(共72张PPT)
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.2 函数的极值与最大（小）值
第4课时 导数与函数的零点与实际应用
探究点一 利用导数研究函数的零点个数
探究点二 由函数的零点个数求参数范围
探究点三 利润的最值问题
探究点四 成本最低、费用最省问题
【学习目标】
1.能利用导数研究函数的性质与变化规律,并会解决与之有关的方程、不等
式问题.
2.能利用导数解决某些简单的实际问题.
3.能将生活中的优化问题转化为求函数的最大（小）值问题,并熟悉利用导
数方法解决优化问题的基本步骤.
知识点一 利用导数研究函数的零点与图象
画函数 的大致图象的步骤：
（1）求出函数 的定义域；
（2）求导数及函数 的零点；
（3）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出 在各区
间上的正负，并得出 的单调性与极值；
（4）确定 的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
（5）画出 的大致图象.
注：可以根据函数极值的范围判断函数的零点.
知识点二 生活中的优化问题的概念
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为
______问题.所谓生活中的优化问题,其实就是求最值或求取得最值时所满足的条
件的实际应用问题,导数是求最值的有力工具,因此和函数有关的优化问题可利用
导数来研究.
优化
知识点三 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
利用导数解决优化问题的基本思路是:
由此思路可得用导数解决优化问题的步骤:
（1）分析实际问题中各量之间的关系,构建实际问题的__________,进而求出函
数解析式 ;
（2）求函数的导数 ,解方程__________;
（3）比较函数在区间端点和使 的点的函数值的大小,确定最值或取得
最值时所满足的条件;
（4）将问题还原到实际问题中作答.
函数模型
探究点一 利用导数研究函数的零点个数
例1（1） 函数在 上的零点个数为( )
A
A.1 B.2 C.3 D.4
单调递增；当时， ，单调递减.
又，， ，在同一坐标系中
作出与在 上的图象，如图，由图
可知两图象有1个交点，则函数在
上的零点个数为1.故选A.
[解析] 函数在 上的零点个数即为关于的方程
在 上解的个数.
令，，则， ，则当时，
（2）[2024·长沙长郡中学高二期中] 已知函数 ，
当时，讨论函数 的零点个数，并说明理由.
解:的定义域为，，令 ，解得
或 .
①当时，与在区间 上的变化情况如表所示：
1
0 - 0
单调递增 单调递减 单调递增
所以在上单调递增，在上单调递减，在 上单调递增.
此时 ，
又，所以 有一个零点.
②当时，，由，解得或 （舍），所以
有一个零点.
③当时，与在区间 上的变化情况如表所示：
1
- 0
单调递减 单调递增
此时 .
当时，，所以 无零点；
当时，，所以 有一个零点；
当时， ，
,
，由函数零点存在定理
知， 有两个零点.
综上所述，当或时， 有一个零点；
当时， 有两个零点；
当时， 无零点.
变式（1） 函数 的零点个数为( )
B
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 由 ，得
，当且
仅当,即 , 时，等号成立，所以
在上是增函数.
又因为 ，所以函数 有且仅有一个零点.故选B.
（2）（多选题）已知函数,下列关于方程
的解的个数说法正确的是( )
ABC
A.当时,方程 有1个解
B.当或时,方程 有2个解
C.当时,方程 有3个解
D.方程 可能有0个解，2个解，3个解
[解析] 由,得.
令 ,解得或.
当时,,当时, ,
所以函数的极大值为,极小值为,
当 时, ,当 时, .
所以当 时,方程的解的个数为1;
当或时,方程 的解的个数为2;
当时,方程的解的个数为3.故选 .
［素养小结］
利用导数研究函数的零点个数，一般优先考虑定义域，利用导数研究函数的单
调性、极值，结合区间端点值，画出函数的大致图象，数形结合判断函数零点
的个数.
探究点二 由函数的零点个数求参数范围
例2（1） 若函数有唯一零点，则实数 的取值范围为 ( )
D
A.或2 B. C. D.或
[解析] ，当或时，，当 时，
，因此在和上单调递增，在 上单调递减，
所以的极大值为，极小值为.
若 有唯一零点，则或，解得或 .故选D.
（2）已知函数若函数 有三个零点，则
( )
D
A. B. C. D.
[解析] 要使有三个零点，则方程 有三个解，则的图象与
的图象有三个交点.
当时， ，则，可得在 上单调递减，
在 上单调递增， 当时，有最小值 .
当时，,当 时，，
当 时， ，
当时， 单调递增，
的大致图象如图.
由图可知，要使函数有三个零点，
则 ，故选D.
变式（1） 已知函数有两个零点，则实数 的取值范围是
( )
C
A. B. C. D.
[解析] 方法一： 有两个零点，即方程有两根，
即方程 有两根.
设，，则，令 ，得.
令，得，则在 上单调递增，且；
令，得 ，则在上单调递减，
且当时，
方法二： 有两个零点，
即方程有两根.
设 ，，则，令 ，得.
令，得，则 在上单调递增，且 ；
令，得，则在 上单调递减，且当时，
，的图象如图所示.
由图可知，当时，
函数 有两个零点.
， 的图象如图所示.
设直线与 的图象相切于点，
则 解得.
由图可知，当时，函数 有两个零点.故选C.
（2）若函数有三个不同的零点，求实数 的取值范围.
解：函数有三个不同的零点，等价于 有三个不同的解，
因为，所以只需有两个非零解.
令 ，则，
当时，，当时， ，
所以在上单调递增，在上单调递减，且当 时，
，当时，，所以当 有两个非零解
时，，故实数的取值范围是 .
［素养小结］
讨论函数零点的个数或已知零点个数求参数时，主要应用数形结合思想.利用导
数，确定函数的单调性、极值（最值），画出函数草图,结合图象确定零点个数
或参数应该满足的条件.
探究点三 利润的最值问题
例3 [2024·福建宁德高二期中] 某村拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过
市场调研，生产该农机产品每年需投入固定成本10万元，每年需另投入流动成
本万元，并且与成正比（其中 （台）表示产量，比例系数为整
数），已知当生产20台该产品时，约需要流动成本0.7万元，该工厂产销平衡，
每件产品的售价（万元）与产量 （台）的函数关系为
（其中）.记当年销售该产品 台获得的利润
（利润销售收入-生产成本）为万元.（参考数据： ，
， ）
（1）求函数 的解析式.
解：设 ，由当生产20台该产品时，约需要流动成本0.7万元，
得，可得， ，
.
（2）当产量为何值时，该工厂的年利润 最大？最大利润是多少
（结果保留一位小数）？
解： 由（1）得 ，则
，
, 当 时，，单调递增，
当时，， 单调递减，
当时， 取得极大值也是最大值，且
， 当产量为50台时，年
利润 最大，最大利润约是24.4万元.
变式 滑县木版画是河南省传统的手工艺品，创始于明朝初期，距今已有六百
多年的历史了，滑县木版画制作工艺考究，至今一直都是纯手工制作，颜色精
细淡雅，色彩和谐，人物造型鲜活，极具当地的民俗特色.张华的伯伯制作滑县
木版画并出售，寒假期间张华通过调研得知伯伯制作的A系列木版画的成本为
30元/套，每月的销售量（单位：套）与销售价格 （单位：元/套）近似满
足关系式，其中 ，则当A系列木版画的销售价格定
为____元/套时，月利润最大.
50
[解析] 设A系列木版画的月利润为 （单位：元），则
， ，
可得 ，
令，可得 ，
当时，，当时， ，
故在上单调递增，在 上单调递减，
所以当时， 取得极大值，也是最大值，
即当A系列木版画销售价格定为50元/套时，月利润最大.
［素养小结］
在求实际问题的最大值或最小值时,一般先找出函数关系式,并确定其定义域,再
利用求函数最值的方法求解,注意结果应与实际情况相符合.如果连续函数在给定
区间内只有一个极值点,那么根据实际意义该极值点就是最值点.
探究点四 成本最低、费用最省问题
例4 某工厂拟建一座平面图（如图所示）为矩形且面积为200平方米的三级污
水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，已知池外周壁建造价格为
每米400元，中间两道隔墙建造价格为每米248元，池底建造价格为每平方米80
元（池壁厚度忽略不计，且池无盖）.
（1）写出总造价（单位：元）与污水处理池的长 （单位：米）的函数解析式，
并指出其定义域.
解：若污水处理池的长为米，则宽为 米，根据题意得 解得
.
由题知 .
（2）污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低
总造价.
解：由（1）知，令，解得或 （舍去）.
因为函数的定义域为，且当时， ，所以该函数在定义
域内为减函数，所以当时， 取得最小值，最小值为
.
故当污水处理池的长为16米，宽为 米时，
污水处理池的总造价最低，最低总造价为45 000元.
变式 [2024·北京西城区高二期末] 某种型号轮船每小时的运输成本
（单位：元）由可变部分和固定部分组成.其中，可变部分成本与航行速度的立
方成正比，且当速度为 时，其可变部分成本为每小时8元；固定部分成
本为每小时128元.
（1）设该轮船的航行速度为，试将其每小时的运输成本表示为 的函数；
解：设该轮船的航行速度为时，其每小时的可变成本为 （单位：元），
则，其中.
由题意得，解得，故 .
所以每小时的运输成本，其中 .
（2）当该轮船的航行速度为多少时，其每千米的运输成本 （单位：元）最低.
解：该轮船每千米的运输成本 ，
其中
，令，解得 .
由，解得，故在区间 上单调递增；
由，解得，故在区间 上单调递减.
所以当时，取得最小值，且 ，
故当该轮船的航行速度为时，其每千米的运输成本 最低，且为9.6元.
［素养小结］
解决实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题时，都需
要利用导数求解相应函数的最小值.根据 求出极值点（注意根据实际意
义舍去不合适的极值点）后，结合函数的定义域求函数的最小值.
1.在实际问题中,要由实际问题的背景构造出相应的函数关系式 ,并注明
其定义域,当在定义域内的图象是连续的曲线且 在定义域内只有一
个解且是极值点时,最值一定存在,使取得最值的点即为函数 的最值点.
2.解决优化问题的实质是将实际问题化归为函数的最值问题来处理,其探究过程
是一个典型的数学建模过程.求目标函数的最值,要根据函数式的特点,用适当的
方法求解,有时用基本不等式或二次函数图象求最值比用导数更方便.
1.三次函数的零点问题
函数,则 .
（1）当时，若 且不等式
恒成立，则函数 单调递增，所以三次函
数 仅有一个零点，如图.
（2）当时，由于方程有两个不同的实根, ，不妨
设，可知当时，为三次函数的极大值点，为三次函数 的
极小值点，且在区间和上单调递增，在区间 上单调递
减，此时结合函数的图象可知：
①若，即函数 的极大值
和极小值同号，所以函数有且仅有一个零点；
②若，即函数 的极大值
和极小值异号，函数图象与 轴必有三个交点，所
以函数有三个不同的零点；
③若，则与 中有且只
有一个值为0，所以函数 有两个不同的零点.
2.用料最省问题
例1 圆柱形金属饮料罐的体积 一定时,它的高与底面半径应怎样选取,才能使
所用材料最省
解:设圆柱的高为,底面半径为,则表面积 .
由,得 ,
则 .
令,解得 ,
从而 ,
即 .
当时，；当时， .
所以当时， 取得极小值,也是最小值,
故当圆柱形金属饮料罐的高与底面直径相等时,所用材料最省.
3.利润最大问题
例2 某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生
产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产 万件，需另投入流动成本
万元，当年产量小于7万件时， ，当年产量不小于7万
件时， .已知每件产品售价为6元，若该同学生产的产
品当年全部售完，则理论上该同学的这一产品所获年利润的最大值是___万元.
（注：年利润 年销售收入-固定成本-流动成本）
5
[解析] 设年利润为万元，根据题意可得，当 时，
，
当时， ，
所以
当 时，
；
当时，，，所以当时， ，
函数单调递增,当时，，函数 单调递减,
所以当时，函数取得最大值.
因为 ，所以当时，函数 取得最大值5，
即年利润的最大值是5万元.
4.费用最省问题
例3 [2024·唐山五校高二联考] 如图，某企业有
甲、乙、丙三个工厂，甲、乙厂分别位于笔直河
岸的岸边， 处，丙厂与甲、乙厂在河的同侧，
位于处，垂直于河岸，垂足为，且与相距20千米，与相距60千米，
与相距20千米. 现要在此岸边（不包括端点）之间建一个物流供货站 ，假设运
输时从供货站到甲、乙、丙三厂均沿直线行驶，从供货站到甲、乙厂的运输费用均
为每千米元，从供货站到丙厂的运输费用是每千米元，问：供货站 建
在岸边何处才能使总运输费用最省？
解:根据题意，设供货站建在与相距千米处， ，此时
， ，.
设总运输费用为元，则 ，
则 .
令，可得 ；
令，可得.
所以函数在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数在处取得最小值，此时 ， ，
即供货站建在岸边之间距乙厂 千米处时，总运输费用最省.
练习册
一、选择题
1.函数 的零点所在的区间为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 函数 的图象是一条连续不断的曲线，
，所以在定义域 上为增函数.
因为， ,所以
.
由函数零点存在定理可知，函数 的零点所在的区间为 .
2.现做一个容积为256的方底无盖水箱，则所用材料最省时，它的高为( )
A
A.4 B.6 C.4.5 D.8
[解析] 设底面边长为，高为，则，， 表面积
，.
令 ，解得，易知当时所用材料最省，此时 .
3.函数 的零点个数是 ( )
C
A.3 B.2 C.1 D.0
[解析] ，故，
由,得或 ；由,得.
故函数在和上单调递增，在 上单调递减，
所以函数的极大值为 ，极小值为
，
又 ，所以,
所以函数有1个零点，且这个零点在区间 内.故选C.
4.已知，若关于的方程在 上有实根，则实数
的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由，得关于的方程在 上有实
根，令,，则 ，
当时，，单调递增，当时，， 单
调递减，所以 ，
而,所以当时， ，所以实数
的取值范围是 .故选A.
5.已知函数有两个不同的零点，则实数 的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
[解析] ，由，得，则在 上单调递增；
由，得，则在 上单调递减.
所以，
又当时， ，当 时，，
所以解得 ，故选C.
6.已知函数与 ，则它们的图象的交点个数为( )
B
A.0 B.1 C.2 D.不确定
[解析] 令，则，由 ，
得.
当时，；当时，
当时， 取得最小值，
只有一个零点，即与 的图象只有1个交点.故选B.
7.[2024·江苏连云港高二期末]设为实数，若关于的方程 有两
个解，则 的取值范围为( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 令，则当时，；当 时，
，当时，， 单调递增；当时，
，单调递减.
，且当时，，当 时，
关于的方程 有两个解，的图象与的图象有
两个交点，，故 的取值范围为 .故选C.
8.（多选题）已知函数 ，则下列说法正确的是( )
ABD
A.当时， 有两个零点
B.当时， 有极小值点
C.当时， 没有零点
D.不论为何实数， 总存在单调递增区间
[解析] ，当时，，在 上是增函数.
当时，由可得，由可得,所以 在
上单调递减，在上单调递增,所以是 的极小值点，
故B正确.
由上述可知，不论为何实数， 总存在单调递增区间，故D正确.
的零点个数等价于的图象与 的图象的交点个数.作
出曲线,如图所示.
设直线与曲线相切于点 ，则解得
所以直线与曲线相切.
由图可得，当 时，有一个零点，故C错误.
当时， 有两个零点，故A正确.故选 .
9.（多选题）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵
一些？高二某研究小组针对饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响进行了研究，
调查如下：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是
分，其中（单位：）是瓶子的半径.已知每出售 的饮料，制造商
可获利0.2分（不考虑瓶子的成本的前提下），且制造商能制作的瓶子的最大半
径为 .下列结论正确的有( )
（注： ；利润可为负数）
BCD
A.每瓶饮料的利润随着瓶子半径的增大而增大
B.当半径为 时，每瓶饮料的利润最大
C.当半径为 时，每瓶饮料的利润最小
D.当半径为 时，每瓶饮料的利润为0
[解析] 由已知得，每瓶饮料获得的利润为
， ，
则，所以当时， ，函
数单调递减，故A错误；
当时，，函数 单调递增，又，，
则当时，函数 取得最大值，故B正确；
当时，函数取得最小值，故C正确；
，故D正确.故选 .
二、填空题
10.一艘船从地到地，其燃料费与船速 的关系为
，要使燃料费最低，则 ____.
18
[解析] ，
，在上单调递增，
当时， 有最小值.
[解析] 令，可得，因为 ，所以，
即，所以 ，整理可得.
令，则 ，故当时，， 单调递增；
当时，，单调递减.
又当时， ，当时，，，
且当趋近于正无穷时， 趋近于0，
在同一坐标系中，作出与 的大致图象
如图所示，由图可知，与的图象在
上有2个交点，故 在 上有2个零点.
11.函数在 上的零点个数为___.
2
12.已知函数有零点，则实数 的取值范围是___________.
[解析] 函数的定义域为， ，
令，，则恒成立，在 上单
调递增，则，
当时，， 单调递增，
当时，，单调递减，
.
由函数有零点，可知，解得 .
三、解答题
13.已知函数在与 处都取得极值.
（1）求， 的值；
解:由得 ，依题意得
解得 此时
，
当或时，，当时，，所以 ，
是函数的极值点.故, .
（2）若方程有三个实数根，求实数 的取值范围.
解:由（1）知， ，令
，则，故 在
，上单调递增，在上单调递减，所以当 时，
取得极大值，当时，取得极小值 .
因为方程有三个实数根，所以函数 有三个零点，
又当 时， ，当 时， ，故只需
解得，所以实数的取值范围是 .
14.如图所示，某小区有一半径为，圆心角为 的
扇形空地.现欲对该地块进行改造，从弧上一点向
引垂线段，从点向引垂线段.在三角形 的
三边修建步行道.
（1）求步行道长度的最大值；
解：依题意，设，则 , ，
因此的周长 ，
显然，于是当，即时， ，
所以步行道长度的最大值是 .
（2）在三角形 内修建花圃，求花圃面积的最大值 .
解：由（1）中所设及，得 ，
因此的面积 ，
令 ， ，求导得
，
则当时，，函数单调递增，当 时，
，函数 单调递减，
于是当，即时， ，即
，
所以花圃面积的最大值为 .
15.[2024·广东茂名五校高二联考] 已知函数 ，若方程
有2个不同的实数根，则实数 的取值范围是_________________.
[解析] 函数 的定义域为，
求导得 ，
当或时，，当 或时，，
因此函数在 ,上单调递增，在, 上单调递减，
所以当时，取得极大值，
当 时，取得极小值，在 上恒有，
且当 时，，
当 从1的左侧无限趋近于1时， ，
当从1的右侧无限趋近于1时， ，
当 时， ，
函数的大致图象如图，观察图象知，当或 时，
直线与函数的图象有两个公共点，即方程 有两个不
同的实数根，所以实数的取值范围是 .
16.[2024·山西长治高二期末] 已知， .
（1）若过点作曲线的切线，切线的斜率为2，求 的值；
解:由题意可得，设切点坐标为 ，则切线斜
率，即 ，可得切线方程为
，
将， 代入可得，
整理得 .
令，则 ，
易知在上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
可得关于的方程的根为1，即，所以 .
（2）当时，讨论函数 的零点个数.
解:因为 ，所以
，可知在内单调递减，当 时，
，又在内单调递减，可知在 内单调递
减，所以在内单调递减，且, .
①当，即时，在内恒成立，可知在
内单调递增，则，当且仅当时，等号成立，所以 在
内有且仅有1个零点.
②当，即时，在内恒成立，可知 在
内单调递减，则，当且仅当时，等号成立，所以
在 内有且仅有1个零点.
③当即时，在内存在唯一零点 ，可知当
时，，当时，，则在 内单调
递增，在内单调递减，且，可知，可知 在
内有且仅有1个零点，且 .
当，即时，在 内有且仅有1个
零点；
当，即时，在 内没有零点.
综上所述，当时，在 内有且仅有1个零点；
当时，在 内有且仅有2个零点.第4课时 导数与函数的零点与实际应用
【学习目标】
1.能利用导数研究函数的性质与变化规律,并会解决与之有关的方程、不等式问题.
2.能利用导数解决某些简单的实际问题.
3.能将生活中的优化问题转化为求函数的最大(小)值问题,并熟悉利用导数方法解决优化问题的基本步骤.
◆ 知识点一 利用导数研究函数的零点与图象
画函数f(x)的大致图象的步骤:
(1)求出函数f(x)的定义域;
(2)求导数f'(x)及函数f'(x)的零点;
(3)用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各区间上的正负,并得出f(x)的单调性与极值;
(4)确定f(x)的图象所经过的一些特殊点,以及图象的变化趋势;
(5)画出f(x)的大致图象.
注:可以根据函数极值的范围判断函数的零点.
◆ 知识点二 生活中的优化问题的概念
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为 问题.所谓生活中的优化问题,其实就是求最值或求取得最值时所满足的条件的实际应用问题,导数是求最值的有力工具,因此和函数有关的优化问题可利用导数来研究.
◆ 知识点三 利用导数解决生活中的优化问题
的一般步骤
利用导数解决优化问题的基本思路是:
由此思路可得用导数解决优化问题的步骤:
(1)分析实际问题中各量之间的关系,构建实际问题的 ,进而求出函数解析式y=f(x);
(2)求函数f(x)的导数f'(x),解方程 ;
(3)比较函数在区间端点和使f'(x)=0的点的函数值的大小,确定最值或取得最值时所满足的条件;
(4)将问题还原到实际问题中作答.
◆ 探究点一 利用导数研究函数的零点个数
例1 (1)函数f(x)=exsin x-x+1在(0,π)上的零点个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)[2024·长沙长郡中学高二期中] 已知函数f(x)=x2-(a+1)x+aln x,当a<1时,讨论函数f(x)的零点个数,并说明理由.
变式 (1)函数f(x)=sin 2x-4sin x+3x的零点个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)(多选题)已知函数f(x)=2x3-6x2+7,下列关于方程f(x)=a(a∈R)的解的个数说法正确的是 ( )
A.当a∈(-∞,-1)∪(7,+∞)时,方程f(x)=a(a∈R)有1个解
B.当a=-1或a=7时,方程f(x)=a(a∈R)有2个解
C.当a∈(-1,7)时,方程f(x)=a(a∈R)有3个解
D.方程f(x)=a(a∈R)可能有0个解,2个解,3个解
[素养小结]
利用导数研究函数的零点个数,一般优先考虑定义域,利用导数研究函数的单调性、极值,结合区间端点值,画出函数的大致图象,数形结合判断函数零点的个数.
◆ 探究点二 由函数的零点个数求参数范围
例2 (1)若函数f(x)=x3-3x+a有唯一零点,则实数a的取值范围为 ( )
A.a=-2或2 B.a=2
C.-2
2
(2)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有三个零点,则 ( )
A.-eC.-e变式 (1)已知函数f(x)=ln x-ax2有两个零点,则实数a的取值范围是 ( )
A.(0,+∞) B.
C. D.
(2)若函数f(x)=-ax有三个不同的零点,求实数a的取值范围.
[素养小结]
讨论函数零点的个数或已知零点个数求参数时,主要应用数形结合思想.利用导数,确定函数的单调性、极值(最值),画出函数草图,结合图象确定零点个数或参数应该满足的条件.
◆ 探究点三 利润的最值问题
例3 [2024·福建宁德高二期中] 某村拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研,生产该农机产品每年需投入固定成本10万元,每年需另投入流动成本c(x)万元,并且c(x)与ln成正比(其中x(台)表示产量,比例系数为整数),已知当生产20台该产品时,约需要流动成本0.7万元,该工厂产销平衡,每件产品的售价p(x)(万元)与产量x(台)的函数关系为p(x)=-++(其中x≥10).记当年销售该产品x台获得的利润(利润=销售收入-生产成本)为f(x)万元.
(参考数据:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1,ln 5≈1.6)
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)当产量x为何值时,该工厂的年利润f(x)最大 最大利润是多少(结果保留一位小数)
变式 滑县木版画是河南省传统的手工艺品,创始于明朝初期,距今已有六百多年的历史了,滑县木版画制作工艺考究,至今一直都是纯手工制作,颜色精细淡雅,色彩和谐,人物造型鲜活,极具当地的民俗特色.张华的伯伯制作滑县木版画并出售,寒假期间张华通过调研得知伯伯制作的A系列木版画的成本为30元/套,每月的销售量f(x)(单位:套)与销售价格x(单位:元/套)近似满足关系式f(x)=(x-90)2,其中30[素养小结]
在求实际问题的最大值或最小值时,一般先找出函数关系式,并确定其定义域,再利用求函数最值的方法求解,注意结果应与实际情况相符合.如果连续函数在给定区间内只有一个极值点,那么根据实际意义该极值点就是最值点.
◆ 探究点四 成本最低、费用最省问题
例4 某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16米,已知池外周壁建造价格为每米400元,中间两道隔墙建造价格为每米248元,池底建造价格为每平方米80元(池壁厚度忽略不计,且池无盖).
(1)写出总造价y(单位:元)与污水处理池的长x(单位:米)的函数解析式,并指出其定义域.
(2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低 并求出最低总造价.
变式 [2024·北京西城区高二期末] 某种型号轮船每小时的运输成本Q(单位:元)由可变部分和固定部分组成.其中,可变部分成本与航行速度的立方成正比,且当速度为10 km/h时,其可变部分成本为每小时8元;固定部分成本为每小时128元.
(1)设该轮船的航行速度为x km/h,试将其每小时的运输成本Q表示为x的函数;
(2)当该轮船的航行速度为多少时,其每千米的运输成本y(单位:元)最低.
[素养小结]
解决实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题时,都需要利用导数求解相应函数的最小值.根据f'(x)=0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后,结合函数的定义域求函数的最小值.第4课时 导数与函数的零点与实际应用
一、选择题
1.函数f(x)=x+cos x的零点所在的区间为( )
A. B.
C. D.
2.现做一个容积为256的方底无盖水箱,则所用材料最省时,它的高为 ( )
A.4 B.6
C.4.5 D.8
3.函数f(x)=x3-6x2+9x+10的零点个数是 ( )
A.3 B.2 C.1 D.0
4.已知f(x)=x3-3x+m,若关于x的方程f(x)=0在[0,2]上有实根,则实数m的取值范围是 ( )
A.[-2,2] B.(-2,2)
C.[2,+∞) D.(-∞,-2]
5.已知函数f(x)=-a有两个不同的零点,则实数a的取值范围是 ( )
A.(0,e) B.(-∞,e)
C. D.
6.已知函数f(x)=2ex与g(x)=2x+2,则它们的图象的交点个数为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.不确定
7. [2024·江苏连云港高二期末] 设a为实数,若关于x的方程xex+ex-a=0有两个解,则a的取值范围为 ( )
A. B.∪[0,+∞)
C. D.
8.(多选题)已知函数f(x)=ex-ax(a∈R),则下列说法正确的是 ( )
A.当a>e时,f(x)有两个零点
B.当a>0时,f(x)有极小值点
C.当a<0时,f(x)没有零点
D.不论a为何实数,f(x)总存在单调递增区间
9.(多选题)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些 高二某研究小组针对饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响进行了研究,调查如下:某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造成本是0.8πr2分,其中r(单位:cm)是瓶子的半径.已知每出售1 mL的饮料,制造商可获利0.2分(不考虑瓶子的成本的前提下),且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.下列结论正确的有 ( )
(注:1 mL=1 cm3;利润可为负数)
A.每瓶饮料的利润随着瓶子半径的增大而增大
B.当半径为6 cm时,每瓶饮料的利润最大
C.当半径为2 cm时,每瓶饮料的利润最小
D.当半径为3 cm时,每瓶饮料的利润为0
二、填空题
10.一艘船从A地到B地,其燃料费w与船速v的关系为w(v)=(18≤v≤30),要使燃料费最低,则v= .
11. 函数f(x)=x-在(0,+∞)上的零点个数为 .
12.已知函数f(x)=ln x-x-xe-x-k有零点,则实数k的取值范围是 .
三、解答题
13.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1处都取得极值.
(1)求a,b的值;
(2)若方程f(x)=2c有三个实数根,求实数c的取值范围.
14.如图所示,某小区有一半径为100 m,圆心角为的扇形空地.现欲对该地块进行改造,从弧AB上一点P向OB引垂线段PH,从点H向OP引垂线段DH.在三角形OPH的三边修建步行道.
(1)求步行道长度的最大值;
(2)在三角形ODH内修建花圃,求花圃面积的最大值 .
15.[2024·广东茂名五校高二联考] 已知函数f(x)=,若方程f(x)-k=0有2个不同的实数根,则实数k的取值范围是 .
16.[2024·山西长治高二期末] 已知f(x)=3ln x-k(x-1),k∈R.
(1)若过点(2,2)作曲线y=f(x)的切线,切线的斜率为2,求k的值;
(2)当x∈[1,3]时,讨论函数g(x)=f(x)-cosx的零点个数.第4课时 导数与函数的零点与实际应用
【课前预习】
知识点二
优化
知识点三
(1)函数模型 (2)f'(x)=0
【课中探究】
探究点一
例1 (1)A [解析] 函数f(x)=exsin x-x+1在(0,π)上的零点个数即为关于x的方程sin x=在(0,π)上解的个数.令h(x)=,x∈(0,π),则h'(x)=,x∈(0,π),则当x∈(0,2)时,h'(x)>0,h(x)=单调递增;当x∈(2,π)时,h'(x)<0,h(x)=单调递减.又h(1)=0,h(2)=,h(π)=>0,在同一坐标系中作出h(x)=与y=sin x在(0,π)上的图象,如图,由图可知两图象有1个交点,则函数f(x)=exsin x-x+1在(0,π)上的零点个数为1.故选A.
(2)解:f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=,令f'(x)==0,解得x=a或x=1.
①当0x (0,a) a (a,1) 1 (1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 f(a) 单调递减 f(1) 单调递增
所以f(x)在(0,a)上单调递增,在(a,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.此时f(x)极大值=f(a)=-a2-a+aln a<0,又f(2a+2)=aln(2a+2)>aln 2>0,所以f(x)有一个零点.
②当a=0时,f(x)=x2-x,由f(x)=0,解得x=2或x=0(舍),所以f(x)有一个零点.
③当a<0时,f(x)与f'(x)在区间(0,+∞)上的变化情况如表所示:
x (0,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) 单调递减 f(1) 单调递增
此时f(x)极小值=f(1)=-a-.
当a<-时,f(x)min=f(1)=-a->0,所以f(x)无零点;
当a=-时,f(x)min=f(1)=-a-=0,所以f(x)有一个零点;
当-0,f(4)=8-4(a+1)+aln 4>4-ln 4=4-ln 2>0,由函数零点存在定理知,f(x)有两个零点.
综上所述,当0≤a<1或a=-时,f(x)有一个零点;
当-当a<-时,f(x)无零点.
变式 (1)B (2)ABC [解析] (1)由f(x)=sin 2x-4sin x+3x,得f'(x)=2cos 2x-4cos x+3=4cos2x-4cos x+1=(2cos x-1)2≥0,当且仅当cos x=,即x=±+2kπ,k∈Z时,等号成立,所以f(x)=sin 2x-4sin x+3x在R上是增函数.又因为f(0)=0,所以函数f(x)=sin 2x-4sin x+3x有且仅有一个零点.故选B.
(2)由f(x)=2x3-6x2+7,得f'(x)=6x2-12x.令f'(x)=6x2-12x=0,解得x=0或x=2.当x∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(0,2)时,f'(x)<0,所以函数f(x)的极大值为f(0)=7,极小值为f(2)=-1,当x→+∞时,f(x)→+∞,当x→-∞时,f(x)→-∞.所以当a∈(-∞,-1)∪(7,+∞)时,方程f(x)=a(a∈R)的解的个数为1;当a=-1或a=7时,方程f(x)=a(a∈R)的解的个数为2;当a∈(-1,7)时,方程f(x)=a(a∈R)的解的个数为3.故选ABC.
探究点二
例2 (1)D (2)D [解析] (1)f'(x)=3x2-3,当x<-1或x>1时,f'(x)>0,当-10,解得a<-2或a>2.故选D.
(2)要使g(x)有三个零点,则方程f(x)=k有三个解,则y=f(x)的图象与y=k的图象有三个交点.当x>0时,f(x)=xln x,则f'(x)=ln x+1,可得f(x)在上单调递减,在上单调递增,
∴当x>0时,f(x)=xln x有最小值f=-.
∵当0∴f(x)的大致图象如图.由图可知,要使函数g(x)有三个零点,则-变式 (1)C [解析] 方法一:f(x)=ln x-ax2有两个零点,即方程ln x-ax2=0有两根,即方程a=有两根.设g(x)=,x>0,则g'(x)=,令g'(x)=0,得x=.令g'(x)>0,得0,则g(x)在(,+∞)上单调递减,且当x>时,g(x)>0.∴g(x)max=g()=,g(x)的图象如图所示.由图可知,当0方法二:f(x)=ln x-ax2有两个零点,即方程ax=有两根.设g(x)=,x>0,则g'(x)=,令g'(x)=0,得x=e.令g'(x)>0,得0e,则g(x)在(e,+∞)上单调递减,且当x>e时,g(x)>0.∴g(x)max=g(e)=,g(x)的图象如图所示.设直线y=ax与g(x)的图象相切于点,则解得a=.由图可知,当0(2)解:函数f(x)=-ax有三个不同的零点,等价于=ax有三个不同的解,因为f(0)=0,所以只需a=有两个非零解.令g(x)=,则g'(x)==,当x>1时,g'(x)<0,当x<1时,g'(x)>0,所以g(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,且当x∈(-∞,1)时,g(x)∈,当x∈(1,+∞)时,g(x)∈,所以当a=有两个非零解时, 0探究点三
例3 解:(1)设c(x)=kln,由当生产20台该产品时,约需要流动成本0.7万元,得0.7≈kln,可得k≈1,∴c(x)=ln,∴f(x)=p(x)x-c(x)-10=x-ln-10=-x2+x-ln x+ln 10(x≥10).
(2)由(1)得f(x)=-x2+x-ln x+ln 10,则f'(x)=-x+-=- ,∵x≥10,∴当x∈[10,50)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(50,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,∴当x=50时,f(x)取得极大值也是最大值,且f(50)=-×502+×50-ln 50+ln 10≈24.4,∴当产量为50台时,年利润f(x)最大,最大利润约是24.4万元.
变式 50 [解析] 设A系列木版画的月利润为g(x)(单位:元),则g(x)=f(x)(x-30)=(x-90)2(x-30),30可得g'(x)=2(x-90)(x-30)+(x-90)2=3(x-90)(x-50),
令g'(x)=0,可得x=50,
当x∈(30,50)时,g'(x)>0,当x∈(50,90)时,g'(x)<0,
故g(x)在(30,50)上单调递增,在(50,90)上单调递减,
所以当x=50时,g(x)取得极大值,也是最大值,
即当A系列木版画销售价格定为50元/套时,月利润最大.
探究点四
例4 解:(1)若污水处理池的长为x米,则宽为 米,根据题意得解得≤x≤16.由题知y=×400+2××248+200×80=800x++16 000.
(2)由(1)知y'=800-,令y'=0,解得x=18或x=-18(舍去).因为函数的定义域为,且当≤x≤16时,y'<0,所以该函数在定义域内为减函数,所以当x=16时,y取得最小值,最小值为800×16++16 000=45 000.故当污水处理池的长为16米,宽为米时,污水处理池的总造价最低,最低总造价为45 000元.
变式 解:(1)设该轮船的航行速度为x km/h时,其每小时的可变成本为P(单位:元),则P=kx3,其中k≠0. 由题意得8=k×103,解得k=,故P=x3.所以每小时的运输成本Q=x3+128,其中x>0.
(2)该轮船每千米的运输成本y=f(x)==x2+, 其中x>0.f'(x)=x-=,令f'(x)=0,解得x=20.
由f'(x)>0,解得x>20,故f(x)在区间(20,+∞)上单调递增;
由f'(x)<0,解得0所以当x=20时,f(x)取得最小值,且f(20)=9.6,
故当该轮船的航行速度为20 km/h时,其每千米的运输成本y最低,且为9.6元.第4课时 导数与函数的零点与实际应用
1.A [解析] 函数f(x)=x+cos x的图象是一条连续不断的曲线,f'(x)=1-sin x≥0,所以f(x)=x+cos x在定义域R上为增函数.因为f=-+cos=-<0,f(0)=0+cos 0=1>0,所以f·f(0)<0.由函数零点存在定理可知,函数f(x)=x+cos x的零点所在的区间为.
2.A [解析] 设底面边长为x,高为h,则V=x2·h=256,∴h=,∴表面积S=x2+4xh=x2+4x·=x2+,∴S'=2x-.令S'=0,解得x=8,易知当x=8时所用材料最省,此时h==4.
3.C [解析] f(x)=x3-6x2+9x+10,故f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),由f'(x)>0,得x>3或x<1;由f'(x)<0,得10,极小值为f(3)=27-54+27+10=10>0,又f(-4)=-64-96-36+10<0,所以f(-4)f(1)<0,所以函数f(x)有1个零点,且这个零点在区间(-4,1)内.故选C.
4.A [解析] 由f(x)=x3-3x+m=0,得关于x的方程m=-x3+3x在[0,2]上有实根,令g(x)=-x3+3x,x∈[0,2],则g'(x)=-3x2+3=3(1-x)(1+x),当0≤x<1时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当1g(2)=-8+6=-2,所以当x∈[0,2]时,g(x)∈[-2,2],所以实数m的取值范围是[-2,2].故选A.
5.C [解析] f'(x)=,由f'(x)>0,得0e,则f(x)在(e,+∞)上单调递减.所以f(x)max=f(e)=-a,又当x→0时,f(x)→-∞,当x→+∞时,f(x)→-a,所以解得06.B [解析] 令h(x)=2ex-2x-2,则h'(x)=2ex-2=2(ex-1),由h'(x)=0,得x=0.当x<0时,h'(x)<0;当x>0时,h'(x)>0.∴当x=0时,h(x)取得最小值h(0)=0,∴h(x)=2ex-2x-2只有一个零点,即f(x)与g(x)的图象只有1个交点.故选B.
7.C [解析] 令f(x)=xex+ex,则当x<-1时,f(x)<0;当x>-1时,f(x)>0.f'(x)=(x+2)ex,当x>-2时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x<-2时,f'(x)<0,f(x)单调递减.∴f(x)min=f(-2)=-,且当x→-∞时,f(x)→0,当x→+∞时,f(x)→+∞.∵关于x的方程xex+ex-a=0有两个解,∴y=f(x)的图象与y=a的图象有两个交点,∴-8.ABD [解析] f'(x)=ex-a,当a≤0时,f'(x)>0,f(x)在R上是增函数.
当a>0时,由f'(x)>0可得x>ln a,由f'(x)<0可得xe时,f(x)有两个零点,故A正确.故选ABD.
9.BCD [解析] 由已知得,每瓶饮料获得的利润为f(r)=0.2×r3-0.8πr2=,r∈(0,6],则f'(r)=(r2-2r)=r(r-2),所以当r∈(0,2)时,f'(r)<0,函数f(r)单调递减,故A错误;当r∈(2,6]时,f'(r)>0,函数f(r)单调递增,又f(0)=0,f(6)=,则当r=6时,函数f(r)取得最大值,故B正确;当r=2时,函数f(r)取得最小值,故C正确;f(3)=×=0,故D正确.故选BCD.
10.18 [解析] ∵w(v)=(18≤v≤30),∴w'(v)==>0,∴w(v)在[18,30]上单调递增,∴当v=18时,w(v)有最小值.
11.2 [解析] 令f(x)=0,可得x=,因为x∈(0,+∞),所以=,即-=ln ,所以=2ln x,整理可得=.令h(x)=,则h'(x)=,故当x∈(0,e)时,h'(x)>0,h(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减.又当x∈(0,1)时,h(x)<0,当x∈(1,+∞)时,h(x)>0,h(e)=,且当x趋近于正无穷时,h(x)趋近于0,在同一坐标系中,作出y=h(x)与y=的大致图象
如图所示,由图可知,y=h(x)与y=的图象在(0,+∞)上有2个交点,故f(x)在(0,+∞)上有2个零点.
12. [解析] 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-1-(1-x)e-x=,令g(x)=ex-x,x>0,则g'(x)=ex-1>0恒成立,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,则g(x)>g(0)=1,∴当00,f(x)单调递增,当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,∴f(x)max=f(1)=-1--k.由函数f(x)=ln x-x-xe-x-k有零点,可知-1--k≥0,解得k≤-1-.
13.解:(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c得f'(x)=3x2+2ax+b,依题意得解得此时f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),
当x<-或x>1时,f'(x)>0,当-(2)由(1)知,f(x)=x3-x2-2x+c,令g(x)=f(x)-2c=x3-x2-2x-c,则g'(x)=(3x+2)(x-1),故g(x)在,(1,+∞)上单调递增,在上单调递减,所以当x=-时,g(x)取得极大值g=-c,当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=--c.因为方程f(x)=2c有三个实数根,所以函数g(x)=x3-x2-2x-c有三个零点,又当x→-∞时,g(x)→-∞,当x→+∞时,g(x)→+∞,故只需解得-14. 解:(1)依题意,设∠BOP=θ,则PH=100sin θ,OH=100cos θ,
因此△OPH的周长L=100+100(sin θ+cos θ)=100+100sin,
显然<θ+<,于是当θ+=,即θ=时,Lmax=100+100,
所以步行道长度的最大值是100(1+) m.
(2)由(1)中所设及DH⊥OP,得OD=OHcos θ=100cos2θ,
因此△ODH的面积S=OH·ODsin θ=5000sin θcos3θ,
令f(θ)=sin θcos3θ,0<θ<,求导得f'(θ)=cos4θ-sin θ·3cos2θsin θ=cos2θ(1-4sin2θ),
则当00,函数f(θ)单调递增,当于是当sin θ=,即θ=时,f(θ)max=×=,即Smax=5000×=,
所以花圃面积的最大值为 m2.
15.(0,1)∪(4,+∞) [解析] 函数f(x)=的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),求导得f'(x)=,当x<0或x>时,f'(x)>0,当00,且当x→-∞时,f(x)→0,当x从1的左侧无限趋近于1时,f(x)→-∞,当x从1的右侧无限趋近于1时,f(x)→+∞,当x→+∞时,f(x)→+∞,
函数f(x)=的大致图象如图,观察图象知,当04时,直线y=k与函数y=f(x)的图象有两个公共点,即方程f(x)-k=0有两个不同的实数根,所以实数k的取值范围是(0,1)∪(4,+∞).
16.解:(1)由题意可得f'(x)=-k,设切点坐标为(x0,3ln x0-k(x0-1)),则切线斜率k=f'(x0)=-k=2,即k=-2,可得切线方程为y-[3ln x0-k(x0-1)]=2(x-x0),将(2,2),k=-2代入可得2-=2(2-x0),整理得ln x0+-1=0.
令h(x)=ln x+-1,则h'(x)=-=,
易知h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以h(x)min=h(1)=0,
可得关于x0的方程ln x0+-1=0的根为1,即x0=1,所以k=-2=1.
(2)因为g(x)=f(x)-cosx=3ln x-k(x-1)-cosx,所以g'(x)=-k+sinx,可知y=在[1,3]内单调递减,当x∈[1,3]时,x∈,又y=sin x在内单调递减,可知y=sinx在[1,3]内单调递减,所以g'(x)在[1,3]内单调递减,且g'(1)=4-k,g'(3)=-k.
①当-k≥0,即k≤0时,g'(x)≥g'(3)≥0在[1,3]内恒成立,可知g(x)在[1,3]内单调递增,则g(x)≥g(1)=0,当且仅当x=1时,等号成立,所以g(x)在[1,3]内有且仅有1个零点.
②当4-k≤0,即k≥4时,g'(x)≤g'(1)≤0在[1,3]内恒成立,可知g(x)在[1,3]内单调递减,则g(x)≤g(1)=0,当且仅当x=1时,等号成立,所以g(x)在[1,3]内有且仅有1个零点.
③当即00,当mg(1)=0,可知g(x)在[1,m)内有且仅有1个零点,且g(3)=3ln 3-2k.
(i)当g(3)=3ln 3-2k≤0,即ln 3≤k<4时,g(x)在(m,3]内有且仅有1个零点;
(ii)当g(3)=3ln 3-2k>0,即0综上所述,当k∈∪[4,+∞)时,g(x)在[1,3]内有且仅有1个零点;
当k∈时,g(x)在[1,3]内有且仅有2个零点.