单元素养测评卷(二)B
1.A [解析] 由题意得y'=(sin x)'=cos x,所以曲线y=sin x在点T(2π,0)处的切线的斜率k=cos 2π=1,所以曲线y=sin x在点T(2π,0)处的切线的方程是y-0=1×(x-2π),即x-y-2π=0.故选A.
2.D [解析] 因为f(x)=3f'(0)x+x2+ex-1,所以f(0)=e0-1=0,f'(x)=3f'(0)+2x+ex,则f'(0)=3f'(0)+e0,解得f'(0)=-,所以f'(0)+f(0)=-.故选D.
3.B [解析] 函数f(x)=ln x-x2的定义域为(0,+∞),且f'(x)=-2x=,令f'(x)>0,得04.D [解析] 由y=f'(x)的图象可知,当x∈(-∞,x1)时,f'(x)<0,当x∈(x1,0)时,f'(x)>0,当x∈(0,x2)时,f'(x)<0,当x∈(x2,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(-∞,x1),(0,x2)上单调递减,在区间(x1,0),(x2,+∞)上单调递增,分析选项可知只有D符合题意.故选D.
5.C [解析] 由题意得f'(x)=(x-2)ex+x-2=(x-2)(ex+1),则当x>2时,f'(x)>0,当x<2时,f'(x)<0,即f(x)在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以当x=2时,f(x)取得最小值.由题意有2m-2<2<3+m,解得-16.B [解析] 设利润为g(x)万元,则g(x)=-x3+ax2+x-2-x=-x3+ax2-2(00,当x∈(8,10]时,g'(x)<0,故函数g(x)在(0,8)上单调递增,在(8,10]上单调递减,所以当x=8时,函数g(x)取得最大值,所以要使利润最大,每年需种植莲藕8万斤.故选B.
7.C [解析] 设切点坐标为(x0,x0ln x0),对f(x)=xln x求导得f'(x)=ln x+1,所以切线的斜率a=ln x0+1,切线方程为y-x0ln x0=a(x-x0),即y=ax-x0,所以b=-x0,所以=.令g(x)=(x>0),则g'(x)=,令g'(x)=0,得x=e,当x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)有最大值g(e)=,无最小值,即有最大值,无最小值.故选C.
8.A [解析] 不等式f(x)>1+即为e2x-2f(x)-e2x-2-2024>0,设函数g(x)=e2x-2f(x)-e2x-2-2024,则不等式即为g(x)>0.因为2f(x)+f'(x)>2,所以g'(x)=2e2x-2f(x)+e2x-2f'(x)-2e2x-2=e2x-2[2f(x)+f'(x)-2]>0,因此函数g(x)在R上是增函数.由f(1)=2025,得g(1)=f(1)-1-2024=0,则不等式即为g(x)>g(1),解得x>1,所以不等式f(x)>1+的解集是(1,+∞).故选A.
9.ACD [解析] 对于A,(e3)'=0,故A中求导错误;
对于B,(3xln x)'=3ln x+3x·=3ln x+3,故B中求导正确;
对于C,'=,故C中求导错误;
对于D,(e2x+1)'=e2x+1·(2x+1)'=2e2x+1,故D中求导错误.
故选ACD.
10.ABD [解析] 函数f(x)=ln(cos x)+sin2x,-+2kπ0,所以f(x)在上单调递增,故B正确;对于C选项,当x→时,cos x→0,ln(cos x)→-∞,sin2x→1,则f(x)→-∞,所以f(x)没有最小值,故C不正确;对于D选项,因为f(x)=ln(cos x)+sin2x的最小正周期为2π,且f(x)是偶函数,其定义域为(k∈Z),所以只需研究函数f(x)在上的最大值,由B选项知f(x)在上单调递增,而当x∈时,cos x∈,2cos x->0,sin x≤0,所以f'(x)=sin x·≤0,所以f(x)在上单调递减,则f(x)的最大值为f=ln+=,故D正确.故选ABD.
11.ABD [解析] 由f(x1)=g(x2)=k(k<0),得=<0,又因为x1∈(0,+∞),x2∈R,所以x1∈(0,1),x2∈(-∞,0),则x1+x2<1,故A正确;由=<0,得=>0,两边同时取自然对数可得ln(-ln x1)-ln x1=ln(-x2)-x2,因为函数y=ln x+x在(0,+∞)上为增函数,所以-ln x1=-x2,即ln x1=x2,故B正确;==k<0,故·ek=k2·ek,设h(k)=k2·ek(k<0),则h'(k)=2k·ek+k2·ek=k·ek(k+2),由h'(k)>0,得k<-2,由h'(k)<0,得-212.-2 [解析] 由f(x)=ex-3x,得f'(x)=ex-3,故f'(0)=e0-3=-2.
13. [解析] 因为f(x)=x-cos x,x∈,所以f'(x)=+sin x.当-0,f(x)单调递增.所以f(x)min=f=--.又因为f=-14. [解析] 因为ex+x=-ln y,所以ex+x=+ln =+ln .
令f(x)=ex+x,则f'(x)=ex+1>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,又f(x)=f,所以x=ln ,所以y=,所以xe-x-y=xe-x-=.令g(x)=,则g'(x)=,令g'(x)>0,得x<2,令g'(x)<0,得x>2,所以g(x)在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,所以g(x)max=g(2)=,即xe-x-y的最大值为.
15.解:(1)∵f(x)=ln x+x2(x>0),∴f'(x)=+x(x>0),当x=1时,f'(1)=,f(1)=,∴曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-=(x-1),即10x-8y-9=0.
(2)∵x>0,∴f'(x)=+x≥2=1,当且仅当=x,即x=2时,等号成立,∴曲线y=f(x)在点P处切线的斜率的最小值为1,∴tan α≥1,又0≤α<π,∴≤α<,即倾斜角α的取值范围为.
16.解:由可得ln x+-1=0,
设h(x)=ln x+-1(x>0),则h'(x)=-=(x>0),由h'(x)>0,得x>1,由h'(x)<0,得0所以函数h(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞),
所以h(x)min=h(1)=ln 1+1-1=0,
即函数h(x)=ln x+-1有且仅有一个零点1,
即方程ln x+-1=0有且仅有唯一实数解x=1,
故由解得
由已知可得f'(x)=,g'(x)=,则f'(1)=1,g'(1)=1,
所以f'(1)=g'(1),所以曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相切于点(1,0),
且公切线的方程为y=x-1,即x-y-1=0.
17.解:(1)函数f(x)=x3-3x2+a的定义域为R,f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),
令f'(x)=0,得x=0或2,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(2,+∞),单调递减区间为(0,2).
(2)由对任意x1∈[1,3],x2∈,都有f(x1)≥g(x2),得f≥g.
由(1)可知,函数f(x)在[1,2)上单调递减,在(2,3]上单调递增,故当x∈[1,3]时,f(x)min=f(2)=a-4.因为g(x)=xln x,所以g'(x)=1+ln x≥0在上恒成立,故函数g(x)在上单调递增,所以当x∈时,g(x)max=g(e)=e.由题意可得a-4≥e,故a≥e+4,即a的取值范围是[e+4,+∞).
18.解:(1)由题意知θ∈,
且∠COP=-θ,圆的半径为1,所以l1=-θ.
l2=PF=OB-OE=1-cos θ,
所以L=l1+l2=-θ+1-cos θ,其中θ∈,因为L'=-1+sin θ≤0恒成立,
所以L=l1+l2=-θ+1-cos θ在上单调递减.
(2)由题意可得S1=2××12=-θ,
因为PF⊥BD,PE⊥AB,所以四边形PEBF为矩形,
于是S2=PE·BE=sin θ(1-cos θ),
所以S=S1+S2=-θ+sin θ(1-cos θ),其中θ∈,
则S'=-1+cos θ(1-cos θ)+sin θ·sin θ=-1+cos θ-cos2θ+1-cos2θ=cos θ(1-2cos θ),
令S'=0,得cos θ=或cos θ=0,即θ=或θ=.
当θ变化时,S',S的变化情况如下表:
θ 0
S' - 0 +
S 单调递减 + 单调递增 1
由表可知,S的值域为.
19.解:(1)平方关系:ch2(x)-sh2(x)=1;
导数关系:
(2)证明:构造函数F(x)=sh(x)-x,x∈(0,+∞),
则F'(x)=ch(x)-1,
因为ch(x)=≥=1,当且仅当ex=e-x,即x=0时取等号,而x∈(0,+∞),
所以F'(x)>0恒成立,故F(x)在(0,+∞)上单调递增,
则F(x)>F(0)=0,故当x>0时,sh(x)>x.
(3)f(x)=ch(x)-cos x-x2,则f'(x)=sh(x)+sin x-2x,
令g(x)=sh(x)+sin x-2x,则g'(x)=ch(x)+cos x-2,
令h(x)=ch(x)+cos x-2,则h'(x)=sh(x)-sin x.
当x∈[0,+∞)时,由(2)可知sh(x)≥x,则h'(x)=sh(x)-sin x≥x-sin x,
令u(x)=x-sin x,则u'(x)=1-cos x≥0,故u(x)在[0,+∞)上单调递增,
则h'(x)≥u(x)≥u(0)=0,故h(x)在[0,+∞)上单调递增,
则g'(x)=h(x)≥h(0)=0,故g(x)在[0,+∞)上单调递增,
则f'(x)=g(x)≥g(0)=0,故f(x)在[0,+∞)上单调递增.
因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=ch(-x)-cos (-x)-(-x)2=ch(x)-cos x-x2=f(x),
所以f(x)为偶函数,故f(x)在(-∞,0]上单调递减,
则f(x)min=f(0)=0.单元素养测评卷(二)B
第五章
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.曲线y=sin x在点T(2π,0)处的切线的方程是 ( )
A.x-y-2π=0 B.x-y+2π=0
C.x+y-2π=0 D.x+y+2π=0
2.已知函数f(x)=3f'(0)x+x2+ex-1(f'(x)是f(x)的导函数),则f'(0)+f(0)= ( )
A. B.- C. D.-
3.函数f(x)=ln x-x2的单调递增区间是 ( )
A. B.
C.(1,+∞) D.
4.[2024·山西长治高二期末] 函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,那么函数y=f(x)的图象可能是( )
A B C D
5.[2024·四川遂宁射洪中学高二月考] 若函数f(x)=(x-3)ex+x2-2x+1在区间(2m-2,3+m)上存在最值,则m的取值范围是 ( )
A.m<-1 B.m>2
C.-12
6.某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元,每年最大规模的种植量是10万斤,每种植1斤藕,成本增加1元.已知销售额y(单位:万元)与莲藕种植量x(单位:万斤)满足y=-x3+ax2+x(a为常数),若种植3万斤时,利润是万元,则要使利润最大,每年需种植莲藕 ( )
A.7万斤 B.8万斤
C.9万斤 D.10万斤
7.已知直线y=ax+b与函数f(x)=xln x的图象相切,则 ( )
A.有最大值e B.有最小值-e
C.有最大值 D.有最小值-
8.函数f(x)的导函数f'(x)满足2f(x)+f'(x)>2,且f(1)=2025,则不等式f(x)>1+的解集是 ( )
A.(1,+∞) B.(0,1)
C.(1,2025) D.(2025,+∞)
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列函数求导错误的是 ( )
A.(e3)'=e3
B.(3xln x)'=3ln x+3
C.'=
D.(e2x+1)'=e2x+1
10.[2024·浙江宁波九校高二期末] 已知函数f(x)=ln(cos x)+sin2x,则 ( )
A.f(x)=f(-x)
B.f(x)在上单调递增
C.f(x)有最小值
D.f(x)的最大值为
11.[2024·江苏盐城中学高二期末] 已知函数f(x)=,g(x)=,若存在x1∈(0,+∞),x2∈R,使得f(x1)=g(x2)=k(k<0)成立,则下列结论正确的是 ( )
A.x1+x2<1
B.ln x1=x2
C.·ek的最大值为
D.·ek的最大值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2024·上海闵行区高二期末] 无论我们对函数y=ex求多少次导数,结果仍然是它本身,这就像我们在生活中无论遇到多少艰难险阻,都要不忘初心,坚持自我,按照自己制定的目标,奋勇前行!已知函数f(x)=ex-3x,则f'(0)= .
13.函数f(x)=x-cos x,x∈的值域是 .
14.[2024·安徽滁州高二期末] 已知实数x,y满足ex+x=-ln y,则xe-x-y的最大值为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2024·海南中学高二期末] 已知f(x)=ln x+x2.
(1)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;
(2)设P为曲线y=f(x)上的点,求曲线y=f(x)在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角α的取值范围.
16.(15分)已知函数f(x)=ln x,g(x)=1-,证明曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相切,并求其公切线的方程.
17.(15分)已知函数f(x)=x3-3x2+a(a∈R),g(x)=xln x.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若对任意x1∈[1,3],x2∈,都有f(x1)≥g(x2),求实数a的取值范围.
18.(17分)[2024·江苏苏州高二期中] 如图,AB是半圆的直径,O为AB的中点,OC⊥AB,AB=2,直线BD⊥AB,点P为上的一个动点,Q与P关于直线OC对称,记∠POB=θ,PF⊥BD,垂足为F,PE⊥AB,垂足为E.
(1)记的长度为l1,线段PF的长度为l2,试将L=l1+l2表示为θ的函数,并判断其单调性;
(2)记扇形POQ的面积为S1,四边形PEBF的面积为S2,求S=S1+S2的值域.
19.(17分)悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过建立适当坐标系,悬链线可为双曲余弦函数ch(x)=的图象,定义双曲正弦函数sh(x)=.类比三角函数的性质:①平方关系:sin2x+cos 2x=1;②导数关系:
(1)直接写出sh(x),ch(x)具有的类似①②的性质(不需要证明);
(2)证明:当x>0时,sh(x)>x;
(3)求f(x)=ch(x)-cos x-x2的最小值.
