2.2 基本不等式
【知识点1】比较大小 1
【知识点2】求最值 3
【知识点3】不等式的证明 6
【知识点4】恒成立问题 9
【知识点5】基本不等式的应用 11
1.知道基本不等式的概念(重点)。
2.掌握由基本不等式求最值(重难点)。
3.掌握由基本不等式求解恒成立问题(重点)。
【知识点1】比较大小
由基本不等式比较大小
(1)在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．
(2)在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件．
(3)其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能．
【例1】（2024秋 津南区校级期中）设a，b∈R，且a＜b＜0，则（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2024秋 南通校级月考）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．a2+b2≥2
【例3】（2024秋 船山区校级期中）已知a＞0，b＞0，则，，，中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【例4】（多选）（2024秋 枣庄期末）已知正数x，y满足2x+y＝1，则（ ）
A．8xy≤1 B．
C． D．
【知识点2】求最值
1．由不等式求最值
(1)直接法求最值．
(2)常规凑配法求最值．
(3)消参法求最值．
(4)换元求最值．
(5) “1”的代换求最值．
(6)条件等式求最值．
2．由基本不等式求最值
(1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值．
(2)若是求和式的最小值，通常化（或利用）积为定值．
(3)若是求积的最大值，通常化（或利用）和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．
例1：
【例5】（2025 湖北模拟）已知正实数a，b满足，则ab的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【例6】（2025 安徽模拟）若m＞0，n＞0，m+2n＝1，则的最小值是 ．
【例7】（2024秋 南宁期末）（1）比较3x2﹣x+1与2x2+x﹣1的大小；
（2）已知x＞3，求的最小值，并求取到最小值时x的值．
【例8】（2024秋 苏州期末）已知a，b均为正实数，ab＝a+2b+t（t∈R）．
（1）若t＝0，求a+b的最小值；
（2）若t＝6，求的最小值．
【知识点3】不等式的证明
1．不等式
(1)重要不等式：．
(2)基本不等式：(当且仅当时取等号且a>0,b>0)．
(3)常用结论：
①(同号)．
②(异号)．
③．
④．
2．由基本不等式证明不等式
(1)注意基本不等式成立的条件．
(2)多次使用基本不等式，要注意等号能否成立．
(3)对不能直接使用基本不等式的，形成基本不等式模型，再使用．
例1：
【例9】（2024秋 海淀区校级月考）（Ⅰ）已知a＞b＞2，m＞0，求证：．
（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，ab＝4，求证：．
【例10】（2024秋 南关区校级月考）（1）已知a，b∈R且a，b＞0，试比较与的大小；
（2）已知a，b∈R且a，b＞0，且a+b＝1，求证：（ax+by）（bx+ay）≥xy．
【例11】（2024秋 湖南月考）已知a＞0，b＞0，且2a+b﹣4ab＝0．
（1）证明：；
（2）求a+2b的最小值．
【例12】（2024秋 益阳期末）（1）已知，求函数的最小值；
（2）若x＞0，y＞0，证明：．
【知识点4】恒成立问题
不等式
(1)重要不等式：．
(2)基本不等式：(当且仅当时取等号且a>0,b>0)．
(3)常用结论：
①(同号)．
②(异号)．
③．
④．
(4)通常通过分离参数转化为利用基本不等式求最值．
例1：
【例13】（2025 延边州一模）已知正实数x，y满足，且不等式x+y﹣a＞0恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．a＜2 B．a＜8 C．a＜6 D．a＜4
【例14】（2025 红河州校级开学）若存在x 0，y 0，且3x+y＝1，使不等式能成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣4，2） B．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）
C．（﹣2，4） D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）
【例15】（2025 宜春校级开学）已知x＞0，y＞0，且x+2y﹣xy＝0，若x+2y＞m恒成立，则实数m的取值范围为 ．
【例16】（2024秋 米东区校级期末）不等式若两个正实数x，y，满足．
（1）求的最小值，并说明此时x，y的值；
（2）若不等式4x+y≥m2﹣2m+1恒成立，则实数m的取值范围．
【知识点5】基本不等式的应用
由基本不等式解决实际问题
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．
(4)正确写出答案．
例1：
【例17】（2024秋 六盘水期末）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”．发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（ ）
A． B． C． D．
【例18】（2024秋 广州期末）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（ ）
A．160000元 B．179200元 C．198400元 D．297600元
【例19】（2024秋 长寿区期末）已知圆O的面积为16π，矩形ABCD的四个顶点均在圆O上，则矩形ABCD的面积最大值为 ．
【例20】（2024秋 巢湖市校级期末）“守护碧水蓝天，共治污水之源”，重庆市某自来水厂决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，水厂拟安装一种新的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该水厂需缴纳的总水费C（单位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系为，将该水厂的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为y（单位：万元）．
（1）要使y不超过11.2万元，求设备占地面积x的取值范围；
（2）设备占地面积x为多少平方米时，y的值最小，并求出此最小值．
第1页 共1页2.2 基本不等式
【知识点1】比较大小 1
【知识点2】求最值 3
【知识点3】不等式的证明 6
【知识点4】恒成立问题 9
【知识点5】基本不等式的应用 11
1.知道基本不等式的概念(重点)。
2.掌握由基本不等式求最值(重难点)。
3.掌握由基本不等式求解恒成立问题(重点)。
【知识点1】比较大小
由基本不等式比较大小
(1)在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．
(2)在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件．
(3)其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能．
【例1】（2024秋 津南区校级期中）设a，b∈R，且a＜b＜0，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：令a＝﹣2，b＝﹣1，满足a＜b＜0，
但，故A错误，，故B错误；，故C错误；
a＜b＜0，则，，故，故D正确．
故选：D．
【例2】（2024秋 南通校级月考）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．a2+b2≥2
【答案】D
【分析】由，得，结合选项可判断．
【解答】解：A：由，得，A错误；
B：（）2＝aa+b+a+b＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，
所以2，B错误；
C：，
当且仅当ab且a+b＝2，即b＝2，a＝4时取等号，C错误；
D：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4﹣2ab≥2恒成立，
故选：D．
【例3】（2024秋 船山区校级期中）已知a＞0，b＞0，则，，，中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式，先比较与，然后比较与，再比较与，由此确定出正确选项．
【解答】解：因为a＞0，b＞0，所以a+b，当且仅当a＝b时取等号，
所以，
，当且仅当a＝b时，等号成立，
则．
故选：A．
【例4】（多选）（2024秋 枣庄期末）已知正数x，y满足2x+y＝1，则（ ）
A．8xy≤1 B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：因为，则，当且仅当2x＝y，即时取等号，故8xy≤1，故A正确；
，当且仅当，即x，时取等号，故B错误；
因为，则，当且仅当2x＝y，即，时取等号，故C正确；
因为当且仅当2x＝y+1，即，y＝0时取等号，这与x，y均为正数矛盾，故，故D错误．
故选：AC．
【知识点2】求最值
1．由不等式求最值
(1)直接法求最值．
(2)常规凑配法求最值．
(3)消参法求最值．
(4)换元求最值．
(5) “1”的代换求最值．
(6)条件等式求最值．
2．由基本不等式求最值
(1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值．
(2)若是求和式的最小值，通常化（或利用）积为定值．
(3)若是求积的最大值，通常化（或利用）和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．
例1：
【例5】（2025 湖北模拟）已知正实数a，b满足，则ab的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题设可得2a+3b＝1，再应用基本不等式求目标式的最大值．
【解答】解：因为，
所以6＝6，即2a+3b＝1，a＞0，b＞0，
因为，
当且仅当，即时等号成立．
故选：B．
【例6】（2025 安徽模拟）若m＞0，n＞0，m+2n＝1，则的最小值是 ．
【答案】9．
【分析】由已知结合基本不等式即可求解．
【解答】解：若m＞0，n＞0，m+2n＝1，
则（）（m+2n）＝59，
当且仅当m＝n时取等号．
故答案为：9．
【例7】（2024秋 南宁期末）（1）比较3x2﹣x+1与2x2+x﹣1的大小；
（2）已知x＞3，求的最小值，并求取到最小值时x的值．
【答案】（1）3x2﹣x+1＞2x2+x﹣1；
（2）7，x＝5．
【分析】（1）由已知利用比较法即可比较大小；
（2）由已知结合基本不等式即可求解．
【解答】解：（1）3x2﹣x+1﹣2x2﹣x+1＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1＞0，
所以3x2﹣x+1＞2x2+x﹣1；
（2）x＞3，x﹣333＝7，
当且仅当x﹣3，即x＝5时取等号，此时函数的最小值为7．
【例8】（2024秋 苏州期末）已知a，b均为正实数，ab＝a+2b+t（t∈R）．
（1）若t＝0，求a+b的最小值；
（2）若t＝6，求的最小值．
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）当t＝0时，由已知等式变形得出，将代数式a+b与相乘，展开后利用基本不等式可求得a+b的最小值；
（2）当t＝6时，由已知等式变形得出（a﹣2）（b﹣1）＝8，再利用基本不等式的最小值．
【解答】解：（1）当t＝0时，此时ab＝a+2b+t即为ab＝a+2b，那么可得．
由于a、b均为正实数，
因此，
当且仅当时，即当，时等号成立，
因此a+b的最小值为．
（2）当t＝6时，ab＝a+2b+6，得ab﹣a﹣2b+2＝8，
那么（a﹣2）（b﹣1）＝8，
因此，由于b＞0，a＞0，因此a＞2，所以得b＞1，
因此，，因此，
当且仅当时，即当，时等号成立，
因此的最小值为．
【知识点3】不等式的证明
1．不等式
(1)重要不等式：．
(2)基本不等式：(当且仅当时取等号且a>0,b>0)．
(3)常用结论：
①(同号)．
②(异号)．
③．
④．
2．由基本不等式证明不等式
(1)注意基本不等式成立的条件．
(2)多次使用基本不等式，要注意等号能否成立．
(3)对不能直接使用基本不等式的，形成基本不等式模型，再使用．
例1：
【例9】（2024秋 海淀区校级月考）（Ⅰ）已知a＞b＞2，m＞0，求证：．
（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，ab＝4，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）利用不等式的性质进行证明即可．
（2）利用均值不等式进行证明即可．
【解答】解：（1）由a＞b＞2，可得a﹣2＞b﹣2＞0，
从而有，
又m＞0，可得；
（2）由a＞0，b＞0，得，
当且仅当2a＝b，即，时取等号．
所以．
【例10】（2024秋 南关区校级月考）（1）已知a，b∈R且a，b＞0，试比较与的大小；
（2）已知a，b∈R且a，b＞0，且a+b＝1，求证：（ax+by）（bx+ay）≥xy．
【答案】（1）；
（2）证明见解析．
【分析】（1）利用作差法，结合配方，分解因式即可比较；
（2）展开（ax+by）（bx+ay），利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，
22（），
则（当且仅当a＝b时取等号）．
（2）证明：∵a，b是正数，且a+b＝1，
∴（ax+by）（bx+ay）＝abx2+（a2+b2）xy+aby2
＝ab（x2+y2）+（a2+b2）xy≥ab 2xy+（a2+b2）xy＝（a+b）2xy＝xy，
当且仅当x＝y时取等号，
∴（ax+by）（bx+ay）≥xy成立．
【例11】（2024秋 湖南月考）已知a＞0，b＞0，且2a+b﹣4ab＝0．
（1）证明：；
（2）求a+2b的最小值．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）．
【分析】（1）由基本不等式得到，从而得到，证明出结论；
（2）变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值．
【解答】解：（1）证明：a＞0，b＞0，且2a+b＝4ab，解得，
当且仅当2a＝b，即时，等号成立；
（2）因为a＞0，b＞0，且2a+b＝4ab，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故a+2b的最小值为．
【例12】（2024秋 益阳期末）（1）已知，求函数的最小值；
（2）若x＞0，y＞0，证明：．
【答案】（1）4；
（2）详见解答过程．
【分析】（1）由基本不等式即可直接求解；
（2）由已知结合基本不等式及不等式性质即可证明．
【解答】解：（1）因为，
所以2x﹣122＝4，当且仅当2x﹣1，即x＝1时取等号，
所以函数的最小值为4；
（2）证明：若x＞0，y＞0，则x+y，
所以2xy≤（x+y）xy，
即．
【知识点4】恒成立问题
不等式
(1)重要不等式：．
(2)基本不等式：(当且仅当时取等号且a>0,b>0)．
(3)常用结论：
①(同号)．
②(异号)．
③．
④．
(4)通常通过分离参数转化为利用基本不等式求最值．
例1：
【例13】（2025 延边州一模）已知正实数x，y满足，且不等式x+y﹣a＞0恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．a＜2 B．a＜8 C．a＜6 D．a＜4
【答案】B
【分析】由已知结合基本不等式及乘1法可求出x+y的最小值，然后结合不等式恒成立与最值关系的转化即可求解．
【解答】解：正实数x，y满足，得，
故x+y＝2（x+y）（）＝2（2）≥2（2+2）＝8，当且仅当x＝y＝4时等号成立．
而不等式x+y﹣a＞0恒成立，
故a＜（x+y）min＝8．
故选：B．
【例14】（2025 红河州校级开学）若存在x 0，y 0，且3x+y＝1，使不等式能成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣4，2） B．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）
C．（﹣2，4） D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）
【答案】D
【分析】由已知结合基本不等式及不等式成立由最值关系的转化即可求解．
【解答】解：因为能成立，
所以．
又因为x 0，y 0，3x+y＝1，所以3（x+1）+（y+1）＝5．
所以，当且仅当，即x＝0，y＝1时等号成立，
所以5＜m2﹣2m﹣3，即m2﹣2m﹣8＞0，所以m＜﹣2或m＞4．
故选：D．
【例15】（2025 宜春校级开学）已知x＞0，y＞0，且x+2y﹣xy＝0，若x+2y＞m恒成立，则实数m的取值范围为 ．
【答案】（﹣∞，8）．
【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出x+2y的最小值，即可得解．
【解答】解：因为x＞0，y＞0，且x+2y﹣xy＝0，所以，
所以，
当且仅当且，即y＝2，x＝4时取等号，
又x+2y＞m恒成立，所以m＜8．
故答案为：（﹣∞，8）．
【例16】（2024秋 米东区校级期末）不等式若两个正实数x，y，满足．
（1）求的最小值，并说明此时x，y的值；
（2）若不等式4x+y≥m2﹣2m+1恒成立，则实数m的取值范围．
【答案】（1）最小值为2，此时x＝2，y＝2；
（2）[﹣2，4]．
【分析】（1）由已知直接利用基本不等式即可求解；
（2）结合乘1法，利用基本不等式先求出4x+y的最小值，然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解．
【解答】解：两个正实数x，y，满足．
（1）由题意可得xy＝x+y，当且仅当x＝y＝2时取等号，
所以2，即的最小值为2，此时x＝2，y＝2；
（2）因为4x+y＝（4x+y）（）＝59，当且仅当y＝2x，即x，y＝3时取等号，
若不等式4x+y≥m2﹣2m+1恒成立，则9≥m2﹣2m+1，解得﹣2≤m≤4
故实数m的取值范围为[﹣2，4]．
【知识点5】基本不等式的应用
由基本不等式解决实际问题
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．
(4)正确写出答案．
例1：
【例17】（2024秋 六盘水期末）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”．发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，列出等式，再利用基本不等式求解判断即可．
【解答】解：依题意，80（1+a）（1+b）＝80（1+x）2，而a＞0，b＞0，x＞0，
因此，当且仅当a＝b时取等号，
所以．
故选：B．
【例18】（2024秋 广州期末）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（ ）
A．160000元 B．179200元 C．198400元 D．297600元
【答案】C
【分析】设池底的长为x，宽为y，因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面，计算出建造这个水池的总造价是100xy+2（x+y）×3×80，结合基本不等关系求得最小值．
【解答】解：设池底的长为x，宽为y，则3xy＝4800，即，
因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面，
建造这个水池的总造价是，当且仅当即x＝40时，等号成立，
所以贮水池的最低总造价是198400元．
故选：C．
【例19】（2024秋 长寿区期末）已知圆O的面积为16π，矩形ABCD的四个顶点均在圆O上，则矩形ABCD的面积最大值为 ．
【答案】32．
【分析】先根据圆的面积求出圆的半径，再根据矩形的性质和基本不等式可求出矩形面积的最大值．
【解答】解：设圆的半径为r，则πr2＝16π，解得r＝4，
设矩形的长为a，宽为b，
因为矩形ABCD的四个顶点均在圆O上，
所以AC＝BD＝8，所以a2+b2＝AC2＝64，
因为2ab≤a2+b2＝64，当且仅当时取等号，
所以ab≤32，当且仅当时取等号，
所以矩形ABCD的面积最大值为32．
故答案为：32．
【例20】（2024秋 巢湖市校级期末）“守护碧水蓝天，共治污水之源”，重庆市某自来水厂决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，水厂拟安装一种新的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该水厂需缴纳的总水费C（单位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系为，将该水厂的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为y（单位：万元）．
（1）要使y不超过11.2万元，求设备占地面积x的取值范围；
（2）设备占地面积x为多少平方米时，y的值最小，并求出此最小值．
【答案】（1）[20，31]；
（2）设备占地面积x为25平方米时，y的值最小，最小值为11万元．
【分析】（1）由题意得，解不等式y≤11.2即可；
（2）将变形为，再利用基本不等式即可求解．
【解答】解：（1）由题意得y＝0.2x+C＝0.2x（x＞0），
令y≤11.2，即0.2x11.2，（x＞0），
整理得x2﹣51x+620≤0，即（x﹣20）（x﹣31）≤0，解得20≤x≤31，
所以设备占地面积x的取值范围为[20，31]；
（2）y＝0.2x1≥21＝11，
当且仅当，即x＝25，时等号成立，
所以设备占地面积x为25平方米时，y的值最小，且最小值为11万元．
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