1.1 集合的概念
【知识点1】集合的判断 1
【知识点2】元素与集合 2
【知识点3】元素的性质 3
【知识点4】集合的表示 4
【知识点5】集合新定义问题 5
【跟踪训练】 7
1.知道集合的含义与表示 (重点)。
2.掌握元素与集合的关系(重难点)。
3.理解并掌握集合中元素的特性 (难点)。
【知识点1】集合的判断
1．集合的概念
(1)一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合．
(2)对于集合一定要从整体的角度来看待它．
2．集合的判断
(1)关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．
(2)还要注意集合中元素的互异性、无序性．
例1：
【例1】（2025 青山湖区校级模拟）8月20日《黑传说悟空》风靡全球，下列几组对象可以构成集合的是（ ）
A．游戏中会变身的妖怪
B．游戏中长的高的妖怪
C．游戏中能力强的妖怪
D．游戏中击败后给奖励多的妖怪
【例2】（2025 泰安校级模拟）在“①难解的题目；②方程x2+1＝0在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（ ）
A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④
【例3】（多选）（2024秋 阆中市校级月考）下列各组对象可以组成集合的是（ ）
A．数学必修第一册课本中所有的难题
B．小于8的所有质数
C．直角坐标平面内第一象限的一些点
D．周长为10cm的三角形
【例4】（多选）（2024秋 海南州期中）下列各组对象能构成集合的有（ ）
A．南昌大学2024级大一新生
B．我国第一位获得奥运会金牌的运动员
C．体型庞大的海洋生物
D．唐宋八大家
【知识点2】元素与集合
1．元素与集合
(1)如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA．
(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作．
2．元素与集合关系的判断
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．
(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
例1：
【例5】（2025 河北模拟）已知集合A＝{x|x3﹣8＜0}，则（ ）
A．1∈A B．2∈A C．0 A D．{0，1，2} A
【例6】（2025 辽宁二模）设集合A＝{x|2x﹣1＞m}，若2∈A，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3 B．m≥3 C．m＜3 D．m＞3
【例7】（2025春 宝山区校级月考）若1∈{a2，a}，若实数a的值为 ．
【例8】（2025春 宝山区校级期中）设关于x的不等式的解集为A，若1 A，则实数m的取值范围是 ．
【知识点3】元素的性质
元素的性质
(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．
(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．
(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分．
例1：
【例9】（2024秋 新疆校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．高一（1）班视力比较好的同学可以构成集合
B．方程x2＝1的解构成的集合与{﹣1，1}相等
C．{（1，3）}＝{（3，1）}
D．方程（x﹣1）（x﹣a）＝0的实数解构成的集合为{a，1}
【例10】（2024秋 安康期末）有4根火柴棒的长度可以构成一个四元数集，将这4根火柴棒首尾相接连成一个平面四边形，则这个平面四边形可能是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
【例11】（多选）（2024秋 深圳校级期末）若集合A＝{a2+2a，3a+2，8}，则实数a的取值可以是（ ）
A．2 B．3 C．﹣4 D．5
【例12】（2024秋 杨浦区校级期中）已知集合M＝{﹣1，3a﹣1}，则实数a的取值范围为 ．
【知识点4】集合的表示
1．集合的表示方法
(1) 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内．
(2) 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．
2．常用数集
(1)非负整数集（或自然数集）N．
(2)正整数集N*或N+．
(3)整数集Z．
(4)有理数集Q．
(5)实数集R．
例1：
【例13】（2024秋 新泰市校级期末）集合{x∈N*|x﹣3＜2}的另一种表示法是（ ）
A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4}
C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}
【例14】（多选）（2024秋 宁远县校级期中）大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为（ ）
A．{x|x＝2k﹣1，k∈N} B．{x|x＝2k+1，k∈N，k≥2}
C．{x|x＝2k+3，k∈N} D．{x|x＝2k+5，k∈N}
【例15】（2024秋 宁远县校级期中）用列举法表示下列集合：
（1）A＝{x|x2＝9}
（2）B＝{x∈N|1≤x≤2}
（3）C＝{x|x2﹣3x+2＝0}．
【例16】（2024秋 海州区校级月考）选择适当方法表示下列集合：
（1）由不超过5的所有自然数组成的集合A；
（2）不等式3x+2＞5的解集组成集合B；
（3）平面直角坐标系中第二象限的点组成集合C；
（4）二次函数y＝x2﹣2x+3的图象上所有的点组成的集合D．
【知识点5】集合新定义问题
1．集合的概念
(1)一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合．
(2)对于集合一定要从整体的角度来看待它．
2．认识集合含义的步骤
(1)一看代表元素，是数集还是点集．
(2)二看元素满足什么条件即有什么公共特性．
例1：
【例17】（2025 安源区模拟）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中．有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“ ”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：
①对任意的a，b∈G，有a b∈G；
②对任意的a，b，c∈G，有（a b） c＝a （b c）；
③存在e∈G，使得对任意的a∈G，有e a＝a e＝a，e称为单位元；
④对任意的a∈G，存在b∈G，使a b＝b a＝e，称a与b互为逆元．
则称G关于“ ”新构成一个群．则下列说法正确的有（ ）
A．G＝{0，1，2}关于数的乘法构成群
B．自然数集N关于数的加法构成群
C．实数集R关于数的乘法构成群
D．关于数的加法构成群
【例18】（2024秋 沈阳期末）若对任意x∈A，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ）
A．{1，3} B．{﹣1，0，1} C．{x|x＞1} D．{x|x＞0}
【例19】（多选）（2025 新乡三模）已知非空数集M具有如下性质：
①若x，y∈M，则；
②若x，y∈M，则x+y∈M．
下列说法中正确的有（ ）
A．﹣1∈M B．2025∈M
C．若x，y∈M，则xy∈M D．若x，y∈M，则x﹣y∈M
【例20】（2025 武汉模拟）已知集合A＝{x|x＝mn，m∈Z，n∈Z}，集合B满足B＝{x|x∈A且∈A}．
（1）判断2，0，7+4中的哪些元素属于B；
（2）证明：若x∈B，y∈B，则xy∈B；
（3）证明：若x＝mn∈B，则m2﹣3n2＝1．
1.1 集合的概念
一．选择题（共16小题）
1．（2024秋 西乡塘区期中）下列对象能组成集合的是（ ）
A．非常接近0的数 B．身高很高的人
C．绝对值为5的数 D．著名的数学家
2．（2024秋 南充校级期中）下列选项中，能够构成集合的是（ ）
A．南充高中高2024级个子较高的学生
B．高中数学人教A版必修第一册中的难题
C．关于x的方程x2﹣1＝0的所有实根
D．无限接近于π的所有实数
3．（2024秋 铜陵期末）下列关系中正确的个数是（ ）
①0∈N；②；③；④π∈Q
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024秋 莎车县期中）若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
5．（2024 东湖区校级三模）若以集合{a，b，c，d}的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（ ）
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
6．（2025 昭通模拟）设集合A＝{x|x2﹣5x+m＝0}，若1∈A，则A＝（ ）
A．{1} B．{1，﹣4} C．{1，2} D．{1，4}
7．（2025 淇滨区校级模拟）已知集合A＝{1，m+2，m2+3}，若2∈A，则实数m＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
8．（2024秋 顺德区校级月考）若1∈{x，x2}，则x＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．0或1 D．0或1或﹣1
9．（2025春 唐县校级期中）集合{x∈N+|x﹣2≤1}用列举法表示为（ ）
A．{0，1，2，3} B．{1，2，3} C．{0，1，2，3，4} D．{1，2，3，4}
10．（2025 锦江区校级模拟）已知集合A＝{a﹣2，a2+4a，12}，且﹣3∈A，则a等于（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．3 D．﹣3或﹣1
11．（2025春 河南月考）已知集合A＝{x|3ax﹣2≤0}，若1∈A且2 A，则（ ）
A． B．a＜0 C． D．
12．（2024秋 阜宁县期末）已知集合，则用列举法表示A＝（ ）
A．{﹣2，0，1，2，4} B．{﹣2，0，2，4}
C．{0，2，4} D．{2，4}
13．（2025 辽宁三模）已知集合A＝{1，2}，B＝{x2﹣y2|x，y∈A}，则下列判断错误的是（ ）
A．1∈B B．0∈B C．3∈B D．﹣3∈B
14．（2025 开远市校级开学）若集合A＝{x|ax2﹣2x+2＝0}中只有一个元素，则实数a的值为（ ）
A．0或 B．0 C． D．
15．（2025 平凉校级模拟）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，y﹣x∈A}，则集合B中的元素的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
16．（2025 宁远县校级开学）已知集合A＝{0，1}，则集合B＝{x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．多选题（共5小题）
17．（2024秋 广东月考）下面能组成一个集合的是（ ）
A．横峰中学高一年级聪明的学生
B．的近似值
C．直角坐标系中横坐标、纵坐标相等的点
D．所有奇数
18．（2024秋 福田区校级月考）下列说法中错误的有（ ）
A．集合N中最小的数是1
B．若﹣a Z，则a∈Z
C．所有的正实数组成集合R+
D．由很小的数可组成集合A
19．（2024秋 景德镇期中）下列说法正确的有（ ）
A．某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合
B．集合A＝{x|y＝x2+1}与集合B＝{（x，y）|y＝x2+1}是相同的集合
C．由1，，，，0.5这些数组成的集合有4个元素
D．在平面直角坐标系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点（x，y）组成的点集，可以表示成集合{（x，y）|xy＜0，x，y∈R}
20．（2024秋 宿迁月考）下面四个说法中正确的是（ ）
A．10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}
B．由2，3组成的集合可表示为{2，3}或{3，2}
C．方程x2﹣4x+4＝0的所有解组成的集合是{2，2}
D．0与{0}表示同一个集合
21．（2024秋 沙河口区校级月考）下列说法中错误的是（ ）
A．在平面直角坐标系内，第二、第四象限的点的集合为{（x，y）|xy＞0}
B．方程x2﹣9＝0的解集为{（﹣3，3）}
C．集合{y|y＝1﹣x}与{x|y＝1﹣x}是相等的
D．若集合 RA＝{x∈Z|﹣1≤x≤1}，则
三．填空题（共6小题）
22．（2025 黄浦区校级开学）用列举法表示集合{x|﹣2≤x≤2，x∈N}＝ ．
23．（2025春 上海校级月考）已知集合A＝{1，2，a2﹣2a}，若3∈A，则实数a＝ ．
24．（2025 资阳校级开学）设集合A＝{0，m，m2﹣5m+4}，且4∈A，则实数m的值为 ．
25．（2025春 张掖月考）已知关于x的不等式的解集为M，若3 M，则实数a的取值范围是 ．
26．（2025春 长沙校级月考）已知m∈R，集合A＝{x|m＜x＜3m﹣1}中的元素恰有2个整数，则m的取值范围是 ．
27．（2024秋 益阳期末）如果对于非空集合A中的任意两个不同元素a，b，都有a+b∈A且ab∈A，那么这样的集合A称为封闭集合，例如集合R就是一个封闭集合．用列举法写出一个至少有三个元素且只有有限个元素的封闭集合 ．
四．解答题（共8小题）
28．（2024秋 沙县区校级月考）已知集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜3}．
（Ⅰ）用列举法表示集合A；
（Ⅱ）写出集合A的所有子集．
29．（2024秋 宝山区校级月考）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集．
（1）不等式2x﹣3＞0的解集；
（2）二元二次方程组的解集；
（3）由大于﹣3且小于9的偶数组成的集合．
30．（2024秋 镇雄县月考）已知集合A中有三个元素，分别为2，x，x2．
（1）求实数x应该满足哪些条件？
（2）若1∈A，求x的取值．
31．（2024秋 雨花区校级期中）（1）已知集合，试用列举法表示集合A；
（2）已知集合，试用列举法表示集合B．
32．（2024秋 嘉峪关校级期中）已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}．
（1）若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值；
（2）已若集合A中仅含有两个元素，求实数a的取值范围．
33．（2024秋 长宁区校级月考）设关于x的不等式ax﹣3＞2x+a的解集为M．
（1）求M；
（2）若﹣1∈M且0 M，求实数a的取值范围．
34．（2024秋 四川校级期中）已知集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R，x∈R}．
（1）若1∈A，求a的值；
（2）若A中只有一个元素，求a的取值范围；
（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
35．（2024秋 嘉定区校级月考）已知M是满足下列条件的集合：①0∈M，1∈M；②若x，y∈M，则x﹣y∈M；③若x∈M且x≠0，则．（1）判断是否正确，并说明理由；
（2）证明：若x，y∈M，则x+y∈M；
（3）证明：若x∈M，则x2∈M．
第1页 共1页1.1 集合的概念
【知识点1】集合的判断 1
【知识点2】元素与集合 3
【知识点3】元素的性质 5
【知识点4】集合的表示 7
【知识点5】集合新定义问题 9
【跟踪训练】 14
1.知道集合的含义与表示 (重点)。
2.掌握元素与集合的关系(重难点)。
3.理解并掌握集合中元素的特性 (难点)。
【知识点1】集合的判断
1．集合的概念
(1)一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合．
(2)对于集合一定要从整体的角度来看待它．
2．集合的判断
(1)关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．
(2)还要注意集合中元素的互异性、无序性．
例1：
【例1】（2025 青山湖区校级模拟）8月20日《黑传说悟空》风靡全球，下列几组对象可以构成集合的是（ ）
A．游戏中会变身的妖怪
B．游戏中长的高的妖怪
C．游戏中能力强的妖怪
D．游戏中击败后给奖励多的妖怪
【答案】A
【分析】根据集合的确定性依次判断选项即可．
【解答】解：对A：游戏中会变身的妖怪可以构成集合，故A正确；
对B、C、D：不满足集合的确定性，故不能构成集合，故B、C、D错误．
故选：A．
【例2】（2025 泰安校级模拟）在“①难解的题目；②方程x2+1＝0在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（ ）
A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④
【答案】A
【分析】根据集合中元素的确定性可判断各选项．
【解答】解：对于①，不满足元素的确定性，不能组成集合，故①错误；
对于②，方程x2+1＝0在实数集内的解组成的集合为 ，故②正确；
对于③，直角坐标平面上第四象限内的所有点组成的集合为{（x，y）|x＞0，y＜0}，故③正确；
对于④，不满足元素的确定性，不能组成集合，故④错误．
故选：A．
【例3】（多选）（2024秋 阆中市校级月考）下列各组对象可以组成集合的是（ ）
A．数学必修第一册课本中所有的难题
B．小于8的所有质数
C．直角坐标平面内第一象限的一些点
D．周长为10cm的三角形
【答案】BD
【分析】根据集合的定义和集合元素的特征逐个分析判断．
【解答】解：对于选项A，“难题”的标准不确定，因而不能构成集合，所以A错误，
对于选项B，小于8的所有质数能构成集合，所以B正确，
对于选项C，“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合，所以C错误，
对于选项D，周长为10cm的三角形具有确定性，能构成集合，所以D正确，
故选：BD．
【例4】（多选）（2024秋 海南州期中）下列各组对象能构成集合的有（ ）
A．南昌大学2024级大一新生
B．我国第一位获得奥运会金牌的运动员
C．体型庞大的海洋生物
D．唐宋八大家
【答案】ABD
【分析】根据集合的定义逐个分析判断即可．
【解答】解：对于选项A，因为南昌大学2024级大一新生是确定的，所以能构成集合，故选项A正确；
对于选项B，因为我国第一位获得奥运会金牌的运动员是确定的，所以能构成集合，故选项B正确；
对于选项C，因为体型庞大的海洋生物没有明确的标准，没有确定性，所以不能构成集合，故选项C错误；
对于选项D，因为唐宋八大家是确定的，所以能构成集合，故选项D正确．
故选：ABD．
【知识点2】元素与集合
1．元素与集合
(1)如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA．
(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作．
2．元素与集合关系的判断
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．
(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
例1：
【例5】（2025 河北模拟）已知集合A＝{x|x3﹣8＜0}，则（ ）
A．1∈A B．2∈A C．0 A D．{0，1，2} A
【答案】A
【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系依次判断即可．
【解答】解：由题可知，集合A＝{x|x3﹣8＜0}＝{x|x＜2}，
所以0∈A，1∈A，2 A，
故A正确，B错误，C错误；
集合{0，1，2}不是集合A的子集，故D错误．
故选：A．
【例6】（2025 辽宁二模）设集合A＝{x|2x﹣1＞m}，若2∈A，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3 B．m≥3 C．m＜3 D．m＞3
【答案】C
【分析】由元素与集合的关系即可求解．
【解答】解：因为A＝{x|2x﹣1＞m}，2∈A，
所以2×2﹣1＞m，解得m＜3．
故选：C．
【例7】（2025春 宝山区校级月考）若1∈{a2，a}，若实数a的值为 ．
【答案】﹣1．
【分析】根据1∈{a2，a}，得到a＝1或﹣1，再根据元素的互异性，即可求解．
【解答】解：因为1∈{a2，a}，所以a＝1或﹣1，
当a＝1时，a＝a2，不满足元素的互异性；
当a＝﹣1时，a≠a2，满足元素的互异性．
故a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【例8】（2025春 宝山区校级期中）设关于x的不等式的解集为A，若1 A，则实数m的取值范围是 ．
【答案】m≤﹣3．
【分析】不等式的解集等价于（x﹣3）（mx+3）＞0的解集，则1 A，等价于（1﹣3）（m+3）≤0，可求出m的范围．
【解答】解：因为不等式的解集等价于（x﹣3）（mx+3）＞0的解集，
故1 A，等价于（1﹣3）（m+3）≤0，解得m∈[﹣3，+∞）．
故答案为：m≤﹣3．
【知识点3】元素的性质
元素的性质
(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．
(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．
(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分．
例1：
【例9】（2024秋 新疆校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．高一（1）班视力比较好的同学可以构成集合
B．方程x2＝1的解构成的集合与{﹣1，1}相等
C．{（1，3）}＝{（3，1）}
D．方程（x﹣1）（x﹣a）＝0的实数解构成的集合为{a，1}
【答案】B
【分析】A根据确定性判断；B写出解集即可判断；C注意点集的两个点不同；D注意a＝1的情况．
【解答】解：视力比较好的标准不明确，不能构成集合，A错；
由x2＝1，可得x＝﹣1或x＝1，对应集合为{﹣1，1}，B对；
（1，3），（3，1）表示不同的点，故集合不相等，C错；
方程（x﹣1）（x﹣a）＝0的实数解构成的集合为{1}，不能写成{a，1}，D错．
故选：B．
【例10】（2024秋 安康期末）有4根火柴棒的长度可以构成一个四元数集，将这4根火柴棒首尾相接连成一个平面四边形，则这个平面四边形可能是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
【答案】A
【分析】根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等，结合选项，即可求解．
【解答】解：根据题意，4根火柴棒的长度可以构成一个四元数集，则4根火柴棒的长度互不相等，
依次分析选项：
对于A，梯形的四条边长度可以互不相等，符合题意；
对于B，矩形的对边相等，不能由这4根火柴棒首尾相接连成，不符合题意；
对于C，菱形的四条边都相等，不能由这4根火柴棒首尾相接连成，不符合题意；
对于D，等腰梯形的腰相等，不能由这4根火柴棒首尾相接连成，不符合题意．
故选：A．
【例11】（多选）（2024秋 深圳校级期末）若集合A＝{a2+2a，3a+2，8}，则实数a的取值可以是（ ）
A．2 B．3 C．﹣4 D．5
【答案】BD
【分析】根据集合中元素的互异性求解．
【解答】解：由元素的互异性可得，，
解得a≠﹣4，a≠2，a≠﹣1，
观察四个选项可知，BD符合．
故选：BD．
【例12】（2024秋 杨浦区校级期中）已知集合M＝{﹣1，3a﹣1}，则实数a的取值范围为 ．
【答案】{a|a≠0}．
【分析】根据元素的性质求解．
【解答】解：由元素的互异性可知，3a﹣1≠﹣1，所以a≠0，
即实数a的取值范围为{a|a≠0}．
故答案为：{a|a≠0}．
【知识点4】集合的表示
1．集合的表示方法
(1) 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内．
(2) 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．
2．常用数集
(1)非负整数集（或自然数集）N．
(2)正整数集N*或N+．
(3)整数集Z．
(4)有理数集Q．
(5)实数集R．
例1：
【例13】（2024秋 新泰市校级期末）集合{x∈N*|x﹣3＜2}的另一种表示法是（ ）
A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4}
C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}
【答案】B
【分析】集合{x∈N+|x﹣3＜2}是用描述法来表示的，用另一种方法来表示就是用列举法，看出描述法所表示的数字，在集合中列举出元素．
【解答】解：∵集合{x∈N+|x﹣3＜2}是用描述法来表示的，用另一种方法来表示就是用列举法，
∵{x∈N+|x﹣3＜2}＝{x∈N+|x＜5}＝{1，2，3，4}
故选：B．
【例14】（多选）（2024秋 宁远县校级期中）大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为（ ）
A．{x|x＝2k﹣1，k∈N} B．{x|x＝2k+1，k∈N，k≥2}
C．{x|x＝2k+3，k∈N} D．{x|x＝2k+5，k∈N}
【答案】BD
【分析】用列举法把四个选项对应的集合表示出来，即可验证．
【解答】解：对于选项A：{x|x＝2k﹣1，k∈N}＝{﹣1，1，3 }，故A错误；
对于选项B：{x|x＝2k+1，k∈N，k≥2}＝{5，7，9 }，故B正确；
对于选项C：{x|x＝2k+3，k∈N}＝{3，5，7 }，故C错误；
对于选项D：{x|x＝2k+5，k∈N}＝{5，7，9 }，故D正确．
故选：BD．
【例15】（2024秋 宁远县校级期中）用列举法表示下列集合：
（1）A＝{x|x2＝9}
（2）B＝{x∈N|1≤x≤2}
（3）C＝{x|x2﹣3x+2＝0}．
【答案】见试题解答内容
【分析】解方程，求出x的值即可．
【解答】解：用列举法表示下列集合：
（1）A＝{x|x2＝9}＝{3，﹣3}；
（2）B＝{x∈N|1≤x≤2}＝{1，2}；
（3）C＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}．
【例16】（2024秋 海州区校级月考）选择适当方法表示下列集合：
（1）由不超过5的所有自然数组成的集合A；
（2）不等式3x+2＞5的解集组成集合B；
（3）平面直角坐标系中第二象限的点组成集合C；
（4）二次函数y＝x2﹣2x+3的图象上所有的点组成的集合D．
【答案】（1）利用列举法表示集合A＝{0，1，2，3，4，5}；
（2）利用描述法表示集合B＝{x∈R|3x+2＞5}；
（3）利用描述法表示集合 C＝{（x，y）|x＜0，y＞0}；
（4）利用描述法表示集合 D＝{（x，y）|y＝x2﹣2x+3}．
【分析】（1）利用列举法表示集合即可； （2）利用描述法表示集合即可； （3）利用描述法表示集合即可； （4）利用描述法表示集合即可．
【解答】解：（1）利用列举法表示集合A＝{0，1，2，3，4，5}；
（2）利用描述法表示集合B＝{x∈R|3x+2＞5}；
（3）利用描述法表示集合 C＝{（x，y）|x＜0，y＞0}；
（4）利用描述法表示集合 D＝{（x，y）|y＝x2﹣2x+3}．
【知识点5】集合新定义问题
1．集合的概念
(1)一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合．
(2)对于集合一定要从整体的角度来看待它．
2．认识集合含义的步骤
(1)一看代表元素，是数集还是点集．
(2)二看元素满足什么条件即有什么公共特性．
例1：
【例17】（2025 安源区模拟）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中．有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“ ”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：
①对任意的a，b∈G，有a b∈G；
②对任意的a，b，c∈G，有（a b） c＝a （b c）；
③存在e∈G，使得对任意的a∈G，有e a＝a e＝a，e称为单位元；
④对任意的a∈G，存在b∈G，使a b＝b a＝e，称a与b互为逆元．
则称G关于“ ”新构成一个群．则下列说法正确的有（ ）
A．G＝{0，1，2}关于数的乘法构成群
B．自然数集N关于数的加法构成群
C．实数集R关于数的乘法构成群
D．关于数的加法构成群
【答案】D
【分析】反例判断A，B，C是否满足④，对于D，对所有的a，b∈G，设，求出a+b，依次看是否满足要求．
【解答】解：A：由1∈G且 a∈G，使1 a＝a 1＝a，但0∈G，不存在b∈G，使0 b＝b 0＝1，不正确；
B：由0∈N且 a∈N，都有0+a＝a+0＝a，但1∈N，不存在b∈N，使1+b＝b+1＝0，不正确；
C：由1∈R且 a∈R，使1 a＝a 1＝a，但0∈R，不存在b∈R，使0 b＝b 0＝1，不正确；
D：对所有的a，b∈G，可设，则，
①G满足加法结合律，即 a，b，c∈G，有（a+b）+c＝a+（b+c）；
② e＝0∈G，使得 a∈G，有e+a＝a+e＝a；
③ a∈G，设，使a+b＝b+a＝e，正确．
故选：D．
【例18】（2024秋 沈阳期末）若对任意x∈A，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ）
A．{1，3} B．{﹣1，0，1} C．{x|x＞1} D．{x|x＞0}
【答案】D
【分析】对于ABC：举反例说明即可；对于D：由题意分析即可．
【解答】解：对于选项A：因为3∈{1，3}，但，不符合题意，故A错误；
对于选项B：因为0∈{﹣1，0，1}，但无意义，不符合题意，故B错误；
对于选项C：例如2∈{x|x＞1}，但，不符合题意，故C错误，
对于选项D：对任意x∈{x|x＞0}，均有{x|x＞0}，符合题意，故D正确．
故选：D．
【例19】（多选）（2025 新乡三模）已知非空数集M具有如下性质：
①若x，y∈M，则；
②若x，y∈M，则x+y∈M．
下列说法中正确的有（ ）
A．﹣1∈M B．2025∈M
C．若x，y∈M，则xy∈M D．若x，y∈M，则x﹣y∈M
【答案】BC
【分析】对于AD，利用反证法可判断其正误；
对于B，可先判断1∈M，再结合性质可判断其正误；
对于C，可先判断当y∈M时，，再根据性质可判断其正误．
【解答】解：A．若﹣1∈M，则，则1+（﹣1）＝0∈M，显然0 M，A错误；
B．M是非空集合，若x∈M，，1+1＝2∈M，1+2＝3∈M，所以2025∈M，B正确；
C．因为1∈M，y∈M，所以，所以，C正确；
D．若x＝1，y＝2，则x﹣y＝﹣1 M，D错误．
故选：BC．
【例20】（2025 武汉模拟）已知集合A＝{x|x＝mn，m∈Z，n∈Z}，集合B满足B＝{x|x∈A且∈A}．
（1）判断2，0，7+4中的哪些元素属于B；
（2）证明：若x∈B，y∈B，则xy∈B；
（3）证明：若x＝mn∈B，则m2﹣3n2＝1．
【答案】（1），；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析．
【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于A即可；
（2）先证明若x∈A，y∈A，则xy∈A，即可得到从而得证；
（3）依题意可得从而求出m2﹣3n2＝±1，再说明m2﹣3n2≠﹣1即可．
【解答】解：（1）因为，所以；
因为，所以；
因为0没有倒数，所以0 B；因为，
所以；综上可得，；
（2）证明：若x∈A，y∈A，则xy∈A；设，，S，t，p，q为整数，
所以，
由于sp+3tq，sq+tp 都是整数，所以xy∈A，当x∈B，y∈B时，，，
所以，所以 xy∈B；
（3）证明：因为，
所以，
所以都是整数，
所以为整数，
所以m2﹣3n2＝±1，假如m2﹣3n2＝﹣1，则m2+1＝3n2，则m2+1应为3的倍数，
设k为整数，若 m＝3k，则m2+1＝9k2+1不是3的倍数；若 m＝3k+1，
则m2+1＝9k2+6k+2＝3（3k2+2k）+2不是3的倍数；
若 m＝3k+2，则m2+1＝9k2+12k+5＝3（3k2+4k+1）+2不是3的倍数；
所以m2﹣3n2≠﹣1即m2﹣3n2＝1．
1.1 集合的概念
一．选择题（共16小题）
1．（2024秋 西乡塘区期中）下列对象能组成集合的是（ ）
A．非常接近0的数 B．身高很高的人
C．绝对值为5的数 D．著名的数学家
2．（2024秋 南充校级期中）下列选项中，能够构成集合的是（ ）
A．南充高中高2024级个子较高的学生
B．高中数学人教A版必修第一册中的难题
C．关于x的方程x2﹣1＝0的所有实根
D．无限接近于π的所有实数
3．（2024秋 铜陵期末）下列关系中正确的个数是（ ）
①0∈N；②；③；④π∈Q
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024秋 莎车县期中）若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
5．（2024 东湖区校级三模）若以集合{a，b，c，d}的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（ ）
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
6．（2025 昭通模拟）设集合A＝{x|x2﹣5x+m＝0}，若1∈A，则A＝（ ）
A．{1} B．{1，﹣4} C．{1，2} D．{1，4}
7．（2025 淇滨区校级模拟）已知集合A＝{1，m+2，m2+3}，若2∈A，则实数m＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
8．（2024秋 顺德区校级月考）若1∈{x，x2}，则x＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．0或1 D．0或1或﹣1
9．（2025春 唐县校级期中）集合{x∈N+|x﹣2≤1}用列举法表示为（ ）
A．{0，1，2，3} B．{1，2，3} C．{0，1，2，3，4} D．{1，2，3，4}
10．（2025 锦江区校级模拟）已知集合A＝{a﹣2，a2+4a，12}，且﹣3∈A，则a等于（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．3 D．﹣3或﹣1
11．（2025春 河南月考）已知集合A＝{x|3ax﹣2≤0}，若1∈A且2 A，则（ ）
A． B．a＜0 C． D．
12．（2024秋 阜宁县期末）已知集合，则用列举法表示A＝（ ）
A．{﹣2，0，1，2，4} B．{﹣2，0，2，4}
C．{0，2，4} D．{2，4}
13．（2025 辽宁三模）已知集合A＝{1，2}，B＝{x2﹣y2|x，y∈A}，则下列判断错误的是（ ）
A．1∈B B．0∈B C．3∈B D．﹣3∈B
14．（2025 开远市校级开学）若集合A＝{x|ax2﹣2x+2＝0}中只有一个元素，则实数a的值为（ ）
A．0或 B．0 C． D．
15．（2025 平凉校级模拟）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，y﹣x∈A}，则集合B中的元素的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
16．（2025 宁远县校级开学）已知集合A＝{0，1}，则集合B＝{x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．多选题（共5小题）
17．（2024秋 广东月考）下面能组成一个集合的是（ ）
A．横峰中学高一年级聪明的学生
B．的近似值
C．直角坐标系中横坐标、纵坐标相等的点
D．所有奇数
18．（2024秋 福田区校级月考）下列说法中错误的有（ ）
A．集合N中最小的数是1
B．若﹣a Z，则a∈Z
C．所有的正实数组成集合R+
D．由很小的数可组成集合A
19．（2024秋 景德镇期中）下列说法正确的有（ ）
A．某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合
B．集合A＝{x|y＝x2+1}与集合B＝{（x，y）|y＝x2+1}是相同的集合
C．由1，，，，0.5这些数组成的集合有4个元素
D．在平面直角坐标系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点（x，y）组成的点集，可以表示成集合{（x，y）|xy＜0，x，y∈R}
20．（2024秋 宿迁月考）下面四个说法中正确的是（ ）
A．10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}
B．由2，3组成的集合可表示为{2，3}或{3，2}
C．方程x2﹣4x+4＝0的所有解组成的集合是{2，2}
D．0与{0}表示同一个集合
21．（2024秋 沙河口区校级月考）下列说法中错误的是（ ）
A．在平面直角坐标系内，第二、第四象限的点的集合为{（x，y）|xy＞0}
B．方程x2﹣9＝0的解集为{（﹣3，3）}
C．集合{y|y＝1﹣x}与{x|y＝1﹣x}是相等的
D．若集合 RA＝{x∈Z|﹣1≤x≤1}，则
三．填空题（共6小题）
22．（2025 黄浦区校级开学）用列举法表示集合{x|﹣2≤x≤2，x∈N}＝ ．
23．（2025春 上海校级月考）已知集合A＝{1，2，a2﹣2a}，若3∈A，则实数a＝ ．
24．（2025 资阳校级开学）设集合A＝{0，m，m2﹣5m+4}，且4∈A，则实数m的值为 ．
25．（2025春 张掖月考）已知关于x的不等式的解集为M，若3 M，则实数a的取值范围是 ．
26．（2025春 长沙校级月考）已知m∈R，集合A＝{x|m＜x＜3m﹣1}中的元素恰有2个整数，则m的取值范围是 ．
27．（2024秋 益阳期末）如果对于非空集合A中的任意两个不同元素a，b，都有a+b∈A且ab∈A，那么这样的集合A称为封闭集合，例如集合R就是一个封闭集合．用列举法写出一个至少有三个元素且只有有限个元素的封闭集合 ．
四．解答题（共8小题）
28．（2024秋 沙县区校级月考）已知集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜3}．
（Ⅰ）用列举法表示集合A；
（Ⅱ）写出集合A的所有子集．
29．（2024秋 宝山区校级月考）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集．
（1）不等式2x﹣3＞0的解集；
（2）二元二次方程组的解集；
（3）由大于﹣3且小于9的偶数组成的集合．
30．（2024秋 镇雄县月考）已知集合A中有三个元素，分别为2，x，x2．
（1）求实数x应该满足哪些条件？
（2）若1∈A，求x的取值．
31．（2024秋 雨花区校级期中）（1）已知集合，试用列举法表示集合A；
（2）已知集合，试用列举法表示集合B．
32．（2024秋 嘉峪关校级期中）已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}．
（1）若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值；
（2）已若集合A中仅含有两个元素，求实数a的取值范围．
33．（2024秋 长宁区校级月考）设关于x的不等式ax﹣3＞2x+a的解集为M．
（1）求M；
（2）若﹣1∈M且0 M，求实数a的取值范围．
34．（2024秋 四川校级期中）已知集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R，x∈R}．
（1）若1∈A，求a的值；
（2）若A中只有一个元素，求a的取值范围；
（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
35．（2024秋 嘉定区校级月考）已知M是满足下列条件的集合：①0∈M，1∈M；②若x，y∈M，则x﹣y∈M；③若x∈M且x≠0，则．（1）判断是否正确，并说明理由；
（2）证明：若x，y∈M，则x+y∈M；
（3）证明：若x∈M，则x2∈M．
参考答案
一．选择题（共16小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C C C D A D B B B B C
题号 12 13 14 15 16
答案 B A A C C
二．多选题（共5小题）
题号 17 18 19 20 21
答案 CD ABD CD AB AB
一．选择题（共16小题）
1．【答案】C
【分析】借助集合中元素的性质逐项判定即可得．
【解答】解：由集合中元素的确定性可知，A、B、D选项中的对象都不能组成集合，故A、B、D错误；
对于C：绝对值为5的数有5或﹣5，符合集合的概念，故C正确．
故选：C．
2．【答案】C
【分析】根据集合中的元素满足的特征即可求解．
【解答】解：对于A，个子较高，不满足集合元素的确定性，故A错误；
对于B，难题，不满足集合元素的确定性，故B错误；
对于C，x2﹣1＝0的根为x＝±1，故集合为{﹣1，1}，故C正确；
对于D，无限接近于π，不满足集合元素的确定性，故D错误．
故选：C．
3．【答案】C
【分析】根据常用集合的符号和含义作出判断，得到答案．
【解答】解：0∈N，，，π Q，①②③正确，④错误．
故选：C．
4．【答案】D
【分析】根据集合的互异性可知a≠b≠c，进而可判定三角形不可能是等腰三角形．
【解答】解：根据集合的性质可知，a≠b≠c
∴△ABC一定不是等腰三角形．
故选：D．
5．【答案】A
【分析】利用集合中元素的互异性，直接判断选项多边形的边长构成的结合的元素个数即可得到结果．
【解答】解：因为集合中的元素是互异的，也是无序的，所以平行四边形的边长构成的集合只有2个元素；
菱形的边长构成的集合只有1个元素；矩形的边长构成的集合只有2个元素；
满足题意的可能是梯形．
故选：A．
6．【答案】D
【分析】根据元素与集合的关系求解．
【解答】解：由题意，12﹣5×1+m＝0，解得m＝4，
则集合A＝{x|x2﹣5x+4＝0}＝{1，4}．
故选：D．
7．【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系可得m+2＝2或m2+3＝2（舍去），解出m，由集合的互异性检验即可得出答案．
【解答】解：因为A＝{1，m+2，m2+3}，2∈A，
所以m+2＝2或m2+3＝2（舍去），
则m＝0．即A＝{1，2，3}．
故选：B．
8．【答案】B
【分析】根据题意，若1∈{x，x2}，则必有x＝1或x2＝1，进而分类讨论：①x＝1，②x2＝1，然后求出x的值．并验证是否符合集合中元素的性质，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，若1∈{x，x2}，则必有x＝1或x2＝1，
进而分类讨论：
①、当x＝1时，x2＝1，不符合集合中元素的互异性，舍去，
②、当x2＝1，解可得x＝﹣1或x＝1（舍）
当x＝﹣1时，x2＝1，符合题意，
综合可得，x＝﹣1，
故选：B．
9．【答案】B
【分析】解不等式x﹣2≤1可得x≤3，再由x∈N+即可求得结果．
【解答】解：易知{x∈N+|x﹣2≤1}＝{x∈N+|x≤3}＝{1，2，3}．
故选：B．
10．【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系分情况讨论，结合集合元素的互异性，即可求出结果．
【解答】解：集合A＝{a﹣2，a2+4a，12}，且﹣3∈A，
①当a﹣2＝﹣3时，a＝﹣1，
∴a2+4a＝1﹣4＝﹣3，
此时集合A＝{﹣3，﹣3，12}，不满足集合元素的互异性，故不符合题意，舍去；
②当a2+4a＝﹣3时，a＝﹣1或﹣3，
若a＝﹣1，则a﹣2＝﹣3，此时集合A＝{﹣3，﹣3，12}，不满足集合元素的互异性，故不符合题意，舍去，
若a＝﹣3，则a﹣2＝﹣5，此时集合A＝{﹣5，﹣3，12}，符合题意，
综上所述，a＝﹣3，
故选：B．
11．【答案】C
【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果．
【解答】解：根据题意，集合A＝{x|3ax﹣2≤0}，若1∈A且2 A，
则有，解可得．
故选：C．
12．【答案】B
【分析】由题意可得x﹣1可为±1、±3，计算即可得．
【解答】解：因为集合，由题意可得x﹣1可为±1、±3，
即x可为0，2，﹣2，4，即A＝{﹣2，0，2，4}．
故选：B．
13．【答案】A
【分析】根据集合A，B即可求出集合B，然后即可得解．
【解答】解：∵A＝{1，2}，B＝{x2﹣y2|x，y∈A}，
∴B＝{0，﹣3，3}，∴1 B，0∈B，3∈B，﹣3∈B，A错误．
故选：A．
14．【答案】A
【分析】分a＝0和a≠0两种情况讨论，结合条件即得．
【解答】解：当a＝0时，{x|ax2﹣2x+2＝0}＝{x|2﹣2x＝0}＝{1}，适合题意；
当a≠0时，关于x的方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等的实根，
则Δ＝4﹣8a＝0，解得．
综上所述，a＝0或．
故选：A．
15．【答案】C
【分析】通过集合B，利用x∈A，y∈A，y﹣x∈A，求出集合B中元素的个数．
【解答】解：因为集合A＝{1，2，3，4}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，y﹣x∈A}，
所以当x＝1时，y＝2或y＝3或y＝4，
当x＝2时，y＝3或y＝4，
当x＝3时，y＝4，
所以集合B中的元素个数为6．
故选：C．
16．【答案】C
【分析】根据题意，求出x﹣y值，即可得解．
【解答】解：∵集合A＝{0，1}，集合B＝{x﹣y|x∈A，y∈A}，
当x＝0，y＝0时，则x﹣y＝0，
当x＝0，y＝1时，则x﹣y＝﹣1，
当x＝1，y＝0时，则x﹣y＝1，
当x＝1，y＝1时，则x﹣y＝0，
综上，B＝{﹣1，0，1}，
所以B中元素的个数是3．
故选：C．
二．多选题（共5小题）
17．【答案】CD
【分析】由集合元素的确定性逐个判断即可．
【解答】解：横峰中学高一年级聪明的学生，的近似值所指元素都不满足集合元素的确定性，故AB错误；
直角坐标系中横坐标、纵坐标相等的点，所有奇数所指元素明确，故CD正确．
故选：CD．
18．【答案】ABD
【分析】利用选项中数集的意义判断ABC；利用集合的性质判断D．
【解答】解：对于A，集合N中最小的数是0，A错误；
对于B，Z表示整数集，若﹣a Z，则a Z，B错误；
对于C，所有的正实数组成集合R+，C正确；
对于D，很小的数没有确定性，不可组成集合，D错误．
故选：ABD．
19．【答案】CD
【分析】A选项：集合中元素需要具备确定性，而视力差标准不确定；B选项：点集和数集无法相等；C选项：集合中相同的元素算做1个；D选项：可以判断出x和y异号．
【解答】解：对于选项A，视力差标准不确定，不满足元素的确定性，故选项A错误；
对于选项B，其中集合A＝{x|y＝x2+1}是数集，集合B＝{（x，y）|y＝x2+1}是点集，故选项B错误；
对于选项C，因为，由集合中元素的互异性知这些数组成的集合有4个元素，所以选项C正确；
对于选项D，因为第Ⅱ或第Ⅳ象限内的点横纵坐标异号，即xy＜0，
所以第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点（x，y）组成的点集，可以表示成集合{（x，y）|xy＜0，x，y∈R}，故选D正确．
故选：CD．
20．【答案】AB
【分析】结合集合元素的特征检验各选项即可判断．
【解答】解：10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}，A正确；
由集合元素的无序性可知，2，3组成的集合可表示为{2，3}或{3，2}，B正确；
根据集合元素的互异性可知，x2﹣4x+4＝0的所有解组成的集合是{2}，C错误；
0为元素，{0}表示集合，D错误．
故选：AB．
21．【答案】AB
【分析】由第二、第四象限的点的坐标特征可判断A，解二次方程，结合解集的表示判断B，利用集合的描述法化简两集合可判断C，由集合的描述判断得 RA，从而可判断D．
【解答】解：对于选项A，在平面直角坐标系内，第二、第四象限的点的集合为{（x，y）|xy＜0}，故A错误；
对于选项B，解x2﹣9＝0，得x＝±3，
则方程x2﹣9＝0的解集为{﹣3，3}，故B错误；
对于选项C，因为{y|y＝1﹣x}＝R，{x|y＝1﹣x}＝R，
所以两集合相等，故C正确；
对于选项D，集合 RA＝{x∈Z|﹣1≤x≤1}＝{﹣1，0，1}，
因为 RA，所以∈A，故D正确．
故选：AB．
三．填空题（共6小题）
22．【答案】{0，1，2}．
【分析】利用列举法的定义求解．
【解答】解：用列举法表示集合{x|﹣2≤x≤2，x∈N}＝{0，1，2}．
故答案为：{0，1，2}．
23．【答案】见试题解答内容
【分析】根据3∈A即可得出a2﹣2a＝3，解出a即可．
【解答】解：∵3∈A，A＝{1，2，a2﹣2a}，
∴a2﹣2a＝3，解得a＝﹣1或3．
故答案为：﹣1或3．
24．【答案】5．
【分析】推导出m＝4或m2﹣5m+4＝4，再由集合中元素的互异性求解．
【解答】解：集合A＝{0，m，m2﹣5m+4}，且4∈A，
∵m＝4时，m2﹣5m+4＝0，不成立，∴m2﹣5m+4＝4，
解得m＝0（舍）或m＝5，则实数m的值为5．
故答案为：5．
25．【答案】（8，9]．
【分析】由已知结合元素与集合的关系即可求解．
【解答】解：关于x的不等式的解集为M，
若3 M，则1或9﹣a＝0，
解得8＜a≤9．
故答案为：（8，9]．
26．【答案】．
【分析】分析可知集合A对应的区间长度在（1，3]之间，可得出关于m的取值范围，然后对m的取值进行分类讨论，确定集合A中的整数元素，可得出关于m的不等式，解之即可．
【解答】解：因为集合A＝{x|m＜x＜3m﹣1}中的元素恰有两个整数，
所以1＜3m﹣1﹣m≤3，解得1＜m≤2，
①当1＜m＜2时，集合A中的两个整数分别为2、3，
则3＜3m﹣1≤4，解得，
②当m＝2时，此时A＝{x|2＜x＜5}，符合题意，
综上所述，实数m的取值范围是．
故答案为：．
27．【答案】．
【分析】根据封闭集合的定义并发现1×2＝2，，，从而得解．
【解答】解：{1，2，}中1×2＝2，，．
故答案为：{1，2，}．
四．解答题（共8小题）
28．【答案】（Ⅰ）{0，1，2}；
（Ⅱ）集合A的所有子集为 ，{0}，{1}，{2}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}．
【分析】（Ⅰ）根据列举法的定义求解；
（Ⅱ）根据子集的定义求解．
【解答】解：（Ⅰ）集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜3}＝{0，1，2}；
（Ⅱ）集合A的所有子集为 ，{0}，{1}，{2}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}．
29．【答案】（1），无限集；
（2）{（0，0），（1，1）}，有限集；
（3）{﹣2，0，2，4，6，8}，有限集．
【分析】（1）直接解不等式即可，解集为无限，用描述法表示；
（2）解方程组，解集为有限，用列举法表示；
（3）元素有限个，所以用列举法表示．
【解答】解：（1）因为，
所以解集为，为无限集；
（2）二元二次方程组，所以x2＝x，
解得或，
所以解集为{（0，0），（1，1）}，为有限集；
（3）大于﹣3且小于9的偶数有﹣2，0，2，4，6，8，
所以解集为{﹣2，0，2，4，6，8}，为有限集．
30．【答案】（1）x≠2且x且x≠0且x≠1；
（2）x＝﹣1．
【分析】（1）结合集合元素的互异性即可求解；
（2）结合元素与集合的关系即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得，，解得x≠2且x且x≠0且x≠1；
（2）若1∈A，则x＝1或x2＝1，所以x＝1或x＝﹣1，
经检验x＝1时，不符合元素的互异性，
所以x＝﹣1．
31．【答案】（1）{0，1，3，9}；
（2）{1，2，3，4}．
【分析】（1）由x∈N，，可列举出x+3的值，得出x的值，即可写出集合A；
（2）由且x∈N，可列举出x的值，得出相应的y的值，即可写出集合B．
【解答】解：（1）因为集合，
所以x+3可为3，4，6，12，所以x为0，1，3，9，
所以集合A＝{0，1，3，9}；
（2）因为且x∈N，所以x＝0，1，3，9，
则相应y的值为4，3，2，1，
所以集合B＝{1，2，3，4}．
32．【答案】（1）或0；
（2）．
【分析】（1）根据a是否为0进行讨论，结合一元二次方程根的判别式，算出a的值；
（2）利用一元二次方程根的判别式大于0，列式算出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）集合A中仅含有一个元素，即方程ax2﹣3x+1＝0仅有一根，
当a≠0时，则有Δ＝32﹣4a＝0，解得；当a＝0时，方程仅有一根，满足条件．
综上所述，实数a的值为或0；
（2）集合A中含有两个元素，即方程ax2﹣3x+1＝0有两个不相等的实根，
则有Δ＝32﹣4a＞0且a≠0，解得且a≠0，
综上所述，实数a的取值范围是．
33．【答案】（1）当a＝2时，M＝ ，当a＞2时，M，当a＜2时，M．
（2）a∈．
【分析】（1）分a＝2和a≠2两种情况讨论．
（2）利用﹣1∈M且0 M求解．
【解答】解：（1）∵ax﹣3＞2x+a （a﹣2）x＞a+3，
当a＝2时，M＝ ，
当a＞2时，M，
当a＜2时，M．
（2）∵﹣1∈M且0 M，
∴，解得：a∈．
34．【答案】（1）a＝﹣3；
（2）a＝0或a＝1；
（3）{a|a＝0或a≥1}．
【分析】（1）将x＝1代入方程中即可求解，
（2）（3）将问题转化为：关于x的方程ax2+2x+1＝0解的问题，分类讨论二次项系数a的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案．
【解答】解：集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R，x∈R}，
（1）由于1∈A，所以x＝1是ax2+2x+1＝0的实数根，故a+2+1＝0，
故a＝﹣3
（2）当a＝0时，原方程变为2x+1＝0，此时，符合题意；
当a≠0时，Δ＝4﹣4a＝0，即a＝1时，原方程的解为x＝﹣1，符合题意．
故当a＝0或a＝1时，A只有一个元素．
（3）若A中最多有一个元素，则A中可能无任何元素或只有一个元素，
由（1）知当a＝0时只有一个元素，
当a≠0时，方程ax2+2x+2＝0为一元二次方程，Δ＝4﹣4a＜0，即a＞1时，A为空集；
Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的根，A中有一个元素．
A中最多有一个元素，{a|a＝0或a≥1}
35．【答案】（1）正确，理由见解析；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析．
【分析】（1）根据集合M的条件，先根据①②得﹣1∈M，2∈M，进而有③可得；
（2）先由①②得﹣y∈M，进而可得x﹣（﹣y）＝x+y∈M；
（3）先证x﹣1∈M，可得，，进而得x（x﹣1）∈M，再结合x∈M可证．
【解答】解：（1）正确，理由如下：
由①知0∈M，1∈M，由②可得0﹣1＝﹣1∈M，1﹣（﹣1）＝2∈M，
由③可得；
（2）证明：由①知0∈M，由题意y∈M，
所以由②可知0﹣y＝﹣y∈M，又x∈M，所以x﹣（﹣y）＝x+y∈M即证；
（3）证明：x∈M，由②可知x﹣1∈M，由③可知，，
所以，即，所以x（x﹣1）∈M，
由（2）结论可知x（x﹣1）+x∈M，即x2∈M，即证
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