滚动习题(三)
1.B [解析] 因为f(x)=x2+x,所以f(-1)=(-1)2-1=0,f(3)=32+3=12,故函数f(x)从x=-1到x=3的平均变化率为==3,故选B.
2.C [解析] 依题意,f'(x0)===.故选C.
3.B [解析] 随着时间的变化,单位时间的运输量增加得越来越快,则运输效率逐步提高,由图可知,B选项符合题意.
4.D [解析] ∵s=t3-t2+6t,∴s'=t2-5t+6,令s'=0,得t2-5t+6=0,解得t=2或t=3.故选D.
5.A [解析] 由题意可知曲线y=f(x)过点(3,1),所以f(3)=1,又直线y=kx+2过点(3,1),所以1=3k+2,解得k=-,即f'(3)=-.由g(x)=xf(x),得g'(x)=f(x)+xf'(x),所以g'(3)=f(3)+3f'(3)=1+3×=0.
6.A [解析] 由f(x)=e2ax,得f'(x)=2a·e2ax,又直线2x-y+1=0的斜率为2,所以f'(0)=2a=-,解得a=-.故选A.
7.D [解析] 由题意得y'=4x+3,∵切线的倾斜角的取值范围是,∴切线的斜率k的取值范围是[-1,0),∴-1≤4x+3<0,解得-1≤x<-,即点M横坐标的取值范围为.
8.ABD [解析] ∵f(x)=x2-3f'(1)x+m(m∈R),∴f'(x)=2x-3f'(1),∴f'(1)=2-3f'(1),解得f'(1)=,故A正确;f'(x)=2x-,则f'(0)=-,故B正确;f(x)=x2-x+m,则f(0)=m,f(1)=1-+m=m-,∴f(0)>f(1),故C错误,D正确.故选ABD.
9.BD [解析] 设f(x)=2x2+3x+4,则f'(x)=4x+3,令f'(x)=4x+3=-1,得x=-1,又f(-1)=2-3+4=3,所以公切线的方程为y-3=-(x+1),即y=-x+2,则m=2,故A错误,B正确;设g(x)=-ex+n,则g'(x)=-ex+n,令g'(x)=-ex+n=-1,得x=-n,又g(-n)=-e0=-1,所以公切线的方程为y+1=-(x+n),即y=-x-n-1,则-n-1=2,解得n=-3,故C错误,D正确.故选BD.
10.- [解析] 函数f(x)=ln(1-x)+ax-1,求导得f'(x)=+a,因为f'(-2)=-2,所以-+a=-2,解得a=-.
11. [解析] 因为f(x)=cos x,所以f'(x)=-sin x,
令f(x)=f'(x),即cos x=-sin x,得tan x=-1,
又因为x∈(0,π),所以x=,
所以函数f(x)在(0,π)上的“新驻点”为.
12.a>0或a<-2 [解析] 由题得f'(x)=1-,设切点坐标为,则切线方程为y-x0-=(x-x0),又切线过点(1,0),所以-x0-=(1-x0),整理得2+2ax0-a=0.因为曲线y=f(x)存在两条过点(1,0)的切线,所以Δ=4a2-8(-a)>0,解得a>0或a<-2.
13.解:(1)y'=(x·tan x)'='=
=
==.
(2)方法一:y'=[(x+1)(x+2)]'(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)'=[(x+1)'(x+2)+(x+1)(x+2)'](x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.
方法二:∵y=x3+6x2+11x+6,∴y'=3x2+12x+11.
(3)∵y=-2sin2·cos2=
1-sin2=1-·=+cos x,
∴y'='=-sin x.
(4)根据复合函数的求导法则可得,y'=()'=(x2+1)'=2x.
(5)方法一:y'='=×'=
×=.
方法二:∵y=ln=ln(x-1)-ln(x+1),
∴y'=[ln(x-1)]'-[ln(x+1)]'=(x-1)'-(x+1)'=-=.
14.解:设总利润为L元,则L=R-C=5x-100-0.01x2,
∴边际利润函数为L'=5-0.02x.当x=200时,L'=5-0.02×200=1;当x=250时,L'=5-0.02×250=0;当x=300时,L'=5-0.02×300=-1.其经济意义是:当日产量为200 kg时,再增加1 kg,则总利润可增加1元;当日产量为250 kg时,再增加1 kg,则总利润无增加;当日产量为300 kg时,再增加1 kg,则总利润反而减少1元.由此可得,当企业的某一产品的生产量超过了边际利润函数的零点时,会使企业“无利可图”.
15.解:(1)设直线l:ax-4y+3=0与曲线C1:y=3相切于点M(x0,y0),由y=3,得y'=,∵直线l的斜率为,∴=①,又点M(x0,y0)在直线ax-4y+3=0上,∴ax0-4y0+3=0②,又点M(x0,y0)在曲线y=3上,∴y0=3③,联立①②③可得a=12,故直线l的方程为12x-4y+3=0.由可得kx2-3x-=0,又直线l与曲线C2相切,∴Δ=9+3k=0,解得k=-3.
(2)由(1)得f(x)=x3-mx2+2,则f'(x)=3x2-2mx.设切点为P(x1,-m+2),则曲线y=f(x)在点P(x1,-m+2)处的切线方程为y-(-m+2)=(3-2mx1)(x-x1),∵切线过点(0,m),∴(x1-1)[2+(2-m)x1+(2-m)]=0,根据题意得关于x的方程2x2+(2-m)x+2-m=0有两个不相等的实数根,且x≠1,∴解得m<-6或23,所以实数m的取值范围为(-∞,-6)∪(2,3)∪(3,+∞).滚动习题(三) [范围5.1~5.2]
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)
1.若函数f(x)=x2+x,则函数f(x)从x=-1到x=3的平均变化率为 ( )
A.6 B.3 C.2 D.1
2.[2024·武汉外国语学校高二期末] 函数f(x)是定义在R上的可导函数,若=1,则f'(x0)= ( )
A.2 B.3 C. D.-3
3.家电下乡政策是应对金融危机,积极扩大内需的重要举措.我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡,提出四种运输方案,据预测,这四种方案均能在规定的时间T内完成预期运输任务Q0,各种方案的运输量Q与时间t的函数关系如图所示.在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是 ( )
A B C D
4.一质点沿直线运动,如果经过t秒后的位移s(单位:米)满足s=t3-t2+6t,那么该质点的速度为零的时刻是 ( )
A.第1秒末 B.第2秒末
C.第3秒末 D.第2秒末或第3秒末
5.[2024·浙江宁波高二期末] 已知f(x)是可导函数,直线y=kx+2与曲线y=f(x)相切于点(3,1),设g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)= ( )
A.0 B.1
C.-1 D.-2
6.已知f(x)=e2ax,若曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与直线2x-y+1=0垂直,则a的值为 ( )
A.- B.- C. D.1
7.设M为曲线C:y=2x2+3x+3上的点,且曲线C在点M处的切线的倾斜角的取值范围是,则点M横坐标的取值范围为 ( )
A.[-1,+∞) B.
C. D.
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
8.若函数f(x)在R上可导,且f(x)=x2-3f'(1)x+m(m∈R),则 ( )
A.f'(1)= B. f'(0)=-
C.f(0)f(1)
9.[2024·山西运城高二期末] 若直线y=-x+m是曲线y=2x2+3x+4与曲线y=-ex+n的公切线,则 ( )
A.m=-1 B.m=2
C.n=3 D.n=-3
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.函数f(x)=ln(1-x)+ax-1,若f'(-2)=-2,则a= .
11.[2024·湖北十堰高二期中] 已知函数f(x)的导函数为f'(x),定义方程f(x)=f'(x)的实数根x0叫作函数f(x)的“新驻点”.设f(x)=cos x,则f(x)在区间(0,π)上的“新驻点”为 .
12.已知函数f(x)=x+,若曲线y=f(x)存在两条过点(1,0)的切线,则a的取值范围是 .
四、解答题(本大题共3小题,共38分)
13.(10分)求下列函数的导数.
(1)y=xtan x;
(2)y=(x+1)(x+2)(x+3);
(3)y=sin4+cos4;
(4)y=;
(5)y=ln.
14.(13分)某食品厂生产某种食品的总成本C(单位:元)和总收入R(单位:元)都是日产量x(单位:kg)的函数,分别为C=100+2x+0.02x2,R=7x+0.01x2,试求边际利润函数以及当日产量分别为200 kg,250 kg,300 kg时的边际利润,并说明其经济意义.(总利润y关于产量x的函数y=f(x)的导函数称为边际利润函数)
15.(15分)[2024·海南中学高二期末] 已知直线l:ax-4y+3=0是曲线C1:y=3和曲线C2:y=kx2的一条公切线.
(1)求实数a,k的值;
(2)设f(x)=x-k-mx2+,若过点(0,m)可作曲线y=f(x)的三条不同的切线,求实数m的取值范围.(共20张PPT)
滚动习题（三）
一、单项选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
1.若函数，则函数从到 的平均变化率为( )
B
A.6 B.3 C.2 D.1
[解析] 因为，所以， ，
故函数从到的平均变化率为 ，故选B.
2.[2024·武汉外国语学校高二期末]函数是定义在 上的可导函数，若
，则 ( )
C
A.2 B.3 C. D.
[解析] 依题意， .
故选C.
3.家电下乡政策是应对金融危机，积极扩大内需的重要举措.我市某家电制造集
团为尽快实现家电下乡，提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定
的时间内完成预期运输任务，各种方案的运输量与时间 的函数关系如图
所示.在这四种方案中，运输效率（单位时间的运输量）逐步提高的是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 随着时间的变化，单位时间的运输量增加得越来越快，则运输效率逐步
提高，由图可知，B选项符合题意.
4.一质点沿直线运动，如果经过秒后的位移 （单位：米）满足
，那么该质点的速度为零的时刻是( )
D
A.第1秒末 B.第2秒末
C.第3秒末 D.第2秒末或第3秒末
[解析] ，，令，得 ，
解得或 .故选D.
5.[2024·浙江宁波高二期末]已知是可导函数，直线 与曲线
相切于点，设，是的导函数，则
( )
A
A.0 B.1 C. D.
[解析] 由题意可知曲线过点，所以，
又直线 过点，
所以,解得，即．
由 ，得，
所以 .
6.已知，若曲线在点处的切线与直线 垂
直，则 的值为( )
A
A. B. C. D.1
[解析] 由,得，
又直线 的斜率为2，
所以，解得 .故选A.
7.设为曲线上的点，且曲线在点 处的切线的倾斜角的
取值范围是，则点 横坐标的取值范围为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由题意得， 切线的倾斜角的取值范围是， 切线的
斜率的取值范围是，
，解得，即点 横坐标的取值范围为 .
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
8.若函数在上可导，且 ，则( )
ABD
A. B. C. D.
[解析] ， ，
，解得，故A正确；
，则 ，故B正确；
，则, ，
，故C错误，D正确.故选 .
9.[2024· 山西运城高二期末]若直线是曲线 与曲线
的公切线，则( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 设，则，令 ，得
，又，所以公切线的方程为 ，即
，则，故A错误，B正确；
设，则 ，
令，得，又 ，所以公切线的方程
为，即，则，解得 ，故C错
误，D正确.故选 .
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
10.函数，若，则 ____.
[解析] 函数，求导得 ，
因为，所以，解得 .
11.[2024·湖北十堰高二期中] 已知函数的导函数为 ，定义方程
的实数根叫作函数的“新驻点”.设，则 在区
间 上的“新驻点”为___．
[解析] 因为，所以 ，
令，即，得 ，
又因为，所以 ，
所以函数在上的“新驻点”为 ．
12.已知函数，若曲线存在两条过点的切线，则 的
取值范围是_______________.
或
[解析] 由题得，设切点坐标为 ，则切线方程为
，
又切线过点 ，所以，整理得.
因为曲线 存在两条过点的切线，所以，
解得或 .
四、解答题（本大题共3小题，共38分）
13.（10分）求下列函数的导数.
（1） ；
解:
.
（2） ；
解:方法一：
.
方法二：， .
（3） ；
解:
，
.
（4） ；
解:根据复合函数的求导法则可得， .
（5） .
解:方法一：
.
方法二： ，
.
14.（13分）某食品厂生产某种食品的总成本（单位:元）和总收入 （单位:元）
都是日产量（单位:）的函数,分别为 ,
,试求边际利润函数以及当日产量分别为,,
时的边际利润,并说明其经济意义.总利润关于产量的函数 的导函数
称为边际利润函数
解:设总利润为元，则 ，
边际利润函数为.
当时， ；
当时，；
当时， .
其经济意义是：当日产量为时，再增加 ，则总利润可增加1元；
当日产量为时，再增加，则总利润无增加；
当日产量为 时，再增加 ，则总利润反而减少1元.
由此可得，当企业的某一产品的生产量超过了边际利润函数的零点时，
会使企业“无利可图”.
15.（15分）[2024·海南中学高二期末] 已知直线 是曲线
和曲线 的一条公切线.
（1）求实数, 的值；
解:设直线与曲线相切于点 ，由
，得， 直线的斜率为，，
又点 在直线上，，
又点在曲线 上，，
联立①②③可得，故直线的方程为 .
由可得，
又直线与曲线 相切，，解得 .
（2）设，若过点可作曲线 的三条不同的切
线，求实数 的取值范围.
解:由（1）得，则 .
设切点为，则曲线在点 处的切
线方程为，
切线过点，
根据题意得关于 的方程有两个不相等的实数根，
且 ，解得或或
，所以实数的取值范围为 .
