模块素养测评卷(一)
1.A [解析] 对于B,a2==≠.对于C,a3==≠.对于D,a3==≠.四个选项中,只有an=同时满足a1=1,a2=,a3=.故选A.
2.B [解析] 函数f(x)=2x2-x+1从1到1+Δx的平均变化率为==2Δx+3.故选B.
3.D [解析] 设数列{an}的公比为q,且q>0,由于,,a3成等差数列,故+a3=2×=,即有+a1q2=,化简得q2-2q-3=0,解得q=3或q=-1(舍),故==q3=33=27.故选D.
4.A [解析] ∵等差数列{an}中,S16>0,S17<0,∴S16==>0,S17==<0,故a8+a9>0,a9<0,从而a8>0,根据等差数列的性质可知,当n≤8时,an>0,当n>8时,an<0,∴数列{an}的前8项和最大.故选A.
5.C [解析] 由f(x)=aex+bx,得f'(x)=aex+b,因为f(x)在x=0处取得极小值1,所以解得所以f'(x)=ex-1,又当x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x<0时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以x=0是函数f(x)的极小值点,故a=1,b=-1满足题意,于是有f'(2)=e2-1.故选C.
6.B [解析] 由题意可得,外围第2个正方形的边长为=m;外围第3个正方形的边长为=m;…;外围第n个正方形的边长为m.所以Sn=4m=4m×<4m×=3(3+)m,显然Sn≠100m.故选B.
7.D [解析] 因为f(x)=ln x+-2(x>1),所以f'(x)=-=,若a≤1,则当x>1时,f'(x)>0恒成立,即f(x)在(1,+∞)上单调递增,故函数f(x)不可能有两个不同的零点,不合题意,所以a>1.当x∈(1,a]时,f'(x)≤0,函数f(x)单调递减,此时f(x)∈[f(a),f(1)),当x∈[a,+∞)时,f'(x)≥0,函数f(x)单调递增,此时f(x)∈[f(a),+∞).因为函数f(x)=ln x+-2(x>1)有两个不同的零点,所以解得2
8.D [解析] 令f(x)=ex-1-x(x>0),则f'(x)=ex-1>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴f(x)>f(0)=0,即ex-1>x,则e0.04-1>0.04.令g(x)=ln(1+x)-x(x>0),则g'(x)=-1=-<0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递减,∴g(x)ln 1.04,即c>b.令h(x)=ln(1+x)-(x>0),则h'(x)=-=>0,∴h(x)在(0,+∞)上单调递增,∴h(x)>h(0)=0,即ln(1+x)>,则ln 1.04>==,即b>a.综上所述,c>b>a.故选D.
9.ABC [解析] 对于A,由题图可知,=f'(-2)<0,故A正确;对于B,由题图可知,当x∈(-∞,-1)时,f'(x)≤0恒成立,故函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减,故B正确;对于C,由题图可知,当x∈(-1,1)时,f'(x)>0,当x∈(1,3)时,f'(x)<0,故函数f(x)在x=1处取得极大值,故C正确;对于D,由题图可知,当x∈(3,+∞)时,f'(x)>0恒成立,故f(x)在(3,+∞)上单调递增,无最大值,故D错误.故选ABC.
10.AD [解析] 由题可得f'(x)=ex-1[x2+(a+2)x+a-1],x∈R,因为x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,所以f'(-2)=0,则4-2(a+2)+a-1=0,解得a=-1,故f(x)=(x2-x-1)ex-1,f'(x)=ex-1(x2+x-2)=(x-1)(x+2)ex-1.当x<-2时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当-21时,f'(x)>0,f(x)单调递增.故f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),(1,+∞),单调递减区间为(-2,1),故A正确,B错误;由上可知,f(x)的极大值为f(-2)=5e-3,极小值为f(1)=-1,故C错误,D正确.故选AD.
11.BCD [解析] 对于A,由题意知2(an+1-bn+1)=5an-bn+1-(5bn-an+1)=6(an-bn),即an+1-bn+1=3(an-bn),又a1-b1=1,故数列{an-bn}是首项为1,公比为3的等比数列,A中结论正确;对于B,C,由题意知2(an+1+bn+1)=5an-bn+1+5bn-an+1=4(an+bn)+2,即an+1+bn+1=2(an+bn)+1,即an+1+bn+1+1=2(an+bn+1),又a1+b1+1=4,故数列{an+bn+1}是首项为4,公比为2的等比数列,故an+bn+1=4×2n-1=2n+1,故an+bn=2n+1-1,故数列{an+bn}不是等差数列,a6+b6=27-1=127,B,C中结论错误;对于D,an-bn=3n-1,an+bn=2n+1-1,两式相加得2an=2n+1+3n-1-1,故an=(4×2n-1+3n-1-1),D中结论错误.故选BCD.
12.2024 [解析] 由a1027=-a999可得a1027+a999=,所以S2025=a1+a2+…+a2025=(a1+a2025)=(a1027+a999)=×=2024.
13.56 [解析] 由题意可知,所给数列为高阶等差数列,设数列的第6项为y,根据所给定义,用数列的后一项减去前一项得到一个新数列,再利用新数列的后一项减去前一项也得到一个新数列,即可得到一个首项为3,公差为1的等差数列,计算规律如图所示,
则需满足解得故该数列的第6项为56.
14.- [解析] 存在x1,x2∈[-2,0],使得f(x2)≤g(x1)成立,等价于f(x)min≤g(x)max,x∈[-2,0].f'(x)=ex+xex=(1+x)ex,所以当x<-1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x>-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以当x∈[-2,0]时,f(x)min=f(-1)=-.因为g(x)=-(x+1)2+a,所以当x∈[-2,0]时,g(x)max=g(-1)=a,所以-≤a,即实数a的取值范围是a≥-,所以实数a的最小值是-.
15.解:(1)f'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1),
由f'(x)>0,得x>3或x<-1,
所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(3,+∞).
(2)由(1)知,函数f(x)在x=-1处取得极大值,
即f(-1)=(-1)3-3×(-1)2+9+a=10,解得a=5,则f(x)=x3-3x2-9x+5,
因为f(x)在[-2,-1]上单调递增,在[-1,2]上单调递减,
且f(-2)=3,f(2)=-17,所以f(x)在[-2,2]上的最小值为-17.
16.解:(1)依题意,Sn=2an-1,当n=1时,a1=2a1-1,得a1=1.当n≥2时,Sn-1=2an-1-1,所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,得an=2an-1(n≥2),所以数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,所以an=2n-1.
(2)由(1)得bn=所以T2n=(0+2+4+…+2n-2)+(2+23+…+22n-1)=×n+=×4n+n2-n-=×22n+1+n2-n-.
17.解:(1)因为f(x)=ex-ax2,所以f'(x)=ex-2ax,所以f'(0)=e0=1,
又f(0)=e0=1,所以函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为y-1=x,即y=x+1.
(2)证明:当a=1时,f(x)=ex-x2,则f'(x)=ex-2x,
令h(x)=ex-2x,则h'(x)=ex-2,由h'(x)=0,得到x=ln 2,
当x∈(-∞,ln 2)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(ln 2,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,
所以h(x)≥h(ln 2)=2-2ln 2>0,即f'(x)>0恒成立,
所以f(x)=ex-x2在区间[0,+∞)上单调递增,故当x≥0时,f(x)≥f(0)=e0=1,得证.
(3)f(x)=ex-ax2,令f(x)=0,得到ex=ax2,又x∈(0,+∞),所以=a,
令g(x)=,x>0,则g'(x)=,当x∈(0,2)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
所以g(x)≥g(2)=,又当x→0时,g(x)→+∞,当x→+∞时,g(x)→+∞,
f(x)在(0,+∞)上有两个零点,所以a>.
18.解:(1)设递增的等差数列{an}的公差为d(d>0),由是与的等差中项,得+=,即(S2+S5)a5=2S2S5,则有(4+d+10+10d)(2+4d)=2(4+d)(10+10d),化简得12d2-11d-26=0,即(d-2)(12d+13)=0,又d>0,可得d=2,则an=a1+(n-1)d=2n.
(2)因为an=2n,bn=2n,所以cn=n·2n+1,则Mn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1,
于是得2Mn=1×23+2×24+3×25+…+(n-1)×2n+1+n×2n+2,
两式相减得-Mn=22+23+24+…+2n+1-n·2n+2 =-n·2n+2=-(n-1)·2n+2-4, 因此Mn=(n-1)·2n+2+4.又Sn==n2+n,所以不等式λ(Mn+2n+2-4)≥8Sn-26an恒成立,
等价于λn·2n+2≥8n2-44n恒成立,又n∈N*,所以λ≥恒成立.
令dn=,则dn+1-dn=-=,
则当n≤6时,dn+1-dn>0,即dn当n≥7时,dn+1-dn<0,即dn>dn+1,
所以当n=7时,=,则λ≥,所以实数λ的取值范围是.
19.解:(1)函数f(x)的定义域是(0,+∞).由已知得,f'(x)=+x-a-1==.
①当00得,01,所以f(x)的单调递增区间为(0,a),(1,+∞).
②当a=1时,f'(x)≥0,所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞).
③当a>1时,由f'(x)>0得0a,所以f(x)的单调递增区间为(0,1),(a,+∞).
综上,当0当a=1时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞);
当a>1时,函数f(x)的单调递增区间为(0,1),(a,+∞).
(2)证明:当a=1时,f(x)=ln x+x2-2x+,由(1)知,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增且f(1)=0.令g(x)=f(x)+f(2-x)=ln x+x2-2x++ln(2-x)+(2-x)2-2(2-x)+=ln[x(2-x)]+x2-2x+1=ln[1-(x-1)2]+(x-1)2,0令F(x)=ln x-x+1(x>0),则F'(x)=-1=,令F'(x)>0,得01,所以F(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
所以F(x)≤F(1)=0,所以ln x≤x-1.令(x-1)2=t∈[0,1),则1-t∈(0,1],则ln(1-t)≤(1-t)-1=-t,故ln(1-t)+t≤0,所以g(x)=f(x)+f(2-x)≤0恒成立.
不妨设0时间:120分钟 分值:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2024·浙江名校协作体高二期中] 数列1,,,…的通项公式可能是 ( )
A.an= B.an=
C.an= D.an=
2.已知函数f(x)=2x2-x+1,则f(x)从1到1+Δx的平均变化率为 ( )
A.2 B.2Δx+3
C.2(Δx)2+3Δx D.2(Δx)2-Δx+1
3.[2024·南京师大附中高二期末] 若等比数列{an}的各项均为正数,且,,a3成等差数列,则= ( )
A.-1 B.3 C.9 D.27
4.[2024·昆明高二期中] 已知等差数列{an}中,Sn是它的前n项和,若S16>0,S17<0,则当Sn最大时,n的值为 ( )
A.8 B.9 C.10 D.16
5.已知函数f(x)=aex+bx在x=0处取得极小值1,则f'(2)= ( )
A.e2-2 B.2-e2
C.e2-1 D.e2
6.[2024·石家庄二中高二期末] 侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网,如图,它是由无数个正方形环绕而成的,且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围最近一个正方形四条边的三等分点上,设外围第1个正方形的边长是m,侏罗纪蜘蛛网的长度(蜘蛛网中正方形的周长之和)为Sn,则 ( )
A.Sn无限大 B.Sn<3(3+)m
C.Sn=3(3+)m D.Sn可以取100m
7.若函数f(x)=ln x+-2(x>1)有两个不同的零点,则实数a的取值范围是 ( )
A.(2,+∞) B.(1,2]
C.(1,+∞) D.(2,e)
8.[2024·西北工大附中高二月考] 设a=,b=ln 1.04,c=e0.04-1,则下列关系正确的是 ( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.c>b>a
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知定义在R上的函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.<0
B.函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减
C.函数f(x)在x=1处取得极大值
D.函数f(x)有最大值
10.若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则下列结论正确的为 ( )
A.a=-1
B.f(x)的单调递增区间为(-2,1)
C.f(x)的极小值为1
D.f(x)的极大值为5e-3
11.[2024·江苏淮阴中学高二月考] 已知数列{an}和{bn}满足a1=2,b1=1,2an+1=5an-bn+1,2bn+1=5bn-an+1.下列结论错误的是 ( )
A.数列{an-bn}为等比数列
B.数列{an+bn}为等差数列
C.a6+b6=95
D.an=(3×2n-1+3n-1-1)
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2024·黑龙江哈尔滨三中高二期末] 设Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1027=-a999,则S2025= .
13.[2024·江苏扬州高二期末] 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等.对于非等差数列{an},构造数列{bn},且bn=an+1-an,构造数列{cn},且cn=bn+1-bn,…,依此类推,若能得到一个等差数列,则{an}为高阶等差数列.在杨辉之后,对这类高阶等差数列的研究一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前5项分别为1,4,10,20,35,则该数列的第6项为 .
14.已知f(x)=xex,g(x)=-(x+1)2+a,若存在x1,x2∈ [-2,0],使得f(x2)≤g(x1)成立,则实数a的最小值是 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)设f(x)=x3-3x2-9x+a.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数f(x)的极大值为10,求函数f(x)在[-2,2]上的最小值.
16.(15分)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=求数列{bn}的前2n项和T2n.
17.(15分)[2024·长沙高二期中] 已知函数f(x)=ex-ax2.
(1)求函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1;
(3)若f(x)在(0,+∞)上有两个零点,求实数a的取值范围.
18.(17分)[2024·浙江舟山高二期末] 已知递增的等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,是与的等差中项,bn=2n.
(1)求{an}的通项公式;
(2)令cn=an·bn,数列{cn}的前n项和为Mn,若n∈N*,λ(Mn+2n+2-4)≥8Sn-26an恒成立,求实数λ的取值范围.
19.(17分)[2024·福建莆田二中高二期末] 已知函数f(x)=aln x+x2-(a+1)x+(a>0).
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)当a=1时,若f(x1)+f(x2)=0,求证:x1+x2≥2.