3.1 函数的概念及其表示
【知识点1】函数的概念 1
【知识点2】同一函数的判断 4
【知识点3】 函数的定义域 7
【知识点4】函数的值域 9
【知识点5】函数的解析式 12
【知识点6】函数的图象 16
【知识点7】分段函数 19
1.知道函数的概念、同一函数的判断(重点)。
2.掌握函数的图象、定义域、值域、解析式的求解(重难点)。
3.理解分段函数(重点)
【知识点1】函数的概念
函数的定义
(1)设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数．
(2)记作：，．
(3) x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
(4)函数的定义（特别是它的“取元任意性，取值唯一性”）是解决某些问题的关键．
【例1】（2024秋 陕西期末）下列图象中，可以表示函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由函数图象定义可得答案．
【解答】解：选项A，C，D的函数图象中存在x∈[0，+∞），对应多个不同的函数值，故不可以表示函数，
选项B符合题意．
故选：B．
【例2】（2024秋 拱墅区校级期末）已知f：x→|x|是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{2}，那么集合A不可能是（ ）
A．{﹣2，2} B．{﹣2} C．{﹣1，2} D．{2}
【答案】C
【分析】根据函数的定义，先求出集合A中的元素，即可得出结论．
【解答】解：由已知|x|＝2，解之得，x＝±2．
由函数的定义可知，A、B、D均有可能，C是不可能的，
故选：C．
【例3】（2024秋 天河区期末）集合A，B与对应关系f如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．若，则a＝2
B．f：A→B是从集合A到集合B的函数
C．x∈A，y∈B对应关系
D．f：A→B的定义域为集合A，值域为集合B
【答案】B
【分析】根据题意，利用函数的定义和对应关系依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f（5）＝4，若f（a﹣1）f（5）＝2，则a﹣1＝1或2，即a＝2或3，A错误；
对于B，由函数的定义，f：A→B是从集合A到集合B的函数，B正确；
对于C，若对应关系，则x＝1时，对应y的值为1，不成立，C错误；
对于D，f：A→B的定义域为集合A，值域为{2，3，4，5}，D错误．
故选：B．
【例4】（2024秋 聊城期末）已知集合A＝R，B＝（0，+∞），则下列f：A→B是从集合A到集合B的函数的为（ ）
A．f（x）＝lnx B． C．f（x）＝x3 D．f（x）＝3x+1
【答案】D
【分析】根据题意，利用函数的定义逐一判断即可．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x）＝lnx，定义域为（0，+∞），不等于集合A，不符合题意；
对于B，f（x），其值域为[0，+∞），不是B的子集，不符合题意；
对于C，f（x）＝x3，其值域为实数集R，不是B的子集，不符合题意；
对于D，f（x）＝3x+1，其定义域为（1，+∞），是B的子集，符合题意．
故选：D．
【知识点2】同一函数的判断
1．函数三要素
(1)构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）．
(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关．
2．同一函数的判断
(1)只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数．
(2)定义域不同，两个函数也就不同．
(3)对应法则不同，两个函数也是不同的．
(4)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则
例1：
【例5】（2025 湖南模拟）下列函数中，与y＝x是同一个函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由同一函数的概念逐项分析判断即可．
【解答】解：函数与y＝x不是同一函数，选项A错误；
与y＝x是同一函数，选项B正确；
与y＝x不是同一函数，选项C错误；
与y＝x不是同一函数，选项D错误．
故选：B．
【例6】（2025春 南昌县校级月考）在下列各组中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（ ）
A．
B．f（x）＝x（x﹣1）（x∈R），g（x）＝x2﹣x（x∈R+）
C．
D．
【答案】D
【分析】利用相同函数的定义逐项判断即得．
【解答】解：对于选项A，函数f（x）＝|x|的定义域为R，定义域为[0，+∞），
两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故A错误；
对于选项B，函数f（x）与g（x）的定义域不同，
所以不是同一个函数，故B错误；
对于选项C，函数f（x）＝x的定义域为R，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故C错误；
对于选项D，函数f（x）与g（x）的定义域都为R，且，即对应法则也相同，
所以两个函数是同一个函数，故D正确．
故选：D．
【例7】（多选）（2024秋 台儿庄区期末）与函数y＝x2是同一函数的有（ ）
A．g（t）＝t2 B．
C． D．
【答案】AC
【分析】定义域和对应法则均相同的两函数为同一函数，对四个选项一一判断，得到答案．
【解答】解：g（t）＝t2与y＝x2定义域和对应法则均相同，为同一函数，A正确；
y＝x2的定义域为R，定义域为[0，+∞），定义域不同，B错误；
，故定义域和对应法则均相同，为同一函数，C正确；
y＝x2的定义域为R，的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），定义域不同，D错误．
故选：AC．
【例8】（多选）（2025 保山校级三模）下列两个函数是相同函数的有（ ）
A．f（x）＝x﹣1与
B．与
C．f（x）＝x0与g（x）＝1
D．f（x）＝|x|与
【答案】BD
【分析】利用函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断两函数是相同函数．
【解答】解：对于A，f（x）＝x﹣1的定义域为R，x﹣1的定义域为{x|x≠﹣1}，
两函数定义域不同，不是相同函数；
对于B，，
两函数的定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；
对于C，f（x）＝x0，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），g（x）＝1，x∈R，
两函数的定义域不同，不是相同函数；
对于D，f（x）＝|x|，x∈R，g（x）|x|，x∈R，
两函数的定义域相同，对应关系也相同，是相同函数．
故选：BD．
【知识点3】 函数的定义域
几类函数的定义域
(1)如果是整式，那么函数的定义域是实数集R．
(2)如果是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．
(3)如果是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．
(4)如果是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；（即求各集合的交集）．
(5)当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解．
(6)求抽象函数的定义域，一要理解定义域的含义是的取值范围；二要运用整体思想，也就是在同一对应关系下括号内的范围是一样的
例1：
【例9】（2025 江西模拟）已知集合A＝{﹣3，﹣1，0，1，3}，，则A∩B＝（ ）
A．{0，1，3} B．{﹣1，0，1，3} C．{1，3} D．{﹣3，﹣1}
【答案】A
【分析】先求出集合B，然后结合集合交集运算即可求解．
【解答】解：因为A＝{﹣3，﹣1，0，1，3}，{x|x＞﹣1}，
则A∩B＝{0，1，3}．
故选：A．
【例10】（2025春 潮州校级月考）已知函数的定义域为（ ）
A．（1，5） B．（﹣∞，1）∪（5，+∞）
C．（﹣∞，1]∪（5，+∞） D．（﹣∞，1]∪[5，+∞）
【答案】C
【分析】根据二次根式被开方数大于等于零及分母不为零可得函数的定义域．
【解答】解：若函数有意义，需满足：，
解不等式组得x＞5或x≤1，
则所求函数的定义域为（﹣∞，1]∪（5，+∞）．
故选：C．
【例11】（2025春 邵阳月考）若函数f（x）的定义域是[﹣3，2]，则函数的定义域是（ ）
A．[﹣4，1] B．[﹣3，1] C．[﹣3，1） D．[﹣4，1）
【答案】D
【分析】由复合函数的定义求定义域，同时注意分母不为0．
【解答】解：因为函数f（x）的定义域是[﹣3，2]，
而函数，得﹣3≤x+1≤2,解得﹣4≤x≤1，
又x﹣1≠0，得﹣4≤x＜1．
故选：D．
【例12】（2025 定州市校级开学）已知函数的定义域为R，则m的取值范围是（ ）
A．[0，8] B．[0，8） C． D．
【答案】B
【分析】问题转化为mx2+mx+2＞0对于任意x∈R恒成立，然后对m分类求解得答案．
【解答】解：∵函数的定义域为R，
∴mx2+mx+2＞0对于任意x∈R恒成立，
当m＝0时，符合题意；
当m≠0时，则，解得0＜m＜8．
∴m的取值范围是[0，8）．
故选：B．
【知识点4】函数的值域
函数值域的求法
(1)观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域．
(2)配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域．
(3)判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围．
(4)换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域．
例1：
【例13】（多选）（2024秋 黑龙江校级期末）已知函数f（x）的定义域为R，值域为[﹣2，3]，则下列函数的值域也为[﹣2，3]的是（ ）
A．y＝f（x+1） B．y＝f（x）+1 C．y＝f（﹣x） D．y＝﹣f（x）
【答案】AC
【分析】由已知结合函数的图象变换检验各选项中函数的值域即可求解．
【解答】解：因为函数f（x）的定义域为R，值域为[﹣2，3]，
y＝f（x+1）由f（x）的图象向左平移1个单位，函数值域与f（x）的值域相同，即为[﹣2，3]，A符合题意；
y＝f（x）+1是由y＝f（x）的图象向上平移1个单位，即函数值域为[﹣1，4]，不符合题意；
y＝f（﹣x）与y＝f（x）的图象关于y轴对称，函数值域与y＝f（x）的值域相同，为[﹣2，3]，C符合题意；
y＝﹣f（x）与y＝f（x）的图象关于x轴对称，即函数值域为[﹣3，2]，不符合题意．
故选：AC．
【例14】（2025春 黄浦区校级月考）函数的值域是 ．
【答案】[0，]．
【分析】可配方求出二次函数y＝﹣x2+2x+2的值域，然后得解．
【解答】解：﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3≤3，
∴f（x）的值域为．
故答案为：．
【例15】（2025 涡阳县校级开学）f（x）
（1）画出f（x）的图象；
（2）若f（x），求x的范围；
（3）求f（x）的值域．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用分段函数画出函数的图象即可．
（2）通过函数的图象，转化求解不等式的解集即可．
（3）利用函数的图象，求解函数的值域即可．
【解答】解：（1）f（x）
画出f（x）的图象如图：；
（2）若f（x），可得x2，解得x的范围（]∪[）；
（3）由函数的图象可知：f（x）的值域[0，1]．
【例16】（2024秋 天河区校级期中）已知函数．
（1）若f（a）＝5，求实数a的值；
（2）画出函数的图象并求出函数f（x）在区间[﹣2，2]上的值域．
【答案】（1）a＝2或a＝﹣4；
（2）图象见解析，[1，5]．
【分析】（1）讨论a的取值，结合f（x）解析式可得答案；
（2）由解析式可得函数图像，即可得值域．
【解答】解：（1）已知函数，
若f（a）＝5，
当a≥0，f（a）＝a2+1＝5 a＝2，
当a＜0，f（a）＝1﹣a＝5 a＝﹣4，
综上：a＝2或a＝﹣4；
（2）由题可得f（x）图象如下：
则f（x）在区间[﹣2，2]上的值域为[1，5]．
【知识点5】函数的解析式
求解析式
(1)解析式类型已知的，一般用待定系数法，对于二次函数问题要注意对一般式，顶点式和两点式的选择．
(2)已知求的问题，方法一用配凑法；方法二用换元法．
(3)函数方程问题，需建立关于的方程组，若函数方程中同时出现、，则一般用代之，构造另一个方程．
例1：
【例17】（2025 天津）已知函数y＝f（x）的图象如图，则f（x）的解析式可能为（ ）
A．f（x） B．f（x）
C．f（x） D．f（x）
【答案】D
【分析】由函数的性质和特殊值法排除即可．
【解答】解：由图象可得f（x）为偶函数，
因为A，B选项的函数为奇函数，故排除A，B；
因为C，D选项的函数为偶函数，且对于C，，不满足图象，故排除C．
故选：D．
【例18】（2024秋 台州期中）函数f（x）＝x的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将函数解析式利用绝对值的定义进行化简变形，得到分段函数的解析式，作出函数图象即可得到答案．
【解答】解：函数f（x）＝x，
作出函数图象为：
故选：C．
【例19】（2024秋 南昌校级期末）在《航拍中国》江西篇中，摄制组的飞机飞过庐山西海时，一座天然的爱心形状岛屿格外吸引眼球．下图左边是庐山西海这座岛屿的地图，其形状如一颗爱心．右边是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用排除法，根据函数是偶函数，逐项分析函数解析式可排除B，D；求得C，D中函数的最大值可排除C．
【解答】解：根据题意，由函数的图象，“心形”函数的图象关于y轴对称，所以上部分的函数为偶函数，
对于B，易得y＝x是奇函数，不符合题意；
对于D，y，﹣x2+2x≥0，解可得0≤x≤2，其定义域为[0，2]，既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意；
对于A，的图象过点（0，0），（﹣2，0），（2，0），
且0＜x＜2时，，当且仅当时，等号成立，
即函数的最大值为2，又“心形”函数的最大值为1，故排除A；
由的图象过点（0，0），（﹣2，0），（2，0），且0＜x＜2时，
，当x＝1时，等号成立，
即函数的最大值为1，满足题意，故C满足．
故选：C．
【例20】（2025春 安溪县校级月考）已知函数．
（1）求f（0），f（1），f[f（2）]；
（2）画f（x）的图像．
【答案】（1）f（0）＝﹣1，f（1）＝0，f[f（2）]＝﹣2；
（2）图象见解析．
【分析】（1）根据函数的解析式即可得出答案；
（2）根据函数的解析式作出f（x）的图象．
【解答】解：（1）∵函数，
∴f（0）＝0﹣1＝﹣1，f（1）＝﹣1+1＝0，f（2）＝﹣2+1＝﹣1，则f[f（2）]＝f（﹣1）＝﹣1﹣1＝﹣2；
（2）如图所示：
【知识点6】函数的图象
1．函数的三种表示方法
(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值．
(2)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势．
(3)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值．
2．函数图象
(1)先把要画的函数图象进行变形．
(2)依据所学习过的基本函数图象，通过函数图象的平移、对称和翻折得到要求的图象．
例1：
【例21】（2024秋 包头期末）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学，下列哪一个图象与这件事吻合得最好？（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函数的定义可得函数的图象．
【解答】解：由函数的定义可得离家的距离由时间的变化函数先增再不变再减，再不变，最后再递增，
只有D符合．
故选：D．
【例22】（2025春 禅城区校级月考）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】解答本题，可先研究四个选项中图象的特征，再对照小明上学路上的运动特征，两者对应即可选出正确选项．
【解答】解：考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A；
再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D，
之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确．
故选：C．
【例23】（多选）（2024秋 柳州期末）对某智能手机进行游戏续航能力测试（测试6小时结束），得到了剩余电量y（单位：百分比）与测试时间t（单位：h）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（ ）
A．测试结束时，该手机剩余电量为85%
B．该手机在5h时电量为0
C．该手机在0h 3h内电量下降的速度比3h 5h内下降的速度更快
D．该手机在5h 6h进行了充电操作
【答案】ACD
【分析】根据函数图像的意义逐一分析每个选项即可．
【解答】解：对某智能手机进行游戏续航能力测试（测试6小时结束），得到了剩余电量y（单位：百分比）与测试时间t（单位：h）的函数图象如图所示，
A选项，充电结束时，由图像可知，电量是85%，A选项正确；
B选项，由图像，5h时刻，电量剩余为30%，B选项错误；
C选项，由图像，0h 3h内电量下降的速度平均为，
3h 5h内下降的速度平均为，前者更快，C选项正确；
D选项，由于5h 6h期间电量上涨，可知进行了充电操作，D选项正确．
故选：ACD．
【例24】（2025春 安溪县校级月考）已知函数．
（1）求f（0），f（1），f[f（2）]；
（2）画f（x）的图像．
【答案】（1）f（0）＝﹣1，f（1）＝0，f[f（2）]＝﹣2；
（2）图象见解析．
【分析】（1）根据函数的解析式即可得出答案；
（2）根据函数的解析式作出f（x）的图象．
【解答】解：（1）∵函数，
∴f（0）＝0﹣1＝﹣1，f（1）＝﹣1+1＝0，f（2）＝﹣2+1＝﹣1，则f[f（2）]＝f（﹣1）＝﹣1﹣1＝﹣2；
（2）如图所示：
【知识点7】分段函数
分段函数
(1)分段函数的解析式不能写成几个不同的方程．
(2)应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来．
(3)并分别注明各部分的自变量的取值情况．
(4)由实际问题决定的分段函数，要写出它的解析式，就是根据实际问题需要分成几类，就分成几段，求解析式时，先分段分别求出它的解析式，在综合在一起即可．
(5)注意分段函数的解析式，最后要把各段综合在一起写成一个函数，分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．
例1：
【例25】（多选）（2024秋 凤庆县校级期中）已知函数，下列关于函数f（x）的结论正确的是（ ）
A．f（x）的定义域是R
B．f（x）的值域是（﹣∞，5）
C．若f（x）＝3，则
D．f（x）的图象与直线y＝2有一个交点
【答案】BCD
【分析】根据函数的定义域、值域，由函数值求自变量、函数图象等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
【解答】解：对A，f（x）的定义域是（﹣∞，2），故A错误；
对B，当x≤﹣1时，x+2≤1，
当﹣1＜x＜2时，0≤x2＜4，1≤x2+1＜5，
所以f（x）的值域是（﹣∞，5），故B正确；
对C，由B选项的分析可知，若f（x）＝3，
则，解得，故C正确；
对D，画出f（x）的图象如下图所示，由图可知，故D正确．
故选：BCD．
【例26】（2024秋 范县校级月考）已知，求f（f（﹣1））＝ ．
【答案】0．
【分析】直接把变量代入对应的解析式即可求解．
【解答】解：∵，
∴f（﹣1）＝﹣1+2＝1，
∴f（f（﹣1））＝f（1）＝12﹣1＝0，
故答案为：0．
【例27】（2024秋 天津校级期中）在函数中，若f（x）＝1，则x的值是 ．
【答案】±1．
【分析】直接利用分段函数，通过f（x）＝1，求出x的值即可．
【解答】解：因为函数，
所以当x≤﹣1时，x+2＝1，解得x＝﹣1．
当﹣1＜x＜2时，x2＝1，解得x＝1或x＝﹣1（舍去）．
当x≥2时，2x＝1，解得x．（舍去）．
综上x＝±1．
故答案为：±1．
【例28】（2024秋 红桥区期中）已知函数，且f（2）＝0．
（1）写出函数f（x）的解析式；
（2）求f（f（1））的值；
（3）若f（m）＝m，求实数m的值．
【答案】（1）；
（2）﹣2；
（3）m＝﹣1．
【分析】（1）根据已知的函数值求待定系数的值．
（2）根据函数解析式求函数值．
（3）分情况讨论求实数m的值．
【解答】解：（1）由于f（2）＝0，故2a﹣1＝0，
解得，
所以；
（2）由（1）可知，
所以，；
（3）当m≥0时，，
解得m＝﹣2，舍去，
当m＜0时，，
解得m＝1或﹣1，
所以m＝﹣1，
综上所述，实数m的值为﹣1．3.1 函数的概念及其表示
【知识点1】函数的概念 1
【知识点2】同一函数的判断 3
【知识点3】 函数的定义域 5
【知识点4】函数的值域 6
【知识点5】函数的解析式 7
【知识点6】函数的图象 9
【知识点7】分段函数 11
1.知道函数的概念、同一函数的判断(重点)。
2.掌握函数的图象、定义域、值域、解析式的求解(重难点)。
3.理解分段函数(重点)
【知识点1】函数的概念
函数的定义
(1)设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数．
(2)记作：，．
(3) x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
(4)函数的定义（特别是它的“取元任意性，取值唯一性”）是解决某些问题的关键．
【例1】（2024秋 陕西期末）下列图象中，可以表示函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】（2024秋 拱墅区校级期末）已知f：x→|x|是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{2}，那么集合A不可能是（ ）
A．{﹣2，2} B．{﹣2} C．{﹣1，2} D．{2}
【例3】（2024秋 天河区期末）集合A，B与对应关系f如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．若，则a＝2
B．f：A→B是从集合A到集合B的函数
C．x∈A，y∈B对应关系
D．f：A→B的定义域为集合A，值域为集合B
【例4】（2024秋 聊城期末）已知集合A＝R，B＝（0，+∞），则下列f：A→B是从集合A到集合B的函数的为（ ）
A．f（x）＝lnx B． C．f（x）＝x3 D．f（x）＝3x+1
【知识点2】同一函数的判断
1．函数三要素
(1)构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）．
(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关．
2．同一函数的判断
(1)只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数．
(2)定义域不同，两个函数也就不同．
(3)对应法则不同，两个函数也是不同的．
(4)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则
例1：
【例5】（2025 湖南模拟）下列函数中，与y＝x是同一个函数的是（ ）
A． B． C． D．
【例6】（2025春 南昌县校级月考）在下列各组中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（ ）
A．
B．f（x）＝x（x﹣1）（x∈R），g（x）＝x2﹣x（x∈R+）
C．
D．
【例7】（多选）（2024秋 台儿庄区期末）与函数y＝x2是同一函数的有（ ）
A．g（t）＝t2 B．
C． D．
【例8】（多选）（2025 保山校级三模）下列两个函数是相同函数的有（ ）
A．f（x）＝x﹣1与
B．与
C．f（x）＝x0与g（x）＝1
D．f（x）＝|x|与
【知识点3】 函数的定义域
几类函数的定义域
(1)如果是整式，那么函数的定义域是实数集R．
(2)如果是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．
(3)如果是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．
(4)如果是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；（即求各集合的交集）．
(5)当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解．
(6)求抽象函数的定义域，一要理解定义域的含义是的取值范围；二要运用整体思想，也就是在同一对应关系下括号内的范围是一样的
例1：
【例9】（2025 江西模拟）已知集合A＝{﹣3，﹣1，0，1，3}，，则A∩B＝（ ）
A．{0，1，3} B．{﹣1，0，1，3} C．{1，3} D．{﹣3，﹣1}
【例10】（2025春 潮州校级月考）已知函数的定义域为（ ）
A．（1，5） B．（﹣∞，1）∪（5，+∞）
C．（﹣∞，1]∪（5，+∞） D．（﹣∞，1]∪[5，+∞）
【例11】（2025春 邵阳月考）若函数f（x）的定义域是[﹣3，2]，则函数的定义域是（ ）
A．[﹣4，1] B．[﹣3，1] C．[﹣3，1） D．[﹣4，1）
【例12】（2025 定州市校级开学）已知函数的定义域为R，则m的取值范围是（ ）
A．[0，8] B．[0，8） C． D．
【知识点4】函数的值域
函数值域的求法
(1)观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域．
(2)配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域．
(3)判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围．
(4)换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域．
例1：
【例13】（多选）（2024秋 黑龙江校级期末）已知函数f（x）的定义域为R，值域为[﹣2，3]，则下列函数的值域也为[﹣2，3]的是（ ）
A．y＝f（x+1） B．y＝f（x）+1 C．y＝f（﹣x） D．y＝﹣f（x）
【例14】（2025春 黄浦区校级月考）函数的值域是 ．
【例15】（2025 涡阳县校级开学）f（x）
（1）画出f（x）的图象；
（2）若f（x），求x的范围；
（3）求f（x）的值域．
【例16】（2024秋 天河区校级期中）已知函数．
（1）若f（a）＝5，求实数a的值；
（2）画出函数的图象并求出函数f（x）在区间[﹣2，2]上的值域．
【知识点5】函数的解析式
求解析式
(1)解析式类型已知的，一般用待定系数法，对于二次函数问题要注意对一般式，顶点式和两点式的选择．
(2)已知求的问题，方法一用配凑法；方法二用换元法．
(3)函数方程问题，需建立关于的方程组，若函数方程中同时出现、，则一般用代之，构造另一个方程．
例1：
【例17】（2025 天津）已知函数y＝f（x）的图象如图，则f（x）的解析式可能为（ ）
A．f（x） B．f（x）
C．f（x） D．f（x）
【例18】（2024秋 台州期中）函数f（x）＝x的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【例19】（2024秋 南昌校级期末）在《航拍中国》江西篇中，摄制组的飞机飞过庐山西海时，一座天然的爱心形状岛屿格外吸引眼球．下图左边是庐山西海这座岛屿的地图，其形状如一颗爱心．右边是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【例20】（2025春 安溪县校级月考）已知函数．
（1）求f（0），f（1），f[f（2）]；
（2）画f（x）的图像．
【知识点6】函数的图象
1．函数的三种表示方法
(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值．
(2)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势．
(3)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值．
2．函数图象
(1)先把要画的函数图象进行变形．
(2)依据所学习过的基本函数图象，通过函数图象的平移、对称和翻折得到要求的图象．
例1：
【例21】（2024秋 包头期末）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学，下列哪一个图象与这件事吻合得最好？（ ）
A． B．
C． D．
【例22】（2025春 禅城区校级月考）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例23】（多选）（2024秋 柳州期末）对某智能手机进行游戏续航能力测试（测试6小时结束），得到了剩余电量y（单位：百分比）与测试时间t（单位：h）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（ ）
A．测试结束时，该手机剩余电量为85%
B．该手机在5h时电量为0
C．该手机在0h 3h内电量下降的速度比3h 5h内下降的速度更快
D．该手机在5h 6h进行了充电操作
【例24】（2025春 安溪县校级月考）已知函数．
（1）求f（0），f（1），f[f（2）]；
（2）画f（x）的图像．
【知识点7】分段函数
分段函数
(1)分段函数的解析式不能写成几个不同的方程．
(2)应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来．
(3)并分别注明各部分的自变量的取值情况．
(4)由实际问题决定的分段函数，要写出它的解析式，就是根据实际问题需要分成几类，就分成几段，求解析式时，先分段分别求出它的解析式，在综合在一起即可．
(5)注意分段函数的解析式，最后要把各段综合在一起写成一个函数，分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．
例1：
【例25】（多选）（2024秋 凤庆县校级期中）已知函数，下列关于函数f（x）的结论正确的是（ ）
A．f（x）的定义域是R
B．f（x）的值域是（﹣∞，5）
C．若f（x）＝3，则
D．f（x）的图象与直线y＝2有一个交点
【例26】（2024秋 范县校级月考）已知，求f（f（﹣1））＝ ．
【例27】（2024秋 天津校级期中）在函数中，若f（x）＝1，则x的值是 ．
【例28】（2024秋 红桥区期中）已知函数，且f（2）＝0．
（1）写出函数f（x）的解析式；
（2）求f（f（1））的值；
（3）若f（m）＝m，求实数m的值．
