(共55张PPT)
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.2 函数的极值与最大（小）值
第2课时 函数的最大（小）值与导数
探究点一 求函数的最大值与最小值
探究点二 利用最值证明不等式
【学习目标】
1.理解函数的最大值、最小值.
2.会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.
3.能利用最值证明简单的不等式.
知识点一 函数最值的定义
1.一般地,如果在区间上函数 的图象是一条__________的曲线,那
么它必有最大值和最小值.
连续不断
2.一般地，设函数的定义域为，区间是 的一个子区间，如果存在实
数 满足：
（1）对任意，都有或 ；
（2）存在，使得 .
那么，我们称是函数在区间 上的最大值（或最小值）.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值. ( )
√
（2）函数在开区间内不存在最大值和最小值.( )
×
[解析] 函数在开区间内有可能存在最大值和最小值.
（3）若函数在区间上有最大值，则这个最大值一定是函数 在
区间 上的极大值.( )
×
[解析] 若函数在区间 上有最大值，则最大值可能在极大值点或区间端
点处取得.
（4）若函数在区间上有最值，则最值一定在或 处取得.
( )
×
[解析] 若函数在区间 上有最值，则最值可能在极值点或区间端点处取得.
（5）若函数的图象在区间内连续不断,则在区间 内必有
最大值与最小值，但不一定有极值. ( )
√
知识点二 求函数的最大值与最小值的步骤
一般地，求函数在区间 上的最大值与最小值的步骤如下:
（1）求函数在区间 内的______;
（2）将函数 的各极值与端点处的函数值__________比较,其中最大的
一个是最大值,最小的一个是最小值.
极值
,
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数在区间上的最大值是 .( )
√
（2）函数在区间上的最小值是 .( )
×
[解析] ，令,得.
因为, ,,
所以在区间上的最大值是,最小值是 .
（3）定义在闭区间 上的图象连续不断的函数的极大（小）值可以有多
个，但最大（小）值只能有一个.( )
√
探究点一 求函数的最大值与最小值
［探索］ 函数的图象的最高点和最低点的横坐标分别为函数 的
最大值点和最小值点.如果函数 存在最大值,那么其最大值是否唯一 最大值
点是否唯一
解：最大值唯一,最大值点不唯一.
例1 求下列函数的最值.
（1）， ;
解：因为,，
所以 ，.
令，得或.当时， ；
当时，；当时，.
所以当时， 取得极大值，
当时，取得极小值 ，
又因为，，所以函数的最大值是7，最小值是 .
（2）， ；
解：因为,,所以， .
令，得 .
因为，所以，所以，所以 .
当时，；当时， ；
当 时， .
所以当时，取得极小值，当时， 取得极
大值 ，
又，，所以， .
（3）， ;
解：因为, ，所以
， .
令，得或 （舍去）.
当时，；当时， .
所以当时，取得极小值 .
又，，且 ，
所以函数的最大值为 ，最小值为1.
（4） .
解：因为，所以函数的定义域为， .
令，得 .
当变化时，， 的变化情况如下表：
2
0 -
单调递增 单调递减
所以在上单调递增，在上单调递减，所以 无最小值，且
当时，取得最大值 .
变式（1） 求函数, 的最值.
解:,.令,得或.
当变化时， 与 的变化情况如下表：
0 - 0
单调递增 单调递减 单调递增
因为,,, ,所以当时,
取得最小值0,当 时,取得最大值 .
（2）求函数， 的值域.
解:因为，，所以 ，
.
令，得；令，得 .
所以在上单调递减，在 上单调递增，所以 .
又， ，
即 ，
所以，即函数的值域为 .
［素养小结］
（1）求一个函数在闭区间上的最值时，一般是找出该区间上导数为零的点，无
需判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函
数值进行比较，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值；
（2）求函数最值的过程中要利用函数的单调性，所以函数的单调区间是求函数
极值与最值的基础.
探究点二 利用最值证明不等式
例2（1） 证明：当时， .
证明：令，则.
当 时，，所以在上单调递减，所以 ，
即 .
（2）已知函数 .
①讨论 的单调性；
解：函数的定义域为，求导得 .
由，得，由，得 ，
所以在区间上单调递增，在区间 上单调递减.
②证明：当时， .
证明：由（1）可知，在上单调递增，在 上单调递减，
则，即 .
设,，求导得，令,得 .
当时，,单调递减；当时，, 单
调递增.
所以，即 .
综上，当时，，所以 .
变式（1） 证明： .
证明：设，则.令得 ，令
得，所以在上单调递减，在 上单调递增，所
以，即，所以 .
（2）比较与 的大小.
解：由（1）得，所以（当且仅当 时取等
号）①.
设，则.令得 ,令
得，所以在上单调递增，在 上单调递减，
所以，即，所以 ，所以
（当且仅当 时取等号）②.
因为①与②取等号的条件不同，所以 .
（3）已知函数，证明：当时， .
证明：设 ，
则，
设 ，
则在上恒成立，即在 上单调递增，
所以 ，
所以在上单调递增，故 ，
所以当时， .
［素养小结］
函数的极值、最值在证明许多类型的不等式时能起到很好的效果.证明的主要思
路是：根据不等式特点构造可导的函数——利用单调性求出函数的极值和最
值——得出不等式关系——整理变形得出结果.有时可能需要辅助函数来证明.
拓展 已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
解：依题意，得的定义域为， .
当时，恒成立，所以在 上单调递减；
当时，由得，由得，所以在 上
单调递减，在 上单调递增.
综上，当时，函数在 上单调递减；
当时，在上单调递减，在 上单调递增.
（2）证明：当时， .
证明：由（1）知，当时，的最小值为 ，要证
，只需证 .
设 ，
则，令，得，当
时，,当时， ,
所以函数在上单调递减，在 上单调递增，
所以的最小值为，即 ，
所以 ，
所以 ．
1.函数的最值表示函数在定义域内函数值的整体情况.连续函数 在闭区间
上必有一个最大值和一个最小值,但是最值点可以不唯一;但在开区间
上连续的函数不一定有最大值和最小值.特别地，如果函数的定义域为 ，
且在上单调递减，在上单调递增，那么的最小值为 .
2.函数极大、极小值与最大、最小值的区别与联系
区别：最值是一个整体的概念，一定是在整个区间上的函数值的最值；极值是
一个局部概念，极大值和极小值是比较极值点附近函数值得出的.函数最大值、
最小值是比较整个定义区间的函数值得到的.函数的最大、最小值不一定是极大、
极小值.
联系：最大值在极大值和端点函数值中取得；最小值在极小值和端点函数值中取得.
3.函数在区间 上的最值情况
在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线时，在 上不一定
有最值.常见的情况有以下几种：
如图，图①中的函数在 上有最大值而无最小值；
图②中的函数在 上有最小值而无最大值；
图③中的函数在 上既无最大值也无最小值；
图④中的函数在 上既有最大值也有最小值.
1.常见不等式的证明
例1 [2024·福建莆田一中高二期末] 已知函数, .
（1）讨论 的单调性；
解:的定义域为, ,
若,,则在 上单调递增；
若,当时，,则单调递减，时， ,
则 单调递增.
综上，当时，在 上单调递增，无单调递减区间；
当时，在上单调递减，在 上单调递增.
（2）若,，证明： .
证明：由,，设 ,则
，
则在上单调递减，,故 .
2.隐零点在解决最值或者证明问题中的应用
例2 已知函数，其中 是自然对数的底数.
（1）求函数 的最小值；
解： ，
令，解得 .
当时，， 单调递减；
当时，， 单调递增.
所以函数的最小值为 .
（2）设函数，当时，求证： .
证明：函数，其定义域为 ，
要证，只需证 .
设，则 .
设，则 ，
所以函数在 上单调递增.
因为， ，
所以函数在上有唯一零点，且 .
因为，所以，即 .
当时，；当时， .
所以当时，取得最小值 .
故 .
因为，所以 ，
又，所以，故 .
综上可知，当时， .
练习册
一、选择题
1.设，分别是函数在上的最大值和最小值，若，则
( )
A
A.等于0 B.小于0 C.等于1 D.不确定
[解析] 因为，所以为常函数，故 .故选A.
2.函数在 上的( )
D
A.极大值一定大于极小值 B.极大值一定是最大值
C.最大值一定是极大值 D.最大值一定大于极小值
[解析] 由函数的最值与极值的定义可知,函数在 上的最大值一定大于极
小值.
3.[2024·天津红桥区高二期末]函数在 上的最大值是
( )
B
A.1 B.3 C. D.9
[解析] 由，得，令，解得 .
当时，，单调递增；当时， ，
单调递减.
所以函数在上的最大值是 .故选B.
4.函数， 的最大值、最小值分别为( )
C
A. ,0 B.,0 C. , D.0,
[解析] 由题意，,，令，得 ，
令，得，
所以在上单调递减，在 上单调递增，
所以，
,,}= .故选C.
5.[2024·河北秦皇岛高二期末]已知函数 ，则( )
B
A.的最小值为 B.的最小值为
C.的最大值为 D. 无最小值
[解析] 因为，所以，令 ，
可得，解得，则 ，
.
当时，，在 上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以 的最小值为 ，无最大值.故选B.
6.已知函数，均为上的可导函数，在 上连续且
，则 的最大值为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 令，，则，
是上的减函数， .故选A.
7.已知正实数,满足，则 的最小值为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为正实数,满足，所以 .
设，则，令，得 .
当时，，单调递减；当时，， 单
调递增.
所以，所以的最小值为 .
故选B.
8.（多选题）若函数 ，则( )
CD
A.函数只有极大值，没有极小值 B.函数 只有最大值，没有最小值
C.函数只有极小值，没有极大值 D.函数 只有最小值，没有最大值
[解析] 由题意得，令，得，
当 时,，单调递减,
当时,,单调递增，
函数有唯一极小值，即最小值，没有极大值和最大值.故选 .
9.（多选题）下列说法中正确的是( )
AC
A. 的最小值为1
B. 的最小值为1
C. 的最小值为1
D. 的最小值为1
[解析] 对于A，，，由 得
,由得,所以函数在上单调递减，在 上单
调递增，故函数的最小值为 ，A选项正确；
对于B，，，由得,由
得,所以函数在上单调递减，在上单调递增，故函数
的最小值为，B选项错误；
对于C， ，，由得,
由得,所以函数 在上单调递减，在上单调递增，
故函数的最小值为 ，C选项正确；
对于D，， ，
由得,由得,所以函数在 上单调递减，
在上单调递增，故函数的最小值为，D选项错误.故选 .
二、填空题
10.函数在区间 上的最大值是_______.
[解析] 由，得，令，得.
当 时，，函数单调递增；
当时， ，函数单调递减.
所以函数在 处取得极大值，也是最大值，
故函数在区间上的最大值是 .
11.若函数的图象都不在直线的下方，则 ____.
[解析] 由题意知当时，函数取得最小值.
因为 ，所以，
令，得，令，得 ，
所以函数在区间上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 .
12.已知函数有两个极值点，则实数 的取值范围是
__________.
[解析] 因为,所以,
令 ,得,
要使函数有两个极值点，只需 有两个不同实根，
从而函数与 的图象有两个交点.
,令,易知在 上单调递减且
,所以当时，，即,在 上单调递增；
当时，，即,在 上单调递减.故
.
令得,当时, ,
，当时，,.
因为直线和 的图象在上有两个交点，所以,
即,故实数 的取值范围是 .
三、解答题
13.[2024·福建宁德高二期中] 利用导数证明下列不等式：
（1） ；
证明：设,则 .
令，得，即在 上单调递增；
令，得，即在 上单调递减.
所以 ，
所以 .
（2） .
证明： 设,则的定义域为， .
令，得，即在 上单调递增；
令，得，即在 上单调递减.
所以，所以，即 .
14.已知函数在 处取得极大值2.
（1）求， 的值；
解:由题意得 ，
因为函数, 在 处取得极大值2，
所以解得
（2）若对于任意,，恒成立，求实数 的最小值.
解:由（1）知，则，令，解得 或
.
当时，，当时， ，
所以函数在和上单调递增，在 上单调递减.
因为,,, ，
所以在上的最大值为2,最小值为 .
因为对于任意,， 恒成立，
所以 ，故实数 的最小值为4.
15.已知函数既是二次函数又是幂函数，函数的图象与函数 的图
象关于直线对称.若直线与函数的图象和函数 的图
象的交点分别为，，则当最小时， 的值为( )
B
A.1 B. C. D.
[解析] 由函数既是二次函数又是幂函数，得，
由函数 的图象与函数的图象关于直线对称，得 ，则
， .
设,,则，,令，得 .
当时，，单调递减；当时，， 单
调递增.
所以当时，取得最小值，即 取得最小值.故选B.
16.已知函数 .
（1）求 的最小值；
解:因为，，所以.
令 ，得；令，得.
所以在上单调递减，在 上单调递增，
所以的最小值为 .
（2）设，证明： .
证明：因为，，所以由 ，得
，即.
设， ，则.
令，得；令，得 .
所以在上单调递减，在 上单调递增，
则，即恒成立，所以 .第2课时 函数的最大(小)值与导数
【学习目标】
1.理解函数的最大值、最小值.
2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
3.能利用最值证明简单的不等式.
◆ 知识点一 函数最值的定义
1.一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条 的曲线,那么它必有最大值和最小值.
2.一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,区间I是D的一个子区间,如果存在实数M满足:
(1)对任意x∈I,都有f(x)≤M(或f(x)≥M);
(2)存在x∈I,使得f(x)=M.
那么,我们称M是函数y=f(x)在区间I上的最大值(或最小值).
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值. ( )
(2)函数在开区间内不存在最大值和最小值. ( )
(3)若函数f(x)在区间[a,b]上有最大值,则这个最大值一定是函数f(x)在区间[a,b]上的极大值. ( )
(4)若函数f(x)在区间[a,b]上有最值,则最值一定在x=a或x=b处取得. ( )
(5)若函数f(x)的图象在区间[a,b]内连续不断,则f(x)在区间[a,b]内必有最大值与最小值,但不一定有极值. ( )
◆ 知识点二 求函数的最大值与最小值的步骤
一般地,求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:
(1)求函数y=f(x)在区间(a,b)内的 ;
(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)=x2-4x+1在区间[1,5]上的最大值是f(5). ( )
(2)函数f(x)=x2-4x+1在区间[1,5]上的最小值是f(1). ( )
(3)定义在闭区间[a,b]上的图象连续不断的函数的极大(小)值可以有多个,但最大(小)值只能有一个. ( )
◆ 探究点一 求函数的最大值与最小值
[探索] 函数y=f(x)的图象的最高点和最低点的横坐标分别为函数f(x)的最大值点和最小值点.如果函数f(x)存在最大值,那么其最大值是否唯一 最大值点是否唯一
例1 求下列函数的最值.
(1)f(x)=x3-x2-2x+5,x∈[-2,2];
(2)f(x)=sin 2x-x,x∈;
(3)f(x)=x4-ln x4,x∈;
(4)f(x)=.
.
变式 (1)求函数f(x)=x+sin x,x∈[0,2π]的最值.
(2)求函数f(x)=x2++,x∈的值域.
[素养小结]
(1)求一个函数在闭区间上的最值时,一般是找出该区间上导数为零的点,无需判断出是极大值点还是极小值点,只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较,其中最大的就是函数的最大值,最小的就是函数的最小值;
(2)求函数最值的过程中要利用函数的单调性,所以函数的单调区间是求函数极值与最值的基础.
◆ 探究点二 利用最值证明不等式
例2 (1)证明:当x>0时,ln(1+x)(2)已知函数f(x)=eln x-ex.
①讨论f(x)的单调性;
②证明:当x∈(0,+∞)时,f(x)≤-2e.
变式 (1)证明:ex≥x+1.
(2)比较ex-1与ln(x+1)的大小.
(3)已知函数g(x)=ex-1,证明:当x∈[2,+∞)时,g(x)>2x(x-1).
[素养小结]
函数的极值、最值在证明许多类型的不等式时能起到很好的效果.证明的主要思路是:根据不等式特点构造可导的函数——利用单调性求出函数的极值和最值——得出不等式关系——整理变形得出结果.有时可能需要辅助函数来证明.
拓展 已知函数f(x)=a(x+a)-ln x(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)证明:当a>0时,f(x)≥3ln a+2.第2课时 函数的最大(小)值与导数
【课前预习】
知识点一
1.连续不断
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ [解析] (2)函数在开区间内有可能存在最大值和最小值.
(3)若函数f(x)在区间[a,b]上有最大值,则最大值可能在极大值点或区间端点处取得.
(4)若函数f(x)在区间[a,b]上有最值,则最值可能在极值点或区间端点处取得.
知识点二
(1)极值 (2)f(a),f(b)
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ [解析] (2)f'(x)=2x-4,令f'(x)=0,得x=2.因为f(1)=-2,f(2)=-3,f(5)=6,所以f(x)在区间[1,5]上的最大值是f(5),最小值是f(2).
【课中探究】
探究点一
探索 解:最大值唯一,最大值点不唯一.
例1 解:(1)因为f(x)=x3-x2-2x+5,x∈[-2,2],所以f'(x)=3x2-x-2,x∈[-2,2].令f'(x)=0,得x=-或x=1.当x∈时,f'(x)>0;当x∈时,f'(x)<0;当x∈(1,2]时,f'(x)>0.所以当x=-时,f(x)取得极大值f=,当x=1时,f(x)取得极小值f(1)=,又因为f(-2)=-1,f(2)=7,所以函数f(x)的最大值是7,最小值是-1.
(2)因为f(x)=sin 2x-x,x∈,所以f'(x)=2cos 2x-1,x∈.令f'(x)=0,得cos 2x=.
因为x∈,所以2x∈[-π,π],所以2x=±,所以x=±.
当x∈时,f'(x)<0;当x∈时,f'(x)>0;当x∈时,f'(x)<0.
所以当x=-时,f(x)取得极小值f=-+,当x=时,f(x)取得极大值f=-,
又f=,f=-,所以f(x)max=,f(x)min=-.
(3)因为f(x)=x4-ln x4,x∈,所以f'(x)=4x3-=,x∈.
令f'(x)=0,得x=-1或x=1(舍去).
当x∈[-e,-1)时,f'(x)<0;当x∈时,f'(x)>0.
所以当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=1.
又f(-e)=e4-4,f=e-4+4,且e4-4>e-4+4>1,
所以函数f(x)的最大值为e4-4,最小值为1.
(4)因为f(x)=,所以函数f(x)的定义域为R,f'(x)==.令f'(x)=0,得x=2.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,2) 2 (2,+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) 单调递增 单调递减
所以f(x)在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,所以f(x)无最小值,且当x=2时,f(x)取得最大值f(2)=.
变式 解:(1)f'(x)=+cos x,x∈[0,2π].令f'(x)=0,得x=或x=.当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表:
x
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 + 单调递减 - 单调递增
因为f(0)=0,f=+,f=-,f(2π)=π,所以当x=0时,f(x)取得最小值0,当x=2π时,f(x)取得最大值π.
(2)因为f(x)=x2++,x∈,所以f'(x)==,x∈.
令f'(x)>0,得1所以f(x)在上单调递减,在(1,2]上单调递增,
所以f(x)min=f(1)=2.
又f=,f(2)=3,
即f(2)>f,
所以2≤f(x)≤3,即函数f(x)的值域为[2,3].
探究点二
例2 解:(1)证明:令g(x)=ln(1+x)-x,则g'(x)=-1=-.当x>0时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减,所以g(x)(2)①函数f(x)=eln x-ex的定义域为(0,+∞),求导得f'(x)=-e=.
由f'(x)>0,得01,
所以f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.
②证明:由(1)可知,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
则f(x)max=f(1)=-e,即f(x)≤-e.
设g(x)=-2e,x>0,求导得g'(x)=,令g'(x)=0,得x=1.
当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.
所以g(x)min=g(1)=-e,即g(x)≥-e.
综上,当x∈(0,+∞)时,f(x)≤-e≤g(x),所以f(x)≤-2e.
变式 解:(1)证明:设f(x)=ex-(x+1),则f'(x)=ex-1.令f'(x)<0得x<0,令f'(x)>0得x>0,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(0)=e0-1=0,即ex-(x+1)≥0,所以ex≥x+1.
(2)由(1)得ex≥x+1,所以ex-1≥(x-1)+1=x(当且仅当x=1时取等号)①.设g(x)=ln x-(x-1)(x>0),则g'(x)=-1.令g'(x)<0得x>1,令g'(x)>0得0ln(x+1).
(3)证明:设h(x)=g(x)-2x(x-1)=ex-1-2x(x-1)=ex-2x2+2x-1,
则h'(x)=ex-4x+2,设t(x)=h'(x),
则t'(x)=ex-4>0在[2,+∞)上恒成立,即t(x)=h'(x)在[2,+∞)上单调递增,
所以h'(x)≥h'(2)=e2-6>0,
所以h(x)在[2,+∞)上单调递增,故h(x)≥h(2)=e2-5>0,
所以当x∈[2,+∞)时,g(x)>2x(x-1).
拓展 解:(1)依题意,得f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a-.
当a≤0时,f'(x)<0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减;
当a>0时,由f'(x)>0得x>,由f'(x)<0得0综上,当a≤0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;
当a>0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增.
(2)证明:由(1)知,当a>0时,f(x)的最小值为f=1+a2+ln a,要证f(x)≥3ln a+2,只需证1+a2+ln a-(3ln a+2)=a2-2ln a-1≥0.
设g(x)=x2-2ln x-1(x>0),
则g'(x)=2x-=(x>0),令g'(x)=0,得x=1,当x∈(0,1)时,g'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,
所以函数g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以g(x)的最小值为g(1)=12-2ln 1-1=0,即g(x)≥g(1)=0,
所以g(a)=a2-2ln a-1≥0,
所以f(x)≥3ln a+2.第2课时 函数的最大(小)值与导数
1.A [解析] 因为M=m,所以f(x)为常函数,故f'(x)=0.故选A.
2.D [解析] 由函数的最值与极值的定义可知,函数f(x)在[a,b]上的最大值一定大于极小值.
3.B [解析] 由f(x)=x3-3x+1,得f'(x)=3x2-3,令f'(x)=0,解得x=±1.当x∈[-3,-1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(-1,0]时,f'(x)<0,f(x)单调递减.所以函数f(x)在[-3,0]上的最大值是f(-1)=3.故选B.
4.C [解析] 由题意,f'(x)=1-cos x,x∈[0,π],令f'(x)>0,得5.B [解析] 因为f(x)=-f'(1)x-4ln x(x>0),所以f'(x)=-f'(1)-,令x=1,可得f'(1)=-f'(1)-4,解得f'(1)=-2,则f(x)=2x-4ln x,f'(x)=2-=(x>0).当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)在(0,2)上单调递减;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(2,+∞)上单调递增.所以f(x)的最小值为f(2)=4-4ln 2,无最大值.故选B.
6.A [解析] 令h(x)=f(x)-g(x),x∈[a,b],则h'(x)=f'(x)-g'(x)<0,∴h(x)是[a,b]上的减函数,∴h(x)max=h(a)=f(a)-g(a).故选A.
7.B [解析] 因为正实数x,y满足ln(xy)=x,所以xy-2x=ex-2x.设f(x)=ex-2x(x>0),则f'(x)=ex-2(x>0),令f'(x)=0,得x=ln 2.当0ln 2时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)min=f(ln 2)=2-2ln 2,所以xy-2x的最小值为2-2ln 2.故选B.
8.CD [解析] 由题意得f'(x)=ex-2,令f'(x)=0,得x=ln 2,当x∈(-∞,ln 2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(ln 2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,∴函数f(x)有唯一极小值,即最小值,没有极大值和最大值.故选CD.
9.AC [解析] 对于A,f(x)=x+(x∈R),f'(x)=1-=,由f'(x)<0得x<0,由f'(x)>0得x>0,所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故函数f(x)的最小值为f(0)=1,A选项正确;对于B,f(x)=(x>0),f'(x)=,由f'(x)<0得00得x>1,所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故函数f(x)的最小值为f(1)=e,B选项错误;对于C,f(x)=x-ln x(x>0),f'(x)=1-=,由f'(x)<0得00得x>1,所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故函数f(x)的最小值为f(1)=1,C选项正确;对于D,f(x)=x(x>0),f'(x)=+x··=,由f'(x)<0得00得x>1,所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故函数f(x)的最小值为f(1)=e,D选项错误.故选AC.
10.+ [解析] 由y=x+2cos x,得y'=1-2sin x,令y'=0,得x=.当x∈时,y'>0,函数y=x+2cos x单调递增;当x∈时,y'<0,函数y=x+2cos x单调递减.所以函数y=x+2cos x在x=处取得极大值,也是最大值,故函数y=x+2cos x在区间上的最大值是+.
11.- [解析] 由题意知当x=x0时,函数f(x)=xex取得最小值.因为f(x)=xex,所以f'(x)=ex(x+1),令f'(x)>0,得x>-1,令f'(x)<0,得x<-1,所以函数f(x)=xex在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(-1,+∞)上单调递增,所以f(x0)=f(-1)=-e-1=-.
12. [解析] 因为f(x)=xln x+mex,所以f'(x)=1+ln x+mex,令f'(x)=0,得-m=,要使函数f(x)=xln x+mex有两个极值点,只需-m=有两个不同实根,从而函数g(x)=与y=-m的图象有两个交点.g'(x)=,令h(x)=-1-ln x,易知h(x)在(0,+∞)上单调递减且h(1)=0,所以当x∈(0,1]时,h(x)≥0,即g'(x)≥0,g(x)在(0,1]上单调递增;当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,即g'(x)<0,g(x)在(1,+∞)上单调递减.故g(x)max=g(1)=.令g(x)==0得x=,当0时,1+ln x>0,g(x)>0.因为直线y=-m和g(x)的图象在(0,+∞)上有两个交点,所以0<-m<,即-13.证明:(1)设f(x)=ex-x-1,则f'(x)=ex-1.
令f'(x)>0,得x>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增;
令f'(x)<0,得x<0,即f(x)在(-∞,0)上单调递减.
所以f(x)min=f(0)=0,
所以ex-x-1≥0.
(2)设h(x)=-ln x,则h(x)的定义域为(0,+∞),h'(x)=-=.
令h'(x)>0,得x>e,即h(x)在(e,+∞)上单调递增;
令h'(x)<0,得0所以h(x)min=h(e)=0,所以-ln x≥0,即≥ln x.
14.解:(1)由题意得f'(x)=3ax2+2bx-3,
因为函数f(x)=ax3+bx2-3x(a,b∈R)在x=-1处取得极大值2,
所以解得
(2)由(1)知f(x)=x3-3x,则f'(x)=3x2-3,令f'(x)=0,解得x=1或x=-1.
当x∈[-2,-1)∪(1,2]时,f'(x)>0,当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,
所以函数f(x)在[-2,-1)和(1,2]上单调递增,在(-1,1)上单调递减.
因为f(-2)=-2,f(-1)=2,f(1)=-2,f(2)=2,
所以f(x)在[-2,2]上的最大值为2,最小值为-2.
因为对于任意x1,x2∈[-2,2],|f(x1)-f(x2)|≤c恒成立,
所以c≥2-(-2)=4,
故实数c的最小值为4.
15.B [解析] 由函数f(x)既是二次函数又是幂函数,得f(x)=x2,由函数g(x)的图象与函数y=ex的图象关于直线y=x对称,得g(x)=ln x,则|PQ|=f(t)-g(t)=-ln(t)=2t2-ln t-ln 2,t>0.设G(t)=2t2-ln t-ln 2,t>0,则G'(t)=4t-,t>0,令G'(t)=0,得t=.当t∈时,G'(t)<0,G(x)单调递减;当t∈时,G'(t)>0,G(x)单调递增.所以当t=时,G(t)取得最小值,即|PQ|取得最小值.故选B.
16.解:(1)因为f(x)=x3-3ln x,x>0,所以f'(x)=3x2-=.令f'(x)<0,得00,得x>1.所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)的最小值为f(1)=1-3ln 1=1.
(2)证明:因为f(x)=x3-3ln x,g(x)=x3+-3,所以由f(x)≤g(x),得x3-3ln x≤x3+-3,即ln x+-1≥0.设h(x)=ln x+-1,x>0,则h'(x)=-=.令h'(x)<0,得00,得x>1.所以h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,则h(x)≥h(1)=ln 1+1-1=0,即ln x+-1≥0恒成立,所以f(x)≤g(x).第2课时 函数的最大(小)值与导数
一、选择题
1.设M,m分别是函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值,若M=m,则f'(x) ( )
A.等于0 B.小于0
C.等于1 D.不确定
2.函数f(x)在[a,b]上的 ( )
A.极大值一定大于极小值
B.极大值一定是最大值
C.最大值一定是极大值
D.最大值一定大于极小值
3.[2024·天津红桥区高二期末] 函数f(x)=x3-3x+1在[-3,0]上的最大值是 ( )
A.1 B.3
C.-1 D.9
4.函数f(x)=x-sin x,x∈[0,π]的最大值、最小值分别为 ( )
A.π,0 B.-,0
C.π,-1 D.0,-1
5.[2024·河北秦皇岛高二期末] 已知函数f(x)=-f'(1)x-4ln x,则 ( )
A.f(x)的最小值为2-4ln 2
B.f(x)的最小值为4-4ln 2
C.f(x)的最大值为2-4ln 2
D.f(x)无最小值
6.已知函数f(x),g(x)均为(a,b)上的可导函数,在[a,b]上连续且f'(x)A.f(a)-g(a)
B.f(b)-g(b)
C.f(a)-g(b)
D.f(b)-g(a)
7.已知正实数x,y满足ln(xy)=x,则xy-2x的最小值为 ( )
A.ln 2 B.2-2ln 2
C.-ln 2 D.2+ln 2
8.(多选题)若函数f(x)=ex-2x+3,则 ( )
A.函数f(x)只有极大值,没有极小值
B.函数f(x)只有最大值,没有最小值
C.函数f(x)只有极小值,没有极大值
D.函数f(x)只有最小值,没有最大值
9.(多选题)下列说法中正确的是 ( )
A.f(x)=x+(x∈R)的最小值为1
B.f(x)=(x>0)的最小值为1
C.f(x)=x-ln x(x>0)的最小值为1
D.f(x)=x(x>0)的最小值为1
二、填空题
10.函数y=x+2cos x在区间上的最大值是 .
11.若函数f(x)=xex的图象都不在直线y=f(x0)的下方,则f(x0)= .
12.已知函数f(x)=xln x+mex有两个极值点,则实数m的取值范围是 .
三、解答题
13.[2024·福建宁德高二期中] 利用导数证明下列不等式:
(1)ex-x-1≥0;
(2)≥ln x.
14.已知函数f(x)=ax3+bx2-3x(a,b∈R)在x=-1处取得极大值2.
(1)求a,b的值;
(2)若对于任意x1,x2∈[-2,2],|f(x1)-f(x2)|≤c恒成立,求实数c的最小值.
15.已知函数f(x)既是二次函数又是幂函数,函数g(x)的图象与函数y=ex的图象关于直线y=x对称.若直线x=t(t∈R)与函数f(x)的图象和函数g(x)的图象的交点分别为P,Q,则当|PQ|最小时,t的值为 ( )
A.1 B. C. D.
16.已知函数f(x)=x3-3ln x.
(1)求f(x)的最小值;
(2)设g(x)=x3+-3,证明:f(x)≤g(x).
