模块素养测评卷(二)
1.D [解析] 由等差数列的性质可得a2+a5+a8=3a5=3,则a5=1,故2a4+a7=2(a5-d)+a5+2d=3a5=3.故选D.
2.A [解析] 因为函数y=f(x)在x=2处的导数为1,所以根据导数的定义可知==1,故选A.
3.D [解析] 因为an+3=====an,所以数列{an}是周期为3的数列,所以a985=a328×3+1=a1,又a2=11,所以11=,可得a1=,故a985=a1=.故选D.
4.A [解析] 函数f(x)=ln x+x2-bx在[1,+∞)上单调递增,等价于f'(x)=+2x-b≥0在[1,+∞)上恒成立,即b≤+2x在[1,+∞)上恒成立,令g(x)=+2x,x≥1,则g'(x)=2-=>0在[1,+∞)上恒成立,故g(x)在[1,+∞)上单调递增,则g(x)≥g(1)=3,故b≤3,则b的最大值是3.故选A.
5.D [解析] 当n≥2时,由an=2an-1+3得an+3=2(an-1+3),所以数列{an+3}是首项为a1+3=5,公比为2的等比数列,所以an+3=5×2n-1,所以an=5×2n-1-3,所以Sn=5×-3n=5×2n-3n-5,故选D.
6.B [解析] 令f'(x)=(x-1)(x+ln x-a)=0,则x=1或x+ln x-a=0,显然,函数y=x+ln x在(0,+∞)上单调递增,且值域为R,所以方程x+ln x-a=0必有根,设为t,t>0,即f'(x)=(x-1)(x+ln x-a)=0的根为x=1或x=t,又x=1是函数f(x)的极大值点,则函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,t)上单调递减,在(t,+∞)上单调递增,即t>1,所以1+ln 1-a<0,得a>1.故选B.
7.A [解析] 由S2n-1>0,S2n≤0,可知S2n-S2n-1=a2n<0.当n≥2时,S2n-2≤0,S2n-1-S2n-2=a2n-1>0,故当n为奇数时,有an+1-an=-2n,an-an-1=2n-1(n≥3,n为奇数),故an+1-an+an-an-1=-2n+2n-1=-2n-1(n≥3,n为奇数),即an+1-an-1=-2n-1(n≥3,n为奇数),又a2-a1=-21=-2,即a2=-1,则a2024=a2024-a2022+a2022-a2020+…+a4-a2+a2=-22023-1-22021-1-…-23-1-1=-(40+41+42+…+41011)=-=,故选A.
8.C [解析] 因为f(x)=(x-a)ex-1,所以f'(x)=(x-a+1)ex-1,令f'(x)=(x-a+1)ex-1=0可得x=a-1.当x∈(a-1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.当x∈(-∞,a-1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.所以当x=a-1时,f(x)有最小值-ea-2=-1,所以a=2.设过点P(b,0)的直线与函数f(x)的图象相切于点(x0,y0),则y0=(x0-2),故切线方程为y-(x0-2)=(x0-1)(x-x0),又切线过点P(b,0),所以-(x0-2)=(x0-1)(b-x0),即-(x0-2)=(x0-1)(b-x0),即-(b+2)x0+(b+2)=0.过点P(b,0)的直线有两条与函数f(x)的图象相切,则Δ=(b+2)2-4(b+2)>0,即b2-4>0,解得b<-2或b>2.故选C.
9.ABD [解析] 设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q(q>0),则Sn=n2+n,则=n+,所以-=(n≥2)是常数,故A正确;易知==3d(n≥2)是常数,≠0,故B正确;ln Tn-ln Tn-1=ln bn(n≥2)不是常数,故C错误;÷==q2(n≥2)是常数,故D正确.故选ABD.
10.ABD [解析] 因为数列{an}满足a1=5,an+1=所以a2=3×5+1=16,a3==8,a4==4,a5==2,a6==1,a7=3×1+1=4,a8==2,a9==1,a10=3×1+1=4,所以S10=5+16+8+4+2+1+4+2+1+4=47,所以A,B正确,C错误;因为数列{an}中从第4项起以4,2,1循环,而(300-3)÷3=99,所以S300=(5+16+8)+99×(4+2+1)=722,所以D正确.故选ABD.
11.BD [解析] f(x)=ax+bx,则f'(x)=axln a+bxln b,令g(x)=f'(x),则g'(x)=ax(ln a)2+bx(ln b)2>0恒成立,故f'(x)=axln a+bxln b在(0,+∞)上单调递增,要想f(x)=ax+bx在(0,+∞)上单调递增,只需f'(0)=ln a+ln b≥0,即只需ab≥1.A选项,ab=10ln 1.1,令h(x)=x-1-ln x,x>1,则h'(x)=1-=>0在(1,+∞)上恒成立,所以h(x)=x-1-ln x在(1,+∞)上单调递增,所以h(1.1)>h(1)=0,即0.1>ln 1.1>0,故ab=10ln 1.1<10×0.1=1,A错误;B选项,因为ln 11>ln e2=2,故ab=0.5ln 11>0.5×2=1,B正确;C选项,ab=0.8e0.2,令q(x)=(1-x)ex,x∈(0,1),则q'(x)=-ex+(1-x)ex=-xex<0恒成立,所以q(x)=(1-x)ex在(0,1)上单调递减,故q(0.2)
w(0)=0,即e-0.2>1-0.2=0.8,故ab=1.8e-0.2>1.8×0.8=1.44>1,D正确.故选BD.
12. [解析] 因为f(x)=x-2sin x,所以f'(x)=-2cos x ,令f'(x)=-2cos x>0,得cos x<,又x∈(0,π),所以x∈,所以f(x)的单调递增区间为.
13.59 [解析] 依题意,将1到2035这2035个数中,被5除余2且被7除余2的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则an=35(n-1)+2,令35(n-1)+2≤2035,即35(n-1)≤2033,所以n≤≈59.1,又n∈N*,所以此数列共有59项.
14.(-∞,0)∪(0,2e] [解析] 由题意得f(x)=tln x(x>0),∴f'(x)=,g'(x)=2x,设公切线与函数f(x)=tln x的图象切于点(x1,tln x1),与函数g(x)=x2的图象切于点(x2,),则=2x2=,则t=2x1x2,2x1x2-=tln x1.易知x2≠0,则2x1-x2=2x1ln x1,即x2=2x1(1-ln x1),故t=2x1x2=4(1-ln x1).令h(x)=4x2(1-ln x),x>0,则h'(x)=8x(1-ln x)+4x2=4x(1-2ln x),当00,h(x)在(0,)上单调递增,当x>时,h'(x)<0,h(x)在(,+∞)上单调递减,故当x=时,h(x)max=4e=2e,又当x→0时,h(x)→0,当x→+∞时,h(x)→-∞,故t≤2e.又t≠0,故实数t的取值范围为(-∞,0)∪(0,2e].
15.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由b2=2,b3=4可得q==2,bn=b2qn-2=2·2n-2=2n-1,则有a1=b1=1,a8=b4=8,所以d===1,所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×1=n.所以an=n,bn=2n-1.
(2)cn=an-bn=n-2n-1,令Tn=c1+c2+…+cn,则数列{cn}的前n项和Tn=(1-1)+(2-2)+…+(n-2n-1)=(1+2+3+…+n)-(1+2+22+…+2n-1)=-=-2n+1,即数列{cn}的前n项和为-2n+1.
16.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),当a=1时,f(x)=ln x-x,f'(x)=-1=,令f'(x)=>0,得01,∴f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).
(2)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-1=,当a>0时,令f'(x)>0,得0a,∴f(x)的单调递减区间为(a,+∞),单调递增区间为(0,a),∴f(x)max=f(a)=aln a-a=a(ln a-1).
17.解:(1)因为Sn+1=Sn+an+2,所以Sn+1-Sn-an=2,所以an+1-an=2,
所以{an}是公差为2的等差数列,又2a1+a2=5,所以2a1+a1+2=5,解得a1=1,所以an=1+2(n-1)=2n-1.
(2)证明:由(1)知bn===,
所以Tn=b1+b2+…+bn=×+×+…+×===-.
又>0,所以Tn<.
18.证明:(1)函数f(x)=aex-ln(x+1)的定义域为(-1,+∞),
g(x)=f'(x)=aex-,x∈(-1,+∞),
则g'(x)=aex+,
因为a≥0,>0,所以g'(x)>0,
所以g(x)为(-1,+∞)上的增函数.
(2)方法一:当a≥e-1时,aex≥e-1ex=ex-1,则有f(x)=aex-ln(x+1)≥ex-1-ln(x+1),
故只需证ex-1-ln(x+1)>0恒成立.令h(x)=ex-1-ln(x+1),
则h'(x)=ex-1-.
由(1)知,当a=e-1时,f'(x)=ex-1-在(-1,+∞)上单调递增,即h'(x)在(-1,+∞)上单调递增,
又h'(0)=e-1-1<0,h'(1)=e0-=>0,
由函数零点存在定理,可知h'(x)=0在(-1,+∞)上有唯一实根x0,且x0∈(0,1),
当x∈(-1,x0)时,h'(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,h'(x)>0,
从而当x=x0时,h(x)取得最小值.
由h'(x0)=0,得-=0,
即=,所以x0-1=-ln(x0+1),
故h(x)≥h(x0)=-ln(x0+1)=+x0-1=+(x0+1)-2>0,
综上,当a≥e-1时,f(x)>0恒成立.
方法二:当a≥e-1时,aex≥e-1ex=ex-1,则有f(x)=aex-ln(x+1)≥ex-1-ln(x+1),故只需证ex-1-ln(x+1)>0恒成立.
令h(x)=ex-x-1,则h'(x)=ex-1,
由h'(x)=0得x=0,由h'(x)>0得x>0,由h'(x)<0得x<0,
所以当x=0时,h(x)min=h(0)=0,
所以ex-x-1≥0恒成立,当且仅当x=0时,等号成立,
所以h(x-1)=ex-1-(x-1)-1≥0,即ex-1≥x,
当且仅当x=1时,等号成立,
h[ln(x+1)]=eln(x+1)-ln(x+1)-1≥0,即x≥ln(x+1),当且仅当x=0时,等号成立.
所以ex-1-ln(x+1)>0恒成立.
综上,当a≥e-1时,f(x)>0恒成立.
19.解:(1)函数f(x)=ln的定义域为(0,+∞),由f(x)≤ax2,得ln x-ln a≤ax2,即ax2-ln x+ln a≥0.
令h(x)=ax2-ln x+ln a,则h'(x)=2ax-=,
因为a>0,所以由h'(x)=0,得x=或x=-(舍),
当x∈时,h'(x)<0,当x∈时,h'(x)>0,
所以h(x)=ax2-ln x+ln a在区间上单调递减,在区间上单调递增,
所以h(x)≥h=-ln +ln a.又对任意x∈(0,+∞),f(x)≤ax2恒成立,
所以-ln +ln a=+ln(2a)+ln a=ln a+≥0,解得a≥,
所以a的取值范围为[,+∞).
(2)证明:因为f(x)=ln =ln x-ln a,所以f'(x)=,故切线l的方程为y-ln =(x-x1),
令y=0,得x2=x1.
(i)当x1>a>0时,ln >0,则1-ln <1,所以x2设H(x)=x-2a+x=2x-xln -2a,则H'(x)=1-ln,
当00,即H(x)在区间(0,ea)上单调递增,
由x2=x1>0,x1>0,可得0H(a)=0,
即x1-2a+x1=x2-a-a+x1>0,所以a-x1|x2-a|.
(ii)当x1=a>0时,x2=a=a=x1,所以|x1-a|=|x2-a|.
(iii)当01,所以x2>x1,
由(i)知,H(x)在区间(0,ea)上单调递增,所以当x∈(0,a)时,H(x)单调递增,
所以H(x1)即有x2-ax1,所以x1-a|x2-a|.
综上所述,|x1-a|≥|x2-a|.模块素养测评卷(二)
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2024·甘肃酒泉高二期末] 在等差数列{an}中,若a2+a5+a8=3,则2a4+a7= ( )
A.6 B.5
C.4 D.3
2.如果函数y=f(x)在x=2处的导数为1,那么= ( )
A.1 B. C. D.
3.若数列{an}满足a2=11,an+1=,则a985= ( )
A. B.11
C.- D.
4.若函数f(x)=ln x+x2-bx在[1,+∞)上单调递增,则b的最大值是 ( )
A.3 B.2 C.2 D.2
5.[2024·河北邯郸高二期末] 已知数列{an}中,a1=2,且an=2an-1+3(n≥2,n∈N*),则数列{an}的前n项和Sn=( )
A.3(2n-n)-1 B.5(2n-n)-3
C.3×2n-5n+1 D.5×2n-3n-5
6.[2024·江苏盐城高二期末] 已知函数f(x)的导函数f'(x)=(x-1)(x+ln x-a),若x=1是函数f(x)的极大值点,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,1] D.[1,+∞)
7.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,|an+1-an|=2n,若S2n-1>0,S2n≤0,则a2024= ( )
A. B.
C. D.
8.已知函数f(x)=(x-a)ex-1的最小值为-1,过点P(b,0)的直线中有且只有两条与函数f(x)的图象相切,则实数b的取值范围为 ( )
A.(1,2) B.(-2,1)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,1)∪(2,+∞)
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2024·浙江杭州二中高二期末] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,各项均为正数的等比数列{bn}的前n项积为Tn,则 ( )
A.数列是等差数列 B.数列{}是等比数列
C.数列{ln Tn}是等差数列 D.数列是等比数列
10.[2024·福州高二期末] 任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”).比如取正整数m=8,根据上述运算法则得出8→4→2→1→4→2→1.已知数列{an}满足a1=5,an+1=设数列{an}的前n 项和为Sn ,则下列结论正确的是 ( )
A.a3=8 B.a5=2
C.S10=49 D.S300=722
11.[2024·浙江温州高二期末] 若函数f(x)=ax+bx(a>0且a≠1,b>0且b≠1)在(0,+∞)上单调递增,则a和b的可能取值为 ( )
A.a=ln 1.1,b=10
B.a=ln 11,b=0.5
C.a=e0.2,b=0.8
D.a=e-0.2,b=1.8
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知定义在区间(0,π)上的函数f(x)=x-2sin x,则f(x)的单调递增区间为 .
13.[2024·黑龙江牡丹江二中高二期末] “中国剩余定理”又称“孙子定理”,讲的是一个关于整除的问题.现有这样一个整除问题:将1到2035这2035个整数中,被5除余2且被7除余2的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则此数列共有 项.
14.[2024·重庆南开中学高二期末] 若函数f(x)=tln x(t≠0)与函数g(x)=x2的图象存在公切线,则实数t的取值范围为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2024·江苏扬州高二期末] 已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且a1=b1,b2=2,b3=4,a8=b4.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)设cn=an-bn,求数列{cn}的前n项和.
16.(15分)已知函数f(x)=aln x-x.
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)当a>0时,求函数f(x)的最大值.
17.(15分)[2024·安徽滁州高二期末] 已知数列{an}的前n项和为Sn,2a1+a2=5,且Sn+1=Sn+an+2(n∈N*).
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<.
18.(17分)[2024·山东滨州高二期末] 已知函数f(x)=aex-ln(x+1).
(1)设g(x)=f'(x)(x>-1),当a≥0时,求证:g(x)为增函数;
(2)当a≥e-1时,求证:f(x)>0恒成立.
19.(17分)[2024·重庆巴蜀中学高二月考] 已知a>0,函数f(x)=ln .
(1)若对任意x∈(0,+∞),f(x)≤ax2恒成立,求a的取值范围;
(2)若f(x)的图象在点(x1,f(x1))处的切线为l,l与x轴的交点为(x2,0)(x2>0),证明:|x1-a|≥|x2-a|.