4.4 对数函数
【知识点1】对数函数的定义域与值域 1
【知识点2】对数函数的图象 2
【知识点3】对数函数过定点问题 4
【知识点4】对数函数的单调性 5
【知识点5】比较大小 6
【知识点6】对数函数综合 7
1.理解对数函数的概念(重点)。
2.掌握对数函数的定义域、值域，对数函数的图象与性质(重难点)。
3.会比较大小(重点)。
【知识点1】对数函数的定义域与值域
对数函数的定义域与值域
(1)求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．
(2)若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．
(3)判断类似于的定义域时，应首先保证
【例1】（2025春 郑州校级期末）已知函数f（x）＝2x+1（x≥2）的值域为[a，+∞），的值域为[2，+∞），则a﹣b＝（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
【例2】（2025春 辽阳期末）函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，8） B．（﹣∞，0]∪（8，+∞）
C．[0，8） D．（8，+∞）
【例3】（多选）（2025 儋州校级开学）已知函数f（x）＝ln（2x+1）﹣ln（2x﹣1），则（ ）
A．f（x）的定义域为（0，+∞）
B．f（x）的值域为（0，+∞）
C．f（x）为减函数
D．f（x）为奇函数
【例4】（2025春 萍乡期末）已知函数y＝f（x+1）的定义域是[1，2]，则函数的定义域为 ．
【知识点2】对数函数的图象
对数函数的图象
图象
例1：
【例5】（2025 郴州模拟）函数f（x）＝log3x的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【例6】（2025 长沙校级一模）已知lga+lgb＝0（a＞0，b＞0，且a≠1，b≠1），则函数f（x）＝a﹣x与g（x）＝logbx的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【例7】（2025春 仁寿县校级期中）已知a＞1，则函数y＝ax与函数y＝loga（﹣x）的图像在同一坐标系中可以是（ ）
A． B．
C． D．
【例8】（2024秋 涡阳县期末）如图，函数y＝lnx的图象与一次函数y＝f（x）的图象有A，B两个交点，则f（x）＝ ．
【知识点3】对数函数过定点问题
对数函数过定点问题
(1)对数函数过定点，即时，．
(2)令真数为1求解
例1：
【例9】（2025春 沧州期末）函数y＝3loga（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过的点为（ ）
A．（1，1） B．（1，4） C．（2，1） D．（2，4）
【例10】（2024秋 重庆校级期末）（a＞0且a≠1）的图象恒过定点M，幂函数g（x）过点M，则为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例11】（多选）（2025春 昆明期中）下列函数中恒过定点（1，0）的有（ ）
A．y＝xa﹣1（a为常数）
B．y＝ax﹣1（a＞0且a≠1）
C．y＝loga（2x﹣1）（a＞0且a≠1）
D．y＝ax﹣a（a为非零常数）
【例12】（2025春 商丘期末）若函数f（x）＝2loga（3﹣x）+1（a＞0，且a≠1）的图象过定点P，则点P的坐标是 ．
【知识点4】对数函数的单调性
1．对数函数数的单调性
(1)当时，对数函数在上是增函数．
(2)当时，对数函数在上是减函数．
2．复合对数函数的单调性
(1)研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则．
(2)研究型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”．
例1：
【例13】（2025 昆明一模）若a，b∈R，则“lna＜lnb”是“a＜b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【例14】（多选）（2025春 安徽月考）已知函数f（x）＝loga|x+1|（a＞0，且a≠1）在区间（﹣1，0）上单调递减，则（ ）
A．f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减且无最小值
B．f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增且无最大值
C．f（x）在定义域内既不是奇函数，也不是偶函数
D．f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称
【例15】（2025春 河西区期末）已知函数f（x）＝loga（x2+ax+a﹣2）在区间（﹣4，﹣2）上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
【例16】（2025 浦东新区校级三模）已知f（x）＝logax（a＞0且a≠1）．
（1）若a＝3，解方程；
（2）若f（3a﹣1）＞f（a），求a的取值范围．
【知识点5】比较大小
比较大小
(1)比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性．
(2)比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小．
(3)若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小．
例1：
【例17】（2025春 毕节市期末）下列四个选项中最大的数是（ ）
A．log30.7 B． C．log43 D．0.712
【例18】（2025春 六盘水期末）已知，，c＝log32，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a
【例19】（2025春 保定期末）已知a＝0.90.1，b＝log1.11.2，c＝a2，则（ ）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【例20】（2024秋 普宁市期末）若a＝20.01，b＝log2，c＝1.1﹣0.1，则a，b，c的大小关系为 ．
【知识点6】对数函数综合
对数函数的图象与性质
图象
性质 定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数 在上是减函数
当时， 当时， 当时， 当时，
例1：
【例21】（多选）（2025春 株洲校级期末）已知的定义域为D，值域为M，则（ ）
A．若D＝R，则M≠R
B．对任意m∈R，使得f（﹣5）＝f（﹣7）
C．对任意m∈R，f（x）的图象恒过一定点
D．若f（x）在（﹣∞，3）上单调递减，则m的取值范围是{6}
【例22】（多选）（2025春 漳州期末）已知函数f（x）＝|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）＝f（b），则（ ）
A．ab＜1 B． C． D．a﹣2b＜﹣1
【例23】（2025春 天津期末）已知函数f（x）＝loga（2+x）﹣loga（2﹣x）（a＞0，且a≠1）．
（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；
（2）当a＝3时，若f（m）﹣f（﹣m）＜2，求实数m的取值范围．
【例24】（2025春 苏州期末）已知函数．
（1）求f（x）的定义域；
（2）解关于x的方程f（x）＝f（﹣ex+1）；
（3）若函数g（x）＝（2x﹣a）f（x）的图象关于直线x＝b对称，求实数a，b的值．4.4 对数函数
【知识点1】对数函数的定义域与值域 1
【知识点2】对数函数的图象 3
【知识点3】对数函数过定点问题 6
【知识点4】对数函数的单调性 8
【知识点5】比较大小 11
【知识点6】对数函数综合 13
1.理解对数函数的概念(重点)。
2.掌握对数函数的定义域、值域，对数函数的图象与性质(重难点)。
3.会比较大小(重点)。
【知识点1】对数函数的定义域与值域
对数函数的定义域与值域
(1)求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．
(2)若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．
(3)判断类似于的定义域时，应首先保证
【例1】（2025春 郑州校级期末）已知函数f（x）＝2x+1（x≥2）的值域为[a，+∞），的值域为[2，+∞），则a﹣b＝（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
【答案】A
【分析】结合指数函数及对数函数的性质可求a，b，进而可求．
【解答】解：当x≥2时，f（x）＝2x+1≥5，由题意得a＝5，
因为的值域为[2，+∞），
所以y＝x2﹣8x+5b＝（x﹣4）2+5b﹣16的值域为[9，+∞），
所以5b﹣16＝9，即b＝5，
则a﹣b＝0．
故选：A．
【例2】（2025春 辽阳期末）函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，8） B．（﹣∞，0]∪（8，+∞）
C．[0，8） D．（8，+∞）
【答案】C
【分析】分a＝0和a≠0两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案．
【解答】解：∵函数的定义域为R，
∴ax2﹣ax+2＞0恒成立，
当a＝0时，f（x）＝1，符合题意；
当a≠0时，需满足，解得0＜a＜8．
综上，a∈[0，8）．
故选：C．
【例3】（多选）（2025 儋州校级开学）已知函数f（x）＝ln（2x+1）﹣ln（2x﹣1），则（ ）
A．f（x）的定义域为（0，+∞）
B．f（x）的值域为（0，+∞）
C．f（x）为减函数
D．f（x）为奇函数
【答案】ABC
【分析】解2x﹣1＞0即可得出f（x）的定义域，从而判断A正确；，这样即可判断出BC都正确；根据f（x）的定义域即可判断D错误．
【解答】解：解2x﹣1＞0得，x＞0，∴f（x）的定义域为（0，+∞），∴A正确；
，，∴，∴f（x）的值域为（0，+∞），∴B正确；
，x增大时，2x﹣1增大，减小，即f（x）减小，∴f（x）是减函数，∴C正确；
f（x）的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，∴f（x）不是奇函数，∴D错误．
故选：ABC．
【例4】（2025春 萍乡期末）已知函数y＝f（x+1）的定义域是[1，2]，则函数的定义域为 ．
【答案】（2，3）．
【分析】根据抽象函数定义域性质得出x∈[2，3]，再结合对数复合函数定义域求解．
【解答】解：函数y＝f（x+1）的定义域是[1，2]，所以1≤x≤2，则2≤x+1≤3，
所以函数y＝f（x）的定义域是[2，3]，
所以函数g（x）满足x∈[2，3]且x＞2且x≠3，
所以函数g（x）的定义域为（2，3）．
故答案为：（2，3）．
【知识点2】对数函数的图象
对数函数的图象
图象
例1：
【例5】（2025 郴州模拟）函数f（x）＝log3x的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的图象与性质，分析判断即可．
【解答】解：由题意知，f（x）＝log3x在定义域（0，+∞）内单调递增，且过点（1，0），
所以选项ABC错误，选项D正确．
故选：D．
【例6】（2025 长沙校级一模）已知lga+lgb＝0（a＞0，b＞0，且a≠1，b≠1），则函数f（x）＝a﹣x与g（x）＝logbx的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分析可知，b，再由指数函数及对数函数的性质即可得解．
【解答】解：由lga+lgb＝0可知，b，故f（x）＝a﹣x＝bx，
故函数f（x）＝a﹣x与函数g（x）＝logbx的单调性相同．
故选：B．
【例7】（2025春 仁寿县校级期中）已知a＞1，则函数y＝ax与函数y＝loga（﹣x）的图像在同一坐标系中可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别分析y＝ax与y＝loga（﹣x）的单调性及恒过的定点即可判断．
【解答】解：因为a＞1，所以y＝ax在R上单调递增，排除C；
又y＝loga（﹣x）定义域为（﹣∞，0），
所以由复合函数单调性可知，y＝loga（﹣x）在（﹣∞，0）上单调递减，且恒过（﹣1，0），排除B、D．
故选：A．
【例8】（2024秋 涡阳县期末）如图，函数y＝lnx的图象与一次函数y＝f（x）的图象有A，B两个交点，则f（x）＝ ．
【答案】．
【分析】设f（x）＝kx+b，所以由图象可知：函数y＝lnx的图象与y＝f（x）的两个交点分别为（1，0），（e，1），进而列方程组求得k，b的值，即可得解．
【解答】解：根据题意，设f（x）＝kx+b，
函数y＝lnx的图象经过A、B两点，
而ln1＝0，lne＝1，则A的坐标为（1，0），B的坐标为（e，1），
故函数y＝lnx的图象与y＝f（x）的两个交点分别为（1，0），（e，1），
所以，解得，
所以．
故答案为：．
【知识点3】对数函数过定点问题
对数函数过定点问题
(1)对数函数过定点，即时，．
(2)令真数为1求解
例1：
【例9】（2025春 沧州期末）函数y＝3loga（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过的点为（ ）
A．（1，1） B．（1，4） C．（2，1） D．（2，4）
【答案】C
【分析】根据对数函数的图象与性质，即可求出定点坐标．
【解答】解：根据对数函数的定义知，在函数y＝3loga（x﹣1）+1中，令x﹣1＝1，得x＝2，此时y＝1，
所以函数y＝3loga（x﹣1）+1的图象恒过定点（2，1）．
故选：C．
【例10】（2024秋 重庆校级期末）（a＞0且a≠1）的图象恒过定点M，幂函数g（x）过点M，则为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据对数函数的性质可求得定点M，由幂函数的概念设g（x）＝xα，由条件列式求出g（x），进而可得答案．
【解答】解：，令x﹣1＝1，得x＝2，，
则（a＞0且a≠1）恒过定点，
设g（x）＝xα，则，即α＝﹣2，即g（x）＝x﹣2，
∴．
故选：D．
【例11】（多选）（2025春 昆明期中）下列函数中恒过定点（1，0）的有（ ）
A．y＝xa﹣1（a为常数）
B．y＝ax﹣1（a＞0且a≠1）
C．y＝loga（2x﹣1）（a＞0且a≠1）
D．y＝ax﹣a（a为非零常数）
【答案】ACD
【分析】结合幂函数，指数及对数函数，一次函数的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：结合幂函数性质可知，y＝xα﹣1过（1，0），A正确；
结合指数函数性质可知，y＝ax﹣1过（1，1），B错误；
结合对数函数性质可知，y＝loga（2x﹣1）过（1，0），C正确；
y＝ax﹣a＝a（x﹣1）过（1，0），D正确．
故选：ACD．
【例12】（2025春 商丘期末）若函数f（x）＝2loga（3﹣x）+1（a＞0，且a≠1）的图象过定点P，则点P的坐标是 ．
【答案】（2，1）．
【分析】根据对数函数的性质和图象进行求解即可．
【解答】解：由对数函数f（x）＝2loga（3﹣x）+1，令3﹣x＝1，得x＝2，
且f（2）＝2loga1+1＝1，所以f（x）的图象过定点P（2，1）．
故答案为：（2，1）．
【知识点4】对数函数的单调性
1．对数函数数的单调性
(1)当时，对数函数在上是增函数．
(2)当时，对数函数在上是减函数．
2．复合对数函数的单调性
(1)研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则．
(2)研究型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”．
例1：
【例13】（2025 昆明一模）若a，b∈R，则“lna＜lnb”是“a＜b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法即可判断出结论．
【解答】解：由lna＜lnb，得0＜a＜b，反之不成立，
故“lna＜lnb“是“a＜b“的充分不必要条件．
故选：A．
【例14】（多选）（2025春 安徽月考）已知函数f（x）＝loga|x+1|（a＞0，且a≠1）在区间（﹣1，0）上单调递减，则（ ）
A．f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减且无最小值
B．f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增且无最大值
C．f（x）在定义域内既不是奇函数，也不是偶函数
D．f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称
【答案】ACD
【分析】由函数f（x）在区间（﹣1，0）上单调递减，得0＜a＜1，根据复合函数单调性的判断方法即可对AB做出判断；求出f（x）的定义域，即可对C做出判断；验证f（﹣2﹣x）＝f（x）是否成立，即可对D做出判断．
【解答】解：对于AB，函数y＝|x+1|在（﹣1，+∞）上单调递增，
又函数f（x）＝loga|x+1|（a＞0，且a≠1）在区间（﹣1，0）上单调递减，
所以0＜a＜1，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减且无最小值，故A正确，B错误；
对于C，因为f（x）的定义域为{x|x≠﹣1}，
所以f（x）在定义域内既不是奇函数，也不是偶函数，故C正确；
对于D，因为f（﹣2﹣x）＝loga|﹣2﹣x+1|＝loga|﹣（x+1）|＝loga|x+1|＝f（x），
所以f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称，故D正确．
故选：ACD．
【例15】（2025春 河西区期末）已知函数f（x）＝loga（x2+ax+a﹣2）在区间（﹣4，﹣2）上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
【答案】（0，1）．
【分析】根据题意，讨论a＞1和0＜a＜1时，根据复合函数的单调性，列不等式求解即可．
【解答】解：f（x）＝loga（x2+ax+a﹣2）在区间（﹣4，﹣2）上单调递增，
当a＞1时，y＝logat是单调增函数，t＝x2+ax+a﹣2在[，+∞）上单调递增；
所以，此时不等式组无解；
当0＜a＜1时，y＝logat是单调减函数，t＝x2+ax+a﹣2在（﹣∞，]上单调递减；
所以，解得a＜2；
综上，实数a的取值范围是（0，1）．
故答案为：（0，1）．
【例16】（2025 浦东新区校级三模）已知f（x）＝logax（a＞0且a≠1）．
（1）若a＝3，解方程；
（2）若f（3a﹣1）＞f（a），求a的取值范围．
【答案】（1）x或x＝81．
（2）（，）∪（1，+∞）．
【分析】（1）根据对数运算法则，化简f（）与f（3x），设t＝log3x，原方程等价于（3﹣t）（1+t）＝﹣5，求解即可．
（2）讨论0＜a＜1和a＞1时，根据指数函数的单调性转化不等式f（3a﹣1）＞f（a），求解集即可．
【解答】解：（1）由对数运算法则，，
f（3x）＝log3（3x）＝1+log3x，
设t＝log3x，则原方程等价于（3﹣t）（1+t）＝﹣5，解得t＝﹣2或t＝4．
所以原方程的解为x或x＝81．
（2）当0＜a＜1时，函数y＝f（x）严格单调递减，
f（3a﹣1）＞f（a）等价于不等式组，解得a；
当a＞1时，函数y＝f（x）严格单调递增，
f（3a﹣1）＞f（a）等价于不等式组，解得a＞1．
综上，a的取值范围是（，）∪（1，+∞）．
【知识点5】比较大小
比较大小
(1)比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性．
(2)比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小．
(3)若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小．
例1：
【例17】（2025春 毕节市期末）下列四个选项中最大的数是（ ）
A．log30.7 B． C．log43 D．0.712
【答案】C
【分析】结合指数对数函数的单调性，寻找这几个中间值进行比较即可．
【解答】解：log30.7＜log31＝0，0＜0.71.2＜0.71＝0.7，
又34＝81＞43＝64，所以4log43＞3，所以，
则，所以log43最大．
故选：C．
【例18】（2025春 六盘水期末）已知，，c＝log32，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a
【答案】A
【分析】利用相应函数的单调性判断a，b，c与0，1的大小，即可得解．
【解答】解：因为y＝log3x在（0，+∞）上单调递增，
所以0＝log31＜log32＜log33＝1，即0＜c＜1，
因为y＝lnx在（0，+∞）上单调递增，所以，
由y＝ex在R上单调递增，则，
所以b＞c＞a．
故选：A．
【例19】（2025春 保定期末）已知a＝0.90.1，b＝log1.11.2，c＝a2，则（ ）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【答案】C
【分析】根据指数函数底数在0到1时的单调性，判断a，c，1之间的大小；在把b通过换底公式转化为自然对数计算，并比较其与1的大小，从而得出a，b，c的大小顺序．
【解答】解：；所以b＞1；
已知a＝0.90.1，c＝a2，则c＝0.90.2．
因为底数小于1时，指数越大，结果越小，因此0.90＞0.90.1＞0.90.2，
即c＜a＜1；
综上，b＞a＞c．
故选：C．
【例20】（2024秋 普宁市期末）若a＝20.01，b＝log2，c＝1.1﹣0.1，则a，b，c的大小关系为 ．
【答案】a＞c＞b．
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
【解答】解：∵20.01＞20＝1，
，
0＜1.1﹣0.1＜1.10＝1，
∴a＞c＞b．
故答案为：a＞c＞b．
【知识点6】对数函数综合
对数函数的图象与性质
图象
性质 定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数 在上是减函数
当时， 当时， 当时， 当时，
例1：
【例21】（多选）（2025春 株洲校级期末）已知的定义域为D，值域为M，则（ ）
A．若D＝R，则M≠R
B．对任意m∈R，使得f（﹣5）＝f（﹣7）
C．对任意m∈R，f（x）的图象恒过一定点
D．若f（x）在（﹣∞，3）上单调递减，则m的取值范围是{6}
【答案】ACD
【分析】对于A，根据题设得真数x2﹣mx+m+3不能取遍所有正实数，再利用对数函数定义即得．对于B，直接代入求解即可．对于C，根据m∈R，求解即可．对于D，根据对数型函数的单调性和真数大于零即可解得．
【解答】解：对于A，要使定义域为R，只需x2﹣mx+m+3＞0恒成立，
所以判别式m2﹣4（m+3）＜0，所以真数x2﹣mx+m+3不能取遍所有正实数，所以M≠R，故A对
对于B，若f（﹣5）＝f（﹣7），
即，整理得log2（28+6m）＝log2（52+8m），得，
此时m∈ ，故B错；
对于C，x2﹣mx+m+3＝x2+3+m（1﹣x），因为与m无关，所以1﹣x＝0，x＝1，y＝log24＝2，过定点（1，2），故C正确；
对于D，若f（x）在（﹣∞，3）上单调递减，只需函数t＝x2﹣mx+m+3在（﹣∞，3）上递减，且t（3）≥0，即，解得m＝6，故D对．
故选：ACD．
【例22】（多选）（2025春 漳州期末）已知函数f（x）＝|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）＝f（b），则（ ）
A．ab＜1 B． C． D．a﹣2b＜﹣1
【答案】BD
【分析】根据对数的性质及运算可判断A；利用基本不等式求和的最小值可判断BC；再由，且0＜a＜1，利用函数的单调性求最值可判断D．
【解答】解：由f（x）＝|lgx|，0＜a＜b，且f（a）＝f（b），
得0＜a＜1＜b，可得﹣lga＝lgb，即lgb+lga＝0，则lgab＝0，
得ab＝1，故A错误；
由ab＝1，得a 2b＝2，又b＞a＞0，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
又0＜a＜1＜b，所以等号不成立，即，故B正确；
，
当且仅当2a＝b，且2a b＝2，即时等号成立，故C错误；
，且0＜a＜1，
由函数在（0，1）上单调递增，
得f（x）＜f（1）＝﹣1，即x1，得a﹣2b＜﹣1，故D正确．
故选：BD．
【例23】（2025春 天津期末）已知函数f（x）＝loga（2+x）﹣loga（2﹣x）（a＞0，且a≠1）．
（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；
（2）当a＝3时，若f（m）﹣f（﹣m）＜2，求实数m的取值范围．
【答案】（1）奇函数，证明见解析；
（2）（﹣2，1）．
【分析】（1）利用函数的奇偶性定义判断即得；
（2）在a＝3时，先利用复合函数的单调性判断函数f（x）在（﹣2，2）上单调递增，再利用奇函数性质和特殊值，将不等式转化成f（m）＜f（1），根据函数的单调性即得参数m的范围．
【解答】解：（1）由得﹣2＜x＜2，
因f（﹣x）+f（x）＝loga（2﹣x）﹣loga（2+x）+loga（2+x）﹣loga（2﹣x）＝0，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），
故函数f（x）为奇函数．
（2）当a＝3时，，
因函数在（﹣2，2）上单调递增，又函数y＝log3x在定义域内单调递增，故函数f（x）在（﹣2，2）上单调递增；
又f（﹣m）＝﹣f（m），且f（1）＝1，故原不等式等价于2f（m）＜2f（1），
即f（m）＜f（1），即可得﹣2＜m＜1，
故实数m的取值范围为（﹣2，1）．
【例24】（2025春 苏州期末）已知函数．
（1）求f（x）的定义域；
（2）解关于x的方程f（x）＝f（﹣ex+1）；
（3）若函数g（x）＝（2x﹣a）f（x）的图象关于直线x＝b对称，求实数a，b的值．
【答案】（1）（﹣∞，0）∪（3，+∞）；
（2）x＝﹣1；
（3）a＝3，．
【分析】（1）根据对数函数的真数大于零列不等式求解即可；
（2）先利用复合函数的单调性法则得f（x）在（﹣∞，0）和（3，+∞）上为增函数，然后将方程转化为x+ex+1＝0，
记h（x）＝x+ex+1利用函数的单调性及特殊值求解方程即可；
（3）根据g（x）的图象的对称性求得，进而利用对称性得，化简即可求得 a＝3．
【解答】解：（1）由得x＜0或x＞3，
所以f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（3，+∞）；
（2）因为在（﹣∞，0）和（3，+∞）上单调递增，
又y＝lnx在定义域上单调递增，
由复合函数的单调性知f（x）在（﹣∞，0）和（3，+∞）上为增函数，
所以，所以x+ex+1＝0，
记h（x）＝x+ex+1结合指数函数的单调性可知h（x）＝x+ex+1为增函数，
又h（﹣1）＝0，所以x＝﹣1；
（3）由（1）可知，g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（3，+∞），
因为函数g（x）＝（2x﹣a）f（x）的图象关于直线x＝b对称，
所以进一步根据g（x）＝g（3﹣x），
得即；
则有2x﹣a＝2x+a﹣6，即a＝3．
综上所述，a＝3，．
