3.3 函数的奇偶性
【知识点1】奇偶性的判断 1
【知识点2】由奇偶性求值 2
【知识点3】由奇偶性求参数 3
【知识点4】由奇偶性求解析式 4
【知识点5】抽象函数的奇偶性 5
【知识点6】奇偶性与单调性 6
1.知道函数的奇偶性(重点)。
2.掌握函数奇偶性的应用(重难点)。
3.掌握函数奇偶性与单调性的综合应用(重点)。
【知识点1】奇偶性的判断
奇偶性的判断
(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等．
(2)验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可．
(3)图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称．
(4)性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．
(5)判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断
【例1】（2025 郴州模拟）下列函数中，是奇函数的是（ ）
A．y＝x2+1 B． C．y＝x+1 D．
【例2】（2024 江苏学业考试）函数（ ）
A．是奇函数但不是偶函数
B．是偶函数但不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
【例3】（2024秋 广州校级期中）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【例4】（多选）（2024秋 吐鲁番市期末）下列函数中为偶函数的是（ ）
A．f（x）＝|x| B．
C． D．f（x）＝﹣x2+1（x≤0）
【知识点2】由奇偶性求值
由奇偶性求值
(1)的等价形式为：．
(2)的等价形式为：．
(3)若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有
例1：
【例5】（2025 赣州二模）已知函数f（x）是定义在R上且周期为2的奇函数，则f（﹣5）＝（ ）
A．﹣5 B．0 C．2 D．5
【例6】（2024秋 周口校级期末）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）＝（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
【例7】（2024秋 潍坊期末）已知函数f（x）＝x2025+ax3+bx+1，且f（﹣2024）＝10，则f（2024）＝ ．
【例8】（2025 天水学业考试）已知f（x）＝﹣x2+mx+2，x∈R．
（1）当m＝3时，求f（1）值；
（2）若f（x）是偶函数，求f（x）的最大值．
【知识点3】由奇偶性求参数
函数的奇偶性
(1)若为偶函数，则．
(2)若为奇函数，则．
(3)利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决．
(4)在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解
例1：
【例9】（2025春 西安校级月考）若函数f（x）＝ax2+（2b+a）x﹣a+b是定义在[2a，2﹣a]上的偶函数，则a+b＝（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1
【例10】（2025 宝山区二模）已知m、n为常数，函数y＝（m﹣1）x2+3x+2﹣n为奇函数，则m+n＝ ．
【例11】（2025 邯郸开学）已知函数f（x）＝x|2x+a|是奇函数，则a＝ ．
【例12】（2024春 通州区期末）已知函数．
（Ⅰ）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；
（Ⅱ）当a＝2，b＝1时，求函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值．
【知识点4】由奇偶性求解析式
由奇偶性求解析式
(1)抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式．
(2)或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式．
例1：
【例13】（2024秋 泸县校级期中）已知函数f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）＝﹣x（x+1），则当x＜0时，f（x）＝ ．
【例14】（2024秋 湖北期中）已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，x＞0时，f（x）＝x3﹣2x2+1，则函数f（x）在R上的解析式为 ．
【例15】（2025春 河源校级月考）函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，函数的解析式为．
（1）求f（﹣2）的值；
（2）当x＜0时，求函数的解析式．
【例16】（2024秋 越秀区校级期中）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，．
（1）求f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（﹣∞，﹣1）上为增函数；
（3）判断f（x）的单调性．（不用证明）
【知识点5】抽象函数的奇偶性
函数的奇偶性
(1)若为偶函数，则．
(2)若为奇函数，则．
(3)复合函数的奇偶性：内偶则偶，两奇为奇．
(4)判断抽象函数的奇偶性，可用特殊值赋值法来求解．
(5)需要判断与之间的关系，因此需要先求出的值才行．
例1：
【例17】（2025 河南模拟）若函数f（x）是定义域为R且周期为3的奇函数，且f（4）＝1，则f（1）+f（2）+…+f（7）＝（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【例18】（2025 十堰模拟）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝f（x），则f（7）＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【例19】（2025春 立山区校级期末）若定义在R上的函数f（x）满足：对于任意x1，x2∈R，有f（x1 x2）＝x1f（x2）+x2f（x1），则下列说法一定正确的是（ ）
A．f（x）是奇函数 B．f（x）是偶函数
C．f（x﹣1）是奇函数 D．f（x）+1是偶函数
【例20】（2025 重庆校级模拟）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x）+2x，则f（2026）＝ ．
【知识点6】奇偶性与单调性
奇偶性与单调性
(1)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反．
(2)奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．
(3)一类是两个性质交融在一起，此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性．
(4)一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题．
例1：
【例21】（2024秋 海淀区期末）已知f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，当x∈（0，4]时，f（x）的图象如图所示，则不等式xf（x）≤0的解集为 ．
【例22】（2025春 南海区校级月考）已知函数，则不等式f（t2+3）+f（﹣2t2+t﹣1）＞0的解为 ．
【例23】（2025春 遵义月考）已知函数是定义在区间[﹣1，1]上的函数．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）证明f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，并求不等式的解集．
【例24】（2025春 镇雄县月考）已知函数，x∈（﹣1，1）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调性；
（3）解关于t的不等式：．3.3 函数的奇偶性
【知识点1】奇偶性的判断 1
【知识点2】由奇偶性求值 4
【知识点3】由奇偶性求参数 6
【知识点4】由奇偶性求解析式 8
【知识点5】抽象函数的奇偶性 11
【知识点6】奇偶性与单调性 13
1.知道函数的奇偶性(重点)。
2.掌握函数奇偶性的应用(重难点)。
3.掌握函数奇偶性与单调性的综合应用(重点)。
【知识点1】奇偶性的判断
奇偶性的判断
(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等．
(2)验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可．
(3)图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称．
(4)性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．
(5)判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断
【例1】（2025 郴州模拟）下列函数中，是奇函数的是（ ）
A．y＝x2+1 B． C．y＝x+1 D．
【答案】B
【分析】根据函数解析式的形式，直接判断选项．
【解答】解：y＝x2+1是偶函数，A错误；
是奇函数，B正确；
y＝x+1和是非奇非偶函数，CD错误．
故选：B．
【例2】（2024 江苏学业考试）函数（ ）
A．是奇函数但不是偶函数
B．是偶函数但不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
【答案】A
【分析】根据奇偶函数的定义判断选项．
【解答】解：，定义域为{x|x≠0}，
又f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数不是偶函数．
故选：A．
【例3】（2024秋 广州校级期中）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），，是奇函数，不符合题意；
对于B，的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），，是偶函数，符合题意；
对于C，的定义域为（0，+∞），不是偶函数，不符合题意；
对于D，的定义域为{1}，不是偶函数，不符合题意．
故选：B．
【例4】（多选）（2024秋 吐鲁番市期末）下列函数中为偶函数的是（ ）
A．f（x）＝|x| B．
C． D．f（x）＝﹣x2+1（x≤0）
【答案】AB
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，函数f（x）＝|x|的定义域为R，且f（﹣x）＝|﹣x|＝|x|＝f（x），故f（x）＝|x|为偶函数，A正确；
对于B，的定义域为{x|x≠0}，且，故B正确；
对于C，函数的定义域为[0，+∞），不关于原点对称，故函数不具有奇偶性，C错误；
对于D，函数f（x）＝﹣x2+1（x≤0）的定义域为（﹣∞，0]，不关于原点对称，故函数不具有奇偶性，D错误；
故选：AB．
【知识点2】由奇偶性求值
由奇偶性求值
(1)的等价形式为：．
(2)的等价形式为：．
(3)若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有
例1：
【例5】（2025 赣州二模）已知函数f（x）是定义在R上且周期为2的奇函数，则f（﹣5）＝（ ）
A．﹣5 B．0 C．2 D．5
【答案】B
【分析】由函数周期性的定义可得出f（1）＝f（﹣1），再结合奇函数的定义可得出f（1）的值，由此可得出f（﹣5）的值．
【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上且周期为2的奇函数，
则f（﹣1）＝﹣f（1）且f（﹣1）＝f（1），必有f（﹣1）＝0，
则有f（﹣5）＝f（﹣5+4）＝f（﹣1）＝0．
故选：B．
【例6】（2024秋 周口校级期末）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）＝（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
【答案】C
【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性的性质可得 f（﹣1）＝﹣f（1），运算求得结果．
【解答】解：∵已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，
∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（1+2）＝﹣3，
故选：C．
【例7】（2024秋 潍坊期末）已知函数f（x）＝x2025+ax3+bx+1，且f（﹣2024）＝10，则f（2024）＝ ．
【答案】﹣8．
【分析】设g（x）＝x2025+ax3+bx，证明该函数为奇函数，由f（﹣2024）＝10求出g（﹣2024）＝9，由奇函数得g（2024）＝﹣9，从而求得f（2024）．
【解答】解：根据题意，设g（x）＝f（x）﹣1＝x2025+ax3+bx，其定义域为R，
由g（﹣x）＝（﹣x）2025+a（﹣x）3+b（﹣x）＝﹣x2025﹣ax3﹣bx＝﹣g（x），
可得g（x）为奇函数，
由于g（x）＝f（x）﹣1，则f（x）＝g（x）+1，
因f（﹣2024）＝g（﹣2024）+1＝10，解得g（﹣2024）＝9，故g（2024）＝﹣9，
于是f（2024）＝g（2024）+1＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【例8】（2025 天水学业考试）已知f（x）＝﹣x2+mx+2，x∈R．
（1）当m＝3时，求f（1）值；
（2）若f（x）是偶函数，求f（x）的最大值．
【答案】（1）4；
（2）2．
【分析】（1）根据题意，先求出函数的解析式，进而计算可得答案；
（2）根据题意，由函数的奇偶性求出m的值，结合二次函数的性质分析可得答案．
【解答】解：（1）当m＝3时，f（x）＝﹣x2+3x+2，
所以f（1）＝﹣12+3×1+2＝4；
（2）因为f（x）是偶函数，所以f（﹣x）＝f（x）成立，
即﹣（﹣x）2+m（﹣x）+2＝﹣x2﹣mx+2＝﹣x2+mx+2成立，
所以m＝0，则f（x）＝﹣x2+2，
f（x）是开口向下的二次函数，其对称轴为y轴，且f（0）＝2，
故f（x）的最大值为2．
【知识点3】由奇偶性求参数
函数的奇偶性
(1)若为偶函数，则．
(2)若为奇函数，则．
(3)利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决．
(4)在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解
例1：
【例9】（2025春 西安校级月考）若函数f（x）＝ax2+（2b+a）x﹣a+b是定义在[2a，2﹣a]上的偶函数，则a+b＝（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1
【答案】B
【分析】由偶函数的性质定义域关于原点对称和f（x）＝f（﹣x）可得．
【解答】解：若f（x）＝ax2+（2b+a）x﹣a+b是定义在[2a，2﹣a]上的偶函数，
则有2﹣a+2a＝0，解可得a＝﹣2，
又f（x）＝f（﹣x），即ax2+（2b+a）x﹣a+b＝ax2﹣（2b+a）x﹣a+b，
则（2b+a）x＝0，
而a＝﹣2，则有b＝1，
所以a+b＝﹣1．
故选：B．
【例10】（2025 宝山区二模）已知m、n为常数，函数y＝（m﹣1）x2+3x+2﹣n为奇函数，则m+n＝ ．
【答案】3．
【分析】根据题意，设f（x）＝（m﹣1）x2+3x+2﹣n是奇函数，由奇函数的定义可得f（0）＝0和f（﹣x）+f（x）＝0，求出m、n的值，计算可得答案．
【解答】解：设f（x）＝（m﹣1）x2+3x+2﹣n是奇函数，其定义域为R，
则有f（0）＝2﹣n＝0，则n＝2，
同时，f（﹣x）+f（x）＝（m﹣1）x2+3x+（m﹣1）x2﹣3x＝2（m﹣1）x2＝0，
必有m＝1，故m+n＝3．
故答案为：3．
【例11】（2025 邯郸开学）已知函数f（x）＝x|2x+a|是奇函数，则a＝ ．
【答案】0．
【分析】根据题意，由奇函数的定义可得f（x）＝﹣f（﹣x），即x|2x+a|＝﹣（﹣x）|a﹣2x|，变形分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x|2x+a|是奇函数，
则f（x）＝﹣f（﹣x），即x|2x+a|＝﹣（﹣x）|a﹣2x|，则有|2x+a|＝|a﹣2x|，
变形可得（2x+a）2＝（2x﹣a）2，则有8ax＝0，必有a＝0．
故答案为：0．
【例12】（2024春 通州区期末）已知函数．
（Ⅰ）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；
（Ⅱ）当a＝2，b＝1时，求函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值．
【答案】（Ⅰ）0．（Ⅱ）4．
【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）为奇函数，建立条件关系即可求实数a的值；
（Ⅱ）当a＝2，b＝1时，利用基本不等式即可求函数f（x）在区间 （0，+∞）上的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），
即，所以b＝0，所以a＝0．
（Ⅱ）当a＝2，b＝1时，，
因为x＞0，所以 ，当且仅当x＝1时取等号，所以f（x）≥4，
即函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为4．
【知识点4】由奇偶性求解析式
由奇偶性求解析式
(1)抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式．
(2)或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式．
例1：
【例13】（2024秋 泸县校级期中）已知函数f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）＝﹣x（x+1），则当x＜0时，f（x）＝ ．
【答案】﹣x2+x．
【分析】应用偶函数的性质求解即可．
【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，
所以f（﹣x）＝﹣（﹣x）（﹣x+1）＝﹣x2+x，
又f（x）是偶函数，则f（﹣x）＝f（x），
所以f（x）＝f（﹣x）＝﹣x2+x，
所以当x＜0时，f（x）＝﹣x2+x．
故答案为：﹣x2+x．
【例14】（2024秋 湖北期中）已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，x＞0时，f（x）＝x3﹣2x2+1，则函数f（x）在R上的解析式为 ．
【答案】．
【分析】根据函数的奇偶性分别求出x＝0和x＜0时的解析式即可．
【解答】解：因为函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，
设x＜0，则﹣x＞0，
则f（﹣x）＝﹣x3﹣2x2+1＝﹣f（x），所以f（x）＝x3+2x2﹣1，
所以．
故答案为：．
【例15】（2025春 河源校级月考）函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，函数的解析式为．
（1）求f（﹣2）的值；
（2）当x＜0时，求函数的解析式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由f（﹣2）＝﹣f（2），代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由函数的奇偶性，代入计算，即可得到结果．
【解答】解：（1）因为x＞0时，，则，
又f（x）是R上的奇函数，
所以．
（2）设x＜0，则﹣x＞0，则f（x），
所以（x＜0）．
【例16】（2024秋 越秀区校级期中）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，．
（1）求f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（﹣∞，﹣1）上为增函数；
（3）判断f（x）的单调性．（不用证明）
【答案】（1）；
（2）证明见解析；
（3）f（x）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上为单调递增函数；在（﹣1，0）和（0，1）上为单调递减函数．
【分析】（1）根据奇函数性质求得x＞0时的解析式写成分段函数形式即可；
（2）根据单调性定义按照步骤进行证明即可得出结论；
（3）利用（2）中的结论得出x∈（﹣1，0）时的单调性，再利用奇函数性质可得结论．
【解答】解：（1）由f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，
依题意当x＞0时，﹣x＜0，
所以，可得；
所以f（x）的解析式为；
（2）取任意x1，x2∈（﹣∞，﹣1），且x1＜x2，
则，x2﹣x1＞0，
所以，
则0，
即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在（﹣∞，﹣1）上为增函数；
（3）由（2）可知，f（x）在（﹣∞，﹣1）上为增函数；
当x∈（﹣1，0）时，易知x1+x2＞﹣2，0＜x1x2＜1，2，0，
所以，即f（x1）＞f（x2），
可得f（x）在（﹣1，0）上为减函数；
由奇函数性质知，f（x）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上为单增函数；
在（﹣1，0）和（0，1）上为单减函数．
【知识点5】抽象函数的奇偶性
函数的奇偶性
(1)若为偶函数，则．
(2)若为奇函数，则．
(3)复合函数的奇偶性：内偶则偶，两奇为奇．
(4)判断抽象函数的奇偶性，可用特殊值赋值法来求解．
(5)需要判断与之间的关系，因此需要先求出的值才行．
例1：
【例17】（2025 河南模拟）若函数f（x）是定义域为R且周期为3的奇函数，且f（4）＝1，则f（1）+f（2）+…+f（7）＝（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据函数为奇函数与周期性分别求解f（0），f（1），f（2），f（3）的值，再结合周期性可得所求．
【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义域为R且周期为3的奇函数，
则f（0）＝0，f（3）＝0，f（6）＝0，
又由f（4）＝1，则f（1）＝1，f（7）＝1，
f（﹣1）＝﹣1，则f（2）＝﹣1，f（5）＝﹣1，
故f（1）+f（2）+……+f（7）＝1+（﹣1）+0+1+（﹣1）+0+1＝1．
故选：B．
【例18】（2025 十堰模拟）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝f（x），则f（7）＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】结合已知奇偶性及周期性即可求解．
【解答】解：定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝f（x），
则f（1+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（2+x）＝f（x），
则f（7）＝f（1）＝﹣f（0）＝0．
故选：B．
【例19】（2025春 立山区校级期末）若定义在R上的函数f（x）满足：对于任意x1，x2∈R，有f（x1 x2）＝x1f（x2）+x2f（x1），则下列说法一定正确的是（ ）
A．f（x）是奇函数 B．f（x）是偶函数
C．f（x﹣1）是奇函数 D．f（x）+1是偶函数
【答案】A
【分析】根据赋值法，即可求解．
【解答】解：因为对于任意x1，x2∈R，有f（x1 x2）＝x1f（x2）+x2f（x1），
所以f（0）＝0，f（1）＝f（1）+f（1），所以f（1）＝0，
所以f（1）＝﹣f（﹣1）﹣f（﹣1）＝0，所以f（﹣1）＝0，
所以f（﹣x）＝﹣f（x）+xf（﹣1）＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，所以A选项正确；
而其他选项不一定成立，所以选A．
故选：A．
【例20】（2025 重庆校级模拟）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x）+2x，则f（2026）＝ ．
【答案】2026．
【分析】由题意利用列举法写出函数值，设出函数解析式，利用等式检验，可得答案．
【解答】解：由函数f（x）是R上的奇函数，则f（0）＝0，
由f（1+x）＝f（1﹣x）+2x，令x＝1，则f（2）＝f（0）+2＝2；
由f（1+x）＝f（1﹣x）+2x，令x＝3，则f（4）＝f（﹣2）+6＝﹣f（2）+6＝4；
猜想f（x）＝x，验证：
因为f（1+x）＝1+x，f（1﹣x）＝1﹣x，
所以f（1+x）﹣f（1﹣x）＝2x，符合题意，
所以f（2026）＝2026．
故答案为：2026．
【知识点6】奇偶性与单调性
奇偶性与单调性
(1)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反．
(2)奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．
(3)一类是两个性质交融在一起，此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性．
(4)一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题．
例1：
【例21】（2024秋 海淀区期末）已知f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，当x∈（0，4]时，f（x）的图象如图所示，则不等式xf（x）≤0的解集为 ．
【答案】[﹣1，1]．
【分析】根据给定的图象，可得函数的单调性，再分段求解不等式．
【解答】解：观察图象知，奇函数f（x）在（0，4]上单调递增，则在[﹣4，0）上单调递增，
且f（﹣1）＝﹣f（1）＝0，
不等式xf（x）≤0，当x＝0时，不等式成立；
当x＞0时，f（x）≤0＝f（1），解得0＜x≤1；
当x＜0时，f（x）≥0＝f（﹣1），解得﹣1≤x＜0，
所以不等式xf（x）≤0的解集为[﹣1，1]．
故答案为：[﹣1，1]．
【例22】（2025春 南海区校级月考）已知函数，则不等式f（t2+3）+f（﹣2t2+t﹣1）＞0的解为 ．
【答案】（﹣1，2）
【分析】先证明函数f（x）为奇函数，再利用导数判断函数f（x）在（0，+∞）的单调性，再结合函数性质化简不等式，解不等式可得结论．
【解答】解：因为，
定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），定义域关于原点对称，
又，所以f（x）为奇函数．
由f（t2+3）+f（﹣2t2+t﹣1）＞0，
得f（t2+3）＞﹣f（﹣2t2+t﹣1）＝f（2t2﹣t+1），
又t2+3＞0，，
因为f（x）在（0，+∞）单调递增，
所以t2+3＞2t2﹣t+1，所以﹣1＜t＜2，
所以不等式的解集为（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
【例23】（2025春 遵义月考）已知函数是定义在区间[﹣1，1]上的函数．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）证明f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，并求不等式的解集．
【答案】（1）函数f（x）为奇函数；
（2）．
【分析】（1）通过证明f（﹣x）＝﹣f（x）来证得f（x）为奇函数．
（2）利用单调性的定义来证得f（x）在[﹣1，1]上为增函数，根据f（x）所奇函数及单调性解不等式即可．
【解答】（1）由已知，函数f（x）的定义域为R．
x∈R，都有﹣x∈R，
．
所以函数f（x）为奇函数．
（2）任取x1，x2∈[﹣1，1]，且﹣1≤x1＜x2≤1，
则x1﹣x2＜0，﹣1＜x1x2＜1，1﹣x1x2＞0，x1﹣x2＜0，，
那么
0，
所以 f（x1）＜f（x2），
所以 f（x）在[﹣1，1]上是增函数．
因为，所以，且f（x）在[﹣1，1]上是增函数．
所以，所以，
所以不等式的解集
【例24】（2025春 镇雄县月考）已知函数，x∈（﹣1，1）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调性；
（3）解关于t的不等式：．
【答案】（1）f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数；
（2）f（x）在（﹣1，1）上单调递增，证明见解析；
（3）．
【分析】（1）根据函数奇偶性的判定方法即可；
（2）根据函数的单调性的判断方法即可判断证明；
（3）利用（2）的结论，可将不等式转化为不等式组，求解得．
【解答】解：（1）依题意，函数的定义域（﹣1，1）关于原点对称，
又，
∴f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数．
（2）f（x）在（﹣1，1）上单调递增，理由如下：
任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，
∴x2﹣x1＞0，x1x2﹣1＜0且，，
则0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（﹣1，1）上单调递增．
（3）由（2）知，f（x）在（﹣1，1）上单调递增，
由可得，，解得：
故不等式的解集为．
