单元素养测评卷(二)A
1.A [解析] ==f'(1)=×3=1,故选A.
2.A [解析] ()'=()'=,A正确;(cos x)'=-sin x,B错误;(4x)'=4xln 4,C错误;(ln 2)'=0,D错误.故选A.
3.D [解析] 函数f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=ln x+1,由f'(x)=ln x+1<0得0
4.A [解析] 由题意知f'(x)=(x-2022)(x-2023)(x-2025)+(x-2024)[(x-2022)(x-2023)(x-2025)]',所以f'(2024)=2×1×(-1)=-2,又f(2024)=0,所以f(x)的图象在x=2024处的切线方程为y-0=-2(x-2024),即2x+y-4048=0.故选A.
5.B [解析] f'(x)=,当x<7时,f'(x)>0,当x>7时,f'(x)<0,所以f(x)=的极大值为f(7)==.故选B.
6.C [解析] 令f(x)=xln x,x∈,则f'(x)=1+ln x>0在上恒成立,可知f(x)在上单调递增,则f7.D [解析] 由题意得f'(x)=2ex-6ax有2个不同的零点,即a=(x≠0)有2个不同的实数根,即y=a的图象与g(x)=的图象有2个不同的交点.令g(x)=,则g'(x)=,当x>1时,g'(x)>0,当0.故选D.
8.B [解析] 由a-2ln x=-x2-1,得a=-x2-1+2ln x.设h(x)=-x2-1+2ln x,x∈,则h'(x)=-2x+,令h'(x)=-2x+==0,解得x=1或x=-1(舍去).当x∈时,h'(x)>0,此时h(x)单调递增,当x∈(1,e2]时,h'(x)<0,此时h(x)单调递减,则h(x)max=h(1)=-2,又h=-5-,h(e2)=3-e4,则h(x)∈[3-e4,-2].当x∈时,若方程a-2ln x=-x2-1有解,则a∈[3-e4,-2],故选B.
9.AC [解析] 因为直线2x-y+m=0的斜率为2,所以若f'(x)=2有解,则直线2x-y+m=0就能与该函数的图象相切.对于A,令f'(x)=2x+1=2,解得x=,满足条件;对于B,f'(x)=2+ex>2恒成立,不满足条件;对于C,令f'(x)=x+=2,解得x=1,满足条件;对于D,f'(x)=2+>2恒成立,不满足条件.故选AC.
10.BCD [解析] 对于A,f'(x)=-3x2+6x=-3x(x-2),当x<0时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当00,f(x)单调递增,当x>2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,故A错误;对于B,x=2是函数f(x)的极大值点,故B正确;对于C,x=0是函数f(x)的极小值点,且f(x)极大值=f(2)=-23+3×22-2=2>0,f(x)极小值=f(0)=-03+3×02-2=-2<0,所以f(x)在(0,2)上有一个零点,又f(-1)=-(-1)3+3×(-1)2-2=2>0,f(3)=-33+3×32-2=-2<0,所以f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上各有一个零点,f(x)的图象如图所示,所以函数f(x)有3个零点,故C正确;对于D,若函数f(x)在区间(3a-1,a+3)上存在最小值,则解得-311.BCD [解析] 函数f(x)=aln x++bx的定义域为(0,+∞),f'(x)=+x+b=,因为函数f(x)=aln x++bx有极值点,所以x2+bx+a=0有两个不相等的正根或有一个正根一个负根,则Δ=b2-4a>0,A错误;若a<0,则Δ=b2-4a>0,设x2+bx+a=0的两根为x1,x2,则x1x2=a<0,即x2+bx+a=0有一个正根一个负根,即f'(x)=0有一个变号零点,此时f(x)有且仅有一个极值点,B正确;若f(x)有两个极值点,则需x2+bx+a=0有两个不相等的正根,即需满足Δ=b2-4a>0,且x1+x2=-b>0,x1x2=a>0,则ab<0,C正确;若x=1是f(x)的极大值点,则x=1是x2+bx+a=0的一个根,则1+b+a=0,且另一个根为a,此时需满足Δ=b2-4a>0,且x1+x2=-b>0,x1x2=a>0,且x=1为较小的正根,即a>1,D正确.故选BCD.
12.0.075 [解析] 当1≤t≤2时,火车行驶的距离变化了s(2)-s(1)=0.075(km),故火车在这段时间内的平均速度==0.075(km/s).
13.-2 [解析] 因为y=e1-x-xln x,所以y'=-e1-x-(ln x+1),所以曲线y=e1-x-xln x在x=1处的切线斜率为y'x=1=-2.因为曲线y=e1-x-xln x在x=1处的切线与直线x+my+2=0垂直,所以m≠0,所以直线x+my+2=0的斜率为-,且-×(-2)=-1,所以m=-2.
14.1.5 [解析] 设B商品投入x千元(00,函数S(x)单调递增;当15.解:(1)y'=2x(ln x+sin x)+x2=2xln x+2xsin x+x+x2cos x.
(2)y'==.
(3)y'=ln x+·=.
(4)y'=10x4+12x3-12x2.
16.解:(1)由f(x)=(2x2-3x)ex,可知f(x)的定义域为R,f'(x)=(2x2+x-3)ex,所以f'(0)=-3e0=-3,又f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=-3x.
(2)f'(x)=(2x2+x-3)ex=(x-1)(2x+3)ex,由f'(x)=0,得x=-或x=1,当x<-时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以函数f(x)的单调递增区间为,(1,+∞);单调递减区间为.
17.解:(1)若a=1,则f(x)=ln x+-1,定义域为(0,+∞),f'(x)=-,令-=0,解得x=2.当02时,f'(x)>0,所以f(x)极小值=f(2)=ln 2,f(x)无极大值.
(2)要使当x∈(0,+∞)时,f(x)≥0恒成立,只需f(x)min≥0.
f'(x)=-=(x>0),
当02时,f'(x)>0,
所以函数f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,
所以f(x)min=f(2)=ln 2+1-a,
所以ln 2+1-a≥0,解得a≤ln 2+1.
18.解:(1)因为f(x)=ln x-+,所以f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-=.
当a<0时,f'(x)>0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
当a>0时,由f'(x)<0,得x>,f(x)在区间上单调递减;
由f'(x)>0,得0综上可得,当a<0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(2)证明:当a=1时,f(x)=ln x-x2+,要证f(x)只需证ex-ln x->0,设g(x)=ex-ln x-,
则问题转化为证明对任意的x>0,g(x)>0.
g'(x)=ex-=,x>0,
显然g'(x)是增函数,且g'=-2<0,g'=-=>0,
所以存在唯一x0∈,使得g'(x0)=0,即x0=1,所以=,得ln x0=-x0,
当x变化时,g'(x)和g(x)的变化情况如下表,
x (0,x0) x0 (x0,+∞)
g'(x) - 0 +
g(x) 单调递减 g(x0) 单调递增
故g(x)min=g(x0)=-ln x0-=+x0-,
由y=+x-在上单调递减,可知g(x0)>+-=0,所以g(x)>0,
得证.
19.解:(1)因为f(x)=ln x+ax+2(x>0),所以f'(x)=+a=,
因为函数f(x)在x=1处取得极值,所以f'(1)=1+a=0,解得a=-1.
当a=-1时,可得f'(x)=,
当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
所以当x=1时,函数f(x)取得极大值,符合题意,故a=-1.
(2)f'(x)=,其中x>0.
当a≥0时,可得f'(x)>0,f(x)单调递增,
此时函数f(x)至多有一个零点,不符合题意.
当a<0时,令f'(x)=0,解得x=-,
当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
所以当x=-时,f(x)取得极大值,也是最大值,
且f=ln+a·+2=1-ln(-a).
又当x→0时,f(x)→-∞,当x→+∞时,f(x)→-∞,
所以要使函数f(x)有两个零点,只需f>0,
即1-ln(-a)>0,解得-e所以实数a的取值范围是(-e,0).单元素养测评卷(二)A
第五章
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知函数f(x)在x=1处的导数为3,则= ( )
A.1 B.3 C.6 D.9
2.[2024·浙江舟山高二期末] 下列求导结果正确的是 ( )
A.()'= B.(cos x)'=sin x
C.(4x)'=x4x-1 D.(ln 2)'=
3.[2024·陕西师大附中高二期末] 函数f(x)=xln x的单调递减区间为 ( )
A.(0,1) B.
C. D.
4.[2024·安徽滁州高二期末] 已知函数f(x)=(x-2022)(x-2023)(x-2024)(x-2025),则f(x)的图象在x=2024处的切线方程为 ( )
A.2x+y-4048=0 B.x+y-2024=0
C.2x-y-4048=0 D.x-y-2024=0
5.[2024·山西忻州高二期末] 函数f(x)=的极大值为 ( )
A.e-6 B.e-7 C.e-8 D.e-9
6.[2024·长沙雅礼中学高二期末] 若a=ln ,b=ln ,c=-,则 ( )
A.cC.c7.若函数f(x)=2ex-3ax2+1有两个不同的极值点,则实数a可以为 ( )
A. B.
C. D.
8.当x∈时,若方程a-2ln x=-x2-1有解,则实数a的取值范围是 ( )
A. B. [3-e4,-2]
C. D. [1-e2,-2]
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2024·江苏盐城高二期中] 下列函数的图象可能与直线2x-y+m=0(m∈R)相切的是 ( )
A.f(x)=x2+x B.f(x)=2x+ex
C.f(x)=x2+ln x D.f(x)=2x+
10.[2024·重庆一中高二期末] 已知函数f(x)=-x3+3x2-2,则下列说法正确的是 ( )
A.函数f(x)在(-∞,0)∪(2,+∞)上单调递减
B.x=2是函数f(x)的极大值点
C.函数f(x)有3个零点
D.若函数f(x)在区间(3a-1,a+3)上存在最小值,则实数a的取值范围为(-3,0]
11.已知函数f(x)=aln x++bx有极值点,下列结论正确的是 ( )
A.b2-4a<0
B.若a<0,则f(x)有且仅有一个极值点
C.若f(x)有两个极值点,则ab<0
D.若x=1是f(x)的极大值点,则a>1
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知一列火车在启动后做匀加速直线运动,火车行驶的距离s(单位:km)与经过的时间t(单位:s)(0≤s≤10)满足的函数关系为s(t)=,则火车在1≤t≤2这段时间内的平均速度是 km/s.
13.已知曲线y=e1-x-xln x在x=1处的切线与直线x+my+2=0垂直,则实数m= .
14.[2024·南京六校高二期末] 某个体户计划同时销售A,B两种商品,当投资额为x(x>0)千元时,在销售A,B商品中所获收益分别为f(x)千元与g(x)千元,其中f(x)=2x,g(x)=4ln(2x+1),若该个体户准备共投入5千元销售A,B两种商品,为使总收益最大,则B商品需投入 千元.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)求下列函数的导数:
(1)y=x2(ln x+sin x);(2)y=;
(3)y=ln x;(4)y=2x5+3x4-4x3+7.
16.(15分)[2024·北京朝阳区高二期末] 已知函数f(x)=(2x2-3x)ex.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求f(x)的单调区间.
17.(15分)[2024·武汉三中高二月考] 已知函数f(x)=ln x+-a.
(1)若a=1,求函数f(x)的极值;
(2)当x∈(0,+∞)时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
18.(17分)已知函数f(x)=ln x-+(a∈R,a≠0).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当a=1时,证明:对任意的x>0,f(x)19.(17分)[2024·重庆黔江中学高二月考] 已知函数f(x)=ln x+ax+2.
(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
(2)若函数f(x)在定义域内存在两个零点,求a的取值范围.