2.1 等式性质与不等式性质
【知识点1】不等关系的表示 1
【知识点2】作差、作商法比较大小 2
【知识点3】由不等式的性质比较大小 3
【知识点4】不等式的证明 4
【知识点5】由不等式的性质求范围 5
1.熟知不等式的性质(重点)。
2.掌握比较大小的方法(重难点)。
3.掌握由不等式的性质求范围(重点)。
【知识点1】不等关系的表示
将不等关系表示成不等式的思路
(1)读懂题意，找准不等式所联系的量．
(2)用适当的不等号连接．
(3)多个不等关系用不等式组表示．
例1：
【例1】（2024秋 前郭县校级月考）已知3支钢笔比8支圆珠笔贵5元，5支钢笔和4支圆珠笔一共43元．设一支钢笔的价格为x元，一支圆珠笔的价格为y元，则x，y满足的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（2025春 琼山区校级月考）已知b克糖水中含有a克糖（b＞a＞0），再添加m克糖（m＞0，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（2024秋 洱源县校级月考）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1
【例4】（2024 天元区校级开学）关于x的不等式组恰好有5个整数解，则m的取值范围是（ ）
A．﹣7≤m＜﹣6 B．﹣7≤m≤﹣6 C．﹣7＜m≤﹣6 D．﹣7＜m＜﹣6
【知识点2】作差、作商法比较大小
1．作差法比较大小
(1) ．
(2) ．
(3) ．
2．作商法比大小
(1)任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
例1：
【例5】（2025 天水学业考试）设M＝2a（a﹣2），N＝（a+1）（a﹣3），则有（ ）
A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N
【例6】（2025 蓟州区校级开学）已知a，b为实数，则（a+3）（a﹣5） （a+2）（a﹣4）．（填“＞”“＜”或“＝”）
【例7】（2025春 嘉定区校级月考）（1）已知关于x，y的方程组的解都为正数，求实数a的取值范围．
（2）已知a＞1，b＞1，，，试比较M与N大小，并说明理由．
【例8】（2024秋 顺德区校级期中）（1）若x∈R，试比较3x2+6x与4x2﹣2x+16的大小；
（2）已知1≤a+b≤4，﹣1≤a﹣b≤2，求4a﹣2b的取值范围．
【知识点3】由不等式的性质比较大小
由不等式性质比较大小
(1)记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
例1：
【例9】（2025春 皇姑区校级期中）已知a，b，c∈R，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．若a＞b，则|a|＞|b|
B．若a＞b＞c＞0，则
C．若a＜b＜0，则
D．若a＞b，则c2（a﹣b）＞0
【例10】（多选）（2025春 清远期中）下列选项正确的是（ ）
A．若a＞b，则
B．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c
C．若ac2＞bc2，则a＞b
D．若a＞b，则
【例11】（多选）（2025 临沂二模）已知a＞b＞c，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．ab2＞cb2 C．a+b＞c D．a2+c2＞b2
【例12】（2024秋 衡水校级期末）若，则下列结论中正确的序号是 ．
（1）a+b＜0；
（2）a2＜b2；
（3）ab＜b2；
（4）ab＜a2．
【知识点4】不等式的证明
由不等式性质证明不等式
(1)对任意两个实数a，b有a-b>0 a>b；a-b=0 a=b；a-b<0 a(2)利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论．
(3)比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用．
例1：
【例13】（2024秋 凤庆县校级期中）（1）已知2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1，求3a+b的取值范围；
（2）已知a＞b＞0，c＜0，证明：．
【例14】（2024秋 西城区期末）已知实数a，b满足﹣1＜a＜1，﹣1＜b＜1．
（Ⅰ）求a+b和ab的取值范围；
（Ⅱ）证明：1+ab＞a+b．
【例15】（2025 石景山区校级开学）已知实数x，y满足﹣1＜x＜1，﹣2＜y＜2．
（Ⅰ）求x+y和xy的取值范围；
（Ⅱ）证明：2＞x（2﹣y）+y．
【例16】（2024秋 修文县校级期中）（1）比较（x+2）（x+3）与（x+1）（x+4）的大小；
（2）已知a＞b＞0，c＜0，求证：．
【知识点5】由不等式的性质求范围
由不等式性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2) “范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．
(3)注意同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
例1：
【例17】（2025 徐汇区校级开学）已知2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1，则a+2b的取值范围为 ．
【例18】（2025春 清远期中）已知﹣1≤x﹣y≤4，且2≤x+y≤3，则z＝2x﹣3y的取值范围是 ．
【例19】（2024秋 府谷县校级月考）已知实数a，b满足1≤a+b≤8，3≤a﹣b≤4．
（1）求实数a，b的取值范围；
（2）求2a﹣5b的取值范围．
【例20】（2024秋 府谷县校级月考）已知实数a，b满足1≤a+b≤8，3≤a﹣b≤4．
（1）求实数a，b的取值范围；
（2）求2a﹣5b的取值范围．
第1页 共1页2.1 等式性质与不等式性质
【知识点1】不等关系的表示 1
【知识点2】作差、作商法比较大小 3
【知识点3】由不等式的性质比较大小 5
【知识点4】不等式的证明 8
【知识点5】由不等式的性质求范围 10
1.熟知不等式的性质(重点)。
2.掌握比较大小的方法(重难点)。
3.掌握由不等式的性质求范围(重点)。
【知识点1】不等关系的表示
将不等关系表示成不等式的思路
(1)读懂题意，找准不等式所联系的量．
(2)用适当的不等号连接．
(3)多个不等关系用不等式组表示．
例1：
【例1】（2024秋 前郭县校级月考）已知3支钢笔比8支圆珠笔贵5元，5支钢笔和4支圆珠笔一共43元．设一支钢笔的价格为x元，一支圆珠笔的价格为y元，则x，y满足的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意列出方程组即可求解．
【解答】解：3支钢笔比8支圆珠笔贵5元，5支钢笔和4支圆珠笔共43元，
则有．
故选：B．
【例2】（2025春 琼山区校级月考）已知b克糖水中含有a克糖（b＞a＞0），再添加m克糖（m＞0，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】加糖前糖的浓度，加入m克糖之后糖的浓度，糖水变甜，表示糖的浓度变大，即．
【解答】解：这一事实表示为一个不等式为．
下面证明不等式成立：
∵
又∵b＞a＞0，m＞0，∴b（b+m）＞0，m（a﹣b）＜0即，
∴即．
故选：D．
【例3】（2024秋 洱源县校级月考）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1
【答案】C
【分析】分别求解不等式，再比较端点值大小，即可求解．
【解答】解：4a﹣x＞0，得x＜4a，x+a﹣5＞0，得x＞5﹣a，
因为不等式组无解，所以4a≤5﹣a，得a≤1．
故选：C．
【例4】（2024 天元区校级开学）关于x的不等式组恰好有5个整数解，则m的取值范围是（ ）
A．﹣7≤m＜﹣6 B．﹣7≤m≤﹣6 C．﹣7＜m≤﹣6 D．﹣7＜m＜﹣6
【答案】A
【分析】由已知结合一次不等式的求法即可求解．
【解答】解：由x+m＜0可得，x＜﹣m，
由7﹣2x≤3得，x≥2，
若关于x的不等式组恰好有5个整数解，
则这5个整数为2，3，4，5，6，
所以6＜﹣m≤7，即﹣7≤m＜﹣6．
故选：A．
【知识点2】作差、作商法比较大小
1．作差法比较大小
(1) ．
(2) ．
(3) ．
2．作商法比大小
(1)任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
例1：
【例5】（2025 天水学业考试）设M＝2a（a﹣2），N＝（a+1）（a﹣3），则有（ ）
A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N
【答案】A
【分析】比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算M﹣N的结果，判断结果的符号．
【解答】解：∵M﹣N＝2a（a﹣2）﹣（a+1）（a﹣3）＝（a﹣1）2+2＞0，
∴M＞N．
故选：A．
【例6】（2025 蓟州区校级开学）已知a，b为实数，则（a+3）（a﹣5） （a+2）（a﹣4）．（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】＜．
【分析】根据（a+3）（a﹣5）﹣（a+2）（a﹣4）＝﹣7＜0，可得（a+3）（a﹣5）与（a+2）（a﹣4）的大小关系．
【解答】解：∵（a+3）（a﹣5）﹣（a+2）（a﹣4）＝（ a2﹣2a﹣15）﹣（a2﹣2a﹣8）＝﹣7＜0，
∴（a+3）（a﹣5）＜（a+2）（a﹣4），
故答案为＜．
【例7】（2025春 嘉定区校级月考）（1）已知关于x，y的方程组的解都为正数，求实数a的取值范围．
（2）已知a＞1，b＞1，，，试比较M与N大小，并说明理由．
【答案】（1）（1，+∞）；（2）M≤N．
【分析】（1）先根据方程组将x，y的值解出来，再根据关于x，y的方程组的解都为正数，即可求出实数a的取值范围．
（2）利用作差法，比较作差结果和0的大小关系，即可得到M与N的大小．
【解答】解：（1）根据方程组，解得，
又因为关于x，y的方程组的解都为正数，所以，解得a＞1，
所以实数a的取值范围为（1，+∞）；
（2）因为，，
所以 M﹣N，
又因为a＞1，b＞1，所以a﹣1＞0，b﹣1＞0，a+b＞0，a2﹣b2≥0，
所以M﹣N≤0，即M≤N，当且仅当a＝b时，M＝N．
【例8】（2024秋 顺德区校级期中）（1）若x∈R，试比较3x2+6x与4x2﹣2x+16的大小；
（2）已知1≤a+b≤4，﹣1≤a﹣b≤2，求4a﹣2b的取值范围．
【答案】（1）3x2+6x≤4x2﹣2x+16；（2）[﹣2，10]．
【分析】（1）由作差法代入计算，即可判断；
（2）由待定系数法可得4a﹣2b＝（a+b）+3（a﹣b），然后代入计算，即可得到结果．
【解答】解：（1）∵（3x2+6x）﹣（4x2﹣2x+16）＝﹣x2+8x﹣16＝﹣（x﹣4）2≤0，
∴3x2+6x≤4x2﹣2x+16；
（2）设4a﹣2b＝m（a+b）+n（a﹣b）＝（m+n）a+（m﹣n）b
则，解得m＝1，n＝3，
∴4a﹣2b＝（a+b）+3（a﹣b），
∵1≤a+b≤4，﹣1≤a﹣b≤2，则﹣3≤3（a﹣b）≤6，
∴﹣2≤（a+b）+3（a﹣b）≤10，
即4a﹣2b∈[﹣2，10]．
【知识点3】由不等式的性质比较大小
由不等式性质比较大小
(1)记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
例1：
【例9】（2025春 皇姑区校级期中）已知a，b，c∈R，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．若a＞b，则|a|＞|b|
B．若a＞b＞c＞0，则
C．若a＜b＜0，则
D．若a＞b，则c2（a﹣b）＞0
【答案】B
【分析】利用特殊值法可判断AD错误，利用作差法计算可得B正确，再由不等式性质可得C错误．
【解答】解：对于A，当a＝﹣1＞b＝﹣3时，可知|a|＞|b|不成立，故A错误；
对于B，因为a＞b＞c＞0，可得；所以，故B正确；
对于C，由a＜b＜0，可得，故C错误；
对于D，a＞b，当c＝0时，c2（a﹣b）＝0，故D错误．
故选：B．
【例10】（多选）（2025春 清远期中）下列选项正确的是（ ）
A．若a＞b，则
B．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c
C．若ac2＞bc2，则a＞b
D．若a＞b，则
【答案】BC
【分析】根据题意利用不等式的性质加以判断，即可得到本题的答案．
【解答】解：当a＝2，b＝﹣1时，，，A、D两项均不正确；
c＞d ﹣d＞﹣c，结合a＞b，可得a﹣d＞b﹣c，故B正确；
ac2＞bc2，则c2＞0，可得a＞b，C正确．
故选：BC．
【例11】（多选）（2025 临沂二模）已知a＞b＞c，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．ab2＞cb2 C．a+b＞c D．a2+c2＞b2
【答案】AD
【分析】对于A，可以用作差法判断，对于BC，举反例判断即可，对于D，分b＞0，b＝0，b＜0三种情况讨论即可判断．
【解答】对于A，，因为a＞b＞c，
所以c﹣b＜0，a﹣c＞0，a﹣b＞0，即，所以，故A正确；
对于B，当b＝0时，ab2＝cb2＝0，故B错误；
对于C，取a＝﹣1＞b＝﹣2＞c＝﹣3，则a+b＝c＝﹣3，故C错误，
对于D，若a＞0＞b＞c，则a2+c2＞c2＞b2成立，若a＞b＝0＞c，则a2+c2＞b2＝0显然成立，若a＞b＞0＞c，则a2+c2＞a2＞b2成立，综上所述，只要a＞b＞c，就一定有a2+c2＞b2，故D正确．
故选：AD．
【例12】（2024秋 衡水校级期末）若，则下列结论中正确的序号是 ．
（1）a+b＜0；
（2）a2＜b2；
（3）ab＜b2；
（4）ab＜a2．
【答案】（1）（2）（3）．
【分析】由已知先求出a，b的范围及大小关系，然后结合不等式性质检验各不等式即可求解．
【解答】解：因为，所以，
又因为a＜0，b＜0，所以b＜a＜0，
对选项（1），因为b＜a＜0，所以a+b＜0，正确；
对选项（2），a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）＜0，即 a2＜b2，正确；
对选项（3），ab﹣b2＝b（a﹣b）＜0，即 ab＜b2，正确；
对选项（4），ab﹣a2＝a（b﹣a）＞0，即ab＞a2，错误．
故答案为：（1）（2）（3）．
【知识点4】不等式的证明
由不等式性质证明不等式
(1)对任意两个实数a，b有a-b>0 a>b；a-b=0 a=b；a-b<0 a(2)利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论．
(3)比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用．
例1：
【例13】（2024秋 凤庆县校级期中）（1）已知2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1，求3a+b的取值范围；
（2）已知a＞b＞0，c＜0，证明：．
【答案】（1）（4，8）；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据条件，利用不等式的运算性质，即可求解；
（2）根据条件，通过作差，得到，即可证明结果．
【解答】解：（1）因为2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1，
所以6＜3a＜9，所以4＜3a+b＜8，
所以3a+b的范围为（4，8）；
（2）证明：因为，又a＞b＞0，
又c＜0，则c（b﹣a）＞0，得到，
所以．
【例14】（2024秋 西城区期末）已知实数a，b满足﹣1＜a＜1，﹣1＜b＜1．
（Ⅰ）求a+b和ab的取值范围；
（Ⅱ）证明：1+ab＞a+b．
【答案】（I）a+b的范围为（﹣2，2），ab的范围为（﹣1，1）；
（Ⅱ）详见解答过程．
【分析】（Ⅰ）由已知结合不等式的性质即可分别求解；
（Ⅱ）利用比较法即可证明．
【解答】解：（I）因为实数a，b满足﹣1＜a＜1，﹣1＜b＜1，
所以﹣2＜a+b＜2，﹣1＜ab＜1，
所以a+b的范围为（﹣2，2），ab的范围为（﹣1，1）；
（II）证明：因为﹣1＜a＜1，﹣1＜b＜1，所以1﹣a＜0，1﹣b＜0，
1+ab﹣a﹣b＝（1﹣a）（1﹣b）＞0，
所以1+ab＞a+b．
【例15】（2025 石景山区校级开学）已知实数x，y满足﹣1＜x＜1，﹣2＜y＜2．
（Ⅰ）求x+y和xy的取值范围；
（Ⅱ）证明：2＞x（2﹣y）+y．
【答案】（I）x+y的取值范围是（﹣3，3）；xy的取值范围是（﹣2，2）．
（II）详见解答过程．
【分析】（I）结合不等式的性质即可求解；
（II）利用作差法即可证明．
【解答】解：（Ⅰ）因为﹣1＜x＜1，﹣2＜y＜2，
由不等式性质得﹣3＜x+y＜3．
因为|xy|＝|x||y|＜2，所以﹣2＜xy＜2．
综上，x+y的取值范围是（﹣3，3）；xy的取值范围是（﹣2，2）．
（Ⅱ）证明：2﹣y﹣x（2﹣y）＝（1﹣x）（2﹣y）．
因为x＜1，y＜2，所以1﹣x＞0，2﹣y＞0，
所以2+xy＞2x+y．
【例16】（2024秋 修文县校级期中）（1）比较（x+2）（x+3）与（x+1）（x+4）的大小；
（2）已知a＞b＞0，c＜0，求证：．
【答案】（1）（x+2）（x+3）＞（x+1）（x+4）；
（2）证明见解．
【分析】（1）利用作差法比较大小；
（2）根据a＞b＞0，得到，再由c＜0，根据不等式的性质可得，从而得证．
【解答】（1）解：因为（x+2）（x+3）﹣（x+1）（x+4）
＝x2+5x+6﹣（x2+5x+4）＝2＞0，
所以（x+2）（x+3）＞（x+1）（x+4）；
（2）证明：因为a＞b＞0，可得ab＞0，则，即，
又c＜0，由不等式的性质可证得．
【知识点5】由不等式的性质求范围
由不等式性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2) “范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．
(3)注意同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
例1：
【例17】（2025 徐汇区校级开学）已知2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1，则a+2b的取值范围为 ．
【答案】（﹣2，1）．
【分析】利用不等式的性质求解即可．
【解答】解：因为﹣2＜b＜﹣1，所以﹣4＜2b＜﹣2，
又2＜a＜3，两式相加可得﹣2＜a+2b＜1．
故答案为：（﹣2，1）．
【例18】（2025春 清远期中）已知﹣1≤x﹣y≤4，且2≤x+y≤3，则z＝2x﹣3y的取值范围是 ．
【答案】[﹣4，9]．
【分析】由结合不等式的性质求解即可．
【解答】解：，﹣1≤x﹣y≤4，且2≤x+y≤3，
则，
∴，即﹣4≤z≤9，
故z＝2x﹣3y的取值范围是[﹣4，9]．
故答案为：[﹣4，9]，
【例19】（2024秋 府谷县校级月考）已知实数a，b满足1≤a+b≤8，3≤a﹣b≤4．
（1）求实数a，b的取值范围；
（2）求2a﹣5b的取值范围．
【答案】（1）[2，6]，；
（2）．
【分析】（1）用已知式子a+b，a﹣b表示a，b，利用不等式的性质求解范围即可；
（2）用已知式子a+b，a﹣b表示2a﹣5b，利用不等式的性质求解范围即可．
【解答】解：（1）因为1≤a+b≤8，3≤a﹣b≤4，
所以4≤（a+b）+（a﹣b）≤12，所以2≤a≤6，
即实数a的取值范围为[2，6]．
因为，
由3≤a﹣b≤4，所以﹣4≤b﹣a≤﹣3，又1≤a+b≤8，
所以﹣3≤（a+b）﹣（a﹣b）≤5，
所以，
即，
即实数b的取值范围为．
（2）设2a﹣5b＝m（a+b）+n（a﹣b）＝（m+n）a+（m﹣n）b，
则，解得，
则2a﹣5b（a+b）（a﹣b），
∵1≤a+b≤8，3≤a﹣b≤4．
∴，，
∴2a﹣5b，
即2a﹣5b的取值范围为．
【例20】（2024秋 府谷县校级月考）已知实数a，b满足1≤a+b≤8，3≤a﹣b≤4．
（1）求实数a，b的取值范围；
（2）求2a﹣5b的取值范围．
【答案】（1）[2，6]，；
（2）．
【分析】（1）用已知式子a+b，a﹣b表示a，b，利用不等式的性质求解范围即可；
（2）用已知式子a+b，a﹣b表示2a﹣5b，利用不等式的性质求解范围即可．
【解答】解：（1）因为1≤a+b≤8，3≤a﹣b≤4，
所以4≤（a+b）+（a﹣b）≤12，所以2≤a≤6，
即实数a的取值范围为[2，6]．
因为，
由3≤a﹣b≤4，所以﹣4≤b﹣a≤﹣3，又1≤a+b≤8，
所以﹣3≤（a+b）﹣（a﹣b）≤5，
所以，即，
即实数b的取值范围为．
（2）设2a﹣5b＝m（a+b）+n（a﹣b）＝（m+n）a+（m﹣n）b，
则，解得，则2a﹣5b（a+b）（a﹣b），
∵1≤a+b≤8，3≤a﹣b≤4．
∴，，
∴2a﹣5b，
即2a﹣5b的取值范围为．
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