在附近的左侧，右侧，那么 是极大值
C.如果在附近的左侧，右侧，那么 是极小值
D.如果在附近的左侧，右侧，那么 是极大值
[解析] 如果，那么不一定是 的极值点，故A错误；
根据极值的概念，如果在附近的左侧，右侧，
那么 是极大值，故B正确，C，D错误.故选B.
2.[2024·江苏徐州高二期末]已知函数 的定
义域为，导函数 的图象如图所示，
则函数 的极小值点的个数为( )
A
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 根据导函数的图象可知， 有3
个变号零点，则可得函数在 上的单调性为先增再减，再增又减，所以函
数 的极小值点的个数为1.故选A.
3.函数 的极小值为 ( )
A
A. B.1 C. D.2
[解析] ，，则，令 ，
得.
当时，，单调递减，当 时，
，单调递增，所以的极小值为 .故选A.
4.函数 的极值情况是( )
D
A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值
C.既无极大值也无极小值 D.既有极大值又有极小值
[解析] ，，由，得或 .
当时，；当时，；当 时，
函数的单调递减区间是， ，单调递
增区间是， 当时，函数取得极小值，当 时，函数取得极
大值， 函数 既有极大值又有极小值.故选D.
5.函数 的极值点为( )
C
A.和 B.和
C. D.
[解析] 因为 ，所以
，令，解得 或
.
当时，,单调递减；当时，,
单调递增；当时，,单调递增.
因此，函数 的极值点为 .故选C.
6.已知函数 既存在极大值，又存在极小值，则
实数 的取值范围是( )
B
A. B.
C. D.
[解析] ，
函数既存在极大值，又存在极小值， 导函数 有两个不相等的变号零
点，，即，解得 或
， 实数的取值范围是 ，故选B.
7.[2023·黑龙江佳木斯一中高二月考]若函数在 处取得极
大值，则实数 的值为( )
D
A.1 B.或
C. D.
[解析] 由，得 ，
因为函数在 处取得极大值，所以
，解得或.
若 ，则，当时，，
当 时，，则在上单调递减，在上单调递增，
所以 在处取得极小值，不符合题意；
若，则 ，当时，，
当时，，则在 上单调递增，在上单调递减，
所以在 处取得极大值，符合题意.
综上可得， .故选D.
8.（多选题）[2024·福建南平一中高二月考] 已知函数 的导函数为
，则函数 的图象可能是( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 由，得或 ，所以函
数有两个极值点，分别是和 ，分析选项可知只有B，D符合题意.
故选 .
9.（多选题）下列函数中，存在极值点的是( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 对于A，由，得该函数的定义域是 ，
，所以函数在, 上单调递增，该函数没有
极值点，故A错误；
对于B，则当时，函数 单调递减，当时，
函数单调递增，所以函数在 处取得极小值，故B正确；
对于C，由，得 ，所以函数在上
单调递减，没有极值点，故C错误；
对于D，由 ，得该函数的定义域是，，
则当时， ，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以当 时，函数取得极小值，故D正确.故选 .
二、填空题
10.[2024·河北邯郸高二期中] 函数 的极大值是
_ _____．
[解析] 由，得 ，
令，得或 .
当时，，则在和 上单调递增；
当时，，则在 上单调递减.
故当时，函数取得极大值 .
11.若函数没有极值，则实数 的取值范围是
______.
[解析] 由，得 ，
因为函数没有极值，所以恒成立，则 ，解得
，故的取值范围是 .
12.[2024·重庆南开中学高二期末] 若 是函数
的极值点，则 ____.
[解析] 因为，所以，又
是函数的极值点，所以 ，即
，此时，
因为，所以 ，故是的变号零点，即 是函数
的极值点，符合题意，故 .
三、解答题
13.已知函数的图象在点 处的切线平行于直线
.
（1）求 的值；
解:由已知可得 ，
因为直线的斜率为 ，
所以，解得 .
（2）求 的极值.
解:由（1）得 ，
.
当时，，函数 单调递增；
当时，，函数 单调递减；
当时，，函数 单调递增.
故的极大值为，极小值为 .
14.[2024·辽宁辽阳高二期末] 已知函数 .
（1）当时，求 的极值；
解:当时，，则 .
令，得或.
当时， ；当时，.
所以的单调递减区间为 ，单调递增区间为， ，
故的极小值为 ，无极大值.
（2）若在上恰有1个极值点，求 的取值范围.
解:因为，所以 .
因为在上恰有1个极值点，所以在 上恰有一个变号零点.
令，则 ，
显然在上单调递增，且，所以在 上
恒成立，
则在 上单调递增.
要使在上恰有一个变号零点，只需 ，
即，故的取值范围为 .
15.已知是函数 的导函数，若函数
的大致图象如图所示，则 的极大值点
为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由的图象知，
当时，，则 ；
当时， ，则且不恒为0；
当时，，则.
故 的单调递增区间为，单调递减区间为和，
故的极大值点为 .故选D.
16.材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与
数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数
经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，
如函数 ，我们可以作变形：，
所以 可看作是由函数和复合而成的，即
为初等函数.根据以上材料：
（1）直接写出初等函数 的极值点；
解:极小值点为 ，无极大值点.
（2）求初等函数 的极值.
解: ，
所以 ，
令得.
当时，，函数 单调递增；
当时，，函数 单调递减.
所以有极大值，且极大值为 ，无极小值.5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第1课时 函数的极值与导数
【课前预习】
知识点一
1.小 0 f'(x)<0 f'(x)>0 a f(a)
2.大 0 f'(x)>0 f'(x)<0 b f(b)
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ [解析] (1)函数的极小值点不是点,它是函数的极小值对应的自变量的值.
(2)由定义知,极值只是说明某个点的函数值与该点附近的函数值比较是最大或最小的,并不意味着该点的函数值在整个定义域内是最大或最小的.
(4)一个函数在它的定义域内可能有多个极大值和极小值.
(5)若f(x)在(a,b)内有极值,则在f(x)的极值点的两侧附近其单调性一定相反,故f(x)在(a,b)内不单调.
知识点二
(1)大 (2)小
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ [解析] (1)例如f(x)=x3,f'(x)=3x2,则f'(0)=0,但0不是函数f(x)=x3的极值点.
(3)函数y=-f(x)与函数y=f(x)的图象关于x轴对称,故x0是y=-f(x)的极大值点.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)A (2)D [解析] (1)依题意,记函数f'(x)的图象与x轴的交点的横坐标从小到大为x1,x2,x3,x4.当a0;当x20.所以x1为极小值点,x2为极大值点,x4为极小值点,故函数f(x)在开区间(a,b)内的极大值点有1个.故选A.
(2)由题图可知,当x<-2时,f'(x)>0;当-22时,f'(x)>0.所以函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值,即函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2).故选D.
变式 (1)B (2)A [解析] (1)因为函数f(x)在x=1处取得极小值,所以导函数f'(x)在x=1附近的左侧小于零,在x=1附近的右侧大于零,由图可知只有选项B符合题意,故选B.
(2)由图可知,当x∈(-∞,x1)时,xf'(x)<0,所以f'(x)>0;当x∈(x1,0)时,xf'(x)>0,所以f'(x)<0;当x∈(0,x4)时,xf'(x)<0,所以f'(x)<0;当x∈(x4,+∞)时,xf'(x)>0,所以f'(x)>0.所以f(x)的单调递增区间为(-∞,x1)和(x4,+∞),单调递减区间为(x1,x4).故f(x)的极大值点为x1.故选A.
探究点二
例2 解:(1)f'(x)=3x2-6x-9.令f'(x)=0,即3x2-6x-9=0,解得x=-1或x=3.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
因此,当x=-1时,函数f(x)取得极大值,且极大值为f(-1)=10;当x=3时,函数f(x)取得极小值,且极小值为f(3)=-22.
(2)g'(x)=,令g'(x)=0,即=0,得x=e.当x∈(0,e)时,g'(x)>0;当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0.所以g(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞),所以当x=e时,g(x)取得极大值g(e)=,g(x)无极小值.
变式 解:(1)由f(x)=e2x-2x,得f'(x)=2e2x-2.令f'(x)>0,即e2x-1>0,得x>0;令f'(x)<0,即e2x-1<0,得x<0.所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以当x=0时,f(x)取得极小值,且极小值为f(0)=1,f(x)无极大值.
(2)①函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=--=.
因为f(x)的单调递增区间是,所以一元二次不等式-3x2+2ax-1>0的解集是,
所以和1是一元二次方程-3x2+2ax-1=0的两个根,所以+1=,解得a=2.
②当a=2时,f(x)=2ln x+-x+1,令f'(x)=0,得x=或x=1.当x变化时,f(x),f'(x)的变化情况如下表:
x 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
所以当x=时,f(x)取得极小值f=2ln +-+1=2-2ln 3;
当x=1时,f(x)取得极大值f(1)=2ln 1+-+1=0.
探究点三
例3 (1)A (2)(-∞,-1)∪(2,+∞) [解析] (1)由函数f(x)=(x-1)2(x-a),可得f'(x)=(x-1)(3x-2a-1),令f'(x)=0,即(x-1)(3x-2a-1)=0,解得x=1或x=,要使得x=1是函数f(x)的极小值点,则需满足<1,解得a<1,所以实数a的取值范围是(-∞,1).故选A.
(2)由f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3,得f'(x)=3x2+6ax+3(a+2),因为函数f(x)既有极大值,又有极小值,所以Δ=(6a)2-4×3×3(a+2)>0,即a2-a-2>0,解得a>2或a<-1,故a的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).
变式 (1)-1 [解析] 由题可知f'(x)=a+,且f'(1)=0,所以f'(1)=a+=0,解得a=-1.经检验,当a=-1时,f(x)=-x+ln x,f'(x)=-1+,x∈(0,+∞),易知当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以x=1是函数f(x)的极大值点,符合题意,故a=-1.
(2)解:∵f(x)=x3+ax2+bx+4,
∴f'(x)=3x2+2ax+b.依题意可得f'(1)=0, f(1)=,即解得故f(x)=x3-x2-2x+4,f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1).令f'(x)=0,得x=-或x=1,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x - 1 (1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
∴函数f(x)的另一个极值在x=-处取得,是极大值,且极大值为f=.
拓展 (-∞,-3]∪[-2,-1]∪[0,+∞) [解析] 由f(x)=x2ex得f'(x)=(x2+2x)ex.令f'(x)>0,解得x<-2或x>0,令f'(x)<0,解得-2第1课时 函数的极值与导数
1.B [解析] 如果f'(x0)=0,那么x=x0不一定是f(x)的极值点,故A错误;根据极值的概念,如果在x=x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极大值,故B正确,C,D错误.故选B.
2.A [解析] 根据导函数f'(x)的图象可知,f'(x)有3个变号零点,则可得函数f(x)在(a,b)上的单调性为先增再减,再增又减,所以函数f(x)的极小值点的个数为1.故选A.
3.A [解析] f(x)=x2-ln x,x>0,则f'(x)=x-=,令f'(x)=0,得x=1.当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)的极小值为f(1)=.故选A.
4.D [解析] ∵y=-x3-x2+2,∴y'=-3x2-2x,由y'=0,得x=0或x=-.当x∈时,y'<0;当x∈时,y'>0;当x∈(0,+∞)时,y'<0.∴函数y=-x3-x2+2的单调递减区间是,(0,+∞),单调递增区间是,∴当x=-时,函数取得极小值,当x=0时,函数取得极大值,∴函数y=-x3-x2+2既有极大值又有极小值.故选D.
5.C [解析] 因为f(x)=ex(x2-x+1)-x3-x2+,所以f'(x)=(x2+x)ex-(x2+x)=x(x+1)(ex-1),令f'(x)=0,解得x=0或x=-1.
当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(-1,0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.因此,函数f(x)的极值点为x=-1.故选C.
6.B [解析] ∵f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1,∴f'(x)=3x2+2mx+m+6.∵函数f(x)既存在极大值,又存在极小值,∴导函数f'(x)有两个不相等的变号零点,∴Δ=4m2-12(m+6)>0,即m2-3m-18>0,解得m<-3或m>6,∴实数m的取值范围是(-∞,-3)∪(6,+∞),故选B.
7.D [解析] 由f(x)=x(x+a)2,得f'(x)=(x+a)2+2x(x+a)=(x+a)(3x+a),因为函数f(x)=x(x+a)2在x=1处取得极大值,所以f'(1)=(1+a)(3+a)=0,解得a=-1或a=-3.若a=-1,则f'(x)=(x-1)(3x-1),当x∈时,f'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不符合题意;若a=-3,则f'(x)=(x-3)(3x-3),当x∈(-∞,1)时,f'(x)>0,当x∈(1,3)时,f'(x)<0,则f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,所以f(x)在x=1处取得极大值,符合题意.综上可得,a=-3.故选D.
8.BD [解析] 由f'(x)=ax2-2ax=ax(x-2)=0(a≠0),得x=0或x=2,所以函数f(x)有两个极值点,分别是x=0和x=2,分析选项可知只有B,D符合题意.故选BD.
9.BD [解析] 对于A,由y=x-,得该函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),y'=1+>0,所以函数y=x-在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增,该函数没有极值点,故A错误;对于B,y=2|x|=则当x<0时,函数y=2|x|单调递减,当x>0时,函数y=2|x|单调递增,所以函数y=2|x|在x=0处取得极小值,故B正确;对于C,由y=-2x3-x,得y'=-6x2-1<0,所以函数y=-2x3-x在R上单调递减,没有极值点,故C错误;对于D,由y=xln x,得该函数的定义域是(0,+∞),y'=ln x+1,则当x∈时,y'<0,函数单调递减,当x∈时,y'>0,函数单调递增,所以当x=时,函数取得极小值,故D正确.故选BD.
10. [解析] 由f(x)=cos 2x+x(0≤x≤π),得f'(x)=-2sin 2x+1(0≤x≤π),
令f'(x)=0,得x=或x=.
当x∈∪时,f'(x)>0,则f(x)在和上单调递增;
当x∈时,f'(x)<0,则f(x)在上单调递减.
故当x=时,函数f(x)取得极大值f=cos+=+=.
11.[0,2] [解析] 由f(x)=x3+(a-1)x2+x+1,得f'(x)=x2+2(a-1)x+1,因为函数f(x)没有极值,所以f'(x)≥0恒成立,则Δ=4(a-1)2-4≤0,解得0≤a≤2,故a的取值范围是[0,2].
12.-1 [解析] 因为f(x)=x2+aln x-bx(x>0),所以f'(x)=x+-b,又x=1是函数f(x)=x2+aln x-bx的极值点,所以f'(1)=1+-b=0,即a-b=-1,此时f'(x)==,因为b≠2,所以b-1≠1,故x=1是f'(x)的变号零点,即x=1是函数f(x)=x2+aln x-bx(a≠1,b≠2)的极值点,符合题意,故a-b=-1.
13.解:(1)由已知可得f'(x)=(2x-a)ex+(x2-ax-a)ex=(x2+2x-ax-2a)ex,
因为直线2x+y+3=0的斜率为-2,
所以f'(0)=-2a=-2,解得a=1.
(2)由(1)得f(x)=(x2-x-1)·ex,f'(x)=ex·(x2+x-2)=ex·(x-1)(x+2).
当x∈(-∞,-2)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;
当x∈(-2,1)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.
故f(x)的极大值为f(-2)=,极小值为f(1)=-e.
14.解:(1)当a=1时,f(x)=x2ex-x3-x2,则f'(x)=(x2+2x)(ex-1).
令f'(x)=0,得x=-2或x=0.当x∈(-∞,-2)时,f'(x)<0;
当x∈(-2,0)∪(0,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)的单调递减区间为(-∞,-2),单调递增区间为(-2,0),(0,+∞),
故f(x)的极小值为f(-2)=-,无极大值.
(2)因为f(x)=x2ex-x3-ax2,所以f'(x)=(x2+2x)ex-x2-2ax.
因为f(x)在(0,+∞)上恰有1个极值点,所以f'(x)在(0,+∞)上恰有一个变号零点.
令g(x)=(x+2)ex-x-2a,则g'(x)=(x+3)ex-1,
显然g'(x)在(0,+∞)上单调递增,且g'(0)=2>0,所以g'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
则g(x)在(0,+∞)上单调递增.
要使f'(x)在(0,+∞)上恰有一个变号零点,只需g(0)=2-2a<0,
即a>1,故a的取值范围为(1,+∞).
15.D [解析] 由y=ef'(x)的图象知,当x∈(-∞,a)时,ef'(x)<1,则f'(x)<0;当x∈(a,d)时,ef'(x)≥1,则f'(x)≥0且f'(x)不恒为0;当x∈(d,+∞)时,ef'(x)<1,则f'(x)<0.故f(x)的单调递增区间为(a,d),单调递减区间为(-∞,a)和(d,+∞),故f(x)的极大值点为d.故选D.
16.解:(1)极小值点为x=,无极大值点.
(2)h(x)===(x>0),
所以h'(x)=·'=·=(1-ln x),
令h'(x)=0得x=e.当00,函数h(x)单调递增;
当x>e时,h'(x)<0,函数h(x)单调递减.
所以h(x)有极大值,且极大值为h(e)=,无极小值.5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第1课时 函数的极值与导数
【学习目标】
1.了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件,极大值、极小值与导数的关系.
2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).
◆ 知识点一 函数极值的定义
1.极小值点与极小值:对于函数y=f(x),若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都 ,f'(a)= ,而且在点x=a附近的左侧 ,右侧 ,我们就把 叫作函数y=f(x)的极小值点, 叫作函数y=f(x)的极小值.
2.极大值点与极大值:对于函数y=f(x),若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都 ,f'(b)= ,而且在点x=b附近的左侧 ,右侧 ,我们就把 叫作函数y=f(x)的极大值点, 叫作函数y=f(x)的极大值.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的极小值点就是函数图象上相对最低的点. ( )
(2)一个函数的极大值一定大于极小值. ( )
(3)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点. ( )
(4)一个函数在它的定义域内最多只有一个极大值和一个极小值. ( )
(5)若f(x)在(a,b)内有极值,则f(x)在(a,b)内不单调. ( )
◆ 知识点二 求函数极值的步骤
一般地,可按如下方法求函数y=f(x)的极值:
解方程f'(x)=0,当f'(x0)=0时:
(1)如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极 值;
(2)如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极 值.
可将x,f'(x),f(x)的变化情况列成如下表格:
x x0左侧 x0 x0右侧
f'(x) + 0 -
f(x) 单调递增 极大值 单调递减
f'(x) - 0 +
f(x) 单调递减 极小值 单调递增
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知函数f(x)的导函数为f'(x),若f'(a)=0,则a一定是f(x)的极值点. ( )
(2)可导函数在极值点处的导数一定为0. ( )
(3)设函数y=f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是y=f(x)的极小值点,则x0是y=-f(x)的极大值点. ( )
◆ 探究点一 函数极值概念的理解
例1 (1)函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内的极大值点有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
(2)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=f'(x)的图象如图所示,则下列说法中正确的是 ( )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
变式 (1)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),若函数f(x)在x=1处取得极小值,则导函数f'(x)的图象可能是 ( )
A B C D
(2)已知f'(x)是函数f(x)的导函数,函数y=xf'(x)的图象如图所示,则f(x)的极大值点为 ( )
A.x1 B.x2 C.x3 D.x4
[素养小结]
解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的,对于导函数的图象,重点考查在哪个区间上为正,哪个区间上为负,在哪个点处与x轴相交,在该点附近的导数值是如何变化的,若是由正值变为负值,则在该点处取得极大值,若是由负值变为正值,则在该点处取得极小值.
◆ 探究点二 求函数的极值
例2 (1)求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值.
(2)求函数g(x)=的极值.
变式 (1)已知函数f(x)=e2x-2x,求f(x)的极值.
(2)[2024·南京五校高二调研] 已知函数f(x)=aln x+-x+1,且f(x)的单调递增区间是.
①求实数a的值;
②求函数f(x)的极值.
[素养小结]
求函数极值的步骤:
(1)求导数,令f'(x)=0,求方程的根;
(2)列表,判断极大值点和极小值点;
(3)求极值.
◆ 探究点三 利用极值求参数的值或者范围
例3 (1)已知x=1是函数f(x)=(x-1)2(x-a)的极小值点,那么a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,1] D.[1,+∞)
(2)函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值,又有极小值,则a的取值范围是 .
变式 (1)若x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,则a= .
(2)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+4在x=1处取得极值,求函数f(x)的另一个极值.
[素养小结]
已知函数的极值点,确定函数解析式中的参数时,需要注意以下两点:
(1)根据极值点处的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解;
(2)因为“f'(x0)=0”不是“x0为极值点”的充要条件,所以利用待定系数法求解后应注意验证.
拓展 若函数f(x)=x2ex在区间(a,a+1)上不存在极值点,则实数a的取值范围为 . 5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第1课时 函数的极值与导数
一、选择题
1.已知函数f(x)在x=x0处连续,下列说法中正确的是 ( )
A.如果f'(x0)=0,那么x=x0一定是f(x)的极值点
B.如果在x=x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极大值
C.如果在x=x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极小值
D.如果在x=x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极大值
2.[2024·江苏徐州高二期末] 已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)的极小值点的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.函数f(x)=x2-ln x的极小值为 ( )
A. B.1 C. D.2
4.函数y=-x3-x2+2的极值情况是 ( )
A.有极大值,无极小值
B.有极小值,无极大值
C.既无极大值也无极小值
D.既有极大值又有极小值
5.函数f(x)=ex(x2-x+1)-x3-x2+的极值点为 ( )
A.x=0和x=-1
B.和
C.x=-1
D.
6.已知函数f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1既存在极大值,又存在极小值,则实数m的取值范围是 ( )
A.(1,2)
B.(-∞,-3)∪(6,+∞)
C.(-3,6)
D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
7.[2023·黑龙江佳木斯一中高二月考] 若函数f(x)=x(x+a)2在x=1处取得极大值,则实数a的值为 ( )
A.1 B. -1或-3
C.-1 D.-3
8.(多选题)[2024·福建南平一中高二月考] 已知函数f(x)的导函数为f'(x)=ax2-2ax(a≠0),则函数f(x)的图象可能是 ( )
A B
C D
9.(多选题)下列函数中,存在极值点的是 ( )
A.y=x-
B.y=2|x|
C.y=-2x3-x
D.y=xln x
二、填空题
10.[2024·河北邯郸高二期中] 函数f(x)=cos 2x+x(0≤x≤π)的极大值是 .
11.若函数f(x)=x3+(a-1)x2+x+1没有极值,则实数a的取值范围是 .
12.[2024·重庆南开中学高二期末] 若x=1是函数f(x)=x2+aln x-bx(a≠1,b≠2)的极值点,则a-b= .
三、解答题
13.已知函数f(x)=(x2-ax-a)ex的图象在点(0,f(0))处的切线平行于直线2x+y+3=0.
(1)求a的值;
(2)求f(x)的极值.
14.[2024·辽宁辽阳高二期末] 已知函数f(x)=x2ex-x3-ax2.
(1)当a=1时,求f(x)的极值;
(2)若f(x)在(0,+∞)上恰有1个极值点,求a的取值范围.
15.已知f'(x)是函数f(x)的导函数,若函数y=ef'(x)的大致图象如图所示,则f(x)的极大值点为 ( )
A.a B.b C.c D.d
16.材料:函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型,在现行的高等数学与数学分析教材中,对“初等函数”给出了确切的定义,即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的,且能用一个式子表示的,如函数y=xx(x>0),我们可以作变形:y=xx=(eln x)x=ex·ln x=et(t=xln x),所以y=xx(x>0)可看作是由函数y=et和t=xln x复合而成的,即y=xx(x>0)为初等函数.根据以上材料:
(1)直接写出初等函数y=xx(x>0)的极值点;
(2)求初等函数h(x)=(x>0)的极值.
