1.4 充分条件与必要条件
【知识点1】充分条件与必要条件 1
【知识点2】由充分条件求参数 2
【知识点3】由必要条件求参数 3
【知识点4】由充要条件求参数 4
【知识点5】充要条件的证明 5
1.理解充分条件与必要条件的概念(重点)。
2.由充分条件与必要条件求参数(重难点)。
3.充要条件的证明(重点)。
【知识点1】充分条件与必要条件
充分条件、必要条件与充要条件
(1)若，称是的充分条件，是的必要条件．
(2)如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件．
例1：
【例1】（2025 绵阳模拟）设a，b∈R，则“ab＜1”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【例2】（2025春 红桥区校级月考）设x∈R，则“x＞1”是“2x2+x﹣1＞0”的（ ）条件．
A．充分而不必要 B．必要而不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【例3】（2025 福州模拟）若a、b为实数，则ab（a﹣b）＞0成立的一个充要条件是（ ）
A．a＜0＜b B．b＜a＜0 C．a＞b＞0 D．
【例4】（多选）（2024秋 阜阳校级期末）“”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．﹣4＜x＜3 B．0＜x＜1 C． D．x＜2
【知识点2】由充分条件求参数
充分条件、充分不必要条件
(1)若，称是的充分条件．
(2)若，但，则是的充分不必要条件．
(3)若AB，则是的充分条件．
(4)若A是B的真子集，则是的充分不必要条件．
例1：
【例5】（2024秋 禹州市校级月考）若关于x的不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤1 B．a＜1 C．a＞3 D．a≥3
【例6】（多选）（2024秋 丘北县校级月考）已知集合A＝{x|m﹣3≤x≤2m+1}，B＝{x|﹣5≤x≤2}，若x∈A是x∈B的充分条件，则实数m的值可能为（ ）
A．﹣6 B．﹣4 C．0 D．
【例7】（2024秋 兖州区校级月考）若“x＝2”是“m2x2﹣（m+3）x+4＝0”的充分条件，则实数m的值为 ．
【例8】（2024秋 上城区校级期末）已知α：﹣1≤x≤2，β：﹣2≤x≤2a+1，若α是β的充分条件，则实数a的取值范围是 ．
【知识点3】由必要条件求参数
必要条件、必要不充分条件
(1)若，称是的必要条件．
(2)若，称是的必要条件．
(3)若AB，则是的必要条件．
(4)若A是B的真子集，则是的必要不充分条件．
例1：
【例9】（2024秋 肇庆期末）已知A＝{x|x≤m}，B＝{x|x≤3}，若x∈A是x∈B的必要条件，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m≥3 C．m＜3 D．m≤3
【例10】（多选）（2024春 南岗区校级期末）若不等式x﹣1＜a成立的必要条件是x＜1，则实数a的取值可以是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【例11】（多选）（2024秋 芙蓉区校级期中）已知条件p：x2+x﹣6＝0；条件q：ax+1＝0（a≠0）．若p是q的必要条件，则实数a的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【例12】（2025 香洲区校级开学）设p：m＜x＜m+2，q：1＜x＜3，若p是q的必要条件，则实数m的取值范围是 ．
【知识点4】由充要条件求参数
由充要条件求参数的技巧
(1)化简p、q两命题．
(2)由p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系．
(3)利用集合间的关系建立不等关系．
(4)求解参数范围．
例1：
【例13】（2024秋 广东期中）方程ax2+5x+4＝0（a≠0）有两个异号实根的一个充要条件是（ ）
A．a＜0 B．a＞0 C．a＜2 D．a＜﹣1
【例14】（2024秋 南阳期中）“方程ax2+2x﹣1＝0有实根”的充要条件为（ ）
A．a∈[﹣1，+∞） B．a∈（﹣1，+∞）
C．a∈[﹣1，0）∪（0，+∞） D．a∈（﹣1，0）∪（0，+∞）
【例15】（2024秋 黄埔区校级月考）已知命题，命题Q：（x+a）（x﹣1）＜0．若P是Q的充要条件，则a的值是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2
【例16】（2024秋 杨浦区校级月考）已知集合A＝{1，3，2﹣m}，集合B＝{3，m2}，则“B A”的充要条件是实数m＝ ．
【知识点5】充要条件的证明
充要条件的证明
(1)要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立）．
(2)又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）．
例1：
【例17】（2024秋 黄浦区校级月考）对任意a、b、c∈R，给出下列命题：
①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；
②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；
③“a＜4”是“a＜3”的必要非充分条件；
④“a＞b”是“a2＞b2”的充分非必要条件．
其中真命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例18】（2024秋 深圳校级月考）已知m是实数，集合，B＝{0，6}．
（1）若m＝2，请写出集合A的所有子集；
（2）求证：“m＝2”是“A∩B＝{0}”的充要条件．
【例19】（2024秋 河南月考）按要求完成下面问题．
（1）已知﹣2＜a＜﹣1，4＜b＜6，求的取值范围；
（2）已知a，b∈R，证明“ab≤0”是“|a﹣b|＝|a|+|b|”的充要条件．
【例20】（2024秋 虹口区校级期中）设A、B都是有限集，定义：d（A，B）＝|A∪B|﹣|A∩B|，其中|A|表示有限集A中元素的个数．
（1）集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，求d（A，B）的值；
（2）证明：对任意有限集A和B，“A＝B”是“d（A，B）＝0”的充要条件；
（3）已知集合A＝{x|﹣4＜2x﹣7＜4，x∈z}，B＝{x|x2﹣（4a+1）x+3a2+a＜0，x∈Z}，若d（A，B）＝1，求实数a的取值范围．
第1页 共1页1.4 充分条件与必要条件
【知识点1】充分条件与必要条件 1
【知识点2】由充分条件求参数 3
【知识点3】由必要条件求参数 5
【知识点4】由充要条件求参数 7
【知识点5】充要条件的证明 9
1.理解充分条件与必要条件的概念(重点)。
2.由充分条件与必要条件求参数(重难点)。
3.充要条件的证明(重点)。
【知识点1】充分条件与必要条件
充分条件、必要条件与充要条件
(1)若，称是的充分条件，是的必要条件．
(2)如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件．
例1：
【例1】（2025 绵阳模拟）设a，b∈R，则“ab＜1”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】结合不等式的基本性质及充分、必要条件的定义判断即可．
【解答】解：当时，b＞0，则ab＜1，
当a＝0，b＝﹣1时，满足ab＜1，但不满足；
所以“ab＜1”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
【例2】（2025春 红桥区校级月考）设x∈R，则“x＞1”是“2x2+x﹣1＞0”的（ ）条件．
A．充分而不必要 B．必要而不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】由2x2+x﹣1＞0，解得x或x＜﹣1．即可判断出结论．
【解答】解：由2x2+x﹣1＞0，解得x或x＜﹣1．
∴“x＞1“是“2x2+x﹣1＞0”的充分不必要条件．
故选：A．
【例3】（2025 福州模拟）若a、b为实数，则ab（a﹣b）＞0成立的一个充要条件是（ ）
A．a＜0＜b B．b＜a＜0 C．a＞b＞0 D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：ab（a﹣b）＞0，
a2b﹣ab2＞0，
a2b＞ab2，
，
．
所以ab（a﹣b）＞0成立的一个充要条件是，．
故选：D．
【例4】（多选）（2024秋 阜阳校级期末）“”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．﹣4＜x＜3 B．0＜x＜1 C． D．x＜2
【答案】BC
【分析】根据充分不必要条件逐项判断即可得结论．
【解答】解：﹣4＜x＜3是的必要不充分条件，A错误；
0＜x＜1是的充分不必要条件，B正确；
是的充分不必要条件，C正确；
x＜2是的必要不充分条件，D错误．
故选：BC．
【知识点2】由充分条件求参数
充分条件、充分不必要条件
(1)若，称是的充分条件．
(2)若，但，则是的充分不必要条件．
(3)若AB，则是的充分条件．
(4)若A是B的真子集，则是的充分不必要条件．
例1：
【例5】（2024秋 禹州市校级月考）若关于x的不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤1 B．a＜1 C．a＞3 D．a≥3
【答案】D
【分析】由已知结合充分条件与集合包含关系的转化即可求解．
【解答】解：由|x﹣1|＜a可得，1﹣a＜x＜1+a，
因为不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，
所以，解得a≥3．
故选：D．
【例6】（多选）（2024秋 丘北县校级月考）已知集合A＝{x|m﹣3≤x≤2m+1}，B＝{x|﹣5≤x≤2}，若x∈A是x∈B的充分条件，则实数m的值可能为（ ）
A．﹣6 B．﹣4 C．0 D．
【答案】ACD
【分析】先根据题意得到A B，再分类讨论A＝ 与A≠ ，利用集合的包含关系得到关于m的不等式（组），解之即可得解．
【解答】解：集合A＝{x|m﹣3≤x≤2m+1}，B＝{x|﹣5≤x≤2}，
因为x∈A是x∈B的充分条件，所以A B，
若A＝ ，显然满足题意，此时m﹣3＞2m+1，解得m＜﹣4；
若A≠ ，则m≥﹣4，且，解得；
综上，m＜﹣4或，对比选项可知，ACD符合题意．
故选：ACD．
【例7】（2024秋 兖州区校级月考）若“x＝2”是“m2x2﹣（m+3）x+4＝0”的充分条件，则实数m的值为 ．
【答案】m＝1或．
【分析】根据充分条件的知识列方程，从而求得m的值．
【解答】解：依题意，“x＝2”是“m2x2﹣（m+3）x+4＝0”的充分条件，
则x＝2是方程m2x2﹣（m+3）x+4＝0的根，
即m2×22﹣（m+3）×2+4＝4m2﹣2m﹣2＝0，
2m2﹣m﹣1＝（m﹣1）（2m+1）＝0，解得m＝1或．
故答案为：m＝1或．
【例8】（2024秋 上城区校级期末）已知α：﹣1≤x≤2，β：﹣2≤x≤2a+1，若α是β的充分条件，则实数a的取值范围是 ．
【答案】{a|a}．
【分析】由已知结合充分条件与集合包含关系即可求解．
【解答】解：因为α：﹣1≤x≤2，β：﹣2≤x≤2a+1，
若α是β的充分条件，则[﹣1，2] [﹣2，2a+1]，
所以2a+1≥2，即a．
故答案为：{a|a}．
【知识点3】由必要条件求参数
必要条件、必要不充分条件
(1)若，称是的必要条件．
(2)若，称是的必要条件．
(3)若AB，则是的必要条件．
(4)若A是B的真子集，则是的必要不充分条件．
例1：
【例9】（2024秋 肇庆期末）已知A＝{x|x≤m}，B＝{x|x≤3}，若x∈A是x∈B的必要条件，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m≥3 C．m＜3 D．m≤3
【答案】B
【分析】若x∈A是x∈B的必要条件，则B A，然后结合集合的包含关系即可求解．
【解答】解：A＝{x|x≤m}，B＝{x|x≤3}，
若x∈A是x∈B的必要条件，则B A，
所以m≥3．
故选：B．
【例10】（多选）（2024春 南岗区校级期末）若不等式x﹣1＜a成立的必要条件是x＜1，则实数a的取值可以是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】ABC
【分析】x﹣1＜a化简得x＜a+1，由充分与必要条件判断a的取值范围即可．
【解答】解：由x﹣1＜a得x＜a+1，因为不等式x﹣1＜a成立的必要条件是x＜1，所以a+1≤1，解得a≤0，符合题意的选项有：A，B，C．
故选：ABC．
【例11】（多选）（2024秋 芙蓉区校级期中）已知条件p：x2+x﹣6＝0；条件q：ax+1＝0（a≠0）．若p是q的必要条件，则实数a的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据p是q的必要条件得出a的取值，结合选项可得答案．
【解答】解：由x2+x﹣6＝0，得x＝2或x＝﹣3，
由ax+1＝0（a≠0），得，
因为p是q的必要不充分条件，可知或，
解得或．
故选：BC．
【例12】（2025 香洲区校级开学）设p：m＜x＜m+2，q：1＜x＜3，若p是q的必要条件，则实数m的取值范围是 ．
【答案】{1}．
【分析】由已知条件可得出集合的包含关系，可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m的取值范围．
【解答】解：因为p是q的必要条件，p：m＜x＜m+2，q：1＜x＜3，
所以{x|1＜x＜3} {x|m＜x＜m+2}，
所以，解得m＝1，
则实数m的取值范围是{1}．
故答案为：{1}．
【知识点4】由充要条件求参数
由充要条件求参数的技巧
(1)化简p、q两命题．
(2)由p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系．
(3)利用集合间的关系建立不等关系．
(4)求解参数范围．
例1：
【例13】（2024秋 广东期中）方程ax2+5x+4＝0（a≠0）有两个异号实根的一个充要条件是（ ）
A．a＜0 B．a＞0 C．a＜2 D．a＜﹣1
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可．
【解答】解：由方程ax2+5x+4＝0（a≠0）有两个异号实根知，，解得a＜0．
故选：A．
【例14】（2024秋 南阳期中）“方程ax2+2x﹣1＝0有实根”的充要条件为（ ）
A．a∈[﹣1，+∞） B．a∈（﹣1，+∞）
C．a∈[﹣1，0）∪（0，+∞） D．a∈（﹣1，0）∪（0，+∞）
【答案】A
【分析】由已知结合方程根的存在条件即可求解．
【解答】解：若方程ax2+2x﹣1＝0有实根，
当a＝0时，x，
当a≠0时，Δ＝4+4a≥0，即a≥﹣1且a≠0，
综上，a≥﹣1．
故选：A．
【例15】（2024秋 黄埔区校级月考）已知命题，命题Q：（x+a）（x﹣1）＜0．若P是Q的充要条件，则a的值是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】B
【分析】先求出P，Q的范围，然后结合充要条件与集合包含关系的转化即可求解．
【解答】解：由，得0，
所以﹣1＜x＜1，
因为（x+a）（x﹣1）＜0，
若P是Q的充要条件，则（x+a）（x﹣1）＜0的解集为﹣1＜x＜1，
即a＝﹣1．
故选：B．
【例16】（2024秋 杨浦区校级月考）已知集合A＝{1，3，2﹣m}，集合B＝{3，m2}，则“B A”的充要条件是实数m＝ ．
【答案】﹣2
【分析】根据B A求出m的值，结合充要条件的定义进行求解即可．
【解答】解：若B A，
则m2＝1或m2＝2﹣m，
得m＝1或m＝﹣1，或m＝﹣2，
当m＝1时，A＝{1，3，1}不成立，
当m＝﹣1时，A＝{1，3，3}不成立，
当m＝﹣2时，A＝{1，3，4}，B＝{3，4}，满足条件．
即m＝﹣2，
则“B A”的充要条件是实数m＝﹣2，
故答案为：﹣2
【知识点5】充要条件的证明
充要条件的证明
(1)要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立）．
(2)又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）．
例1：
【例17】（2024秋 黄浦区校级月考）对任意a、b、c∈R，给出下列命题：
①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；
②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；
③“a＜4”是“a＜3”的必要非充分条件；
④“a＞b”是“a2＞b2”的充分非必要条件．
其中真命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】利用等式的性质以及特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断①；利用充分条件、必要条件的定义可判断②；利用集合的包含关系可判断③；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断④．
【解答】解：对于①，当a＝b时，由等式的性质可知，ac＝bc，即“a＝b” “ac＝bc”，
若ac＝bc，当c＝0时，则a、b不一定相等，即“a＝b”“ac＝bc”，
所以，“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，①错；
对于②，若a是数，则a+5是无理数，
若a+5是无理数，则a是无理数，
所以，“a+5是无理数” “a无理是无理数”，
因此，“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，②对；
对于③，因为{a|a＜4} {a|a＜3}，
所以，“a＜4”是“a＜3”的必要非充分条件，③对；
对于④，若a＞b，取a＝1，b＝﹣1，则a2＝b2，即“a＞b”“a2＞b2”，
若a2＞b2，不妨取a＝﹣2，b＝1，则a＜b，即“a＞b”“a2＞b2”，
所以，“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，④错．
故真命题的个数为2，
故选：B．
【例18】（2024秋 深圳校级月考）已知m是实数，集合，B＝{0，6}．
（1）若m＝2，请写出集合A的所有子集；
（2）求证：“m＝2”是“A∩B＝{0}”的充要条件．
【答案】（1） ，{1}，，{0}，，{1，0}，，；
（2）证明见解析．
【分析】（1）结合子集的概念列出即可；
（2）分别判断充分性和必要性，结合集合的互异性判断取值即可．
【解答】解：已知m是实数，集合，B＝{0，6}，
（1）若m＝2，则，所以A的所有子集为：
，{1}，，{0}，，{1，0}，，．
（2）证明：若m＝2，则，所以A∩B＝{0}，故充分性成立；
若A∩B＝{0}，则0∈A，因为，所以m2﹣3m+2＝0，
解得m＝1或m＝2，当m＝1时，，不满足互异性，故舍去，
当m＝2时，，满足互异性，故必要性成立．
所以“m＝2”是“A∩B＝{0}”的充要条件．
【例19】（2024秋 河南月考）按要求完成下面问题．
（1）已知﹣2＜a＜﹣1，4＜b＜6，求的取值范围；
（2）已知a，b∈R，证明“ab≤0”是“|a﹣b|＝|a|+|b|”的充要条件．
【答案】（1）（﹣6，﹣2）；
（2）详见解答过程．
【分析】（1）结合不等式的性质即可求解；
（2）结合绝对值不等式的性质检验充分及必要性即可证明．
【解答】解：（1）因为﹣2＜a＜﹣1，4＜b＜6，
所以，，
故﹣62，
即的取值范围为（﹣6，﹣2）；
（2）当ab＝0时，|a﹣b|＝|a|+|b|成立，
当ab＜0时，不妨设a＞0，b＜0，|a﹣b|＝a+|b|＝|a|+|b|，
综上，ab≤0 |a﹣b|＝|a|+|b|，
若|a﹣b|＝|a|+|b|＝|a|+|﹣b|，
则﹣ab≥0，即ab≤0，
所以“ab≤0”是“|a﹣b|＝|a|+|b|”的充要条件．
【例20】（2024秋 虹口区校级期中）设A、B都是有限集，定义：d（A，B）＝|A∪B|﹣|A∩B|，其中|A|表示有限集A中元素的个数．
（1）集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，求d（A，B）的值；
（2）证明：对任意有限集A和B，“A＝B”是“d（A，B）＝0”的充要条件；
（3）已知集合A＝{x|﹣4＜2x﹣7＜4，x∈z}，B＝{x|x2﹣（4a+1）x+3a2+a＜0，x∈Z}，若d（A，B）＝1，求实数a的取值范围．
【答案】（1）4；
（2）见解析；
（3）．
【分析】（1）求出集合B，A∪B，A∩B，再求出|A∪B|，|A∩B|，即可得d（A，B）的值；
（2）先证明：对任意有限集A和B，“A≠B”推出“d（A，B）＞0”；当A≠B时，（A∩B） （A∪B），由|A∪B|＞|A∩B|可得d（A，B）＞0；
再证明：对任意有限集A和B，“d（A，B）＞0”推出“A≠B”；可以用反证法．假设A＝B则|A∪B|＝|A∩B|则d（A，B）＝0，与条件d（A，B）＞0矛盾，即原命题成立．
（3）集合A＝{x|﹣4＜2x﹣7＜4，x∈Z}，可得A＝{2，3，4，5}，注意到集合B中x2﹣（4a+1）x+3a2+a＝（x﹣a）[x﹣（3a+1）]（x∈Z） B＝{x|a＜x＜3a+1，x∈Z}或B＝{x|3a+1＜x＜a，x∈Z}或 ；由于d（A，B）＝1，故集合B＝{2，3，4，5，6}或{1，2，3，4，5}或{2，3，4}或{3，4，5}分类讨论即可得a的取值范围．
【解答】解：（1）由A＝{1，2，3，4}得B＝{2，4，6，8}，则|A∪B|＝6，|A∩B|＝2，所以d（A，B）＝4；
（2）证明：先证明：对任意有限集A和B，“A≠B”推出“d（A，B）＞0”；
当A≠B时，（A∩B） （A∪B）∴|A∪B|＞|A∩B|，故d（A，B）＝|A∪B|﹣|A∩B|＞0，即d（A，B）＞0；
再证明：对任意有限集A和B，“d（A，B）＞0”推出“A≠B”；
用反证法．假设A＝B则|A∪B|＝|A∩B|则d（A，B）＝0，与条件d（A，B）＞0矛盾，即假设不成立，原命题成立．
因此，“对任意有限集A和B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充要条件”得证．
（3）集合A＝{x|﹣4＜2x﹣7＜4，x∈Z}，即A＝{2，3，4，5}
集合B中，x2﹣（4a+1）x+3a2+a＝（x﹣a）[x﹣（3a+1）]，
∴当3a+1＝a时，即时，B＝ ，不符合条件舍去．
当3a+1＜a时，即时，B＝{x|3a+1＜x＜a，x∈Z}，则A∩B＝ ，A∪B至少有4个元素，与条件矛盾，舍去；
当3a+1＞a时，即时，B＝{x|a＜x＜3a+1，x∈Z}，由于d（A，B）＝1，
所以集合B＝{2，3，4，5，6}或{1，2，3，4，5}或{2，3，4}或{3，4，5}
当B＝{1，2，3，4，5}时，满足解得a∈ ；
当B＝{2，3，4，5，6}时，满足，又∵∴；
当B＝{2，3，4}时，满足又∵∴
当B＝{3，4，5}时，满足，解得a∈ ；
综上述，实数a的取值范围是．
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