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5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.2 函数的极值与最大（小）值
第3课时 含参函数的最大（小）值问题
探究点一 求含参函数的最值
探究点二 由最值求参数的值或范围
探究点三 不等式恒（能）成立求参数
【学习目标】
1.能利用导数求简单含参函数的最值问题.
2.能根据最值求参数的值或范围问题.
3.初步探究与最值有关的恒成立与能成立问题.
探究点一 求含参函数的最值
例1 设，已知函数，求函数在 上的最大值.
解：,令，解得或 .
①当时，在上单调递增，所以 .
②当，即时，在上单调递减，所以 .
③当，即时，在上单调递减，在 上单调递
增，所以， .
若，即，则 ；
若，即，则 .
综上，当时，；当 时，
.
变式1 已知函数在 处取得极值1.
（1）求， 的值；
解：因为，所以该函数的定义域为 ，.
因为函数在 处取得极值1，
所以解得则 ，
所以，令，可得 ，列表如下：
1
0 -
单调递增 1 单调递减
所以函数在处取得极大值，符合题意，故， .
（2）求在 上的最大值和最小值.
解：由（1）可知，函数在上单调递增，在 上单调递减，所以
，
又因为 ，，
所以，故 .
变式2 已知函数,求在区间 上
的最小值 .
解：的定义域为 ,
.
①当,即时,在上单调递增，所以 ；
②当,即时,在上单调递减，在 上单调递增，
所以 ；
③当,即时,在 上单调递减，
所以 .
综上，
［素养小结］
含参数的函数最值问题的两类情况
（1）能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题.
（2）对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数
大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数大（小）于等于0且不恒等于0，则函
数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数的值有正有负，则
求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.
探究点二 由最值求参数的值或范围
例2（1） 已知函数.当时，若在 上的最小值为
，求实数 的值.
解：因为，所以，令，解得 .
当，即时，在上恒成立，此时在 上单调
递减，所以，所以 （舍去）；
当，即时，在上，由可得 ，
由可得，所以函数在上单调递减，在
上单调递增，所以，所以 .
综上， .
（2）已知函数在区间 上既有最大值又有最小值，
求 的取值范围.
解：函数，求导得 ，即，
当或时，，当 时，，
则函数在,上单调递增，在 上单调递减，
所以当时，函数取得极大值 ，
当时，函数取得极小值 .
由，即 ，
得，即 ，解得
或.
由，即 ，
得，即 ，解得
或.
因为在区间上既有最大值又有最小值，则有 解得
，所以的取值范围是 .
作出函数的部分图象及直线， ，如图.
变式 若函数在区间内有最小值，则实数 的取值
范围为( )
C
A. B. C. D.
[解析] ，若函数在区间 内有最小值，则此
时函数必定存在极值点.
令,得方程 的判别式,可设,
为一元二次方程 的两根，则有故只需.
令 ,则解得 .故选C.
［素养小结］
已知函数在某区间上的最值求参数的值（或范围）是求函数最值的逆向思维，
一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知
最值列方程（不等式）解决问题.
探究点三 不等式恒（能）成立求参数
例3（1） [2024·北京十二中高二期末]已知函数 ，若存在
，使得，则 的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 若存在，使得，即 ，
所以
令，，则 ，
令，解得，令，解得，
所以 在上单调递增，在上单调递减，
所以 ，
又因为,,且，
所以 ，所以. 故选C.
（2）[2024·重庆七校高二联考] 对任意的，不等式 恒成立，
则实数 的取值范围为________.
[解析] 对任意的，不等式恒成立，即对任意的 ，不等
式恒成立.
令,，则，
所以当 时，,单调递增，
当时，, 单调递减，
所以，所以，即实数的取值范围为 .
变式 [2024·深圳盐田高级中学高二期末] 已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
解：对函数求导可得 .
当时，恒成立，可得函数的单调递增区间为 ，无
单调递减区间.
当时，令，可得，所以函数 的单调递减区间为
；
令，可得，所以函数的单调递增区间为 .
综上所述，当时，的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 .
（2）当时，恒成立，求实数 的取值范围.
解：方法一：当时，恒成立等价于 恒成立.
令，，则 ，
令，可得，即在 上单调递减；
令，可得，即在 上单调递增.
从而可得函数的最小值为，则 ,
故的取值范围是 .
方法二：由（1）知，当时，函数在 上单调递增，
所以 ，满足题意；
当时，，所以函数在 上单调递增，
所以 ，满足题意；
当时，，所以函数在上单调递减，在
上单调递增，
所以 ，
因为当时，恒成立，所以，即 ，
得，可得 .
综上，实数的取值范围是 .
［素养小结］
（1）证明不等式的一般思路:证明不等式可以通过构造函数将不等式问题等价
转化为函数最值问题,如要证明不等式 成立,可以构造函数
,由判断的单调性,确定 的最小值,从而证明结论.
（2）不等式恒成立时求参数的取值范围问题是一种常见的题型，这种题型的解
法有多种，其中最常用的方法就是分离参数，然后转化为求函数的最值问题，
在求函数最值时，可以借助导数求解.
拓展 设函数，，其中 .若对任意
的正实数，，不等式恒成立，则 的最小值为( )
C
A.0 B.1 C. D.
[解析] 对于，当时，，， ，当
时，，，，当且仅当 时，等号成立，
当时，.
依题意，当,时，不等式 恒成立，
故当时，， 当时， ，即.
令，则，当时， ，
单调递增，当时，， 单调递减，
，，的最小值为 .故选C.
1.分类讨论思想在求最值中的应用
例1 已知函数, .
（1）当时，求曲线在点 处的切线方程；
解:, 的定义域为 ，
当时，，可得 ，
此时，
又 ，
所以曲线在点处的切线方程为 ，
即 .
（2）求在区间 上的最小值.
解:易知 .
当时，，在上单调递增，所以 .
当时，令，解得 ，
当，即时，在上恒成立，在 上单调递减，
所以 .
当，即 时，
当时，， 单调递增；
当时，， 单调递减.
， ，
若，则，即， ；
若，则，即，所以 .
当，即时，在上恒成立，在 上单调递增，
所以 .
综上，在区间上，当时， ；
当时， .
2.函数最值的综合应用
例2（1） 已知，，若存在， ，
使得成立，则实数 的取值范围为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 若存在,，使得成立，则 ，
由题得，当时，，当
时，，所以函数在上单调递增，在 上单调递减，
所以，
由题得，所以 .故选B.
（2）已知，若对于任意的 ，不等式
恒成立，则 的最小值为___.
[解析] 因为 ，所以
可化为 ，
设，则 ，
所以在上单调递增.
因为，，所以 ，，，
所以可化为 ，
所以，所以对恒成立，所以 ，
.
设，，则，
令 ，得，令，得，
所以在上单调递增，在 上单调递减，
所以，所以，即的最小值为 .
练习册
一、选择题
1.已知函数，且，函数在 上的最大值为20，
则 的值为( )
B
A.1 B.4 C. D.0
[解析] 由题意得，，则，解得 ，所以
，故在上单调递增，则 ，解得
，故选B.
2.已知函数在上有最小值，则实数 的取值
范围是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 在区间 上单调递增，由题意，只需
即解得，
此时存在，使得 在上单调递减，在上单调递增，
即函数在 上有极小值，也是最小值，所以的取值范围是 .故选A.
3.已知函数，若恒成立，则实数 的取值范围是 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] ，令，解得，令，解得 ，
故在上单调递减，在上单调递增，
故 .
若恒成立，则，解得 ，故选A.
4.已知函数，若在 上的最大值为5，
则在 上的最小值为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为,，函数 ，所以，
因为,，所以当 时，，，所以，
即在上单调递增，所以 在上的最大值为，
故，解得 .
当时，，，所以，即在 上单调
递增，所以在上的最小值为 ②，
将①代入②得 .故选B.
5.已知函数，若，，则实数 的最大值是 ( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由题意知，，使成立.
令，则，
当时，，则单调递增；
当时，，则 单调递减.
，故，则的最大值是 .故选B.
6.[2024·重庆八中高二月考]若函数在区间上的最小值为 ，则
的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
[解析] ，令，得，当时， ，
单调递减，当时，，单调递增，所以 在
上的最小值为.
若函数在区间上的最小值为 ，则有，即 .故选B.
7.[2024·河北张家口高二期末]若对于任意的 恒成立，
则正数 的最小值为( )
D
A. B.1 C. D.
[解析] 对于任意的,恒成立，即
恒成立.
设，则 ，令
，得，令，得，则在区间
上单调递增，在区间上单调递减，所以在 上的最大值是
.
要使恒成立，只需，解得，即 的
最小值为 ，故选D.
8.（多选题）[2024·湖北孝感高二期末] 已知函数 ，则 ( )
ACD
A.当时，为增函数 B.,
C.当时，的极小值点为0 D.,
[解析] 当时，由，得，所以 为增函
数，所以A正确.
当时，由，得，当 时，
，当时，，所以 的极小值点为0，所以C正确.
当时，，当时，，当时， ，
所以在上单调递减，在 上单调递增，所以
，当时，， 无最大值，所
以B错误，D正确.故选 .
9.（多选题）函数， 的最大值为6，最
小值为 ，则下列结论正确的是( )
AB
A.或 B.若，则
C.若，则 D.或
[解析] 因为， ，所以
.
当时，为常函数，不合题意；
当时，由 可得，由可得，所以函数
在 上单调递增，在上单调递减，此时，
则 ，
又因为， ，
所以，则 ，解得；
当时，由可得，由可得 ，
所以函数在上单调递减，在 上单调递增，此时
，解得 ，
又因为， ，
所以，则 ，解得
.
综上所述，或故A，B正确，C，D错误.故选 .
二、填空题
10.若函数， 的最大值为10,则其最小值
为_____.
[解析] ，由,解得 或
,,, ,
,解得,
.
11.[2024·江苏南京九中高二期末] 已知对任意 都成立，
则实数 的最小值是___.
[解析] 因为，所以可等价变形为 .
令,，则，
由 得，则函数在上单调递增，
由得 ，则函数在上单调递减，
所以当时， ，
故，即的最小值为 .
12.已知函数是上的增函数，则 的取值范围为______.
[解析] 因为函数是上的增函数，所以 ，
即恒成立.
令，则，令，得 ，
当时，，单调递增；
当时，， 单调递减.
所以，要使恒成立，则 .
三、解答题
13.[2024·长沙雅礼中学高二期中] 已知函数 .
（1）若，求函数的图象在 处的切线方程；
解:当时，,, ，所以
，
又，则函数的图象在 处的切线方程为
，即 .
（2）讨论函数 的最大值.
解:当时，，此时函数在 上单调递增，无最大值.
当时，由，可得 .
当时，，此时函数 单调递增；
当时，，此时函数 单调递减.
所以 .
综上，当时，函数无最大值；当时， .
14.已知1是函数的极值点， 的图象在
处的切线与直线 垂直.
（1）求， 的值；
解:依题意，的图象在处的切线的斜率为 ，
，， ，
所以， ，经检验符合题意.
（2）若函数在上有最大值2，在 上有最小值和最大值，求实
数 的取值范围.
又在上有最大值和最小值，在 上单调递增，
所以 .
解:由（1）得， ，
当时，， 的变化情况如下表所示.
1 2
0 - 0
单调递增 单调递减 单调递增
所以在上单调递增，在上单调递减，在 上单调递增，
所以当时，，所以 ，
所以当时， ，
15.已知函数，若对任意 恒成立，则
的最大值为___.
1
[解析] 由题意可知，对任意恒成立，
即 对任意恒成立.
令， ,所以问题转化为对任意
恒成立.
，令 ，得，则在
上单调递增，在上单调递减，且 .
作出曲线与直线,如图所示.
注意到为直线在 轴上的截距，
由图可知， 的最大值为1.
16.[2024·浙江宁波高二期中] 已知函数 .
（1）讨论函数 的极值；
解:易知， ,
当时，，函数在 上单调递减，无极值.
当时，令，得，当时，， 单调递减；
当时，，单调递增.
所以在 处取得极小值， 无极大值.
（2）证明：当时，，使得 .
证明：由（1）可知，当时，在处取得最小值 ，
若，使得 ，只需
.
令， ,则
，
所以当时，， 单调递增，
当时，， 单调递减，
故 ，
所以，使得 .第3课时 含参函数的最大(小)值问题
1.B [解析] 由题意得,f'(x)=3ax2,则f'(1)=3a=6,解得a=2,所以f'(x)=6x2≥0,故f(x)在[1,2]上单调递增,则f(2)=2×23+c=20,解得c=4,故选B.
2.A [解析] f'(x)=ex+3x2+(a-3)在区间(0,1)上单调递增,由题意,只需即解得-e
3.A [解析] f'(x)=ex-1,令f'(x)>0,解得x>0,令f'(x)<0,解得x<0,故f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故f(x)min=f (0)=1+a.若f(x)>0恒成立,则1+a>0,解得a>-1,故选A.
4.B [解析] 因为a>0,b>0,函数f(x)=ax3+bx+3x,所以f'(x)=3ax2+b+3xln 3,因为a>0,b>0,所以当0≤x≤1时,3ax2≥0,3xln 3>0,所以f'(x)>0,即f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)在[0,1]上的最大值为f(1),故f(1)=a+b+3=5,解得a+b=2①.当-1≤x≤0时,3ax2≥0,3xln 3>0,所以f'(x)>0,即f(x)在[-1,0]上单调递增,所以f(x)在[-1,0]上的最小值为f(-1)=-a-b+=-(a+b)+②,将①代入②得f(-1)=-2+=-.故选B.
5.B [解析] 由题意知, x0∈R,使k≤成立.令g(x)=,则g'(x)=2·,∴当x<1时,g'(x)>0,则g(x)单调递增;当x>1时,g'(x)<0,则g(x)单调递减.∴g(x)≤g(1)=,故k≤,则k的最大值是.故选B.
6.B [解析] f'(x)=,令f'(x)=0,得x=,当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在上的最小值为f=2e.若函数f(x)=在区间上的最小值为2e,则有∈,即a≥.故选B.
7.D [解析] 对于任意的x>-2,x+ln a≥ln(x+2)恒成立,即ln a≥ln(x+2)-x恒成立.设g(x)=ln(x+2)-x(x>-2),则g'(x)=-1=-,令g'(x)>0,得-2-1,则g(x)在区间(-2,-1)上单调递增,在区间(-1,+∞)上单调递减,所以g(x)在(-2,+∞)上的最大值是g(-1)=1.要使ln a≥ln(x+2)-x恒成立,只需ln a≥1,解得a≥e,即a的最小值为e,故选D.
8.ACD [解析] 当a≤0时,由f(x)=ex-ax,得f'(x)=ex-a>0,所以f(x)为增函数,所以A正确.当a=1时,由f'(x)=ex-1=0,得x=0,当x<0时,f'(x)<0,当x>0时,f'(x)>0,所以f(x)的极小值点为0,所以C正确.当a>0时,f'(x)=ex-a,当xln a时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(ln a)=a-aln a,当a=1时,f(x)min=a,f(x)无最大值,所以B错误,D正确.故选ACD.
9.AB [解析] 因为g(x)=2ax3-12ax2+2b,x∈[-1,2],所以g'(x)=6ax2-24ax=6ax(x-4).
当a=0时,g(x)=2b为常函数,不合题意;当a>0时,由g'(x)>0可得-1≤x<0,由g'(x)<0可得0g(2),则g(x)min=g(2)=2b-32a=6-32a=-58,解得a=2;当a<0时,由g'(x)<0可得-1≤x<0,由g'(x)>0可得010.-71 [解析] f'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1),由f'(x)=0,解得x=3或x=-1.∵f(-4)=k-76,f(3)=k-27,f(-1)=k+5,f(4)=k-20,∴f(x)max=k+5=10,解得k=5,∴f(x)min=k-76=5-76=-71.
11. [解析] 因为x∈,所以-1+2x≥0可等价变形为a≥x2-2x3.令f(x)=x2-2x3,x∈,则f'(x)=2x-6x2=2x(1-3x),由f'(x)>0得012.a≥ [解析] 因为函数f(x)=aex-x2是R上的增函数,所以f'(x)=aex-2x≥0,即a≥恒成立.令g(x)=,则g'(x)=,令g'(x)=0,得x=1,当x∈(-∞,1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减.所以g(x)max=g(1)=,要使a≥恒成立,则a≥.
13.解:(1)当a=3时,f(x)=ln x-3x-15,x∈(0,+∞),f'(x)=-3=,所以f'(1)=-2,又f(1)=-18,则函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y+18=-2(x-1),即2x+y+16=0.
(2)当a≤0时,f'(x)=-a>0,此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,无最大值.
当a>0时,由f'(x)=-a==0,可得x=.
当00,此时函数f(x)单调递增;
当x>时,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减.所以f(x)max=f=2-ln a-2a2.
综上,当a≤0时,函数f(x)无最大值;当a>0时,f(x)max=2-ln a-2a2.
14.解:(1)依题意,f(x)的图象在x=0处的切线的斜率为-3,
f'(x)=3ax2+b,f'(1)=3a+b=0,f'(0)=b=-3,
所以a=1,b=-3,经检验符合题意.
(2)由(1)得f(x)=x3-3x+c,f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
当x∈[-2,2]时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示.
x -2 (-2,-1) -1 (-1,1) 1 (1,2) 2
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) c-2 单调递增 c+2 单调递减 c-2 单调递增 c+2
所以f(x)在(-2,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增,
所以当x∈[-2,2]时,f(x)max=f(-1)=f(2)=c+2=2,所以c=0,
所以当x∈[-2,2]时,f(x)min=f(1)=f(-2)=-2,
又f(x)在(-2,m)上有最大值和最小值,f(x)在[2,+∞)上单调递增,
所以115.1 [解析] 由题意可知,ln x≤ax2-bx对任意x∈(0,+∞)恒成立,即≤ax-b对任意x∈(0,+∞)恒成立.令g(x)=,h(x)=ax-b=a,所以问题转化为g(x)≤h(x)对任意x∈(0,+∞)恒成立.g'(x)=,令g'(x)=0,得x=e,则g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,且g(1)=0.作出曲线y=g(x)与直线y=h(x),如图所示.注意到为直线y=h(x)在x轴上的截距,由图可知,的最大值为1.
16.解:(1)易知x>0,f'(x)=a-=,
当a≤0时,f'(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,无极值.
当a>0时,令f'(x)=0,得x=,当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)在x=处取得极小值f=1+ln a,f(x)无极大值.
(2)证明:由(1)可知,当0若 x∈(0,+∞),使得f(x)<3a-a2-ln 2,只需a2-3a+1+ln a+ln 2<0.
令g(a)=a2-3a+1+ln a+ln 2,0所以当a∈时,g'(a)>0,g(a)单调递增,
当a∈时,g'(a)<0,g(a)单调递减,
故g(a)max=g=-+1+ln +ln 2=-<0,
所以 x∈(0,+∞),使得f(x)<3a-a2-ln 2.第3课时 含参函数的最大(小)值问题
【课中探究】
探究点一
例1 解:f'(x)=3x2-2ax,令f'(x)=0,解得x=0或x=.
①当a=0时,f(x)=x3在[0,2]上单调递增,所以f(x)max = f(2)=8.
②当≥2,即a≥3时,f(x)在[0,2]上单调递减,所以f(x)max=f(0)=-a.
③当0<<2,即0(i)若f(0)≥f(2),即2≤a<3,则f(x)max =f(0)=-a;
(ii)若f(0)综上,当0≤a<2时,f(x)max=f(2)=8-5a;当a≥2时,f(x)max =f(0)=-a.
变式1 解:(1)因为f(x)=2ln x-ax2+b,所以该函数的定义域为(0,+∞),f'(x)=-2ax.因为函数f(x)=2ln x-ax2+b在x=1处取得极值1,所以解得则f(x)=2ln x-x2+2,所以f'(x)=-2x=,令f'(x)=0,可得x=1,列表如下:
x (0,1) 1 (1,+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) 单调递增 1 单调递减
所以函数f(x)在x=1处取得极大值,符合题意,故a=1,b=2.
(2)由(1)可知,函数f(x)在上单调递增,在(1,e]上单调递减,所以f(x)max=f(1)=2ln 1-1+2=1,又因为f=2ln-+2=-,f(e)=2ln e-e2+2=4-e2,所以f>f(e),故f(x)min=f(e)=4-e2.
变式2 解:g(x)的定义域为(0,+∞),
g'(x)=+2x-(a+2)==.
①当≤1,即a≤2时,g(x)在[1,e]上单调递增,所以h(a)=g(1)=-a-1;
②当1<③当≥e,即a≥2e时,g(x)在[1,e]上单调递减,
所以h(a)=g(e)=(1-e)a+e2-2e.
综上,h(a)=
探究点二
例2 解:(1)因为f(x)=ln x-,所以f'(x)=,令f'(x)=0,解得x=-a.
(i)当-a≥e,即a≤-e时,f'(x)≤0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上单调递减,所以f(x)min=f(e)=1-=,所以a=-(舍去);
(ii)当1<-a0可得-a综上,a=-.
(2)函数f(x)=x3-4x+4,求导得f'(x)=x2-4,即f'(x)=(x-2)(x+2),当x<-2或x>2时,f'(x)>0,当-2所以当x=-2时,函数f(x)取得极大值f(-2)=,当x=2时,函数f(x)取得极小值f(2)=-.由f(x)=,即x3-4x+4=,得x3-12x-16=0,即(x+2)2(x-4)=0,解得x=-2或x=4.由f(x)=-,即x3-4x+4=-,得x3-12x+16=0,即(x-2)2(x+4)=0,解得x=2或x=-4.作出函数f(x)的部分图象及直线y=,y=-,如图.
因为f(x)在区间(a,a+5)上既有最大值又有最小值,则有解得-3变式 C [解析] f'(x)=x-a-=,若函数f(x)在区间(1,2)内有最小值,则此时函数f(x)必定存在极值点.令f'(x)=0,得方程x2-ax-1=0的判别式Δ=a2+4>0,可设x1,x2(x1探究点三
例3 (1)C (2) [解析] (1)若存在x∈,使得f(x)≤0,即f(x)=ln x-x+m≤0,所以m≤x-ln x.令g(x)=x-ln x,x∈,则g'(x)=1-=,令g'(x)>0,解得x∈(1,e],令g'(x)<0,解得x∈,所以g(x)在(1,e]上单调递增,在上单调递减,所以g(x)max=max,又因为g(e)=e-1,g=-ln =+1,且e-1>+1,所以g(x)max=e-1,所以m≤e-1.故选C.
(2)对任意的x>0,不等式ln x-ax≤0恒成立,即对任意的x>0,不等式a≥恒成立.令f(x)=,x>0,则f'(x)=,所以当00,f(x)单调递增,当x>e时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)max=f(e)=,所以a≥,即实数a的取值范围为.
变式 解:(1)对函数f(x)求导可得f'(x)=ex-a.
当a≤0时,f'(x)>0恒成立,可得函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间.
当a>0时,令f'(x)<0,可得x令f'(x)>0,可得x>ln a,所以函数f(x)的单调递增区间为(ln a,+∞).
综上所述,当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间;当a>0时,f(x)的单调递增区间为(ln a,+∞),单调递减区间为(-∞,ln a).
(2)方法一:当x∈(-1,+∞)时,f(x)≥0恒成立等价于a≤恒成立.
令g(x)=,x∈(-1,+∞),则g'(x)=,
令g'(x)<0,可得x∈(-1,0),即g(x)在(-1,0)上单调递减;
令g'(x)>0,可得x∈(0,+∞),即g(x)在(0,+∞)上单调递增.
从而可得函数g(x)的最小值为g(0)=1,则a≤1,
故a的取值范围是(-∞,1].
方法二:由(1)知,当a≤0时,函数f(x)在(-1,+∞)上单调递增,
所以f(x)>f(-1)=e-1>0,满足题意;
当0所以f(x)>f(-1)=e-1>0,满足题意;
当a>e-1时,ln a>-1,所以函数f(x)在(-1,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增,
所以f(x)min=f(ln a)=a-a(ln a+1)=-aln a,
因为当x∈(-1,+∞)时,f(x)≥0恒成立,所以f(x)min≥0,即-aln a≥0,得ln a≤0,可得e-1综上,实数a的取值范围是(-∞,1].
拓展 C [解析] 对于f(x),当00,当x≥1时,x-1≥0,ex-e≥0,∴f(x)≥0,当且仅当x=1时,等号成立,∴当x>0时,f(x)min=0.依题意,当x1>0,x2>0时,不等式f(x1)≥g(x2)恒成立,故当x>0时,0≥g(x),∴当x>0时,g(x)=ln x-ax≤0,即a≥(x>0).令h(x)=,则h'(x)=,当00,h(x)单调递增,当x>e时,h'(x)<0,h(x)单调递减,∴h(x)max=h(e)==,∴a≥,∴a的最小值为.故选C.第3课时 含参函数的最大(小)值问题
【学习目标】
1.能利用导数求简单含参函数的最值问题.
2.能根据最值求参数的值或范围问题.
3.初步探究与最值有关的恒成立与能成立问题.
◆ 探究点一 求含参函数的最值
例1 设a≥0,已知函数f(x)=x3-ax2-a,求函数f(x)在[0,2]上的最大值.
变式1 已知函数f(x)=2ln x-ax2+b在x=1处取得极值1.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)在上的最大值和最小值.
变式2 已知函数g(x)=aln x+x2-(a+2)x(a∈R),求g(x)在区间[1,e]上的最小值h(a).
[素养小结]
含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件求出参数,从而化为不含参数的函数的最值问题.
(2)对于不能求出参数值的问题,则要对参数进行讨论,其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数大(小)于等于0且不恒等于0,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得;若导函数的值有正有负,则求出极值点后求极值,再与端点值比较后确定最值.
◆ 探究点二 由最值求参数的值或范围
例2 (1)已知函数f(x)=ln x-.当a<-1时,若f(x)在[1,e]上的最小值为,求实数a的值.
(2)已知函数f(x)=x3-4x+4在区间(a,a+5)上既有最大值又有最小值,求a的取值范围.
变式 若函数f(x)=x2-ax-ln x在区间(1,2)内有最小值,则实数a的取值范围为 ( )
A.(0,1) B.
C. D.
[素养小结]
已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,探索最值点,根据已知最值列方程(不等式)解决问题.
◆ 探究点三 不等式恒(能)成立求参数
例3 (1)[2024·北京十二中高二期末] 已知函数f(x)=ln x-x+m,若存在x∈,使得f(x)≤0,则m的取值范围是 ( )
A.(-∞,1]
B.
C.(-∞,e-1]
D.(-∞,e]
(2)[2024·重庆七校高二联考] 对任意的x>0,不等式ln x-ax≤0恒成立,则实数a的取值范围为 .
变式 [2024·深圳盐田高级中学高二期末] 已知函数f(x)=ex-a(x+1).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当x∈(-1,+∞)时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
[素养小结]
(1)证明不等式的一般思路:证明不等式可以通过构造函数将不等式问题等价转化为函数最值问题,如要证明不等式f(x)>g(x)成立,可以构造函数h(x)=f(x)-g(x),由h'(x)判断h(x)的单调性,确定h(x)的最小值,从而证明结论.
(2)不等式恒成立时求参数的取值范围问题是一种常见的题型,这种题型的解法有多种,其中最常用的方法就是分离参数,然后转化为求函数的最值问题,在求函数最值时,可以借助导数求解.
拓展 设函数f(x)=(x-1)(ex-e),g(x)=ln x-ax,其中a∈R.若对任意的正实数x1,x2,不等式f(x1)≥g(x2)恒成立,则a的最小值为 ( )
A.0 B.1
C. D.e第3课时 含参函数的最大(小)值问题
一、选择题
1.已知函数f(x)=ax3+c,且f'(1)=6,函数f(x)在[1,2]上的最大值为20,则c的值为 ( )
A.1 B.4 C.-1 D.0
2.已知函数f(x)=ex+x3+(a-3)x+1在(0,1)上有最小值,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-e,2) B.(-e,1-e)
C.(1,2) D.(-∞,1-e)
3. 已知函数f(x)=ex-x+a,若f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-1,+∞) B.(-∞,-1)
C.[-1,+∞) D.(-∞,-1]
4.已知函数f(x)=ax3+bx+3x(a>0,b>0),若f(x)在[0,1]上的最大值为5,则f(x)在[-1,0]上的最小值为 ( )
A.-5 B.- C. D.
5.已知函数f(x)=kex-2x,若 x0∈R,f(x0)≤0,则实数k的最大值是 ( )
A. B. C. D.
6.[2024·重庆八中高二月考] 若函数f(x)=在区间上的最小值为2e,则a的取值范围是 ( )
A.C.≤a≤1 D.a≥1
7.[2024·河北张家口高二期末] 若x+ln a≥ln(x+2)对于任意的x>-2恒成立,则正数a的最小值为 ( )
A.e-2 B.1 C. D.e
8.(多选题)[2024·湖北孝感高二期末] 已知函数f(x)=ex-ax,则 ( )
A.当a≤0时,f(x)为增函数
B. a∈(0,+∞),f(x)max=a
C.当a=1时,f(x)的极小值点为0
D. a∈(0,+∞),f(x)min=a
9.(多选题)函数g(x)=2ax3-12ax2+2b,x∈[-1,2]的最大值为6,最小值为-58,则下列结论正确的是 ( )
A.a+b=5或a+b=-31
B.若a=2,则b=3
C.若a<0,则b=6
D.a+b=-27或a+b=1
二、填空题
10.若函数f(x)=x3-3x2-9x+k,x∈[-4,4]的最大值为10,则其最小值为 .
11.[2024·江苏南京九中高二期末] 已知-1+2x≥0对任意x∈都成立,则实数a的最小值是 .
12.已知函数f(x)=aex-x2是R上的增函数,则a的取值范围为 .
三、解答题
13.[2024·长沙雅礼中学高二期中] 已知函数f(x)=ln x-ax-2a2+3(a∈R).
(1)若a=3,求函数f(x)的图象在x=1处的切线方程;
(2)讨论函数f(x)的最大值.
14.已知1是函数f(x)=ax3+bx+c(a,b,c∈R)的极值点,f(x)的图象在x=0处的切线与直线y=x垂直.
(1)求a,b的值;
(2)若函数f(x)在[-2,2]上有最大值2,在(-2,m)上有最小值和最大值,求实数m的取值范围.
15.已知函数f(x)=ln x-ax2+bx,若f(x)≤0对任意x∈(0,+∞)恒成立,则的最大值为 .
16.[2024·浙江宁波高二期中] 已知函数f(x)=ax-ln x.
(1)讨论函数f(x)的极值;
(2)证明:当0