10.2 事件的相互独立性
【课前预习】
知识点一
1.P(A)P(B) 2.没有影响
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)√
2.解:事件A与事件B相互独立.
知识点二
1.A与 与B 与 2.乘积
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件.
(2)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为,
若这一事件发生,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”的概率为,若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为,故前一事件是否发生,对后一事件发生的概率有影响,所以两者不是相互独立事件.
(3)记事件A=“出现偶数点”,B=“出现3点或6点”,则A={2,4,6},B={3,6},AB={6},故P(A)==,P(B)==,P(AB)=,所以P(AB)=P(A)P(B),即事件A与B相互独立.
变式 (1)A (2)BD [解析] (1)由题意可得=“第二次摸到的不是白球”,即=“第二次摸到的是黄球”,由于每次都是有放回地摸球,故每次摸球的结果互不影响,故事件A1与是相互独立事件.
(2)对于A,若A B,则P(A∪B)=P(B)=,A错误;对于B ,因为P(A)=,P(B)=,所以P(A)P(B)==P(A∩B),故A,B相互独立,B正确;对于C,因为A与B相互独立,所以,也相互独立,则P(A∪B)=1-P(∩)=1-P()P()=1-×=,C错误;对于D,若A与B相互独立,则,也相互独立,则P(∩)=P()P()=×=,D正确.故选BD.
探究点二
例2 解:(1)由题意,甲投篮一次命中的概率为,乙投篮一次命中的概率为,且甲和乙投篮是否命中相互没有影响,
所以甲、乙各投篮一次,恰好有1人命中的概率为×+×=.
(2)甲、乙各投篮一次,两人均没有命中的概率为×=,所以甲、乙各投篮一次,至少有1人命中的概率为1-=.
变式1 解:(1)甲、乙两人独立破译一个密码,他们译出的概率分别为和,则两人都译出的概率为P1=×=.
(2)两人中至少有一人译出的概率为P2=×+×+×=.
(3)两人中至多有一人译出的概率为P3=1-×=.
变式2 解:(1)设事件A=“甲、乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛”,若两局比赛就能结束本场比赛,则只能甲连胜两局,所以P(A)=×=.
(2)设事件B=“该局比赛甲得11分获胜”,甲得11分获胜有两类情况:甲连得3分,则甲11∶8获胜;甲得3分,乙得1分,则甲11∶9获胜,此时有三种情况,每球得分方分别为乙甲甲甲,甲乙甲甲,甲甲乙甲,
所以P(B)=××+×××+×××+×××=.
拓展 解:(1)设事件F=“甲两轮至少猜对一个数学名词”,
则 P(F)=2××+=+=.
(2)设事件A=“甲第一轮猜对”,B=“乙第一轮猜对”,C=“甲第二轮猜对”,D=“乙第二轮猜对”,
E=“‘博学队’在两轮比赛中猜对三个数学名词”,
所以P(A)=P(C)=,P(B)=P(D)=,P()=P()=,P()=P()=,则E=BCD∪ACD∪ABD∪ABC,由事件的独立性与互斥性,得P(E)=P(BCD)+P(ACD)+P(ABD)+P(ABC)=
P()P(B)P(C)P(D)+P(A)P()P(C)P(D)+P(A)P(B)P()P(D)+P(A)P(B)P(C)P()=×××+×××+×××+×××=,
故“博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率为.10.2 事件的相互独立性
一、选择题
1.一个筐内有6个苹果和3个梨,有放回地从中任取1个水果,用A表示事件“第一次取出的是苹果”,用B表示事件“第二次取出的是梨”,则事件A和B是 ( )
A.相互独立事件 B.互斥事件
C.对立事件 D.以上都不正确
2.[2024·呼和浩特高一期末] 已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9,0.8,且两人罚球是否命中相互独立.若甲、乙各罚球一次,则两人都命中的概率为 ( )
A.0.08 B.0.18
C.0.25 D.0.72
3.若M,N是两个相互独立事件,P(M),P(N)分别表示它们发生的概率,则1-P(M)P(N)表示 ( )
A.事件M,N同时发生的概率
B.事件M,N至多有一个发生的概率
C.事件M,N至少有一个发生的概率
D.事件M,N都不发生的概率
4.某校举办航天知识竞赛,竞赛设置了A,B,C三道必答题目.已知某同学能正确回答A,B,C题目的概率分别为0.8,0.7,0.5,且回答各题是否正确相互独立,则该同学最多有两道题目回答正确的概率为 ( )
A.0.56 B.0.72 C.0.89 D.0.92
5.若P(A)=,P()=,P(A∪B)=,则事件A与B的关系为 ( )
A.相互独立 B.互为对立
C.互斥 D.无法判断
6.[2024·福建莆田五中高一月考] 在如图所示的电路中,5个格子表示保险匣,格子中所示数据表示通电时保险丝熔断的概率,各保险丝是否熔断相互独立,则当开关合上时,电路畅通的概率是 ( )
A. B. C. D.
7.[2024·广东惠州一中高一月考] 依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次,记下骰子朝上面的点数,A1表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”,A2表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”,A3表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”,A4表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”,则 ( )
A.A3与A4为对立事件
B.A1与A3为相互独立事件
C.A2与A4为相互独立事件
D.A2与A4为互斥事件
8.(多选题) 已知随机事件A,B,且P(A)=0.6,P(B)=0.3,则下列结论正确的是 ( )
A.如果B A,那么P(A∪B)=0.6,P(AB)=0.3
B.如果A与B互斥,那么P(A∪B)=0.9,P(AB)=0
C.如果A与B相互独立,那么P(A∪B)=0.9,P(AB)=0
D.如果A与B相互独立,那么P( )=0.28,P(B)=0.12
9.(多选题)抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果:记A=“Ⅰ号骰子出现的点数为1”,B=“Ⅱ号骰子出现的点数为2”,C=“两个点数之和为8”,D=“两个点数之和为7”,则 ( )
A.A与B相互独立
B.A与D相互独立
C.B与C相互独立
D.C与D相互独立
二、填空题
10.已知A,B是相互独立事件,且P(A)=,P(B)=,则P(AB)= .
11.甲、乙两名同学进行篮球投篮练习,甲同学一次投篮命中的概率为,乙同学一次投篮命中的概率为,假设两人投篮命中与否互不影响,则甲、乙两人各投篮一次,恰有一人命中的概率是 .
12.某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中比赛,采用五局三胜制(有球队先胜三局则比赛结束,不会出现平局).第一局独孤队获胜的概率为0.4,独孤队发挥受情绪影响较大,若前一局获胜,则下一局获胜概率增加0.1,反之降低0.1,且各局的结果相互独立,则独孤队不超过四局就能赢得比赛的概率为 .
三、解答题
13.某公司入职笔试中有两道必答题,某应试者答对第一题的概率为0.9,答对第二题的概率为0.8,假设每道题目是否答对是相互独立的.
(1)求该应试者两道题都答对的概率;
(2)求该应试者只答对一题的概率.
14.[2024·辽宁葫芦岛高一期末] 某校开展定点投篮项目测试,规则如下:共设定两个投篮点位,一个是三分线上的甲处,另一个是罚篮点位乙处,在甲处每投进一球得3分,在乙处每投进一球得2分.若前两次得分之和超过3分即停止投篮并且通过测试,否则将进行第三次投篮,每人最多投篮3次,若最终得分超过3分则通过测试,否则不通过.小明在甲处投篮的命中率为,在乙处投篮的命中率为,小明选择在甲处投一球,以后都在乙处投,且各次的结果相互独立.
(1)求小明最终得3分的概率;
(2)试比较小明选择都在乙处投篮与选择上述方式投篮哪个通过测试的概率更大.
15.[2024·江西九江一中高一期末] 某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题. 已知甲家庭回答正确的概率是,甲、丙两个家庭都回答错误的概率是.乙、丙两个家庭都回答正确的概率是,各家庭是否回答正确互不影响,则甲、乙、丙三个家庭中恰好有两个家庭回答正确这道题的概率为 .
16.[2024·广东佛山高一期中] 射箭是大家喜闻乐见的运动形式之一,某项赛事前,甲、乙两名运动员各射了一组(72支)箭进行赛前热身训练,下表是箭靶区域划分及两人成绩的频数记录信息:
箭靶区域 环外 黑环 蓝环 红环 黄心
区域颜色 白色 黑色 蓝色 红色 黄色
环数 1~2 3~4 5 6 7 8 9 10
甲成绩 (频数) 0 0 1 2 3 6 36 24
乙成绩 (频数) 0 1 2 4 5 12 36 12
用赛前热身训练的成绩估计两名运动员的正式比赛的竞技水平,并假设运动员竞技水平互不影响,运动员每支箭的成绩也互不影响.
(1)甲、乙各射出一支箭,求有人命中8环及以上的概率;
(2)甲、乙各射出两支箭,求共有3支箭命中黄心的概率.10.2 事件的相互独立性
【学习目标】
1.结合具体实例,了解两个随机事件独立性的含义.
2.在熟悉的情境中,能够将古典概型与事件独立性相结合,计算简单问题的概率.
◆ 知识点一 两个事件相互独立
1.定义:对任意两个事件A与B,如果P(AB)= 成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.
2.事件A与事件B相互独立,即事件A(或B)是否发生,对事件B(或A)发生的概率 .
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)必然事件Ω、不可能事件 都与任意事件相互独立. ( )
(2)运动员甲射击一次,事件“射中9环”与“射中8环”相互独立. ( )
(3)若P(E)=0.3,P(F)=0.4,P(EF)=0.12,则事件E与事件F相互独立. ( )
2.篮球比赛中罚球两次时,事件A表示“第一球罚中”,事件B表示“第二球罚中”,试问事件A与事件B是否相互独立
◆ 知识点二 事件相互独立的性质
1.如果事件A与B相互独立,那么 , , 也都相互独立.
2.一般地,如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的 .
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若事件A,B相互独立,则P( )=P()·P(). ( )
(2)若事件A与B相互独立,则B与相互独立. ( )
(3)对于两个相互独立的事件A与B,若P(A)=0.3,P(B)=0.4,则P(A)=0.18. ( )
◆ 探究点一 事件相互独立的判断
例1 判断下列各对事件是不是相互独立事件:
(1)甲组有3名男生,2名女生,乙组有2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;
(2)容器内盛有5个白球和3个黄球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”;
(3)掷一枚质地均匀的骰子一次,“出现偶数点”与“出现3点或6点”.
变式 (1)一袋中装有5个白球、3个黄球,有放回地每次随机摸出1个球,若A1=“第一次摸到的是白球”,A2=“第二次摸到的是白球”,则事件A1与是( )
A.相互独立事件 B.不相互独立事件
C.互斥事件 D.对立事件
(2)(多选题) 设A,B为两个随机事件,若P(A)=,P(B)=,则下列说法中正确的是 ( )
A.若A B,则P(A∪B)=
B.若P(A∩B)=,则A,B相互独立
C.若A与B相互独立,则P(A∪B)=
D.若A与B相互独立,则P(∩)=
[素养小结]
判断两事件是否具有独立性的方法
(1)定义法:直接判定两个事件发生是否相互影响.
(2)公式法:检验P(AB)=P(A)P(B)是否成立.
需要注意的是,不要把相互独立事件与互斥事件、对立事件的概念混淆.
◆ 探究点二 相互独立事件概率的计算
例2 甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛,甲投篮一次命中的概率为,乙投篮一次命中的概率为,在每次投篮中,甲和乙投篮是否命中相互没有影响.
(1)甲、乙各投篮一次,求恰好有1人命中的概率;
(2)甲、乙各投篮一次,求至少有1人命中的概率.
变式1 甲 乙两人独立破译一个密码,他们译出的概率分别为和.求:
(1)两人都译出的概率;
(2)两人中至少有一人译出的概率;
(3)两人中至多有一人译出的概率.
变式2 现有甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛采用7局4胜制,每局11分制,每赢一球得1分,选手只要得到至少11分,并且领先对方至少2分(包括2分),即赢得该局比赛.在一局比赛中,每人只发2个球就要交换发球权,如果双方比分为10∶10后,每人发一个球就要交换发球权.
(1)若在本场比赛中,前三局甲赢两局,乙赢一局,在后续比赛中,每局比赛甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,且每局比赛的结果相互独立,求甲、乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛的概率;
(2)若某局比赛中双方比分为8∶8,且接下来两球由甲发球,若甲发球时甲得分的概率为,乙发球时乙得分的概率为,各球的结果相互独立,求该局比赛甲得11分获胜的概率.
[素养小结]
1.准确理解互斥事件、相互独立事件的含义,灵活利用概率的加法和乘法公式解题.
2.利用“正难则反”解题,若所求事件的概率正面计算较烦琐时,可以从对立面入手求解.
拓展 [2024·江西上饶高一期末] 甲、乙两人组成“博学队”参加“博学少年”比赛,每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词,已知甲每轮猜对的概率为,乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.
(1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率;
(2)求“博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率.(共65张PPT)
10.2 事件的相互独立性
探究点一 事件相互独立的判断
探究点二 相互独立事件概率的计算
【学习目标】
1.结合具体实例,了解两个随机事件独立性的含义.
2.在熟悉的情境中,能够将古典概型与事件独立性相结合,计算简
单问题的概率.
知识点一 两个事件相互独立
1.定义：对任意两个事件与，如果 __________成立，则
称事件与事件 相互独立，简称为独立．
2.事件与事件相互独立,即事件（或）是否发生,对事件（或 ）
发生的概率__________．
没有影响
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）必然事件 、不可能事件 都与任意事件相互独立．( )
√
（2）运动员甲射击一次，事件“射中9环”与“射中8环”相互独
立．( )
×
（3）若，，，则事件与事件
相互独立．( )
√
2.篮球比赛中罚球两次时，事件表示“第一球罚中”，事件 表示“第
二球罚中”，试问事件与事件 是否相互独立？
解：事件与事件 相互独立．
知识点二 事件相互独立的性质
1.如果事件与 相互独立,那么______，______,______也都相互独立．
2.一般地,如果事件,, ,相互独立,那么这 个事件同时发生的
概率等于每个事件发生的概率的______．
A与
与
与
乘积
【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）若事件,相互独立，则 ( )
√
（2）若事件与相互独立，则与 相互独立．( )
×
（3）对于两个相互独立的事件与，若, ，则
．( )
√
探究点一 事件相互独立的判断
例1 判断下列各对事件是不是相互独立事件：
（1）甲组有3名男生，2名女生，乙组有2名男生，3名女生，现从甲、
乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从
乙组中选出1名女生”；
解:“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名
女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
（2）容器内盛有5个白球和3个黄球，“从8个球中任意取出1个，取
出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
解:“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为 ，
若这一事件发生，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白
球”的概率为，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为 ，
故前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不
是相互独立事件．
（3）掷一枚质地均匀的骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”.
解:记事件“出现偶数点”，“出现3点或6点”，则 ，4，
，，，，故， ，
，所以，即事件与 相互独立．
变式（1） 一袋中装有5个白球、3个黄球，有放回地每次随机摸出1
个球，若“第一次摸到的是白球”， “第二次摸到的是白球”，
则事件与 是( )
A.相互独立事件 B.不相互独立事件
C.互斥事件 D.对立事件
[解析] 由题意可得“第二次摸到的不是白球”，即 “第二次摸
到的是黄球”，由于每次都是有放回地摸球，故每次摸球的结果互不
影响，故事件与 是相互独立事件．
√
（2）（多选题） 设，为两个随机事件，若, ，
则下列说法中正确的是( )
A.若，则
B.若，则， 相互独立
C.若与相互独立，则
D.若与相互独立，则
√
√
[解析] 对于A，若，则 ，A错误；
对于B ，因为,，所以 ，故A，B相互独立，B正确；
对于C，因为A与B相互独立，所以, 也相互独立，则，C错误；
对于D，若A与B相互独立，则, 也相互独立，则，D正确.故选 .
［素养小结］
判断两事件是否具有独立性的方法
（1）定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响.
（2）公式法：检验 是否成立.
需要注意的是，不要把相互独立事件与互斥事件、对立事件的概念
混淆.
探究点二 相互独立事件概率的计算
例2 甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮一次命中的概率
为，乙投篮一次命中的概率为 ，在每次投篮中，甲和乙投篮是否
命中相互没有影响．
（1）甲、乙各投篮一次，求恰好有1人命中的概率；
解:由题意，甲投篮一次命中的概率为，乙投篮一次命中的概率为 ，
且甲和乙投篮是否命中相互没有影响，
所以甲、乙各投篮一次，恰好有1人命中的概率为 .
（2）甲、乙各投篮一次，求至少有1人命中的概率．
解:甲、乙各投篮一次，两人均没有命中的概率为 ，所以甲、
乙各投篮一次，至少有1人命中的概率为 .
变式1 甲、乙两人独立破译一个密码，他们译出的概率分别为和 .
求：
（1）两人都译出的概率；
解：甲、乙两人独立破译一个密码，他们译出的概率分别为和 ，
则两人都译出的概率为 .
（2）两人中至少有一人译出的概率；
解：两人中至少有一人译出的概率为
.
（3）两人中至多有一人译出的概率.
解：两人中至多有一人译出的概率为 .
变式2 现有甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局1
1分制，每赢一球得1分，选手只要得到至少11分，并且领先对方至
少2分（包括2分），即赢得该局比赛.在一局比赛中，每人只发2个球
就要交换发球权，如果双方比分为 后，每人发一个球就要交换
发球权.
（1）若在本场比赛中，前三局甲赢两局，乙赢一局，在后续比赛中，
每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为 ，且每局比赛的结果
相互独立，求甲、乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛
的概率；
解：设事件 “甲、乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比
赛”，若两局比赛就能结束本场比赛，则只能甲连胜两局，所以
.
（2）若某局比赛中双方比分为 ，且接下来两球由甲发球，若甲
发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为 ，各球的结果
相互独立，求该局比赛甲得11分获胜的概率.
解：设事件 “该局比赛甲得11分获胜”，甲得11分获胜有两类情况：
甲连得3分，则甲获胜；
甲得3分，乙得1分，则甲 获胜，此时有三种情况，每球得分方
分别为乙甲甲甲，甲乙甲甲，甲甲乙甲，所以
.
［素养小结］
1.准确理解互斥事件、相互独立事件的含义，灵活利用概率的加法和
乘法公式解题.
2.利用“正难则反”解题，若所求事件的概率正面计算较烦琐时，可以
从对立面入手求解.
拓展 [2024·江西上饶高一期末] 甲、乙两人组成“博学队”参加“博学
少年”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对
的概率为，乙每轮猜对的概率为 .在每轮比赛中，甲和乙猜对与否
互不影响，各轮结果也互不影响.
（1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；
解：设事件 “甲两轮至少猜对一个数学名词”，
则 .
（2）求“博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率.
解：设事件“甲第一轮猜对”，“乙第一轮猜对”， “甲第二
轮猜对”， “乙第二轮猜对”，
“‘博学队’在两轮比赛中猜对三个数学名词”，
所以,， ,
，
则 ，
由事件的独立性与互斥性，得 ，
故“博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率为 .
1.由两个事件相互独立的定义，容易验证必然事件 、不可能事件
都与任意事件相互独立.这是因为必然事件 总会发生，不会受任何
事件是否发生的影响；同样，不可能事件 总不会发生，也不受任
何事件是否发生的影响.当然，它们也不影响其他事件是否发生.
2.互斥事件与相互独立事件都描述两个事件间的关系，但互斥事件强
调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另
一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下：
相互独立事件 互斥事件
判断 方法 一个事件的发生与否对另一个 事件发生的概率没有影响 两个事件不可能同时发生，
即集合
概率 公式 若事件与 相互独立，则 若事件与 互斥，则
，
反之不成立
生活中相互独立事件的概率
概率问题来源于生活，又服务于生活.在生活中概率问题无处不在，
这就需要学生能够具备获取有价值信息并进行定量分析的意识和能
力，适应数字化学习的需要，积累依托数据探索事物本质、关联和
规律的活动经验.
例1 如图，已知电路中有5个开关，开关闭合的概率为 ，其他开
关闭合的概率都是 ，且各开关是否闭合是相互独立的，则灯亮的概
率为 __.
[解析] 灯亮的对立事件是，至少有一个断开，且，， 同
时断开，所以灯亮的概率 ．
例2 [2024·长沙雅礼中学高一月考] 某足球俱乐部举办新一届足球赛,
按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负,那
么需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮
流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚
进不得分,本阶段总得分高者获胜，且当分差拉大到即使落后一方剩
下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无
需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双
方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进
的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球
员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为 ,乙队每位球员罚进点
球的概率均为 .假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也
互不影响.
（1）求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率;
解：每一轮罚球中,设“甲队球员罚进点球”,则 “甲队球员未罚
进点球”;
“乙队球员罚进点球”,则 “乙队球员未罚进点球”.
每一轮罚球中,设 “甲、乙两队打成平局”.
由题意得,在每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种:甲、乙两队均未罚进点球,甲、乙两队均罚进点球,则,故每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率为 .
（2）若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名
球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲队第5个球员需出场罚球的概率.
解：因为甲队第5个球员需出场罚球,所以前四轮罚球结束时甲、乙两
队分差不能超过1分,即前四轮罚球结束时比分可能为或或 .
①比分为 的概率为
.
②比分为 的概率为
.
③比分为 的概率为
.
综上,甲队第5个球员需出场罚球的概率为 .
练习册
一、选择题
1.一个筐内有6个苹果和3个梨，有放回地从中任取1个水果，用 表
示事件“第一次取出的是苹果”，用 表示事件“第二次取出的是梨”，
则事件和 是( )
A.相互独立事件 B.互斥事件 C.对立事件 D.以上都不正确
[解析] 由相互独立事件的定义可知选A．
√
2.[2024·呼和浩特高一期末]已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分
别为， ，且两人罚球是否命中相互独立.若甲、乙各罚球一次，
则两人都命中的概率为( )
A.0.08 B.0.18 C.0.25 D.0.72
[解析] 由题意得两人都命中的概率为 ，故选D.
√
3.若，是两个相互独立事件，， 分别表示它们发生的
概率，则 表示( )
A.事件， 同时发生的概率
B.事件， 至多有一个发生的概率
C.事件， 至少有一个发生的概率
D.事件， 都不发生的概率
[解析] 事件，同时发生的对立事件为事件， 至多有一个发
生，，是两个相互独立事件， 事件， 至多有一个发生的概
率为 ，故选B.
√
4.某校举办航天知识竞赛，竞赛设置了，， 三道必答题目.已知
某同学能正确回答，，题目的概率分别为，， ，且回
答各题是否正确相互独立，则该同学最多有两道题目回答正确的概
率为( )
A.0.56 B.0.72 C.0.89 D.0.92
[解析] 该同学A，B，C三道必答题目都回答正确的概率为
，故该同学最多有两道题目回答正确的概
率为 .故选B.
√
5.若，，，则事件与 的关系为
( )
A.相互独立 B.互为对立 C.互斥 D.无法判断
[解析] 因为 ，
所以，所以 ，故选A.
√
6.[2024·福建莆田五中高一月考]在如图所示的电路中，5个格子表示
保险匣，格子中所示数据表示通电时保险丝熔断的概率，各保险丝
是否熔断相互独立，则当开关合上时，电路畅通的概率是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 当开关合上时，电路畅通即表示左
边至中间畅通且中间至右边畅通,左边至
中间畅通的概率为
，
中间至右边畅通的概率为 ，所以电路畅通的概率为
.故选D.
7.[2024·广东惠州一中高一月考]依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次，
记下骰子朝上面的点数， 表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，
表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”， 表示事件“两次抛掷
骰子的点数之和为6”， 表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，
则( )
A.与为对立事件 B.与 为相互独立事件
C.与为相互独立事件 D.与 为互斥事件
√
[解析] 依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次，两次的结果用有序数对
表示，其中第一次在前，第二次在后，样本空间, ,
,,,,,,,,,,, ,
,,,,,,,,,,, ,
,,,,,,,,, ，共36个样
本点.
事件包含,,,,, ，共6个样本点，
.
事件包含,,,,,,, , ,,
,,,,,,, ，共18个样本 点，.
事件包含,,,, ，共5个样本点，.
事件包含,,,,, ，共6个样本点，
.
对于A， , ，所以与不为对立事件，故
A错误；
对于B，事件包含 ，共1个样本点，则，
又， ，所以，
即与 不相互独立，故B错误；
，又， ，所以
，即与 相互独立，故C正确；
对于D，事件包含,, ，共3个样本点，则
，即与 不为互斥事件，故D错误.故选C.
8.（多选题） 已知随机事件，，且， ，则
下列结论正确的是( )
A.如果，那么，
B.如果与互斥，那么，
C.如果与相互独立，那么，
D.如果与相互独立，那么，
√
√
√
[解析] 对于A，如果，那么 ，
，故A正确；
对于B，如果A与B互斥，那么，
，故B正确；
对于C，如果A与B相互独立，那么 ，
故C错误；
对于D，如果A与B相互独立，那么
，，故D正确．故选 .
9.（多选题）抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两
枚骰子分别可能出现的基本结果：记 “Ⅰ号骰子出现的点数为1”，
“Ⅱ号骰子出现的点数为2”，“两个点数之和为8”， “两个
点数之和为7”，则( )
A.与相互独立 B.与 相互独立
C.与相互独立 D.与 相互独立
√
√
[解析] 对于A，事件A发生与否与事件B发生与否相互间没有影响，
与B相互独立，故A正确；
对于B，， ，，，
与D相互独立，故B正确；
对于C，事件B发生与否与事件C发生与否有关系， 与C不是相互
独立事件，故C错误；
对于D，事件C发生与否与事件D发生与否有关系，与D不相互独立，
故D错误．故选 ．
二、填空题
10.已知,是相互独立事件，且，，则 __.
[解析] ，是相互独立事件，且， ，
.
11.甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率
为，乙同学一次投篮命中的概率为 ，假设两人投篮命中与否互不
影响，则甲、乙两人各投篮一次，恰有一人命中的概率是__.
[解析] 设， 分别表示事件“一次投篮中甲命中”和“一次投篮中乙
命中”，所以, ，则甲、乙两人各投篮一次，恰有一
人命中的概率为
.
12.某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中比赛，采用五局三胜
制（有球队先胜三局则比赛结束，不会出现平局）.第一局独孤队获
胜的概率为 ，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，则下
一局获胜概率增加，反之降低 ，且各局的结果相互独立，则独
孤队不超过四局就能赢得比赛的概率为______.
0.236
[解析] 设为独孤队第 局获胜，由题意，独孤队不超
过四局就赢得比赛的可能结果为四个互斥事件， ，
，，
所以所求概率 .
三、解答题
13.某公司入职笔试中有两道必答题,某应试者答对第一题的概率为
,答对第二题的概率为 ,假设每道题目是否答对是相互独立的.
（1）求该应试者两道题都答对的概率;
解：设“该应试者两道题都答对”为事件 ,
则 .
（2）求该应试者只答对一题的概率.
解：设该应试者只答对一题为事件 ,则
.
14.[2024·辽宁葫芦岛高一期末] 某校开展定点投篮项目测试，规则
如下：共设定两个投篮点位，一个是三分线上的甲处，另一个是罚
篮点位乙处，在甲处每投进一球得3分，在乙处每投进一球得2分.若
前两次得分之和超过3分即停止投篮并且通过测试，否则将进行第三
次投篮，每人最多投篮3次，若最终得分超过3分则通过测试，否则
不通过.小明在甲处投篮的命中率为，在乙处投篮的命中率为 ，小
明选择在甲处投一球，以后都在乙处投，且各次的结果相互独立.
（1）求小明最终得3分的概率；
解：设“小明在甲处投进”， “小明在乙处投进”，于是
， ，
故小明最终得3分的概率
.
（2）试比较小明选择都在乙处投篮与选择上述方式投篮哪个通过测
试的概率更大.
解：小明选择都在乙处投篮，通过测试的概率
；
小明选择在甲处投一球，以后都在乙处投，通过测试的概率
.
因为 ，所以小明选择都在乙处投篮通过
测试的概率更大.
15.[2024·江西九江一中高一期末] 某场比赛甲、乙、丙三个家庭同
时回答一道有关学生安全知识的问题. 已知甲家庭回答正确的概率是
，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是 .乙、丙两个家庭都回答正
确的概率是 ，各家庭是否回答正确互不影响，则甲、乙、丙三个家
庭中恰好有两个家庭回答正确这道题的概率为___.
[解析] 甲、乙、丙三个家庭回答正确的概率分别记为,, ，由题
意知，，则， ，则
，
所以甲、乙、丙三个家庭中恰好有两个家庭回答正确这道题
的概率 .
16.[2024·广东佛山高一期中] 射箭是大家喜闻乐见的运动形式之一，
某项赛事前，甲、乙两名运动员各射了一组（72支）箭进行赛前热
身训练，下表是箭靶区域划分及两人成绩的频数记录信息：
箭靶区域 环外 黑环 蓝环 红环 黄心
区域颜色 白色 黑色 蓝色 红色 黄色
环数 5 6 7 8 9 10
甲成绩（频数） 0 0 1 2 3 6 36 24
乙成绩（频数） 0 1 2 4 5 12 36 12
用赛前热身训练的成绩估计两名运动员的正式比赛的竞技水平，并
假设运动员竞技水平互不影响，运动员每支箭的成绩也互不影响.
（1）甲、乙各射出一支箭，求有人命中8环及以上的概率；
解：甲、乙各射出一支箭，设“甲运动员命中8环及以上”，
“乙运动员命中8环及以上”， “有人命中8环及以上”，
则， ，
显然事件，相互独立， ，
则 ，
甲、乙各射出一支箭，有人命中8环及以上的概率为 .
（2）甲、乙各射出两支箭，求共有3支箭命中黄心的概率.
解：设“甲运动员第支箭命中黄心”，“乙运动员第 支箭命
中黄心”， ，2，
， ，
设 “共有3支箭命中黄心”，则
，
，，， 相互独立，
，，， 彼此互斥，
甲、乙各射出两支箭，共有3支箭命中黄心的概率为 .10.2 事件的相互独立性
1.A [解析] 由相互独立事件的定义可知选A.
2.D [解析] 由题意得两人都命中的概率为0.9×0.8=0.72,故选D.
3.B [解析] ∵事件M,N同时发生的对立事件为事件M,N至多有一个发生,M,N是两个相互独立事件,∴事件M,N至多有一个发生的概率为1-P(MN)=1-P(M)P(N),故选B.
4.B [解析] 该同学A,B,C三道必答题目都回答正确的概率为P1=0.8×0.7×0.5=0.28,故该同学最多有两道题目回答正确的概率为P=1-P1=1-0.28=0.72.故选B.
5.A [解析] 因为P(A∪B)==P(A)+P(B)-P(AB)=+-P(AB),所以P(AB)=,所以P(AB)==×=P(A)·P(B),故选A.
6.D [解析] 当开关合上时,电路畅通即表示左边至中间畅通且中间至右边畅通,左边至中间畅通的概率为P1=1-×=,中间至右边畅通的概率为P2=1-×=,所以电路畅通的概率为P=P1P2=×=.故选D.
7.C [解析] 依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次,两次的结果用有序数对表示,其中第一次在前,第二次在后,样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共36个样本点.事件A1包含(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),共6个样本点,P(A1)=.事件A2包含(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),共18个样本点,P(A2)=.事件A3包含(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5个样本点,P(A3)=.事件A4包含(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6个样本点,P(A4)==.对于A,A3∩A4= ,A3∪A4≠Ω,所以A3与A4不为对立事件,故A错误;对于B,事件A1A3包含(2,4),共1个样本点,则P(A1A3)=,又P(A1)=,P(A3)=,所以P(A1)P(A3)=×≠P(A1A3),即A1与A3不相互独立,故B错误;对于C,事件A2A4包含(1,6),(3,4),(5,2),共3个样本点,则P(A2A4)=,又P(A2)=,P(A4)=,所以P(A2)P(A4)=×==P(A2A4),即A2与A4相互独立,故C正确;对于D,事件A2A4包含(1,6),(3,4),(5,2),共3个样本点,则A2∩A4≠ ,即A2与A4不为互斥事件,故D错误.故选C.
8.ABD [解析] 对于A,如果B A,那么P(A∪B)=P(A)=0.6,P(AB)=P(B)=0.3,故A正确;对于B,如果A与B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.9,P(AB)=0,故B正确;对于C,如果A与B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B)=0.18,故C错误;对于D,如果A与B相互独立,那么P( )=P()P()=0.4×0.7=0.28,P(B)=P()P(B)=0.4×0.3=0.12,故D正确.故选ABD.
9.AB [解析] 对于A,事件A发生与否与事件B发生与否相互间没有影响,∴A与B相互独立,故A正确;对于B,P(A)=,P(D)=,P(AD)=,∴P(AD)=P(A)×P(D),∴A与D相互独立,故B正确;对于C,事件B发生与否与事件C发生与否有关系,∴B与C不是相互独立事件,故C错误;对于D,事件C发生与否与事件D发生与否有关系,∴C与D不相互独立,故D错误.故选AB.
10. [解析] ∵A,B是相互独立事件,且P(A)=,P(B)=,∴P(AB)=P(A)P(B)=×=.
11. [解析] 设A,B分别表示事件“一次投篮中甲命中”和“一次投篮中乙命中”,所以P(A)=,P(B)=,则甲、乙两人各投篮一次,恰有一人命中的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=×+×=.
12.0.236 [解析] 设Ai(i=1,2,3,4)为独孤队第i局获胜,由题意,独孤队不超过四局就赢得比赛的可能结果为四个互斥事件A1A2A3,A1A2A4,A1A3A4,A2A3A4,所以所求概率P=P(A1A2A3)+P(A1A2A4)+P(A1A3A4)+P(A2A3A4)=0.4×0.5×0.6+0.4×0.5×0.4×0.5+0.4×0.5×0.4×0.5+0.6×0.3×0.4×0.5=0.236.
13.解:(1)设“该应试者两道题都答对”为事件A,
则P(A)=0.9×0.8=0.72.
(2)设该应试者只答对一题为事件B,则P(B)=0.9×(1-0.8)+(1-0.9)×0.8=0.26.
14.解:(1)设A=“小明在甲处投进”,B=“小明在乙处投进”,于是P(A)=,P(B)=,
故小明最终得3分的概率P=P(A )=P(A)P()P()=××=.
(2)小明选择都在乙处投篮,通过测试的概率P1=P(BB)+P(BB)+P(BB)=×+××+××=;
小明选择在甲处投一球,以后都在乙处投,通过测试的概率P2=P(AB)+P(AB)+P(BB)=×+××+××=.
因为P1-P2=-=>0,所以小明选择都在乙处投篮通过测试的概率更大.
15. [解析] 甲、乙、丙三个家庭回答正确的概率分别记为P1,P2,P3,由题意知P1=,(1-P3)=,则P3=,P2P3=P2·=,则P2=,所以甲、乙、丙三个家庭中恰好有两个家庭回答正确这道题的概率P=P1P2(1-P3)+P1(1-P2)P3+(1-P1)P2P3=××+××+××=.
16.解:(1)甲、乙各射出一支箭,设A=“甲运动员命中8环及以上”,B=“乙运动员命中8环及以上”,C=“有人命中8环及以上”,
则P(A)==,P(B)==,
显然事件A,B相互独立,C=A∪B,
则P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)·P(B)=+-×=,
∴甲、乙各射出一支箭,有人命中8环及以上的概率为.
(2)设Ai=“甲运动员第i支箭命中黄心”,Bi=“乙运动员第i支箭命中黄心”,i=1,2,
∴P(Ai)==,P(Bi)==,
设E=“共有3支箭命中黄心”,则E=A1A2B1+A1A2B2+A1B1B2+A2B1B2,
∵A1,A2,B1,B2相互独立,
A1A2B1,A1A2B2,A1B1B2,A2B1B2彼此互斥,
∴甲、乙各射出两支箭,共有3支箭命中黄心的概率为P(E)=P(A1A2B1+A1A2B2+A1B1B2+A2B1B2)=×××+×××+×××+×××=.
