1.2 集合间的基本关系
【知识点1】集合相等 1
【知识点2】空集 2
【知识点3】子集 3
【知识点4】集合间关系的判断 4
【知识点5】由集合间的关系求参数 4
【跟踪训练】 6
1.理解集合间的基本关系(重点)。
2.掌握由集合间的基本关系求参数(重难点)。
3.理解子集、真子集的区别(重点)。
【知识点1】集合相等
(1)如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等．
(2)记作．
(3)两个集合的元素个数相等．
(4)两个集合的元素之和相等．
(5)两个集合的元素之积相等．
例1：
【例1】（2025春 海安市校级月考）设a，b∈R，集合A＝{1，a}，B＝{﹣1，﹣b}，若A＝B，则a+b＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【例2】（2024秋 南通期末）已知集合M＝{1，2m+1}，N＝{﹣1，m2}，且M＝N，则m＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．±1 D．0
【例3】（多选）（2025春 随州月考）下面说法中，正确的为（ ）
A．{x|x+y＝1}＝{y|x+y＝1} B．{（x，y）|x+y＝2}＝{x|x+y＝2}
C．{x|x＞2}＝{y|y＞2} D．{1，2}＝{2，1}
【例4】（2025 衡水模拟）设集合A＝{a，b}，B＝{2a，2a2}，若A＝B，则ab＝ ．
【知识点2】空集
空集
(1)不含有任何元素的集合称为空集，记作．
(2)空集是任何集合的子集．
(3)空集是任何非空集合的真子集．
例1：
【例5】（2025 漳州模拟）下列集合中表示空集的是（ ）
A．{ } B．{0}
C．{x∈R|x2+x﹣1＝0} D．{x∈R|x2+x+1＝0}
【例6】（2024秋 南海区校级月考）已知集合{x|a2+1＜x＜2a+4}≠ ，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|a＜﹣3或a＞1} B．{a|﹣3＜a＜1}
C．{a|a＜﹣1或a＞3} D．{a|﹣1＜a＜3}
【例7】（2025 云南校级开学）若集合A＝{x|ax2+1＝0}是空集，则a的取值范围是 ．
【例8】（2024秋 丰台区校级期中）若集合A＝{x|ax2﹣ax+2＝0}＝ ，则实数a的取值范围是 ．
【知识点3】子集
1．子集与真子集
(1)一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集，记作：．
(2)若，存在，则称集合A是集合B的真子集，记作：A B．
2．子集个数
(1)分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏．
(2)若集合A中有n个元素，则集合A有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集，结论可在选择题或填空题中直接使用．
例1：
【例9】（2025春 长沙月考）已知集合A {3，4，5}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【例10】（多选）（2024秋 济源期末）下列关系中，正确的是（ ）
A．0 N B．{0}∈{0，1} C． D． {0}
【例11】（2024秋 开封期末）设P，Q为两个非空实数集合，定义集合A＝{a+b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，1，2}，Q＝{1，2，3}，则集合A的子集的个数为 ．
【例12】（2024秋 宿州期中）满足{2，3} M {2，3，4，5}的集合M的个数是 ．
【知识点4】集合间关系的判断
集合间的基本关系
(1)子集、真子集、相等．
(2)弄清两个集合元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的．
(3)这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）．
例1：
【例13】（2024秋 福贡县期末）已知集合A＝{0，1，2}，那么（ ）
A．0 A B．0∈A C．{1}∈A D． ∈A
【例14】（多选）（2025 山海关区二模）已知集合，则（ ）
A．N P B．P M C．N M D．M N
【例15】（2024秋 阿城区校级期中）在下面的写法中：① {0}；②{0}∈{0，1}；③0∈ ；④{0，1} {1，0}；⑤ ∈{0}，错误的写法的序号是 ．
【例16】（2024秋 黄浦区校级月考）给出下列关系式，其中正确的是 （填序号）．
① {a}；②a {a}；③{a} {a}；④{a}∈{a，b}；⑤ {{a}， }．
【知识点5】由集合间的关系求参数
由集合间的关系求参数
(1)借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数．
(2)还要注意验证端点值，做到准确无误．
(3)一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示．
(4)涉及“A B”或“A B，且B≠ ”的问题，要分A= 和A≠ 两种情况进行讨论，A= 的情况容易被忽略，应引起足够的重视．
例1：
【例17】（2024秋 山西期末）已知集合A＝{x|x2﹣4x+3 0}，B＝{x|0＜x＜a}，若A B，则实数a的取值范围是（ ）
A．（3，+∞） B．（1，3] C．[3，+∞） D．（﹣∞，3]
【例18】（2024秋 东莞市期末）设集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|x＜a﹣1}，满足A B，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|a≥2} B．{a|a≤1} C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}
【例19】（多选）（2024秋 青海期末）已知集合A＝{﹣2，a2﹣8，﹣a2+a﹣1}，B＝{﹣7，2a}，若B A，则a的值可能是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．3
【例20】（2025春 聊城校级月考）已知集合M＝{1，3，9}，N＝{m，3m}．若N M，则m的取值范围是 ．
1.2 集合间的基本关系
一．选择题（共19小题）
1．（2024秋 南开区校级月考）下列说法中正确的是（ ）
①空集 与{ }表示同一个集合；
②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；
③方程x2（x+1）＝0的所有解的集合可表示为{0，0，﹣1}；
④集合{x|4＜x＜5}可以用列举法表示．
A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．只有②和④
2．（2025 潍坊二模）已知集合A＝{x∈N|x3＜27}，则A的子集的个数是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
3．（2025 秦淮区校级二模）集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜4}的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
4．（2025 海淀区校级开学）下列说法错误的是（ ）
A．2∈{2，1，0} B．{1}∈{2，1，0} C．{0} {2，1，0} D． {2，1，0}
5．（2024秋 广东期末）若M＝{x，y，z}，则以下正确的是（ ）
A．x M B．{x} M C．M∈（y，z） D．{z}∈M
6．（2025春 济南月考）已知集合A＝{a2，0，﹣1}，B＝{a，b，0}，且A＝B，则ab2025＝（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
7．（2024秋 宣城期末）已知集合A＝{0，4，a2}，B＝{0，4，3a﹣2}，若A＝B，则a的值是（ ）
A．1或2 B．﹣1或0 C．1 D．﹣1
8．（2024秋 碑林区校级月考）已知集合A＝{x|ax2+ax+2＝0}，若集合A为空集，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|0＜a＜8} B．{a|0≤a＜8} C．{a|a＜0或a＞8} D．{a|a≤0或a＞8}
9．（2025春 上海月考）若集合P满足{2} P {2，3，5}，则P可以是（ ）
A．{2，5} B．{3} C．{3，5} D．{2，3，5}
10．（2025 安徽模拟）已知集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则实数a的取值范围是（ ）
A．（2，+∞） B．（﹣∞，2） C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）
11．（2025 重庆模拟）满足{2} A {2，3，4}的集合A的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．（2024秋 宿迁校级月考）已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{x|1﹣mx＞0}，若A B，则m的取值范围是（ ）
A．（﹣1，+∞） B．
C． D．
13．（2025 平山区校级开学）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x＜a}，若A B，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤2 B．a＜2 C．a＞2 D．a≥2
14．（2025 广州模拟）集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|a﹣1≤x≤2a﹣1}，若B A，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤1 B．a＜1 C．0≤a≤1 D．0＜a＜1
15．（2025 河北模拟）设集合A＝{0，1}，B＝{1，a，a+1}，若A B，则a＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或0
16．（2025 河南模拟）已知集合，则集合A的子集个数是（ ）
A．4 B．7 C．8 D．16
17．（2025 昌江区校级模拟）满足{0} M {﹣1，0，1}的集合M的个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
18．（2025春 徐汇区月考）已知集合A＝{x|x2﹣4x＜0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．7
19．（2025 昌江区校级模拟）已知集合A＝{a，1}，B＝{x|x2+x﹣2≤0}，若A B，则实数a的取值范围是（ ）
A．{﹣2，1} B．{﹣1，0，2} C．[﹣2，1] D．[﹣2，1）
二．多选题（共6小题）
20．（2025 资阳校级开学）下列表述正确的是（ ）
A．{2，1，0} {0，1，2} B．{0}∈{0，1，2}
C． {0，1，2} D．0 {0}
21．（2024秋 仁寿县校级期末）下列说法中不正确的是（ ）
A．集合{x|x＜1，x∈N}为无限集
B．方程（x﹣1）2（x﹣2）＝0的解构成的集合的所有子集共4个
C．{（x，y）|x+y＝1}＝{y|x﹣y＝﹣1}
D．{y|y＝2n，n∈，k∈Z}
22．（2024秋 仁寿县校级期末）已知集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，}，若B A，则实数a的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
23．（2024秋 安徽期末）已知集合A＝{2，3}，B＝{x|mx﹣6＝0}，若B A，则实数m可以是（ ）
A．3或2 B．1 C．0 D．﹣1
24．（2024秋 辽宁期末）已知集合A＝{﹣2，a2﹣8，﹣a2+a﹣1}，B＝{﹣7，2a}，若B A，则a的值可能是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．3
25．（2024秋 成都期末）已知集合A＝{1，a+2}，B＝{1，2，a2}，若A B，则a的值可以为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
三．填空题（共9小题）
26．（2024秋 英吉沙县期末）集合{1，2，3}的子集个数为 ．
27．（2025春 杨浦区校级月考）已知集合{a2，a}＝{a，1}，则a＝ ．
28．（2024秋 哈尔滨校级期末）集合的真子集的个数是 ．
29．（2025 天水学业考试）设三元集合，则a2025+b2026＝ ．
30．（2024秋 东城区校级月考）若集合A＝{x|ax2﹣ax+1＝0}＝ ，则实数a的取值范围是 ．
31．（2024秋 泸县校级期中）已知M＝{x|x2﹣2x﹣3＝0}，N＝{x|x2+ax+1＝0，a∈R}，且N M，则a的取值范围为 ．
32．（2024秋 海口期末）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|x＞m}，若A B，则m的取值范围为 ．
33．（2024秋 宝山区校级期末）已知集合A＝{1}，B＝{a，a2+2}．若A B，则实数a的值为 ．
34．（2024秋 辽宁期末）已知集合A＝{1，2a，a2+a}，B＝{1，2}，若B是A的子集，则实数a的值为 ．
四．解答题（共6小题）
35．（2024秋 仁寿县校级期末）已知集合A＝{a﹣2，2a2+5a}，且﹣3∈A．
（1）求a；
（2）写出集合A的所有真子集．
36．（2024秋 荆州期末）已知集合A＝{x|m2＜x＜2m}，，若A是B的真子集，求实数m的取值范围．
37．（2025春 永州月考）已知A＝{x|x2+x﹣2＝0}，B＝{x|x2+ax+2a﹣4＝0}，若B A，求实数a的值．
38．（2024秋 天河区期末）设a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{﹣1，﹣b}．
（1）当P＝Q时，求a﹣b的值；
（2）已知集合M＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，若P M，求实数a的取值范围．
39．（2024秋 吉林期末）（1）设a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{﹣1，﹣b}，若P＝Q，求a﹣b的值；
（2）已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若B A，求实数a的取值范围．
40．（2024秋 牡丹江期末）已知数集A含有n（n∈N*）个元素，定义集合A*＝{x+y|x，y∈A}．
（1）若A＝{1，2，3}，写出A*；
（2）写出一个集合A，使得A＝A*．
第1页 共1页1.2 集合间的基本关系
【知识点1】集合相等 1
【知识点2】空集 3
【知识点3】子集 5
【知识点4】集合间关系的判断 6
【知识点5】由集合间的关系求参数 8
【跟踪训练】 11
1.理解集合间的基本关系(重点)。
2.掌握由集合间的基本关系求参数(重难点)。
3.理解子集、真子集的区别(重点)。
【知识点1】集合相等
(1)如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等．
(2)记作．
(3)两个集合的元素个数相等．
(4)两个集合的元素之和相等．
(5)两个集合的元素之积相等．
例1：
【例1】（2025春 海安市校级月考）设a，b∈R，集合A＝{1，a}，B＝{﹣1，﹣b}，若A＝B，则a+b＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【答案】A
【分析】由A＝B，可得a，b，即可得答案．
【解答】解：A＝B，A＝{1，a}，B＝{﹣1，﹣b}，
则．则a+b＝﹣2．
故选：A．
【例2】（2024秋 南通期末）已知集合M＝{1，2m+1}，N＝{﹣1，m2}，且M＝N，则m＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．±1 D．0
【答案】A
【分析】由已知结合集合相等的条件即可求解．
【解答】解：因为集合M＝{1，2m+1}，N＝{﹣1，m2}，且M＝N，
所以，解得m＝﹣1．
故选：A．
【例3】（多选）（2025春 随州月考）下面说法中，正确的为（ ）
A．{x|x+y＝1}＝{y|x+y＝1} B．{（x，y）|x+y＝2}＝{x|x+y＝2}
C．{x|x＞2}＝{y|y＞2} D．{1，2}＝{2，1}
【答案】ACD
【分析】分别检验各选项中集合的含义即可判断．
【解答】解：{x|x+y＝1}＝{y|x+y＝1}＝R，A符合题意；
{（x，y）|x+y＝2}＝{x|x+y＝2}表示的对象不同，B不符合题意；
{x|x＞2}＝{y|y＞2}都表示所有大于2的实数，C符合题意；
{1，2}＝{2，1}符合题意．
故选：ACD．
【例4】（2025 衡水模拟）设集合A＝{a，b}，B＝{2a，2a2}，若A＝B，则ab＝ ．
【答案】．
【分析】根据给定条件，利用集合元素的特性及集合相等求出a，b．
【解答】解：B＝{2a，2a2}中，2a≠2a2，则a≠0且a≠1，
而A＝{a，b}，A＝B，，解得b＝1，a，
所以．
故答案为：．
【知识点2】空集
空集
(1)不含有任何元素的集合称为空集，记作．
(2)空集是任何集合的子集．
(3)空集是任何非空集合的真子集．
例1：
【例5】（2025 漳州模拟）下列集合中表示空集的是（ ）
A．{ } B．{0}
C．{x∈R|x2+x﹣1＝0} D．{x∈R|x2+x+1＝0}
【答案】D
【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案．
【解答】解：对于A和B，集合{ }和集合{0}都存在一个元素，不为 ，故AB都不符合题意；
对于C，由x2+x﹣1＝0，则Δ＝1+4＝5＞0，即该方程存在两个不相等的实数根，
所以集合{x∈R|x2+x﹣1＝0}≠ ，故C不符合题意；
对于D，由x2+x+1＝0，则Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，即该方程不存在实数根，
所以集合{x∈R|x2+x+1＝0}＝ ，故D符合题意．
故选：D．
【例6】（2024秋 南海区校级月考）已知集合{x|a2+1＜x＜2a+4}≠ ，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|a＜﹣3或a＞1} B．{a|﹣3＜a＜1}
C．{a|a＜﹣1或a＞3} D．{a|﹣1＜a＜3}
【答案】D
【分析】根据空集的定义结合一元二次不等式的解法即可得解．
【解答】解：由题意a2+1＜2a+4，解得﹣1＜a＜3，
即实数a的取值范围是{a|﹣1＜a＜3}．
故选：D．
【例7】（2025 云南校级开学）若集合A＝{x|ax2+1＝0}是空集，则a的取值范围是 ．
【答案】a≥0．
【分析】分a＝0和a≠0讨论方程解的情况，可得答案．
【解答】解：集合A＝{x|ax2+1＝0}是空集，
若a≠0，由方程ax2+1＝0 无解，可得即a＞0，此时A＝ ；
若a＝0，则方程ax2+1＝0无解，所以A＝ ．
综上可知，实数a的取值范围为：a≥0．
故答案为a≥0．
【例8】（2024秋 丰台区校级期中）若集合A＝{x|ax2﹣ax+2＝0}＝ ，则实数a的取值范围是 ．
【答案】0≤a＜8．
【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得．
【解答】解：若a＝0，2＝0不成立，A＝ ，则a＝0；
若a≠0时，由题意得Δ＝a2﹣8a＜0，解得0＜a＜8；
所以实数a的取值范围是0≤a＜8，
所以a的取值范围为0≤a＜8．
故答案为：0≤a＜8．
【知识点3】子集
1．子集与真子集
(1)一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集，记作：．
(2)若，存在，则称集合A是集合B的真子集，记作：A B．
2．子集个数
(1)分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏．
(2)若集合A中有n个元素，则集合A有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集，结论可在选择题或填空题中直接使用．
例1：
【例9】（2025春 长沙月考）已知集合A {3，4，5}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】根据条件可列举出所有满足条件的集合A，从而得解．
【解答】解：根据题意得，A＝{3}，{5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，共5个．
故选：D．
【例10】（多选）（2024秋 济源期末）下列关系中，正确的是（ ）
A．0 N B．{0}∈{0，1} C． D． {0}
【答案】CD
【分析】由元素与集合间的关系可判断AC，由集合间的包含关系可判断BD．
【解答】解：对于A，由元素与集合之间的关系可得0∈N，故A错误；
对于B，由集合间的包含关系可得{0} {0，1}，故B错误；
对于C，由元素与集合之间的关系可得，故C正确；
对于D，因为空集是任何集合的子集，所以 {0}，故D正确．
故选：CD．
【例11】（2024秋 开封期末）设P，Q为两个非空实数集合，定义集合A＝{a+b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，1，2}，Q＝{1，2，3}，则集合A的子集的个数为 ．
【答案】32．
【分析】直接根据定义求出集合中的元素，再根据元素个数求出集合的子集个数即可．
【解答】解：已知P＝{0，1，2}，Q＝{1，2，3}，
定义集合A＝{a+b|a∈P，b∈Q}，
而0+1＝1，0+2＝2，0+3＝3，1+1＝2，1+2＝3，1+3＝4，2+1＝3，2+2＝4，2+3＝5，
则集合A中的元素分别为1，2，3，4，5，共5个，
则集合A的子集的个数为25＝32．
故答案为：32．
【例12】（2024秋 宿州期中）满足{2，3} M {2，3，4，5}的集合M的个数是 ．
【答案】3．
【分析】根据子集、真子集的知识进行列举，从而确定正确答案．
【解答】解：因为集合M满足{2，3} M {2，3，4，5}，
则符合题意的集合M为{2，3}，{2，3，4}，{2，3，5}，共3个．
故答案为：3．
【知识点4】集合间关系的判断
集合间的基本关系
(1)子集、真子集、相等．
(2)弄清两个集合元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的．
(3)这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）．
例1：
【例13】（2024秋 福贡县期末）已知集合A＝{0，1，2}，那么（ ）
A．0 A B．0∈A C．{1}∈A D． ∈A
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系进行判断即可
【解答】解：对于选项AB，因为0是集合A中的元素，所以0∈A，故A错误，B正确；
对于选项C，集合{1}是集合A的子集，所以{1} A，故C错误；
对于选项D，因为空集是任何集合的子集，所以 D，故D错误．
故选：B．
【例14】（多选）（2025 山海关区二模）已知集合，则（ ）
A．N P B．P M C．N M D．M N
【答案】AC
【分析】先化简集合M，N，再根据子集定义判断．
【解答】解：由题意得，M＝{x|x，m∈Z}，N＝{x|x，n∈∈∈Z}，
所以N M P，
故A，C正确，B，D错误．
故选：AC．
【例15】（2024秋 阿城区校级期中）在下面的写法中：① {0}；②{0}∈{0，1}；③0∈ ；④{0，1} {1，0}；⑤ ∈{0}，错误的写法的序号是 ②③⑤ ．
【答案】②③⑤．
【分析】根据集合与集合的关系，元素与集合的关系即可判定．
【解答】解：空集是任何非空集合的真子集，故①正确；
集合与集合间是包含关系，不是“属于”，故②错误；
空集没有任何元素，故③错误；
根据子集的定义可知，④正确；
集合与集合间是包含关系，不是“属于”，故⑤错误．
故答案为：②③⑤．
【例16】（2024秋 黄浦区校级月考）给出下列关系式，其中正确的是 （填序号）．
① {a}；②a {a}；③{a} {a}；④{a}∈{a，b}；⑤ {{a}， }．
【答案】①③⑤．
【分析】利用空集的性质判断①，⑤，利用元素和集合的关系判断②，利用集合和集合的关系判断④，利用子集的性质判断③即可．
【解答】解：①因为空集是任何集合的子集，所以①正确；
②由元素和集合的关系得a∈{a}，故②错误；
③一个集合是自身的子集，故③正确；
④由集合和集合的关系得{a} {a，b}，故④错误；
⑤因为空集是任何集合的子集，所以⑤正确．
故答案为：①③⑤．
【知识点5】由集合间的关系求参数
由集合间的关系求参数
(1)借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数．
(2)还要注意验证端点值，做到准确无误．
(3)一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示．
(4)涉及“A B”或“A B，且B≠ ”的问题，要分A= 和A≠ 两种情况进行讨论，A= 的情况容易被忽略，应引起足够的重视．
例1：
【例17】（2024秋 山西期末）已知集合A＝{x|x2﹣4x+3 0}，B＝{x|0＜x＜a}，若A B，则实数a的取值范围是（ ）
A．（3，+∞） B．（1，3] C．[3，+∞） D．（﹣∞，3]
【答案】A
【分析】解不等式求出集合A，再由A B可得答案．
【解答】解：由x2﹣4x+3≤0，得1≤x≤3，
所以A＝{x|1≤x≤3}．
因为B＝{x|0＜x＜a}，且A B，
所以a＞3，
即实数a的取值范围是（3，+∞）．
故选：A．
【例18】（2024秋 东莞市期末）设集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|x＜a﹣1}，满足A B，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|a≥2} B．{a|a≤1} C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}
【答案】A
【分析】由题意，用数轴表示集合的关系，从而求解．
【解答】解：由题意如图：
有a﹣1≥1，所以a≥2．
故选：A．
【例19】（多选）（2024秋 青海期末）已知集合A＝{﹣2，a2﹣8，﹣a2+a﹣1}，B＝{﹣7，2a}，若B A，则a的值可能是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．3
【答案】AB
【分析】由B A，列出等式a2﹣8＝﹣7或﹣a2+a﹣1＝﹣7，求得a，再逐个进行验证即可．
【解答】解：由题意，a2﹣8＝﹣7或﹣a2+a﹣1＝﹣7，解得a＝1或a＝﹣1或a＝﹣2或a＝3；
a＝1时，A＝{﹣2，﹣7，﹣1}，B＝{﹣7，2}，不符合题意，舍去；
a＝﹣1时，A＝{﹣2，﹣7，﹣3}，B＝{﹣7，﹣2}，此时B A，符合题意；
a＝﹣2时，A＝{﹣2，﹣4，﹣7}，B＝{﹣7，﹣4}，此时B A，符合题意；
a＝3时，A＝{﹣2，1，﹣7}，B＝{﹣7，6}，不符合题意，舍去．
故选：AB．
【例20】（2025春 聊城校级月考）已知集合M＝{1，3，9}，N＝{m，3m}．若N M，则m的取值范围是 ．
【答案】{1，3}．
【分析】由题意及N M可得答案．
【解答】解：因为N＝{m，3m}，M＝{1，3，9}，且N M，
所以m＝1或m＝3，
即m的取值范围是{1，3}．
故答案为：{1，3}．
1.2 集合间的基本关系
一．选择题（共19小题）
1．（2024秋 南开区校级月考）下列说法中正确的是（ ）
①空集 与{ }表示同一个集合；
②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；
③方程x2（x+1）＝0的所有解的集合可表示为{0，0，﹣1}；
④集合{x|4＜x＜5}可以用列举法表示．
A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．只有②和④
2．（2025 潍坊二模）已知集合A＝{x∈N|x3＜27}，则A的子集的个数是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
3．（2025 秦淮区校级二模）集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜4}的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
4．（2025 海淀区校级开学）下列说法错误的是（ ）
A．2∈{2，1，0} B．{1}∈{2，1，0} C．{0} {2，1，0} D． {2，1，0}
5．（2024秋 广东期末）若M＝{x，y，z}，则以下正确的是（ ）
A．x M B．{x} M C．M∈（y，z） D．{z}∈M
6．（2025春 济南月考）已知集合A＝{a2，0，﹣1}，B＝{a，b，0}，且A＝B，则ab2025＝（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
7．（2024秋 宣城期末）已知集合A＝{0，4，a2}，B＝{0，4，3a﹣2}，若A＝B，则a的值是（ ）
A．1或2 B．﹣1或0 C．1 D．﹣1
8．（2024秋 碑林区校级月考）已知集合A＝{x|ax2+ax+2＝0}，若集合A为空集，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|0＜a＜8} B．{a|0≤a＜8} C．{a|a＜0或a＞8} D．{a|a≤0或a＞8}
9．（2025春 上海月考）若集合P满足{2} P {2，3，5}，则P可以是（ ）
A．{2，5} B．{3} C．{3，5} D．{2，3，5}
10．（2025 安徽模拟）已知集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则实数a的取值范围是（ ）
A．（2，+∞） B．（﹣∞，2） C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）
11．（2025 重庆模拟）满足{2} A {2，3，4}的集合A的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．（2024秋 宿迁校级月考）已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{x|1﹣mx＞0}，若A B，则m的取值范围是（ ）
A．（﹣1，+∞） B．
C． D．
13．（2025 平山区校级开学）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x＜a}，若A B，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤2 B．a＜2 C．a＞2 D．a≥2
14．（2025 广州模拟）集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|a﹣1≤x≤2a﹣1}，若B A，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤1 B．a＜1 C．0≤a≤1 D．0＜a＜1
15．（2025 河北模拟）设集合A＝{0，1}，B＝{1，a，a+1}，若A B，则a＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或0
16．（2025 河南模拟）已知集合，则集合A的子集个数是（ ）
A．4 B．7 C．8 D．16
17．（2025 昌江区校级模拟）满足{0} M {﹣1，0，1}的集合M的个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
18．（2025春 徐汇区月考）已知集合A＝{x|x2﹣4x＜0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．7
19．（2025 昌江区校级模拟）已知集合A＝{a，1}，B＝{x|x2+x﹣2≤0}，若A B，则实数a的取值范围是（ ）
A．{﹣2，1} B．{﹣1，0，2} C．[﹣2，1] D．[﹣2，1）
二．多选题（共6小题）
20．（2025 资阳校级开学）下列表述正确的是（ ）
A．{2，1，0} {0，1，2} B．{0}∈{0，1，2}
C． {0，1，2} D．0 {0}
21．（2024秋 仁寿县校级期末）下列说法中不正确的是（ ）
A．集合{x|x＜1，x∈N}为无限集
B．方程（x﹣1）2（x﹣2）＝0的解构成的集合的所有子集共4个
C．{（x，y）|x+y＝1}＝{y|x﹣y＝﹣1}
D．{y|y＝2n，n∈，k∈Z}
22．（2024秋 仁寿县校级期末）已知集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，}，若B A，则实数a的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
23．（2024秋 安徽期末）已知集合A＝{2，3}，B＝{x|mx﹣6＝0}，若B A，则实数m可以是（ ）
A．3或2 B．1 C．0 D．﹣1
24．（2024秋 辽宁期末）已知集合A＝{﹣2，a2﹣8，﹣a2+a﹣1}，B＝{﹣7，2a}，若B A，则a的值可能是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．3
25．（2024秋 成都期末）已知集合A＝{1，a+2}，B＝{1，2，a2}，若A B，则a的值可以为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
三．填空题（共9小题）
26．（2024秋 英吉沙县期末）集合{1，2，3}的子集个数为 ．
27．（2025春 杨浦区校级月考）已知集合{a2，a}＝{a，1}，则a＝ ．
28．（2024秋 哈尔滨校级期末）集合的真子集的个数是 ．
29．（2025 天水学业考试）设三元集合，则a2025+b2026＝ ．
30．（2024秋 东城区校级月考）若集合A＝{x|ax2﹣ax+1＝0}＝ ，则实数a的取值范围是 ．
31．（2024秋 泸县校级期中）已知M＝{x|x2﹣2x﹣3＝0}，N＝{x|x2+ax+1＝0，a∈R}，且N M，则a的取值范围为 ．
32．（2024秋 海口期末）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|x＞m}，若A B，则m的取值范围为 ．
33．（2024秋 宝山区校级期末）已知集合A＝{1}，B＝{a，a2+2}．若A B，则实数a的值为 ．
34．（2024秋 辽宁期末）已知集合A＝{1，2a，a2+a}，B＝{1，2}，若B是A的子集，则实数a的值为 ．
四．解答题（共6小题）
35．（2024秋 仁寿县校级期末）已知集合A＝{a﹣2，2a2+5a}，且﹣3∈A．
（1）求a；
（2）写出集合A的所有真子集．
36．（2024秋 荆州期末）已知集合A＝{x|m2＜x＜2m}，，若A是B的真子集，求实数m的取值范围．
37．（2025春 永州月考）已知A＝{x|x2+x﹣2＝0}，B＝{x|x2+ax+2a﹣4＝0}，若B A，求实数a的值．
38．（2024秋 天河区期末）设a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{﹣1，﹣b}．
（1）当P＝Q时，求a﹣b的值；
（2）已知集合M＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，若P M，求实数a的取值范围．
39．（2024秋 吉林期末）（1）设a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{﹣1，﹣b}，若P＝Q，求a﹣b的值；
（2）已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若B A，求实数a的取值范围．
40．（2024秋 牡丹江期末）已知数集A含有n（n∈N*）个元素，定义集合A*＝{x+y|x，y∈A}．
（1）若A＝{1，2，3}，写出A*；
（2）写出一个集合A，使得A＝A*．
参考答案
一．选择题（共19小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B D B B C C B A D B
题号 12 13 14 15 16 17 18 19
答案 C C A A C B D D
二．多选题（共6小题）
题号 20 21 22 23 24 25
答案 AC ACD AB AC AB BD
一．选择题（共19小题）
1．【答案】C
【分析】根据集合的概念及表示逐项分析即得．
【解答】对于①，集合{ }中有1个元素，而 中没有元素，两集合不相等，故①错误；
对于②，由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}，故②正确；
对于③，根据集合元素的互异性知{0，0，﹣1}表示错误，故③错误；
对于④，集合{x|4＜x＜5}为无限集，不能用列举法表示，故④错误．
故选：C．
2．【答案】B
【分析】首先解不等式化简集合A，再根据含有n个元素的集合有2n个子集计算可得．
【解答】解：因为x3＜27，所以x＜3，
所以A＝{x∈N|x＜3}＝{0，1，2}，
所以A的子集有23＝8个．
故选：B．
3．【答案】D
【分析】先求出集合，再求出子集个数即可．
【解答】解：由题意，得A＝{0，1，2，3}，故集合A子集个数为24＝16个．
故选：D．
4．【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系判断即可．
【解答】解：2是{2，1，0}的元素，A正确；
{1}不是{2，1，0}的元素，B错误；
{0}是{2，1，0}的子集，C正确；
空集是任何集合的子集，D正确．
故选：B．
5．【答案】B
【分析】根据元素与集合、集合与集合间的关系判断即可．
【解答】解：对于选项A，x为元素，M为集合，所以x∈M，故选项A错误；
对于选项B，{x}为集合，M为集合，且x∈M，所以{x} M，故选项B正确；
对于选项C，M为集合，（y，z）是有序数对，两者没有属于关系，故选项C错误；
对于选项D，{z}为集合，M为集合，且z∈M，故{z} M，故选项D错误．
故选：B．
6．【答案】C
【分析】根据集合相等结合集合的互异性可得a，b的值，即可得结果．
【解答】解：因为A＝B，A＝{a2，0，﹣1}，B＝{a，b，0}，
所以，或，
解得，或，或，
当时，不满足集合中元素的互异性，舍去，
当时，A＝{1，0，﹣1}，B＝{1，﹣1，0}，符合题意，
此时ab2025＝﹣1，
当时，A＝{1，0，﹣1}，B＝{﹣1，1，0}，符合题意，
此时ab2025＝﹣1，
综上所述，ab2025的值为﹣1．
故选：C．
7．【答案】C
【分析】由已知结合集合相等的条件即可求解．
【解答】解：集合A＝{0，4，a2}，B＝{0，4，3a﹣2}，若A＝B，
则a2＝3a﹣2，解得a＝1或a＝2，
当a＝2时，A＝{0，4，4}，与集合元素的互异性矛盾，
故a＝1．
故选：C．
8．【答案】B
【分析】通过讨论a＝0和a≠0即可求解．
【解答】解：当a＝0时，易知A＝ ，符合题意，
当a≠0时，若集合A为空集，则
Δ＝a2﹣8a＜0，解得0＜a＜8，、
故实数a的取值范围是{a|0≤a＜8}．
故选：B．
9．【答案】A
【分析】根据集合的包含关系写出集合P，即可得答案．
【解答】解：因为集合P满足{2} P {2，3，5}，
所以P＝{2，3}或P＝{2，5}．
故选：A．
10．【答案】D
【分析】根据集合的包含关系即可求解．
【解答】解：因为集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，且A B，
所以a≥2，
即实数a的取值范围是[2，+∞）．
故选：D．
11．【答案】B
【分析】列举出满足要求的集合，得到答案．
【解答】解：满足{2} A {2，3，4}的集合可以为{2}，{2，3}，{2，4}，
所以满足{2} A {2，3，4}的集合A的个数为3．
故选：B．
12．【答案】C
【分析】由集合的包含关系得不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：由题意，因为A B，
则，解得﹣1＜m，
所以m的取值范围是（﹣1，）．
故选：C．
13．【答案】C
【分析】根据一元二次方程的解法可得集合A，利用子集的定义即可得出所求的答案．
【解答】解：因为集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，
所以由A B得：a＞2．
故选：C．
14．【答案】A
【分析】当B＝ 时，a﹣1＞2a﹣1；当B≠ 时，，由此能求出实数a的取值范围．
【解答】解：∵集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|a﹣1≤x≤2a﹣1}，B A，
∴当B＝ 时，a﹣1＞2a﹣1，解得a＜0，
当B≠ 时，，解得0≤a≤1．
综上，实数a的取值范围是{a|a≤1}．
故选：A．
15．【答案】A
【分析】根据集合的包含关系以及集合中元素的互异性解方程即可求得．
【解答】解：由A B可知a＝0或a+1＝0，
解得a＝0或a＝﹣1，
当a＝0时，集合B中的元素不满足互异性，舍去，
当a＝﹣1时，B＝{1，﹣1，0}，符合题意，
所以a＝﹣1．
故选：A．
16．【答案】C
【分析】解不等式求得集合A，利用子集的定义即得．
【解答】解：集合{0，1，2}，
所以A的子集有23＝8个．
故选：C．
17．【答案】B
【分析】由题意可知集合M的个数即为集合{﹣1，1}的子集个数，再结合子集个数公式求解．
【解答】解：因为{0} M {﹣1，0，1}，
所以集合M的个数即为集合{﹣1，1}的子集个数，
所以集合M的个数为22＝4个．
故选：B．
18．【答案】D
【分析】解不等式化简集合A，再求出其真子集个数．
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣4x＜0，x∈N*}＝{1，2，3}，元素个数为3，
所以集合A的真子集的个数为23﹣1＝7．
故选：D．
19．【答案】D
【分析】化简集合B，结合A B和集合具有互异性，得出实数a的取值范围．
【解答】解：由x2+x﹣2≤0，解得﹣2≤x≤1，
所以B＝{x|﹣2≤x≤1}，
又因为A＝{a，1}，且A B，
所以﹣2≤a＜1，
即实数a的取值范围是{a|﹣2≤a＜1}．
故选：D．
二．多选题（共6小题）
20．【答案】AC
【分析】利用集合间的包含关系可判断AC，利用元素与集合的关系可判断BD．
【解答】解：对于A，{2，1，0} {0，1，2}，故A正确；
对于B，{0} {0，1，2}，故B错误；
对于C， {0，1，2}，故C正确；
对于D，0∈{0}，故D错误．
故选：AC．
21．【答案】ACD
【分析】根据集合的概念及描述法即可分别求解．
【解答】解：对A，∵集合{x|x＜1，x∈N}＝{0}，∴A错误；
对B，∵方程（x﹣1）2（x﹣2）＝0的解构成的集合为{1，2}，
∴其所有子集个数为22＝4，∴B正确；
对C，∵{y|x﹣y＝﹣1}＝R，而{（x，y）|x+y＝1}表示直线x+y＝1，
∴{（x，y）|x+y＝1}≠{y|x﹣y＝﹣1}，∴C错误；
对D，∵{x|x＝4k，k∈Z} {y|y＝2n，n∈Z}，D错误．
故选：ACD．
22．【答案】AB
【分析】根据B A，可得2∈A，，列出不等式求得a≤1，能求出实数a的值．
【解答】解：∵集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，}，B A，
∴2∈A，，
∴，解得a≤1．
故选：AB．
23．【答案】AC
【分析】利用集合之间的包含关系判断出方程的解的情况．
【解答】解：当m＝0时，方程mx﹣6＝0无解，B＝ ，满足B A；当m≠0时，B＝{}，因为B A，所以2或3，解得m＝3或m＝2．
故选：AC．
24．【答案】AB
【分析】由B A，列出等式a2﹣8＝﹣7或﹣a2+a﹣1＝﹣7，求得a，再逐个进行验证即可．
【解答】解：因为B A，所以a2﹣8＝﹣7或﹣a2+a﹣1＝﹣7，解得a＝1或a＝﹣1或a＝﹣2或a＝3．
当a＝1时，A＝{﹣2，﹣7，﹣1}，B＝{﹣7，2}，则a＝1不符合题意．
当a＝﹣1时，A＝{﹣2，﹣7，﹣3}，B＝{﹣7，﹣2}，则a＝﹣1符合题意．
当a＝﹣2时，A＝{﹣2，﹣4，﹣7}，B＝{﹣7，﹣4}，则a＝﹣2符合题意．
当a＝3时，A＝{﹣2，1，﹣7}，B＝{﹣7，6}，则a＝3不符合题意．
故选：AB．
25．【答案】BD
【分析】由题意可知a+2＝2或a+2＝a2，再结合元素的互异性求解．
【解答】解：因为集合A＝{1，a+2}，B＝{1，2，a2}，且A B，
所以a+2＝2或a+2＝a2，
解得a＝0或﹣1或2，
当a＝0时，集合A＝{1，2}，B＝{1，2，0}，符合题意，
当a＝﹣1时，集合B中的元素不满足互异性，舍去，
当a＝2时，集合A＝{1，4}，B＝{1，2，4}，符合题意，
综上所述，a的值可以为0或2．
故选：BD．
三．填空题（共9小题）
26．【答案】见试题解答内容
【分析】对于有限集合，我们有以下结论：若一个集合中有n个元素，则它有2n个子集．
【解答】解：∵集合M＝{1，2，3}有三个元素，
∴集合M＝{1，2，3}的子集的个数为23＝8；
故答案为：8．
27．【答案】﹣1．
【分析】根据集合相等的定义求解即可．
【解答】解：因为集合{a2，a}＝{a，1}，所以a2＝1，解得a＝﹣1或a＝1，
当a＝1时，不满足集合中元素的互异性，舍去，
当a＝﹣1时，集合为{1，﹣1}，满足题意，
所以a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
28．【答案】7．
【分析】根据题意确定集合中元素的个数，即可得到真子集的个数．
【解答】解：x为4的正因数，故，元素个数为3，
故该集合的真子集个数为23﹣1＝7．
故答案为：7．
29．【答案】﹣1．
【分析】利用相等的集合求出a，b，再代入求值作答．
【解答】解：由集合，得a≠1，由集合{a2，a+b，0}，得a≠0，
而，因此，且a2＝1，则b＝0，a＝﹣1，
此时两个集合均为{﹣1，0，1}，符合题意，
所以a2025+b2026＝（﹣1）2025+02026＝﹣1．
故答案为：﹣1．
30．【答案】[0，4）．
【分析】当集合A为空集时，关于x的方程ax2﹣ax+1＝0无解．
【解答】解：由题意知，Δ＝a2﹣4a＜0或a＝0．解得0≤a＜4．
即实数a的取值范围是[0，4）．
故答案是：[0，4）．
31．【答案】（﹣2，2]．
【分析】根据集合间的包含关系可解．
【解答】解：已知M＝{x|x2﹣2x﹣3＝0}＝{﹣1，3}，N＝{x|x2+ax+1＝0，a∈R}，且N M，
当N＝ 时，a2﹣4＜0，即﹣2＜a＜2，
当N≠ 时，可得3∈N或﹣1∈N，
若﹣1∈N，则﹣a+2＝0，则a＝2，此时N＝{﹣1}；
若3∈N，则3a+10＝0，则a，此时N＝{}，不满足题意，
故a的取值范围为（﹣2，2]．
故答案为：（﹣2，2]．
32．【答案】（﹣∞，﹣2]．
【分析】根据集合的关系得出端点间的不等关系，即得实数m的取值范围．；
【解答】解：因为A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|x＞m}，且A B，所以m≤﹣2，
即m的取值范围为（﹣∞，﹣2]．
故答案为：（﹣∞，﹣2]．
33．【答案】1．
【分析】根据包含关系求解即可．
【解答】解：集合A＝{1}，B＝{a，a2+2}，A B，则1∈{a，a2+2}，
又a2+2≥2，则a＝1，
此时A＝{1}，B＝{1，3}，符合题意．
故答案为：1．
34．【答案】﹣2．
【分析】根据B是A的子集及集合元素的互异性，按照2a＝2和a2+a＝2分类求解即可．
【解答】解：∵B是A的子集，∴2a＝2或a2+a＝2，
若2a＝2，则a＝1，a2+a＝2，这与集合中元素的互异性矛盾，所以a≠1；
若a2+a＝2，则a＝﹣2或a＝1（舍去），当a＝﹣2时，A＝{1，﹣4，2}，满足题意，
所以a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
四．解答题（共6小题）
35．【答案】（1）a；（2）A的真子集有 ，{}，{﹣3}．
【分析】（1）由题意知a﹣2＝﹣3或2a2+5a＝﹣3，分类讨论并检验即可求得a；（2）由真子集的定义直接写出即可．
【解答】解：（1）∵A＝{a﹣2，2a2+5a}，且﹣3∈A，
∴a﹣2＝﹣3或2a2+5a＝﹣3，
①若a﹣2＝﹣3，a＝﹣1，2a2+5a＝﹣3，故不成立，
②若2a2+5a＝﹣3，a＝﹣1或a，
由①知a＝﹣1不成立，
若a，a﹣2，2a2+5a＝﹣3，成立，
故a；
（2）∵A＝{，﹣3}，
∴A的真子集有 ，{}，{﹣3}．
36．【答案】（﹣∞，0]∪[1，+∞）．
【分析】将集合A和集合B进行化简，分A＝ 和A≠ 进行讨论，列出不等式解出结果即可．
【解答】解：∵集合，∴B＝{x|1＜x≤4}，
又A为B的真子集，
当A＝ 时，2m≤m2，解得m≤0或m≥2．
当A≠ 时，（等号不同时成立），解得1≤m＜2．
综上所述，实数m的取值范围是（﹣∞，0]∪[1，+∞）．
37．【答案】1或4．
【分析】先求出A，然后对集合B分四种情况讨论，利用韦达定理即可求解．
【解答】解：由已知可得A＝{﹣2，1}，
因为B A，则B＝ 或{﹣2}或{1}或{﹣2，1}，
当B＝ 时，Δ＝a2﹣4（2a﹣4）＝a2﹣8a+16＜0，无解，
当B＝{﹣2}时，则，解得a＝4，
当B＝{1}时，则，无解，
当B＝{﹣2，1}时，则，解得a＝1，
综上，实数a的值为1或4．
38．【答案】（1）0；
（2）（﹣1，6）．
【分析】（1）根据集合相等的定义求解；
（2）先求出集合M，再由P M可得a的取值范围．
【解答】解：（1）因为P＝Q，所以a＝﹣1，﹣b＝1，即a＝﹣1，b＝﹣1，
所以a﹣b＝0；
（2）集合M＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}＝{x|﹣1＜x＜6}，
因为P M，所以﹣1＜a＜6，
即实数a的取值范围为（﹣1，6）．
39．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用集合P＝Q元素相等，可得a、b的值，从而求a﹣b的值；
（2）由B A，集合间的关系A 集合中的元素包含有B集合的所有元素可得：a≥2，求得实数a的取值范围．
【解答】解：（1）设a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{﹣1，﹣b}，若P＝Q，则a＝﹣1，b＝﹣1，故a﹣b＝0；
（2）已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若B A，
由集合间的关系A 集合中的元素包含有B集合的所有元素可得：a≥2，
∴实数a的取值范围是：{a|a≥2}．
40．【答案】（1）A*＝{2，3，4，5，6}；
（2）A＝{0}．
【分析】（1）由集合新定义即可求解；
（2）集合新定义令A＝{0}验证即可；
【解答】解：（1）因为A＝{1，2，3}，A*＝{x+y|x，y∈A}，
所以1+1＝2，1+2＝3，1+3＝4，2+2＝4，2+3＝5，3+3＝6为集合A*的元素，
所以A*＝{2，3，4，5，6}；
（2）A＝{0}时，A*＝{0}，满足A＝A*
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