微突破(四) 导数与六大经典函数模型
题型一
例1 C [解析] 由题意知f'(x)=,所以f'(0)=1,故A错误;当x<1时,f'(x)>0,
f(x)单调递增,当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,故B错误;f(x)的极大值为f(1)=,故C正确;方程f(x)=-1等价于=-1,即ex=-x,作出函数y=ex与y=-x的图象,如图所示,
由图可知,函数y=ex与函数y=-x的图象有且只有一个交点,即方程f(x)=-1有且只有一个解,故D错误.故选C.
题型二
例2 [解析] 不等式(ax-ln x)(ex-ax)≥0对任意x>0恒成立,则或对任意x>0恒成立,即≤a≤或≤a≤对任意x>0恒成立.令f(x)=(x>0),g(x)=(x>0),则f'(x)=,可得函数f(x)在x=1处取得极小值,即最小值,最小值为f(1)=e.g'(x)=,可得函数g(x)在x=e处取得极大值,即最大值,最大值为g(e)=.若≤a≤对任意x>0恒成立,则≤a≤e.
若≤a≤对任意x>0恒成立,则a∈ .
综上可得,实数a的取值范围是.
题型三
例3 (1)D (2)C [解析] (1)令f(x)=,x>0,则f'(x)=,当x∈(0,e)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,因为a===f(4),b==f(6),c==f(7),f(4)>f(6)>f(7),所以a>b>c.故选D.
(2)方法一:要比较0.1e0.1与的大小,可比较e0.1与的大小,即比较e0.1与的大小.构造函数f(x)=(1-x)ex(0
0(0h(0)=0,所以g'(x)>0,所以g(x)在(0,0.1]上单调递增,所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e0.1+ln(1-0.1)>0,即0.1e0.1>-ln 0.9,所以a>c.综上,b>a>c.
方法二:易知,当x>-1且x≠0时,ln(1+x),即ln>,可得>,则>0.1e0.1,即a0(0h(0)=0,所以g'(x)>0,所以g(x)在(0,0.1]上单调递增,所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e0.1+ln(1-0.1)>0,即0.1e0.1>-ln 0.9,所以a>c.综上,b>a>c.
题型四
例4 (1)A (2) [解析] (1)由题意得f(x)=+ln x-ax-1=eln x-ax+ln x-ax-1,x>0,令g(t)=et+t-1,则g'(t)=et+1>0,则函数g(t)在R上为增函数,且g(0)=0.要使函数f(x)=+ln x-ax-1有两个不同的零点,只需t=ln x-ax有两个不同的零点,令t=ln x-ax=0(x>0),则直线y=a与h(x)=(x>0)的图象有两个不同的交点.h'(x)=,当00,h(x)单调递增,当x>e时,h'(x)<0,h(x)单调递减,则h(x)max=h(e)=,当x>0,x→0时,h(x)→-∞,当x→+∞时,h(x)→0,
作出h(x)的大致图象,如图所示,由图可知,若直线y=a与h(x)=(x>0)的图象有两个不同的交点,则a∈,故选A.
(2)将ln x=yex+ln y变形为ln=xex,∴ln=xex.令f(t)=tet,t∈(0,+∞),则f'(t)=(t+1)et>0,∴函数f(t)在(0,+∞)上单调递增,∴ln=x,∴y=,∴y-e-x=.令g(x)=,x∈(0,+∞),则g'(x)=,∴当x∈(0,2)时,g'(x)>0,此时函数g(x)单调递增,当x∈(2,+∞)时,g'(x)<0,此时函数g(x)单调递减,∴当x=2时,函数g(x)取得极大值也是最大值,且最大值为g(2)=,即 y-e-x的最大值为.
题型五
例5 证明:因为f(x)=,所以f(x-1)=,当x∈(0,2)时,要证f(x-1)≥ln x,只需证≥.令g(x)=,x>0,则g'(x)=,当x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.由x∈(0,2),得ex-1∈ (0,e),故要证=≥,只需证ex-1≥x,即证ex-1-x≥0.令h(x)=ex-1-x,x∈(0,2),则h'(x)=ex-1-1.当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(1,2)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,故h(x)≥h(1)=0,即ex-1-x≥0.故f(x-1)≥ln x成立.微突破(四) 导数与六大经典函数模型
1.D [解析] 函数y=的定义域为(0,+∞),y'===,由y'<0得x>1,所以y=的单调递减区间为(1,+∞).故选D.
2.D [解析] 因为f(x)=xex,所以f'(x)=(x+1)ex,令f'(x)=0得x=-1,令f'(x)>0得x>-1,令f'(x)<0得x<-1,所以函数f(x)=xex在(-1,+∞)上单调递增,在(-∞,-1)上单调递减,所以f(x)=xex的极小值为f(-1)=-e-1=-.故选D.
3.B [解析] 因为f(x)=,所以f'(x)=,当x<0时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>0时,令f'(x)>0,得x>1,令f'(x)<0,得04.A [解析] f'(x)=,令f'(x)>0,解得x<1,令f'(x)<0,解得x>1,∴f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,∴f(x)在x=1处取得极大值f(1)=.g'(x)=,令g'(x)<0,解得x>e,令g'(x)>0,解得05.C [解析] 因为a=e2-a,所以ln a=2-a,即a+ln a=2.因为1+ln b=e1-ln b,所以ln(1+ln b)=1-ln b,所以(1+ln b)+ln(1+ln b)=2.构造函数f(x)=x+ln x(x>0),则f'(x)=1+>0恒成立,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,即存在唯一的实数t,使得f(t)=2,所以所以2-ln a=1+ln b,即ln(ab)=1,所以ab=e,故选C.
6.B [解析] 设切线的切点为,则切线的斜率k=f'(x0)=,所以切线方程为y-=(x-x0),又切线过点(0,a),则a-=(0-x0),整理得a=.要使过点(0,a)的切线有3条,则需关于x的方程a=有3个不同的解,即函数y=的图象与直线y=a在R上有3个交点.设g(x)=,则g'(x)=,令g'(x)>0,得02,所以函数g(x)在(0,2)上单调递增,在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递减,且极小值、极大值分别为g(0)=0,g(2)=,作出g(x)的图象和直线y=a,如图.
由图可知,当07.B [解析] 由题意知0所以x1ln x2-x2ln x1<(x2-x1),即x1ln x2+x1所以<,令f(x)=,则f(x)在(m,+∞)上单调递减.f'(x)==,
当00,f(x)在(0,)上单调递增,
当x>时,f'(x)<0,f(x)在(,+∞)上单调递减,
故(m,+∞) (,+∞),则m≥,
即m的最小值是=,
故选B.
8.ABD [解析] ∵f(x)=(x-1)ln x,x∈(1,+∞),∴x-1>0,ln x>0,∴f(x)>0,故A正确;f'(x)=ln x+>0,∴f(x)在(1,+∞)上单调递增,故B正确,C错误;令g(x)=ln x-x+1,x∈(1,+∞),∴g'(x)=-1=<0,∴g(x)在(1,+∞)上单调递减,∴g(x)0,∴(x-1)ln x<(x-1)2,即f(x)<(x-1)2,故D正确.故选ABD.
9.BD [解析] 由题知函数f(x)=的定义域为(0,1)∪(1,+∞),则f'(x)=,令f'(x)<0,得00,得x>e.所以函数f(x)在(0,1)和(1,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,其大致图象如图.
对于A,由上述分析可得A错误;对于B,由f'(e2)==,f(e2)=,得切线方程是y-=(x-e2),即x-4y+e2=0,故B正确;对于C,由题意知方程f(x)==a只有一解,结合图象可知,a=e或a<0,故C错误;对于D,设函数g(x)(x∈R)的值域为G,函数f(x)在(1,+∞)上的取值范围为E,则G=[a,+∞),E=[e,+∞),若对任意x1∈R,存在x2∈(1,+∞),使得g(x1)=f(x2)成立,则G E,所以a≥e,故D正确.故选BD.
10.(-∞,2),(2,3) [解析] 函数f(x)=的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞),f'(x)=,
令f'(x)<0,则x<3且x≠2,即f(x)=的单调递减区间为(-∞,2),(2,3).
11.[0,+∞) [解析] 函数f(x)=xex,则f'(x)=ex+xex=(1+x)ex,当x>-1时,f'(x)>0,函数f(x)=xex单调递增;当x<-1时,f'(x)<0,函数f(x)=xex单调递减.所以函数f(x)=xex在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,又因为函数f(x)=xex在区间(-∞,a]上既存在最大值,也存在最小值,结合图象(如图)可知a≥0.
12. [解析] 不等式ax+eαx≥ln x+x等价于不等式eax+ln eax≥ln x+x,令函数g(x)=ln x+x(x>0),则原问题等价于g(eax)≥g(x)在(0,+∞)上恒成立.∵g'(x)=+1>0,∴函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,故只需eax≥x对x∈(0,+∞)恒成立,即a≥对x∈(0,+∞)恒成立.令f(x)=(x>0),则f'(x)=,可得函数f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,∴f(x)的最大值为f(e)=,∴a≥,即a的最小值为.
13.解:(1)f(x)的定义域为R,f'(x)=ex+1(x+1),于是当x>-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x<-1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,则f(x)在x=-1处取得极小值f(-1)=-1,无极大值.
(2)由(1)知,f(x)在区间(-∞,-1)上单调递减.故f(-3)>f(-2).
又因为当x<0时,ex+1>0,所以xex+1<0,所以0>f(-3)>f(-2).
因为f(0)=0×e1=0,所以f(-2)(3)关于x的方程f(x)=m的解的个数可以看成在同一坐标系中y=f(x)的图象和直线y=m交点的个数,由(2)中的图象知,当m的取值不小于f(x)的最小值时,关于x的方程f(x)=m有实数解,所以m≥-1.
14.解:(1)由题意知,函数f(x)=的定义域为(0,+∞),可得f'(x)=,令f'(x)=0,即1-ln x=0,解得x=e.
当x∈(0,e)时,可得f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时,可得f'(x)<0,f(x)单调递减.
所以f(x)在x=e处取得极大值f(e)=.又f=-e,f(e2)=,故函数f(x)在区间上的最大值为,最小值为-e.
(2)因为b==,且a=,c=,且e,2,5在区间内,
由(1)知,在区间上,f(x)max=f(e)=,即b最大,
又因为a-c=-==ln>ln 1=0,所以a>c.综上可得,a=,b=,c=的大小关系为b>a>c.
15.解:(1)由题意可知f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x-+1,令g(x)=ln x-+1,则g'(x)=+=.
当a≥0时,g'(x)>0恒成立,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a<0时,由g'(x)>0,解得x>-a,由g'(x)<0,解得0综上所述,当a≥0时,f'(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<0时,f'(x)在(-a,+∞)上单调递增,在(0,-a)上单调递减.
(2)由(1)可知,不等式xf'(x)≥2(x-a),即xln x-a+x≥2(x-a)在[1,+∞)上恒成立,
即a≥x-xln x在[1,+∞)上恒成立,只需a≥(x-xln x)max(x≥1)即可.令h(x)=x-xln x,x∈[1,+∞),则h'(x)=1-(ln x+1)=-ln x,当x>1时,h'(x)<0,h(x)单调递减,所以h(x)max=h(1)=1,所以a≥1.微突破(四) 导数与六大经典函数模型
六大经典函数模型及其图象
模型一:y=xex
1.单调性与值域:在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增;值域为.
2.如图①,图象走势:当x→-∞时,y→0,当x→+∞时,y→+∞.
模型二:y=
1.单调性与值域:在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;值域为.
2.如图②,图象走势:当x→-∞时,y→-∞,当x→+∞时,y→0.
模型三:y=
1.单调性与值域:在(-∞,0)上单调递减,在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;值域为(-∞,0)∪[e,+∞).
2.如图③,图象走势:当x→-∞时,y→0,当x→0-时,y→-∞,当x→0+时,y→+∞,当x→+∞时,y→+∞.
模型四:y=xln x
1.单调性:在上单调递减,在上单调递增;值域为.
2.如图④,图象走势:当x→0+时,y→0,当x→+∞时,y→+∞.
模型五:y=
1.单调性与值域:在(0,1)上单调递减,在(1,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增;值域为(-∞,0)∪[e,+∞).
2.如图⑤,图象走势:当x→0+时,y→0,当x→1-时,y→-∞,当x→1+时,y→+∞,当x→+∞时,y→+∞.
模型六:y=
1.单调性与值域:在(e,+∞)上单调递减,在(0,e)上单调递增;值域为.
2.如图⑥,图象走势:当x→0+时,y→-∞,当x→+∞时,y→0.
◆ 题型一 常见函数的基本性质
例1 已知f(x)=,函数f(x)的导函数为f'(x),则下列说法正确的是 ( )
A.f'(0)=0
B.函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞)
C.f(x)的极大值为
D.方程f(x)=-1有两个不同的解
◆ 题型二 构造函数求参数的取值范围
例2 已知不等式(ax-ln x)(ex-ax)≥0对任意x>0恒成立,则实数a的取值范围是 .
◆ 题型三 构造常见函数比较大小
例3 (1)[2024·重庆部分学校高二联考] 已知a=,b=,c=,则 ( )
A.c>b>a B.b>a>c
C.b>c>a D.a>b>c
(2)设a=0.1e0.1,b=,c=-ln 0.9,则 ( )
A.aC.c◆ 题型四 指对同构转化为常见函数解决最值范围问题
例4 (1)已知函数f(x)=+ln x-ax-1有两个不同的零点,则实数a的取值范围是 ( )
A. B.(0,1)
C.[0,1] D.
(2)已知正实数x,y满足ln x=yex+ln y,则y-e-x的最大值为 .
◆ 题型五 与典型函数有关的不等式证明问题
例5 已知函数f(x)=,当x∈(0,2)时,证明:f(x-1)≥ln x.微突破(四) 导数与六大经典函数模型
一、选择题
1.函数y=的单调递减区间为 ( )
A.(-∞,1) B.(0,1)
C.(1,e) D.(1,+∞)
2.函数f(x)=xex的极小值为 ( )
A.e B.-1
C.-e D.-
3.[2024·福建龙岩高二期中] 函数f(x)=的大致图象为 ( )
A B
C D
4.已知函数f(x)=和g(x)=+b有相同的极大值,则b= ( )
A.0 B.2
C.-1 D.-3
5.已知实数a,b满足a=e2-a,1+ln b=e1-ln b,则ab= ( )
A. B.1 C.e D.e2
6.若f(x)=,曲线y=f(x)有三条过点(0,a)的切线,则实数a的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
7.[2024·广东深圳实验学校高二月考] 若对任意的x1,x2∈(m,+∞),且x1A. B.
C.1 D.e
8.(多选题)已知函数f(x)=(x-1)ln x,x∈(1,+∞),则下列说法中正确的是 ( )
A.f(x)>0
B.f(x)在(1,+∞)上单调递增
C.f'(x)=ln x+-1
D.f(x)<(x-1)2
9.(多选题)[2024·江苏盐城高二期中] 已知函数f(x)=,则下列说法正确的是 ( )
A.f(x)的单调递减区间是(0,e)
B.f(x)的图象在点(e2,f(e2))处的切线方程是x-4y+e2=0
C.若方程aln x=x只有一个解,则a=e
D.设g(x)=x2+a,若对任意x1∈R,存在x2∈(1,+∞),使得g(x1)=f(x2)成立,则a≥e
二、填空题
10. 函数f(x)=的单调递减区间是 .
11.若函数f(x)=xex在区间(-∞,a]上既存在最大值,也存在最小值,则实数a的取值范围是 .
12.已知当x∈(0,+∞)时,不等式ax+eax≥ln x+x恒成立,则实数a的最小值为 .
三、解答题
13.[2024·北京大兴区高二期中] 已知函数f(x)=xex+1.
(1)求f(x)的极值;
(2)比较f(-3),f(-2),f(0)的大小,并画出f(x)的大致图象;
(3)若关于x的方程f(x)=m有实数解,求实数m的取值范围.
14.已知函数f(x)=.
(1)求函数f(x)在上的最值;
(2)试比较a=,b=,c=的大小.
15.[2024·昆明三中高二期末] 已知函数f(x)=(x-a)ln x.
(1)讨论f'(x)的单调性;
(2)若不等式xf'(x)≥2(x-a)在[1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.(共46张PPT)
微突破（四） 导数与六大经典函数
模型
题型一 常见函数的基本性质
题型二 构造函数求参数的取值范围
题型三 构造常见函数比较大小
题型四 指对同构转化为常见函数解决最值范围问题
题型五 与典型函数有关的不等式证明问题
六大经典函数模型及其图象
模型一：
1.单调性与值域：在上单调递减，在 上单调递增；值域为
.
2.如图①，图象走势：当 时，，当 时， .
模型二：
1.单调性与值域：在上单调递增，在上单调递减；值域为 .
2.如图②，图象走势：当 时， ，当时， .
模型三：
1.单调性与值域：在上单调递减，在上单调递减，在 上单调
递增；值域为 .
2.如图③，图象走势：当 时，，当 时， ，
当时， ，当 时， .
模型四：
1.单调性：在上单调递减，在上单调递增；值域为 .
2.如图④，图象走势：当时，，当时， .
模型五：
1.单调性与值域：在上单调递减，在上单调递减，在 上单调递
增；值域为 .
2.如图⑤，图象走势：当时，，当
时，，当时， ，当
时， .
模型六：
1.单调性与值域：在上单调递减，在上单调递增；值域为 .
2.如图⑥，图象走势：当时， ，当 时， .
题型一 常见函数的基本性质
例1 已知，函数的导函数为 ，则下列说法正确的是( )
C
A. B.函数的单调递增区间为
C.的极大值为 D.方程 有两个不同的解
[解析] 由题意知，所以 ，故A错误；
当时， ，单调递增，当时，， 单调递减，
故B错误；
的极大值为 ，故C正确；
方程等价于 ，即 ，
作出函数与 的图象，如图所示，
由图可知，函数与函数的图象有
且只有一个交点，即方程 有且只有
一个解，故D错误.故选C.
题型二 构造函数求参数的取值范围
例2 已知不等式对任意恒成立，则实数 的取值
范围是______.
[解析] 不等式对任意恒成立，则 或
对任意恒成立，即或 对任意恒成立.
令,，则 ,可得函数在
处取得极小值，即最小值，最小值为.
,可得函数在处取得极大值，即最大值，最大值为.
若 对任意恒成立,则 .
若对任意恒成立，则 .
综上可得，实数的取值范围是 .
题型三 构造常见函数比较大小
例3（1） [2024· 重庆部分学校高二联考]已知,, ，则 ( )
D
A. B. C. D.
[解析] 令,，则，当时，, 单
调递增，当时，, 单调递减，
因为,,, ，
所以 .故选D.
（2）设,, ,则( )
C
A. B. C. D.
[解析] 方法一：要比较与的大小，可比较与的大小，即比较 与
的大小.
构造函数,则 ,所以在上
单调递减，所以,所以当时， ,所以，
所以,即 .
构造函数 ,
则 ,
令 ,
则,
所以在 上单调递增，所以,
所以,所以在 上单调递增，所以,
即,即,所以 .
综上， .
方法二：易知，当且时，恒成立.
令 ，得，则，即，可得，
则 ，即.
构造函数 ,则
,令
,则,所以在 上
单调递增，所以,
所以,所以在 上单调递增，所以,
即,即,所以 .
综上， .
题型四 指对同构转化为常见函数解决最值范围问题
例4（1） 已知函数有两个不同的零点，则实数 的
取值范围是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由题意得 ，,
令，则 ，
则函数在上为增函数，且 .
要使函数有两个不同的零点，只需 有两
个不同的零点，
令,则直线 与 的图象有两个不
同的交点.
，当时，, 单调递增，
当时，,单调递减，则，
当, 时， ，当 时，，
作出 的大致图象，如图所示，由图可知，若直线与 的
图象有两个不同的交点，则 ，故选A.
（2）已知正实数,满足,则 的最大值为___.
[解析] 将变形为，.
令 ，，则，
函数在 上单调递增，,，.
令， ，则， 当时，，
此时函数 单调递增，当时，，此时函数单调递减，
当时，函数 取得极大值也是最大值，且最大值为，
即的最大值为 .
题型五 与典型函数有关的不等式证明问题
例5 已知函数，当时，证明： .
证明：因为，所以，当 时，要证
，只需证.
令，，则 ，当时，，单调
递增.由，得 ，故要证，
只需证，即证 .
令，，则.当时， ，
单调递减，当时，，单调递增，故 ，
即.故 成立.
练习册
一、选择题
1.函数 的单调递减区间为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 函数的定义域为 ，
，
由得，所以 的单调递减区间为 .故选D.
2.函数 的极小值为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以，
令得 ，令得，令得，
所以函数在 上单调递增，在上单调递减，
所以 的极小值为 .故选D.
3.[2024·福建龙岩高二期中]函数 的大致图象为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以，
当时，， 单调递减；当时，令，得，
令，得 ，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时， 有极小值1，只有选项B的图象符合.故选B.
4.已知函数和有相同的极大值，则 ( )
A
A.0 B.2 C. D.
[解析] ，令，解得，令，解得 ，
在上单调递增，在上单调递减，在 处取得极
大值.
，令，解得，令 ，解得，
在上单调递增，在上单调递减，在 处取得极大
值.
依据题意，和 有相同的极大值，故，解得 ，故选A.
5.已知实数，满足，，则 ( )
C
A. B.1 C. D.
[解析] 因为，所以，即.
因为 ，所以，
所以 .
构造函数，则恒成立，
故在 上单调递增，即存在唯一的实数，使得，
所以 所以，即，所以 ，故选C.
6.若，曲线有三条过点的切线，则实数 的取值范围为
( )
B
A. B. C. D.
[解析] 设切线的切点为 ，则切线的斜率 ，
所以切线方程为，
又切线过点 ，则，整理得 .
要使过点的切线有3条，则需关于的方程 有3个不同的解，
即函数 的图象与直线在上有3个交点.
设 ，则，
令，得 ，令 ，得或，
所以函数在上单调递增，
在 和上单调递减，
且极小值、极大值分别为, ，
作出 的图象和直线 ，如图.
由图可知，当时，函数的图象与直线在 上有3个交点，
即过点的切线有3条，所以实数的取值范围为 .故选B.
7.[2024·广东深圳实验学校高二月考]若对任意的,，且 ，
都有，则 的最小值是( )
B
A. B. C.1 D.
[解析] 由题意知，且 ，
所以，即 ，
所以，
令，则在 上单调递减.
，当时，，在 上单调递增，
当时，，在 上单调递减，
故，则 ，
即的最小值是 ，故选B.
8.（多选题）已知函数， ，则下列说法中正确的
是( )
ABD
A. B.在 上单调递增
C. D.
[解析] ，，，， ，
故A正确；
，在 上单调递增，故B正确，C错误；
令，，，
在上单调递减，，即， ，又
，，即，故D正确.故选 .
9.（多选题）[2024·江苏盐城高二期中] 已知函数 ，则下列说法正确
的是( )
BD
A.的单调递减区间是
B.的图象在点处的切线方程是
C.若方程只有一个解，则
D.设，若对任意,存在，使得 成
立，则
[解析] 由题知函数的定义域为 ，则，
令，得或 ；令，得.
所以函数在和 上单调递减，
在 上单调递增，其大致图象如图.
对于A，由上述分析可得A错误；
对于B，由， ，
得切线方程是，即 ，故B正确；
对于C，由题意知方程只有一解，结合图象可知，或 ，
故C错误；
对于D，设函数的值域为，函数在上的取值范围为 ，
则，，若对任意，存在 ，使得
成立，则,所以，故D正确.故选 .
二、填空题
10.函数 的单调递减区间是_____________.
,
[解析] 函数的定义域为， ，
令，则且，即的单调递减区间为, .
11.若函数在区间 上既存在最大值，也存在最小值，则实数
的取值范围是________.
[解析] 函数，则 ，
当时，，函数 单调递增；
当时，，函数 单调递减.
所以函数在上单调递减，
在 上单调递增，
又因为函数在区间 上既存在最大值，
也存在最小值，结合图象（如图）可知 .
12.已知当时,不等式恒成立,则实数 的最小值为
__.
[解析] 不等式等价于不等式 ,令函数
,则原问题等价于在 上恒成立.
, 函数在上单调递增,故只需 对
恒成立,即对恒成立.
令 ,则,可得函数在上单调递增,在
上单调递减, 的最大值为,，即的最小值为 .
三、解答题
13.[2024·北京大兴区高二期中] 已知函数 .
（1）求 的极值；
解:的定义域为，，于是当时， ，
单调递增，当时，，单调递减，则在 处取
得极小值 ，无极大值.
（2）比较,,的大小，并画出 的大致图象；
解:由（1）知，在区间上单调递减.故 .
又因为当时，，
所以，所以 .
因为 ，所以 .
结合（1）中的单调性，可得 的大致图象如图所示.
（3）若关于的方程有实数解，求实数 的取值范围.
解:关于的方程的解的个数可以看成在同一坐标系中 的图象
和直线交点的个数，
由（2）中的图象知，当的取值不小于 的最小值时，关于的方程
有实数解，所以 .
14.已知函数 .
（1）求函数在 上的最值；
解:由题意知，函数的定义域为，可得 ，令
，即，解得 .
当时，可得，单调递增；当 时，可得
， 单调递减.
所以在处取得极大值.
又，，故函数 在区间上的最大值为，最小值为 .
（2）试比较,, 的大小.
解:因为，且,，且，2，5在区间 内，
由（1）知，在区间上，，即 最大，
又因为，所以 .
综上可得，,,的大小关系为 .
15.[2024·昆明三中高二期末] 已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
解:由题意可知的定义域为， ，令
，则 .
当时，恒成立，所以在 上单调递增；
当时，由，解得，由，解得 ，所以
在上单调递增，在 上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增；当时， 在
上单调递增，在 上单调递减.
（2）若不等式在上恒成立，求实数 的取值范围.
解:由（1）可知，不等式，即 在
上恒成立，
即在上恒成立，只需 即可.
令，，则，
当 时，，单调递减，所以，所以 .