习题课 导数的综合应用
1.解:(1)函数f(x)=ln x-ax的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a=.
当a≤0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>0时,令f'(x)>0,得0
,
所以函数f(x)在上单调递增,在上单调递减.
综上所述,当a≤0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(2)证明:由(1)可得,当a>0时,f(x)max=f=-ln a-1,要证f(x)+4<,只需要证明f(x)max+4<即可,即证-ln a+3-<0,即证ln a+-3>0.令g(a)=ln a+-3(a>0),则g'(a)=-=,当04时,g'(a)>0,所以函数g(a)在(0,4)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增,所以g(a)min=g(4)=ln 4+2-3=ln 4-1>0,所以ln a+-3>0,所以当a>0时,f(x)+4<.
2.解:(1)依题意,φ(x)=xex+4x-f(x)=(x-3)ex-x2+4x,φ'(x)=(x-2)(ex-2),令φ'(x)=0,得x1=ln 2,x2=2.令φ'(x)>0,得x2;令φ'(x)<0,得ln 2(2)f(x)>g(x).
证明如下:设h(x)=f(x)-g(x)=3ex+x2-9x+1,∵h'(x)=3ex+2x-9为增函数,h'(0)=-6<0,h'(1)=3e-7>0,∴存在x0∈(0,1),使得h'(x0)=0,∴当x>x0时,h'(x)>0;当x∴h(x)min=h(x0)=3+-9x0+1,又3+2x0-9=0,∴3=-2x0+9,∴h(x)min=-2x0+9+-9x0+1=-11x0+10=(x0-1)(x0-10).∵x0∈(0,1),∴(x0-1)(x0-10)>0,∴h(x)min>0,∴f(x)>g(x).
3.解:(1)易知f'(x)=x2-4x+m,依题意得f'(1)=12-4×1+m=0,解得m=3,此时f'(x)=x2-4x+3=(x-1)(x-3).当x<1或x>3时,f'(x)>0,当1(2)由(1)得,函数f(x)在[2,3)上单调递减,在(3,4]上单调递增,所以f(x)在[2,4]上的最小值为f(3)=×33-2×32+3×3+n=n.由题意可得n>n2,解得04.解:(1)当a=0时f(x)=xex+b,则f'(x)=(x+1)ex.
当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,则f(x)单调递减;当x∈(-1,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)单调递增.因此,f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增.
(2)由题知f(x)=(x-a)ex+a+b,则f'(x)=(x-a+1)ex,当xa-1时,f'(x)>0,即f(x)单调递增.所以f(x)≥f(a-1)=a-ea-1+b,又f(x)>0恒成立,得b>ea-1-a.
令g(a)=ea-1-a,则g'(a)=ea-1-1,当a<1时,g'(a)<0,g(a)单调递减;当a>1时,g'(a)>0,g(a)单调递增.所以g(a)≥g(1)=0,又g(-1)=+1,g(0)=,g(2)=e-2,g(3)=e2-3,
a的取值集合中恰有3个整数,故a的取值为0,1,2,又e-2>,e2-3>+1,
所以g(2)>g(0),g(3)>g(-1),故e-25.解:(1)f'(x)=a-+==,x>0,
当a≤0时,ax-1<0,f'(x)>0等价于x-1<0,∴f(x)的单调递增区间为(0,1),
同理可得单调递减区间为(1,+∞).
∴f(x)的极大值为f(1)=a-1,无极小值.
(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)的极大值也是最大值,且a-1<0,此时f(x)没有零点;
当01,由f'(x)>0得单调递增区间为(0,1),,由f'(x)<0得单调递减区间为,
∴f(x)的极大值为f(1)=a-1<0,此时f(x)最多有一个零点;
当a=1时,f'(x)=≥0,则f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增,此时f(x)最多有一个零点;
当a>1时,<1,由f'(x)>0得单调递增区间为,(1,+∞),由f'(x)<0得单调递减区间为,
∴f(x)的极小值为f(1)=a-1>0,此时f(x)最多有一个零点.
综上所述,不存在实数a,使f(x)有两个零点.
6.解:(1)当a=-1时,f(x)=x2-x+1+ex,其定义域为R,则f'(x)=2x-1+ex.
因为y=2x-1和y=ex都在R上单调递增,所以f'(x)=2x-1+ex在R上单调递增且f'(0)=0,
因此,当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.
综上所述,函数f(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).
(2)令f(x)=0,得a=,令g(x)=,则g'(x)===.
当x∈(-∞,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(1,2)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(2,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减.当x→-∞时,g(x)→+∞;
当x→+∞时,g(x)→0.由单调性可知,当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=;当x=2时,g(x)取得极大值g(2)=.所以y=g(x)和y=a的大致图象如图.
由图可知,若f(x)有三个零点,则a的取值范围为.习题课 导数的综合应用
类型一 利用导数证明不等式
1.[2024·浙江温州高二期末] 已知函数f(x)=ln x-ax.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)求证:当a>0时,f(x)+4<.
2.已知函数f(x)=3ex+x2,g(x)=9x-1.
(1)求函数φ(x)=xex+4x-f(x)的极值;
(2)比较f(x)与g(x)的大小,并加以证明.
类型二 利用导数解决恒成立或有解问题
3.[2024·山西大同高二期末] 已知函数f(x)=x3-2x2+mx+n在x=1处取得极值.
(1)求实数m的值;
(2)若对于任意的x∈[2,4],f(x)>n2恒成立,求实数n的取值范围.
4.[2024·江苏徐州高二期末] 已知函数f(x)=(x-a)ex+a+b,a,b∈R.
(1)当a=0时,试判断f(x)的单调性;
(2)若f(x)>0恒成立,且a的取值集合中恰有3个整数,求b的取值范围.
类型三 利用导数解决零点问题
5.设函数f(x)=ax-(a+1)ln x-.
(1)当a≤0时,求f(x)的极值.
(2)是否存在实数a,使f(x)有两个零点 若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
6.[2024·长沙长郡中学高二期中] 已知函数f(x)=x2-x+1-aex.
(1)当a=-1时,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)有三个零点,求a的取值范围.(共15张PPT)
习题课 导数的综合应用
类型一 利用导数证明不等式
类型二 利用导数解决恒成立或有解问题
类型三 利用导数解决零点问题
类型一 利用导数证明不等式
1.[2024·浙江温州高二期末] 已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
解：函数的定义域为， .
当时，，所以函数在 上单调递增;
当时，令，得，令，得 ，
所以函数在上单调递增，在 上单调递减.
综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数
在上单调递增，在 上单调递减.
（2）求证：当时， .
证明：由（1）可得，当时， ，要证
，只需要证明即可，即证 ，即
证.
令，则 ，
当时，，当时，，所以函数在 上单
调递减，在 上单调递增，
所以，所以 ，
所以当时， .
2.已知函数, .
（1）求函数 的极值;
解:依题意， ，
，令，得，.
令 ，得或；令，得.
故在 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
当 时，，
当 时， .
（2）比较与 的大小,并加以证明.
解: .
证明如下：设，
为增函数，，， 存在 ，使得
，
当时，；当时， .
，又 ，
，
，， ， .
类型二 利用导数解决恒成立或有解问题
3.[2024·山西大同高二期末] 已知函数在 处取
得极值.
（1）求实数 的值；
解：易知，依题意得 ，解得
，此时.
当或 时，，当时，，
所以函数在， 上单调递增，在上单调递减，
因此函数在处取得极值，所以 .
（2）若对于任意的，恒成立，求实数 的取值范围.
解：由（1）得，函数在上单调递减，在上单调递增，所以 在
上的最小值为.
由题意可得 ，
解得，所以的取值范围为 .
4.[2024·江苏徐州高二期末] 已知函数,, .
（1）当时，试判断 的单调性；
解：当时，则 .
当时，，则单调递减；当时， ，
则单调递增.
因此，在上单调递减，在 上单调递增.
（2）若恒成立，且的取值集合中恰有3个整数，求 的取值范围.
解：由题知，则，当
时，，即单调递减；当时，，即 单调递增.
所以，又恒成立，得 .
令，则，当时，， 单调递
减；当时，，单调递增.
所以 ，又，，，
，的取值集合中恰有3个整数，故的取值为0,1,2，
又， ，所以,，
故 .
类型三 利用导数解决零点问题
5.设函数 .
（1）当时，求 的极值.
解：, ，
当时，,等价于, 的单调递增区间为
，
同理可得单调递减区间为 .
的极大值为 ，无极小值.
（2）是否存在实数，使有两个零点？若存在，求出 的取值范围；若不存
在，请说明理由.
解：由（1）知，当时，的极大值也是最大值，且 ，此时
没有零点；
当时，，由得单调递增区间为, ，由
得单调递减区间为 ，
的极大值为，此时 最多有一个零点；
当时，,则在定义域上单调递增，此时
最多有一个零点；
当时，，由得单调递增区间为,，由
得单调递减区间为 ，
的极小值为，此时 最多有一个零点.
综上所述，不存在实数，使 有两个零点.
6.[2024·长沙长郡中学高二期中] 已知函数 .
（1）当时，求 的单调区间；
解:当时，，其定义域为，则.
因为和都在上单调递增，所以在 上单调
递增且 ，
因此，当时，，函数单调递减；当 时，
，函数 单调递增.
综上所述，函数的单调递减区间为，单调递增区间为 .
（2）若有三个零点，求 的取值范围.
解:令，得，令 ，则
.
当时，，单调递减；当时，,
单调递增；当时，,单调递减.
当 时， ； 当 时， .
由单调性可知，当时，取得极小值；
当 时，取得极大值.
所以 和 的大致图象如图.
由图可知，若有三个零点，则 的取值范
围为 .