微突破(三) 三次函数的图象与性质及应用
题型一
例1 BC [解析] 因为f(x)=x3-3x2+2,所以f'(x)=3x2-6x=3(x-1)2-3,则导函数f'(x)的图象的对称轴是x=1,且图象是开口向上的抛物线,故导函数f'(x)的单调递减区间为(-∞,1),A错误;因为f(1-x)+f(1+x)=(1-x)3-3(1-x)2+2+(1+x)3-3(1+x)2+2=0,所以f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,B正确;设过原点(0,0)的直线与曲线y=f(x)相切于点(t,f(t)),则f'(t)=3t2-6t=,整理得2t3-3t2-2=0,令g(x)=2x3-3x2-2,则g'(x)=6x2-6x=6x(x-1),令g'(x)>0,得x<0或x>1,令g'(x)<0,得0
令f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)>0,得x<0或x>2,令f'(x)<0,得00,极小值f(2)=-2<0,由三次函数的性质得f(x)=0有三个解,即f(x)有三个零点,故D错误.故选BC.
变式 A [解析] 观察图象知,f(0)=d>0,函数f(x)有3个零点,设3个零点为x1,x2,x3(x1x3时,f(x)<0,而此时(x-x1)(x-x2)(x-x3)>0,因此a<0.f'(x)=3ax2+2bx+c,函数f(x)有两个极值点α1,α2,且α1<α2<0,即f'(x)=0有两个不等实根,且-=α1+α2<0,=α1α2>0,因此b<0,c<0,所以a<0,b<0,c<0,d>0.故选A.
题型二
例2 D [解析] 函数f(x)的导函数f'(x)=a(x-a)(x-1),令f'(x)=0,可得a(x-1)(x-a)=0,易知a≠0,则x=1或x=a.若a<0,则当a0;当x1时,f'(x)<0.所以f(x)在x=1处取得极大值,符合题意.若01时,f'(x)>0.所以f(x)在x=1处取得极小值,不符合题意,舍去.若a=1,则f'(x)=(x-1)2≥0恒成立,不符合题意,舍去.若a>1,则当1a时,f'(x)>0.所以f(x)在x=1处取得极大值,符合题意.故实数a的取值范围为(-∞,0)∪(1,+∞).故选D.
例3 解:(1)当m=1时,f(x)=x3-x2-2x+1,f'(x)=3x2-x-2,所以f(2)=3,f'(2)=8,所以所求切线方程为y-3=8(x-2),即8x-y-13=0.
(2)f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),令f'(x)=0,得x=-或x=1.当x<-或x>1时,f'(x)>0;当-1.D [解析] 对于A,B,导函数的符号是先正后负再正,原函数应先增后减再增,故A,B错误;对于C,导函数变号的地方应是单调性发生变化的地方,故C错误;对于D,符合导函数的符号与原函数的单调性的关系,故D正确.故选D.
2.D [解析] 函数f(x)=x3-x2+ax,f'(x)=x2-2x+a,若f(x)在R上为增函数,则x2-2x+a≥0在R上恒成立,可得Δ=4-4a≤0,解得a≥1,故选D.
3.C [解析] f(x)=x3-3x+2的定义域为R,且f'(x)=3x2-3,所以当x>1或x<-1时,f'(x)=3x2-3>0,当-10,f(1)=1-3+2=0,f(-2)=-8+6+2=0,故函数f(x)=x3-3x+2的零点的个数为2.故选C.
4.B [解析] 由f(x)=x3+3ax2+bx+a2,得f'(x)=3x2+6ax+b,因为当x=-1时,f(x)取得极值0,所以解得或当时,f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,此时函数f(x)在x=-1处取不到极值;经检验,当时,函数f(x)在x=-1处取得极值0,满足题意.所以所以ab=18.故选B.
5.B [解析] 令f'(x)=3x2-2x=x(3x-2)=0,解得x=0或x=,可得当x∈时,f'(x)<0,当x∈∪[-1,0)时,f'(x)>0,所以f(x)在x=处取得极小值,又f=a-,f(-1)=a-2,显然a-26.C [解析] 由题设可知g(x)=-ax3+bx2-cx,且g(x)+g(2-x)=0,所以ax3-bx2+cx+a(2-x)3-b(2-x)2+c(2-x)=0,整理得(3a-b)x2+2(b-3a)x+4a-2b+c=0,故可得故g(x)=-ax(x-1)(x-2).因为g(-2)=24a<0,所以a<0,A中说法正确;g(x)有3个零点,B中说法正确;由g(x)+g(2-x)=f(-x)+1+f(x-2)+1=0,可知f(-x)+f(x-2)=-2,所以f(x)的图象关于点(-1,-1)对称,C中说法错误;12a-4b+c=12a-12a+2a=2a<0,D中说法正确.故选C.
7.A [解析] 由函数f(x)=x3+ax2+1得f'(x)=3x2+2ax,则f″(x)=6x+2a,由f″(x0)=6x0+2a=0,解得x0=->0,则有a<0.令f'(x)=3x=0,解得x=0或x=-a,所以当x<0或x>-时,f'(x)>0,当08.C [解析] 设f(x)=(x-a)(x-b)(x-2a-b),令f(x)=0,可得x=a,b或2a+b且f(0)=-ab(2a+b).由题意知,f(x)≥0在x≥0时恒成立,则ab(2a+b)≤0.若三个零点互不相同,要使f(x)≥0在x≥0时恒成立,则需此时2a+b<0,满足ab(2a+b)≤0,排除B,D.若零点有相同的情况,则有a=b或b=b+2a或a=2a+b三种情况.若a=b,则2a+b<0,即3a<0,即a<0,所以a=b<0,符合题意;若b=b+2a,则a=0,与题设矛盾,不符合题意;若a=2a+b,即a+b=0,可得b<0,a>0,2a+b>0,符合题意.综上,b<0恒成立.故选C.
9.ABC [解析] 函数f(x)=x3+3x2-9x-10,求导可得f'(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-1),令f'(x)=0,解得x=-3或1,可得下表:
x (-∞,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 17 单调递减 -15 单调递增
则x=1是f(x)的极小值点,故A正确;f(x)极大值=f(-3)=(-3)3+3×(-3)2-9×(-3)-10=17,f(x)极小值=f(1)=13+3×12-9×1-10=-15,又f(-5)=(-5)3+3×(-5)2-9×(-5)-10=-15,f(3)=33+3×32-9×3-10=17,显然函数f(x)在(-5,-3),(-3,1),(1,3)上分别存在一个零点,即函数f(x)有三个零点,故B正确;由消去y可得x3+3x2+3x+1=0,化简可得(x+1)3=0,则该方程存在唯一实根x=-1,故C正确;令g(x)=f(x-1)=(x-1)3+3(x-1)2-9(x-1)-10=x3-12x+1,g(-x)=-x3+12x+1≠-g(x),故D错误.故选ABC.
10.21 [解析] f'(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1),令f'(x)=0,得x=1或x=-2.当x∈[-3,-2)∪(1,2]时,f'(x)>0,当x∈(-2,1)时,f'(x)<0,所以f(x)在(-2,1)上单调递减,在[-3,-2),(1,2]上单调递增.因为f(-2)=21,f(2)=5,所以f(x)max=21.
11.(-∞,-1)∪(1,+∞) [解析] 由f(x)=x3-ax2+x+1,可得f'(x)=x2-2ax+1,因为函数f(x)存在极值点,所以f'(x)=0有两不等实根,则Δ=4a2-4>0,解得a<-1或a>1,所以a的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).
12. [解析] 令f(x)=2x3-3x2-12x,则f'(x)=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1),可知f'(2)=f'(-1)=0,故l1∥l4,f'(0)=f'(1)=-12,故l2∥l3,所以这四条切线所围成的封闭图形为平行四边形,设其底(底所在的直线为l1或l4)为d,高为h,由y1=f(-1)=7,y4=f(2)=-20,得h=|y1-y4|=27.由y2=f(0)=0得l2:y=-12x,由y3=f(1)=-13得l3:y=-12,故d=,则该平行四边形的面积S=d·h=.
13.解:(1)f'(x)=6x2-2ax+12,因为f(x)在x=2处取得极小值5,所以f'(2)=24-4a+12=0,解得a=9,此时f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2),所以f(x)在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=2处取得极小值,符合题意,所以a=9,f(x)=2x3-9x2+12x+b.又f(2)=4+b=5,所以b=1.
(2)由(1)知f(x)=2x3-9x2+12x+1,所以f'(x)=6(x-1)(x-2).
列表如下:
x 0 (0,1) 1 (1,2) 2 (2,3) 3
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 1 单调递增 极大值6 单调递减 极小值5 单调递增 10
由于1<5,故当x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=1.
14.解:(1)由f(x)=x3-x2-2x+1,得f'(x)=x2-x-2,令f'(x)=x2-x-2>0,得x<-1或x>2,令f'(x)=x2-x-2<0,得-1(2)由(1)可知,f(x)的极大值为f(-1)=,极小值为f(2)=-.
(3)因为函数f(x)在[a,+∞)上的最小值是-,所以f(a)≥f(2)=-.令f(x)=f(2)=-,得x3-x2-2x+1=-,故(x-2)2(2x+5)=0,解得x=-或x=2.由于f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(2,+∞),单调递减区间为(-1,2),故要使得函数f(x)在[a,+∞)上的最小值是-,只需-≤a≤2,即实数a的取值范围为-≤a≤2.
15.解:(1)∵f'(x)=3x2+2ax-6,∴f'(1)=2a-3=-6,解得a=-,∴f(x)=x3-x2-6x+1,则f(1)=1--6+1=-,∴f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y+=-6(x-1),即12x+2y-1=0.
(2)由(1)知f(x)=x3-x2-6x+1,则f'(x)=3x2-3x-6=3(x-2)(x+1),
∴当x∈[-2,-1)∪(2,4]时,f'(x)>0,当x∈(-1,2)时,f'(x)<0,∴f(x)在[-2,-1),(2,4]上单调递增,在(-1,2)上单调递减,又f(-2)=-1,f(-1)=,f(2)=-9,f(4)=17,
∴在区间[-2,4]上,f(x)max=f(4)=17,f(x)min=f(2)=-9.由g(x)=f(x)-m=0,得m=f(x),由题意可得,函数y=m与y=f(x)的图象在[-2,4]上有三个交点,则实数m的取值范围为-1≤m<.微突破(三) 三次函数的图象与性质及应用
一、两个定义
1.形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数,称为“三次函数”.
2.三次函数的导函数f'(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),把“Δ=4b2-12ac”叫作三次函数导函数的判别式.
二、三次函数的图象与性质
1.三次函数:①y=ax3+bx2+cx+d(a≠0);
②y=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(a≠0).
2.三次函数的图象与导函数的图象(如图)
归纳:①当y'=3ax2+2bx+c(a≠0)的判别式Δ≤0时,三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)在R上恒增(a>0)或恒减(a<0);
②当y'=3ax2+2bx+c(a≠0)的判别式Δ>0时,三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)在R上有增有减(不单调).
3.三次函数图象的对称中心
三次函数y=f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的一阶导函数为y'=3ax2+2bx+c,二阶导函数为y″=6ax+2b.令y″=6ax+2b=0得x=-,即三次函数y=f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象的对称中心为.
①对于一阶导函数y'=3ax2+2bx+c来说,其图象的对称轴方程为x=-,即三次函数图象的对称中心的横坐标为-.
②三次函数的极大值与极小值之和为2f,极大值点与极小值点之和为-.
4.三次函数的图象与穿根引线法
(1)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0).
(i)f(x)有3个零点(如图①);
(ii)f(x)有2个零点(如图②③).
(2)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a<0).
(i)f(x)有3个零点(如图①);
(ii)f(x)有2个零点(如图②③).
(3)若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)只有一个零点,则函数的单调性有待进一步确定,然后才可以绘制图象.
◆ 题型一 三次函数的基本性质
例1 (多选题)已知函数f(x)=x3-3x2+2,则下列结论中正确的是 ( )
A.导函数f'(x)的单调递减区间为(0,2)
B.f(x)的图象关于点(1,0)中心对称
C.过原点O只能作一条直线与f(x)的图象相切
D.f(x)恰有两个零点
变式 [2024·云南曲靖一中高二期中] 函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是 ( )
A.a<0,b<0,c<0,d>0
B.a<0,b<0,c>0,d>0
C.a<0,b>0,c<0,d>0
D.a>0,b>0,c>0,d>0
◆ 题型二 三次函数的极值与零点
例2 已知函数f(x)的定义域为R,函数f(x)的导函数f'(x)=a(x-a)(x-1),若f(x)在x=1处取得极大值,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,0) B.(0,1)
C.(1,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞)
例3 [2024·南京江宁区高二期末] 已知函数f(x)=x3-x2-2x+m.
(1)当m=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)若函数f(x)有三个不同的零点,求实数m的取值范围.微突破(三) 三次函数的图象与性质及应用
一、选择题
1.如图是某三次函数及其导函数在同一坐标系中的图象,则正确的是 ( )
A B
C D
2.[2024·福建宁德高二期中] 若函数f(x)=x3-x2+ax在R上是增函数,则实数a的取值范围为 ( )
A.a>1 B.a<1
C.a≤1 D.a≥1
3.函数f(x)=x3-3x+2的零点的个数是 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
4.已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2,若x=-1时,f(x)取得极值0,则ab的值为 ( )
A.3 B.18
C.3或18 D.不存在
5.若函数f(x)=x3-x2+a在[-1,1]上的最小值是1,则实数a的值是 ( )
A.1 B.3 C. D.-1
6.已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx-1,若函数g(x)=f(-x)+1的图象关于点(1,0)对称,且g(-2)<0,则下列说法错误的是( )
A.a<0
B.g(x)有3个零点
C.f(x)的图象的对称中心是(-1,0)
D.12a-4b+c<0
7.一般地,对于一元三次函数f(x),f″(x)为f'(x)的导函数,若f″(x0)=0,则(x0,f(x0))为三次函数f(x)的图象的对称中心.已知函数f(x)=x3+ax2+1图象的对称中心的横坐标为x0(x0>0),且f(x)有三个零点,则实数a的取值范围是 ( )
A. B.(-∞,0)
C.(-1,0) D.
8.已知a,b∈R且ab≠0,对于任意x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0,则一定有 ( )
A.a<0 B.a>0
C.b<0 D.b>0
9.(多选题)已知函数f(x)=x3+3x2-9x-10,下列结论中正确的是 ( )
A.x=1是f(x)的极小值点
B.f(x)有三个零点
C.曲线y=f(x)与直线y=-12x-11只有一个公共点
D.函数y=f(x-1)为奇函数
二、填空题
10.已知函数f(x)=2x3+3x2-12x+1,则f(x)在[-3,2]上的最大值为 .
11.[2024·长春高二期末] 若函数f(x)=x3-ax2+x+1存在极值点,则实数a的取值范围为 .
12.函数y=2x3-3x2-12x的图象在点Pi(i-2,yi)(i=1,2,3,4)处的切线为li,则这四条切线所围成的封闭图形的面积为 .
三、解答题
13.[2024·江苏扬州高二期末] 已知函数f(x)=2x3-ax2+12x+b在x=2处取得极小值5.
(1)求实数a,b的值;
(2)当x∈[0,3]时,求函数f(x)的最小值.
14.[2024·山东菏泽高二期末] 已知函数f(x)=x3-x2-2x+1.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)的极值;
(3)若函数f(x)在[a,+∞)上的最小值是-,求实数a的取值范围.
15.[2024·长沙高二期中] 已知函数f(x)=x3+ax2-6x+1(a∈R),且f'(1)=-6.
(1)求函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若函数g(x)=f(x)-m在区间[-2,4]上有三个零点,求实数m的取值范围.(共37张PPT)
微突破（三） 三次函数的图象与性
质及应用
题型一 三次函数的基本性质
题型二 三次函数的极值与零点
一、两个定义
1.形如 的函数，称为“三次函数”.
2.三次函数的导函数，把“ ”叫作
三次函数导函数的判别式.
二、三次函数的图象与性质
1.三次函数： ；
.
2.三次函数的图象与导函数的图象（如图）
归纳：①当的判别式 时，三次函数
在上恒增或恒减 ；
②当的判别式 时，三次函数
在 上有增有减（不单调）.
3.三次函数图象的对称中心
三次函数 的一阶导函数为
，二阶导函数为.令 得
，即三次函数 的图象的对称中心
为 .
①对于一阶导函数来说，其图象的对称轴方程为 ,
即三次函数图象的对称中心的横坐标为 .
②三次函数的极大值与极小值之和为,极大值点与极小值点之和为 .
4.三次函数的图象与穿根引线法
（1） .
有3个零点（如图①）；
有2个零点（如图②③）.
（2） .
有3个零点（如图①）；
有2个零点（如图②③）.
（3）若 只有一个零点，则函数的单调性有待
进一步确定，然后才可以绘制图象.
题型一 三次函数的基本性质
例1 （多选题）已知函数 ，则下列结论中正确的是 ( )
BC
A.导函数的单调递减区间为
B.的图象关于点 中心对称
C.过原点只能作一条直线与 的图象相切
D. 恰有两个零点
[解析] 因为，所以 ，则导
函数的图象的对称轴是 ，且图象是开口向上的抛物线，故导函数
的单调递减区间为，A错误；
因为，所以 的图象关于点中心对称，B正确；
设过原点的直线与曲线相切于点 ，
则，整理得 ，
令，则，
令 ，得或，令，得，故有极大值 ，极小值，
由三次函数的性质得只有一个解，则过原点 只能作一条直线与 的图象相切，C正确；
令，得或，令 ，得
，所以函数有极大值，极小值 ，由三
次函数的性质得有三个解，即有三个零点，故D错误.故选 .
变式 [2024·云南曲靖一中高二期中]函数
的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A
A.,,, B.,,,
C.,,, D.,,,
[解析] 观察图象知，，函数有3个零点，设3个零点为, ,
，于是，当 时，
，而此时 ，因此
，函数有两个极值点,，且 ，
即有两个不等实根，且,，因此 ,
，所以,,, .故选A.
题型二 三次函数的极值与零点
例2 已知函数的定义域为，函数的导函数 ，
若在处取得极大值，则实数 的取值范围是( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 函数的导函数，令 ，可得
，易知，则或.
若，则当 时，；当或时，.
所以在 处取得极大值，符合题意.
若，则当时，；当或 时，.
所以在处取得极小值，不符合题意，舍去.
若 ，则恒成立，不符合题意，舍去.
若，则当 时，；当或时，.
所以在 处取得极大值，符合题意.
故实数的取值范围为 .故选D.
例3 [2024·南京江宁区高二期末] 已知函数 .
（1）当时，求曲线在点 处的切线方程；
解:当时，， ，所以
，，所以所求切线方程为 ，即
.
（2）若函数有三个不同的零点，求实数 的取值范围.
解:，令，得或 .当
或时，；当时，.
所以 的单调递增区间为，，单调递减区间为，
所以 的极大值为，极小值为.
若函数 有三个不同的零点，则解得 .
练习册
一、选择题
1.如图是某三次函数及其导函数在同一坐标系中的图象，则正确的是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 对于A，B，导函数的符号是先正后负再正，原函数应先增后减再增，故
A，B错误；
对于C，导函数变号的地方应是单调性发生变化的地方，故C错误；
对于D，符合导函数的符号与原函数的单调性的关系，故D正确.故选D.
2.[2024·福建宁德高二期中]若函数在 上是增函数，则实
数 的取值范围为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 函数，，若在 上为增函
数，则在上恒成立，可得,解得 ，故选D.
3.函数 的零点的个数是( )
C
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 的定义域为，且，所以当 或
时，，当时， ，故
在,上单调递增，在 上单调递减，
又，， ，
故函数 的零点的个数为2.故选C.
4.已知函数，若时，取得极值0，则
的值为( )
B
A.3 B.18 C.3或18 D.不存在
[解析] 由，得 ，因为当
时，取得极值0，所以解得 或
当时，，此时函数 在
处取不到极值；
经检验，当时，函数在 处取得极值0，满足题意.
所以所以 .故选B.
5.若函数在上的最小值是1，则实数 的值是( )
B
A.1 B.3 C. D.
[解析] 令，解得或 ，可得当
时，，当时，，所以在
处取得极小值，
又，，显然 ，
所以，所以 ，故选B.
6.已知三次函数，若函数 的图象关
于点对称，且 ，则下列说法错误的是( )
C
A. B. 有3个零点
C.的图象的对称中心是 D.
[解析] 由题设可知,且 ，所以
，整理得
，故可得 故
.
因为，所以 ，A中说法正确；
有3个零点，B中说法正确；
由，可知 ，
所以的图象关于点 对称，C中说法错误；
，D中说法正确.故选C.
7.一般地，对于一元三次函数，为的导函数，若 ，则
为三次函数的图象的对称中心.已知函数 图
象的对称中心的横坐标为，且有三个零点，则实数 的取值范围
是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由函数得，则 ，
由，解得，则有 .
令，解得或，所以当或 时，
，当时，，则在， 上单
调递增，在上单调递减，因此，当时，取得极大值 ，
当时，取得极小值.
因为函数 有三个零点，所以函数的图象与 轴有三个公共点，由三次函数
的图象与性质知，于是得，解得.
综上，，即实数 的取值范围是 ，故选A.
8.已知,且，对于任意均有 ，
则一定有( )
C
A. B. C. D.
[解析] 设，令，可得, 或
且.由题意知，在 时恒成立，则.
若三个零点互不相同，要使在 时恒成立，则需此时
，满足 ,排除B，D.
若零点有相同的情况，则有或或三种情况.
若，则 ，即，即，所以，符合题意；
若,则 ，与题设矛盾，不符合题意；
若,即，可得， ，，符合题意.
综上， 恒成立.故选C.
9.（多选题）已知函数 ，下列结论中正确的是
( )
ABC
A.是 的极小值点
B. 有三个零点
C.曲线与直线 只有一个公共点
D.函数 为奇函数
[解析] 函数 ，求导可得
，
令，解得 或1，可得下表：
1
0 - 0
单调递增 17 单调递减 单调递增
则是 的极小值点，故A正确；
，
，
又 ，
，显然函数在,, 上
分别存在一个零点，即函数 有三个零点，故B正确；
由消去可得 ，化简可得
，则该方程存在唯一实根 ，故C正确；
令 ，
，故D错误.故选 .
二、填空题
10.已知函数，则在 上的最大值为____.
21
[解析] ，令，得 或
.
当时，，当时， ，所
以在上单调递减，在,上单调递增.
因为 ,，所以 .
11.[2024·长春高二期末] 若函数 存在极值点，则实数
的取值范围为___________________.
[解析] 由，可得，因为函数
存在极值点，所以有两不等实根，则，解得 或
，所以的取值范围是 .
12.函数的图象在点处的切线为 ，
则这四条切线所围成的封闭图形的面积为__.
[解析] 令，则 ，
可知，
故，，故 ，所以这四条切线所围成的封闭图形
为平行四边形，设其底（底所在的直线为或）为 ，高为，
由，，得 .
由得，由得 ，
故，则该平行四边形的面积 .
三、解答题
13.[2024·江苏扬州高二期末] 已知函数在 处
取得极小值5.
（1）求实数， 的值；
解:，因为在 处取得极小值5，所以
，解得 ，
此时，所以在 上单调递减，
在上单调递增，所以在处取得极小值，符合题意，所以 ，
.
又，所以 .
（2）当时，求函数 的最小值.
解:由（1）知，所以 .
列表如下：
0 1 2 3
0 - 0
1 单调递增 极大值6 单调递减 极小值5 单调递增 10
由于，故当时， .
14.[2024·山东菏泽高二期末] 已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
解:由,得 ，
令，得或，
令 ，得，
故的单调递增区间为, ，单调递减区间为 .
（2）求函数 的极值；
解:由（1）可知，的极大值为，极小值为 .
（3）若函数在上的最小值是，求实数 的取值范围.
解:因为函数在上的最小值是，所以 .
令，得，故 ，
解得或.
由于的单调递增区间为, ，单调递减区间为，
故要使得函数在上的最小值是，只需 ，即
实数的取值范围为 .
15.[2024·长沙高二期中] 已知函数 ，且
.
（1）求函数的图象在点 处的切线方程；
解:，，解得 ，
，则， 的图象在
点处的切线方程为，即 .
（2）若函数在区间上有三个零点，求实数 的取值范围.
解:由（1）知 ，则
，
当时，，当时，， 在
，上单调递增，在上单调递减，
又 ，，， ，
在区间上，， .
由，得，由题意可得，函数与 的图
象在上有三个交点，则实数的取值范围为 .