4.5 函数的应用
【知识点1】零点 1
【知识点2】零点存在定理 3
【知识点3】由零点求参数 5
【知识点4】二分法 8
【知识点5】指数函数模型 10
【知识点6】对数函数模型 12
【知识点7】幂函数模型 16
1.知道函数零点的概念(重点)。
2.掌握函数零点存在定理(重难点)。
3.会求函数模型(重点)。
【知识点1】零点
1．函数的零点
(1)如果在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点．
(2)的零点就是方程的实数根．
(3)求函数的零点就是求相应方程的实数根
【例1】（2025春 高邮市期中）函数y＝3x﹣2的零点是（ ）
A．﹣2 B．（0，﹣2） C． D．
【答案】C
【分析】直接求解即可．
【解答】解：令3x﹣2＝0，可得x．
故选：C．
【例2】（2025 台湾四模）函数f（x）＝log3（x﹣1）﹣2的零点为（ ）
A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）
【答案】A
【分析】根据题意，由函数零点的定义，令f（x）＝0，解对数方程，求出x的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，令f（x）＝log3（x﹣1）﹣2＝0，即，
所以x﹣1＝32，因此x＝10，
所以函数f（x）＝log3（x﹣1）﹣2的零点为10．
故选：A．
【例3】（2024秋 五华区期末）函数的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】把函数的零点转化为方程的根，进一步转化为两函数图象交点的坐标求解．
【解答】解：由0，得，
函数y＝log2x与y都是（0，+∞）上的增函数，
且，，
且当x＞16时，函数y比y＝log2x增长的快，
则函数y与y＝log2x的图象只有两个交点，也就是函数的零点个数是2．
故选：C．
【例4】（2025春 湘阴县期末）函数f（x）＝lnx﹣1的零点是 ．
【答案】e．
【分析】根据函数零点的定义求解即可．
【解答】解：根据题意，f（x）＝lnx﹣1，
若f（x）＝lnx﹣1＝0，解得x＝e，即函数的零点是e．
故答案为：e．
【知识点2】零点存在定理
零点存在性的判定定理
(1)如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根．
(2)函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标
例1：
【例5】（2025春 龙凤区校级期末）方程2x3+3x﹣6＝0的根所在的区间为（ ）
A．[﹣1，0] B．[0，1] C．[1，2] D．[3，4]
【答案】C
【分析】利用零点存在定理可得出结果．
【解答】解：令f（x）＝2x3+3x﹣6，
故函数f（x）为定义在R上的连续函数，
易知函数为单调递增函数，
因为f（0）＝﹣6＜0，f（1）＝﹣1＜0，f（2）＝16＞0，
由零点存在定理可知，方程2x3+3x﹣6＝0的根所在的区间为[1，2]．
故选：C．
【例6】（2025春 昭通期中）函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，确定函数单调性，利用零点存在性定理判断得解．
【解答】解：由题意可得的定义域为[0，+∞），
又因为函数在[0，+∞）上都单调递增，
则函数f（x）在定义域[0，+∞）上单调递增，
而，，
所以f（x）的零点所在区间为．
故选：C．
【例7】（2025春 玉溪期末）函数f（x）＝8x3+2x﹣17的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据零点存在定理，判断零点所在区间．
【解答】解：根据题意，对于函数f（x）＝8x3+2x﹣17，
由于y＝x3，y＝x都是R上的增函数，则函数f（x）＝8x3+2x﹣17是增函数，
又由f（1）＝10﹣17＝﹣7＜0，，
可知，故函数f（x）的零点所在的区间是．
故选：C．
【例8】（2025春 天津期末）已知函数f（x）＝x2﹣log0.3x，则该函数的零点所在区间是（ ）
A．（0，0.3） B．（0.3，0.5） C．（0.5，1） D．（1，2）
【答案】C
【分析】求出函数的定义域，根据函数的单调性及零点存在定理求解即可．
【解答】解：由题意可得函数的定义域为（0，+∞），
又因为y＝x2、y＝﹣log0.3x在（0，+∞）上单调递增，
所以函数y＝f（x）在（0，+∞）上单调递增，
又f（0.3）＝0.09﹣1＜0，
f（0.5）＝0.25﹣log0.30.5＝log0.3log0.30.5＝log0.3log0.30，
f（1）＝1﹣log0.31＝1＞0，
所以函数的零点在（0.5，1）．
故选：C．
【知识点3】由零点求参数
由零点求参数
(1)直接法：利用零点存在的判定定理建立不等式．
(2)数形结合法：转化为两个函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围．
(3)分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域问题
例1：
【例9】（2025春 四川期末）“a＝﹣1”是“函数y＝ax2+2x﹣1只有一个零点”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据函数零点的定义，结合充分条件和必要条件的定义判断．
【解答】解：当a＝﹣1时，函数y＝ax2+2x﹣1＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2，只有一个零点1；
若函数y＝ax2+2x﹣1只有一个零点，
当a＝0时，y＝2x﹣1只有一个零点，符合题意，
当a≠0时，则Δ＝22﹣4a×（﹣1）＝0，
解得a＝﹣1，
综上，a＝﹣1或a＝0，
所以“a＝﹣1”是“函数y＝ax2+2x﹣1只有一个零点”的充分不必要条件．
故选：C．
【例10】（2024秋 河西区期末）“a＜﹣1”是“函数f（x）＝2x+a存在零点”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先利用函数零点的意义求出函数f（x）存在零点的充要条件，再结合充分条件、必要条件的定义判断得解．
【解答】解：f（x）＝2x+a有零点等价于a＝﹣2x有解，
因为﹣2x∈（﹣∞，0），所以a＜0，
所以，函数f（x）＝2x+a存在零点的充要条件是a＜0，
故“a＜﹣1”是“函数f（x）＝2x+a存在零点”的充分不必要条件．
故选：A．
【例11】（2024秋 资阳期末）若函数恰有两个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1]∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪[1，2） D．（﹣1，1]∪（2，+∞）
【答案】C
【分析】根据分段函数的性质画出大致图象，根据零点个数及数形结合确定参数范围．
【解答】解：若函数恰有两个零点，
令x+1＝0，得x＝﹣1，令x2﹣3x+2＝0，得x＝1或x＝2，函数草图如下，
根据解析式及函数恰有两个零点，结合图象，易知a＜﹣1或1≤a＜2．
故选：C．
【例12】（2025春 昆明期末）若函数，有三个零点，则a的取值范围为 ．
【答案】（2，+∞）．
【分析】设，h（x）＝ax+2，则f（x）＝g（x）﹣h（x），f（x）有三个零点等价于g（x）的图象和h（x）的图象有三个交点，作出g（x）的图象和h（x）的图象，利用数形结合可求出a的取值范围．
【解答】解：设，h（x）＝ax+2，
则f（x）＝g（x）﹣h（x），
所以f（x）有三个零点等价于g（x）＝h（x）有三个解，等价于g（x）的图象和h（x）的图象有三个交点，
如图，
h（x）＝ax+2过定点（0，2），
若a≤0，g（x）的图象和h（x）的图象有且只有一个交点，不符合题意；
当a＞0时，考虑h（x）与g（x）相切时，即ax+2＝﹣x2有且只有一解，
则Δ＝a2﹣8＝0，由a＞0，得a＝2，
所以若g（x）的图象和h（x）的图象有三个交点，a＞2，
故a的取值范围为（2，+∞）．
故答案为：（2，+∞）．
【知识点4】二分法
二分法
(1)对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法．
(2)判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．
(3)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
例1：
【例13】（2025 九龙坡区校级二模）用二分法求方程x+lgx﹣3＝0的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（ ）
A．[1，2] B．[2，3] C．[3，4] D．[4，5]
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合二分法的定义，即可求解．
【解答】解：令f（x）＝x+lgx﹣3，
函数在（0，+∞）上单调递增，
f（1）＝1+0﹣3＝﹣2＜0，f（2）＝2+lg2﹣3＜0，f（3）＝3+lg3﹣3＝lg3＞0，
故[2，3]可以作为初始区间．
故选：B．
【例14】（2025春 漳州期末）用二分法求函数f（x）＝lnx+x﹣2在区间[1，2]上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】根据题意，由二分法中区间长度的变化，分析可得经过n次操作后，区间的长度为，据此可得，可得n的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，开区间[1，2]的长度等于1，由二分法的步骤，经过n次操作后，区间长度变为，
又由要求精确度为0.01，
若，因为，，所以n≥7，
即所需二分区间的次数最少为7．
故选：C．
【例15】（2025春 汕头月考）用二分法求函数f（x）＝lnx+2x﹣6在区间（2，3）内的零点近似值，若要求精确度为0.1，则所需二分区间的次数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据二分法的定义计算即可．
【解答】解：因为区间（2，3）的长度为1，经过二分法的一次操作，
区间长度变为原来的一半，所以经过n（n∈N+）次二分法的操作，
区间的长度为，由，解得n≥4．
故选：C．
【例16】（2025春 南京校级期中）用二分法研究函数f（x）＝x5+8x3﹣1的零点时，第一次经过计算得f（0）＜0，f（0.5）＞0，则第二次应计算的函数值是 ．
【答案】f（0.25）．
【分析】根据零点存在性定理，以及二分法的计算方法，得到第二次应计算，可得所求答案．
【解答】解：根据f（x）＝x5+8x3﹣1，第一次经过计算得f（0）＝﹣1＜0，f（0.5）＝0.55+8×0.53﹣1＞0，
根据f（0） f（0.5）＜0，可知零点x0∈（0，0.5），
结合二分法，可知下一个有根的区间是（0，0.25）或（0.25，0.5）．
因此，需判断f（）的正负，即第二次应计算f（0.25）的值，并判断正负．
故答案为：f（0.25）．
【知识点5】指数函数模型
指数函数模型
（1）涉及平均增长率的问题，求解可用指数型函数模型表示，通常可以表示为（其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间）的形式．
(2)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题，都常用到指数型函数模型．
例1：
【例17】（2024春 蒸湘区校级期中）衡阳五一期间某服装店每天进店消费的人数每天都在变化，设第x（1≤x≤5，x∈N）天进店消费的人数为y，且y与（[t]表示不大于t的最大整数）成正比，第1天有15人进店消费，则第2天进店消费的人数为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】D
【分析】利用题中的条件，第1天有15人进店消费，即可得出比例系数，进而可以解出．
【解答】解：由题意可设比例系数为k，所以，
所以，即k＝3，
则当x＝2时，．
故选：D．
【例18】（2025春 成都校级期中）为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量p（mg/L）与时间t（h）的关系为．如果在前18个小时消除了19%的污染物，那么从过滤开始到污染物共减少10%需要花的时间为（ ）
A．8小时 B．9小时 C．10小时 D．11小时
【答案】B
【分析】根据题意，求得，得到，设污染物共减少10%需要花的时间t，得到，结合对数的运算性质，求得t的值，即可得到答案．
【解答】解：根据题意，，
由在前18个小时消除了19%的污染物，可得，
解得，所以，
设污染物共减少10%需要花的时间t，
可得，
所以，解得t＝9．
故选：B．
【例19】（2025春 平谷区期末）一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底部匀速漏出，tmin后剩余的沙量（单位：cm3）y＝ae﹣bt．已知经过4min后容器里的细沙还有开始时的，若再经过xmin，容器里的细沙只有开始时的，则x＝（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】C
【分析】由题意，代入函数解析式，求解即可．
【解答】解：由y＝ae﹣bt知，t＝4时，a＝ae﹣4b，所以e﹣b，
由a＝ae﹣bt，得（e﹣b）t，解得t＝10，
所以x＝10﹣4＝6，即经过6min，容器里的细沙只有开始时的．
故选：C．
【例20】（2025春 保定期中）中华茶文化博大精深，实践表明，室温下用100℃的水泡茶，等到茶水温度降至60℃时，有最佳饮用口感，茶水温度y（℃）适放置时间x（分钟）的活数关系式为y＝kax+20（k∈R，0＜a＜1，x≥0），由测试可知a＝0.9，经过1分钟后茶水的温度为92℃．
（1）求常数k的值；
（2）在室温下，刚泡的该茶大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（参考数据：lg3＝0.48，lg2＝0.30）
【答案】（1）k＝80．
（2）7.5分钟．
【分析】（1）根据已知求出解析式即可．
（2）结合第一问所求判断求解即可．
【解答】解：（1）因为a＝0.9，所以y＝k0.9x+20，
根据题意可知：当x＝1，y＝92，
代入到y＝k0.9x+20，可得92＝k 0.9+20，
解得k＝80．
（2）结合（1）知，y＝80×0.9x+20，
结合题意，此时60＝80×0.9x+20，即0.9x，
即x＝log0.9，
因为根据已知lg3＝0.48，lg2＝0.30，
所以x7.5分钟．
【知识点6】对数函数模型
对数函数模型
对数函数模型：（为常数，，且）
例1：
【例21】（2025春 汕头期末）音量大小用声强级η（单位：dB）表示，声强级η与声强I（单位：W/m2）的关系是：，其中I0指的是人能听到的最低声强．人能承受的最大声强为1W/m2，对应的声强级为120dB．若学生早读期间读书的声音的声强级范围为[70，80]（单位：dB），则下列选项中错误的是（ ）
A．（单位：W/m2）
B．学生早读期间读书的声强范围为[10﹣5，10﹣4]（单位：W/m2）
C．如果声强变为原来的2倍，则对应声强级也变为原来的2倍
D．如果声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍
【答案】C
【分析】根据已知求得，即η＝120+10lgI，再应用指对数关系及对数运算性质依次判断各项的正误．
【解答】解：因为，其中I0指的是人能听到的最低声强，
又人能承受的最大声强为1W/m2，对应的声强级为120dB．
所以，所以，所以A选项正确；
所以η＝10lg（1012I）＝120+10lgI，
若η∈[70，80]，则70≤120+10lgI≤80，所以10﹣5≤I≤10﹣4，所以B选项正确；
若I1＝2I2，则，所以C选项错误；
若η1＝10+η2，则120+10lgI1＝130+10lgI2，
所以，所以D选项正确．
故选：C．
【例22】（2025 广州模拟）声强级LI（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：W/m2），轻柔音乐的声强一般在10﹣8～10﹣6W/m2之间，则轻柔音乐的声强级范围是（ ）
A．0～20dB B．20～40dB C．40～60dB D．60～80dB
【答案】C
【分析】分别求出当I＝10﹣8，I＝10﹣6时的声强级，再根据函数的单调性即可求解．
【解答】解：由题意当I＝10﹣8时，10lg104＝40，
当I＝10﹣6时，10lg106＝60，
又函数为单调递增函数，
所以当轻柔音乐的声强一般在10﹣8～10﹣6W/m2之间，轻柔音乐的声强级范围是40～60dB．
故选：C．
【例23】（2025 上虞区模拟）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川里氏8.0级地震的（ ）倍（精确到1）
（参考数据：100.5＝3.2，101.5＝31.6，102.5＝316.2，104.8＝63095.7）
A．16 B．32 C．63 D．72
【答案】B
【分析】设日本地震释放的能量为E1，汶川地震释放的能量为E2，然后分别求出E1，E2，再根据指数，对数的运算性质化简即可求解．
【解答】解：设日本地震释放的能量为E1，汶川地震释放的能量为E2，
则由已知可得lgE1＝4.8+1.5×9＝18.3，
lgE2＝4.8+1.5×8＝16.8，
所以lglgE1﹣lgE2＝18.3﹣16.8＝1.5，所以101.5≈31.6，
所以日本地震释放的能量约为汶川地震释放的能量的32倍，
故选：B．
【例24】（2024秋 郫都区校级期末）某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y（单位：万元）是销售利润x（单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元；③销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择：A．y＝kx+b（k＞0）；B．y＝k 1.5x+b（k＞0）；C．y＝klog2（2）+n（k＞0）；
（1）请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；
（2）根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题：
①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？
②总奖金能否超过销售利润的五分之一？
【答案】（1）函数C是最合适的函数模型；（2）①210万元；②总奖金不可能超过销售利润的五分之一．
【分析】（1）函数图象是非直线型，且增长速率比较缓慢，再结合三种函数模型的图象与性质，即可得解；
（2）将点（0，0），（30，3）代入模型C中，求得k与n的值，即可知函数的解析式，①解不等式y≥9，即可；②令yx，采用换元法，构造新函数，并利用导数证明函数的单调性，求出其最大值，即可得解．
【解答】解：（1）函数C是最合适的函数模型，理由如下：
由图可知，函数图象是非直线型，且增长速率比较缓慢，
所以函数C是最合适的函数模型．
（2）因为函数图象经过点（0，0），（30，3），
所以，解得k＝3，n＝﹣3，
所以y＝3log2（2）﹣3，
①令y＝3log2（2）﹣3≥9，则log2（2）≥4，即2≥16，解得x≥210，
所以如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润210万元．
②令y＝3log2（2）﹣3x，则log2（2）x+1，
设tx+2，则log2t＞t﹣1，且t≥2，
令f（t）＝log2t﹣（t﹣1），f（t）在[2，+∞）上单调递减，
所以f（t）≤f（2）＝log22﹣（2﹣1）＝0，
故f（t）＞0在[2，+∞）上不可能成立，
所以总奖金不可能超过销售利润的五分之一．
【知识点7】幂函数模型
函数应用题的求解步骤i
(1)审题．
(2)建模．
(3)求模．
(4)还原
例1：
【例25】（2024秋 昭通期末）已知每投放1个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y＝f（x），其中，某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时，它能起到有效去污的作用．
（1）若只投放一次1个单位的洗衣液，求3分钟后水中洗衣液的浓度；
（2）若只投放一次1个单位的洗衣液，则有效去污时间可达多少分钟？
（3）若第一次投放2个单位的洗衣液，14分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第15分钟时（从第一次投放算起），洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由．
【答案】（1）4.8（克/升）；
（2）6分钟；
（3）洗衣液能起到有效去污的作用，理由见解析．
【分析】（1）计算出f（3）的值，即可得出结果；
（2）解不等式f（x）≥4，即可得出结果；
（3）若第一次投放2个单位的洗衣液，14分钟后再投放1个单位的洗衣液，计算出15分钟时水中洗衣液的浓度，可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意可知，每投放1个单位的洗衣液在水中释放的浓度y随着时间x变化的函数关系式为：
，
故若只投放1个单位的洗衣液，则3分钟后水中洗衣液的浓度（克/升）；
（2）若只投放一次1个单位的洗衣液，且当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它能起到去污的作用，
则当0＜x≤4时，由，解得2≤x≤4，
当4＜x≤16时，由，解得4＜x≤8，
故不等式f（x）≥4的解集为[2，8]，即有效去污时间可达6分钟；
（3）若第一次投放2个单位的洗衣液，14分钟后再投放1个单位的洗衣液，
则在第15分钟时，水中洗衣液的浓度为，
所以在第15分钟时（从第一次投放算起），洗衣液能起到有效去污的作用．
【例26】（2024秋 广西月考）近年来随着科技的发展，药物制剂正朝着三效，即高效、速效、长效；以及三小，即毒性小、副作用小、剂量小的方向发展．缓释片是通过一些特殊的技术和手段，使药物在体内持续释放，从而使药物在体内能长时间的维持有效血药浓度，药物作用更稳定持久．某医药研究所研制了一种具有缓释功能的新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第0.5小时起开始起效，第2小时达到最高12微克/毫升，并维持这一最高值直至第4小时结束，接着开始衰退，血液中含药量y（微克）与时间x（小时）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系．
（1）①当0.5≤x≤2时，求y与x之间的函数表达式；
②当x＞4时，求y与x之间的函数表达式；
（2）如果每毫升血液中含药量不低于4微克时有效，求一次服药后的有效时间是多少小时．
【答案】（1）①y＝8x﹣4；②y；
（2）一次服药后的有效时间是11小时．
【分析】（1）①依题意设一次函数解析式，代入已知点的坐标，求解待定系数，则答案可求；
②依题意设反比例函数解析式，代入已知点的坐标，求解待定系数，则答案可求；
（2）把y＝4分别代入y＝8x﹣4和y中，求出y值，结合题意得结论．
【解答】解（1）①当0.5≤x≤2时，设y＝kx+b，
把（0.5，0），（2，12）代入，可得，
解得，则y＝8x﹣4；
②当x＞4时，设y，把（4，12）代入，可得，即m＝48，
则当x＞4时，y；
（2）由题意，可知y≥4，
由8x﹣4≥4（0.5≤x≤2），得1≤x≤2；
由2＜x≤4时，12＞4恒成立；
由4（x＞4），得x≤12．
综上可得，一次服药后的有效时间是12﹣1＝11小时．
【例27】（2025春 常德期末）Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托．现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入c（x）万元．其中c（x）与x之间的关系为：，且函数c（x）的图象过A（3，9），B（6，24），C（82，1054）三点．通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完．
（1）求a，b，c的值，并写出年利润L（x）（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润．
【答案】（1）a，b＝2，c＝16000，；
（2）当x＝42时，L（x）取得最大值，且最大值为115万元．
【分析】（1）将给定的三点坐标代入函数式，求出a，b，c，进而求出L（x）的表达式．
（2）由（1）按0＜x＜20与x≥20分段求出最大值，再比较大小即得．
【解答】解：（1）将A（3，9），B（6，24），C（82，1054）三点代入，
得，解得a，b＝2，c＝16000，
即；
依题意，L（x）＝12x﹣c（x）﹣15．
（2）由（1）L（x）＝12x﹣c（x）﹣15；
当0＜x＜20时，L（x）（x﹣15）2+60，则当x＝15时，L（x）取得最大值60万元；
当x≥20时，L（x）＝﹣10x935＝﹣[10（x﹣2）]+915≤﹣2915＝115，当且仅当10（x﹣2）时，即x＝42时取得等号，
此时L（x）取得最大值，且最大值为115万元，
所以当年产量为42千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润115万元．
【例28】（2025春 长沙校级月考）某公司的股票在交易市场过去的一个月内（以30天计），第x天每股的交易价格满足函数关系（单位：元），第x天的日交易量Q（x）（万股）的部分数据如下表，给出以下四个函数模型：
①Q（x）＝ax+b；②Q（x）＝a|x﹣m|+b；③Q（x）＝a﹣bx；④Q（x）＝a logbx．
x 10 15 20 25 30
Q（x） 50 55 60 55 50
（1）请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票日交易量Q（x）（万股）与时间第x天的函数关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式；
（2）根据（1）的结论，求出该股票在过去一个月内第x天的日交易额f（x）的函数关系式，并求其最小值．
【答案】（1）选择模型②，Q（x）＝﹣|x﹣20|+60（1≤x≤30，x∈N*）；
（2），441（万元）．
【分析】（1）股票价格不可能是单调的得出选择模型②，代入具体值求出函数解析式；
（2）首先写出f（x）的解析式，然后再根据函数单调性和基本不等式求出最值．
【解答】解：（1）某公司的股票在交易市场过去的一个月内（以30天计），第x天每股的交易价格满足函数关系（单位：元），
第x天的日交易量Q（x）（万股）的部分数据如下表，给出以下四个函数模型：
①Q（x）＝ax+b；②Q（x）＝a|x﹣m|+b；③Q（x）＝a﹣bx；④Q（x）＝a logbx；
x 10 15 20 25 30
Q（x） 50 55 60 55 50
由表格数据知，当时间x变换时，Q（x）先增后减，
而①③④都是单调函数所以选择模型②，Q（x）＝a|x﹣m|+b；
由Q（15）＝Q（25），可得|15﹣m|＝|25﹣m|，解得m＝20，
由，解得a＝﹣1，b＝60，
所以Q（x）＝﹣|x﹣20|+60（1≤x≤30，x∈N*）；
（2）由（1）知：，
所以，
当1≤x≤20，x∈N*时，由基本不等式，
可得，
当且仅当时，即x＝2时等号成立，
当20＜x≤30，x∈N*时，为减函数，
所以函数的最小值为，
综上，当x＝2时，函数f（x）取得最小值441（万元）．4.5 函数的应用
【知识点1】零点 1
【知识点2】零点存在定理 2
【知识点3】由零点求参数 3
【知识点4】二分法 4
【知识点5】指数函数模型 5
【知识点6】对数函数模型 6
【知识点7】幂函数模型 7
1.知道函数零点的概念(重点)。
2.掌握函数零点存在定理(重难点)。
3.会求函数模型(重点)。
【知识点1】零点
1．函数的零点
(1)如果在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点．
(2)的零点就是方程的实数根．
(3)求函数的零点就是求相应方程的实数根
【例1】（2025春 高邮市期中）函数y＝3x﹣2的零点是（ ）
A．﹣2 B．（0，﹣2） C． D．
【例2】（2025 台湾四模）函数f（x）＝log3（x﹣1）﹣2的零点为（ ）
A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）
【例3】（2024秋 五华区期末）函数的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【例4】（2025春 湘阴县期末）函数f（x）＝lnx﹣1的零点是 ．
【知识点2】零点存在定理
零点存在性的判定定理
(1)如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根．
(2)函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标
例1：
【例5】（2025春 龙凤区校级期末）方程2x3+3x﹣6＝0的根所在的区间为（ ）
A．[﹣1，0] B．[0，1] C．[1，2] D．[3，4]
【例6】（2025春 昭通期中）函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【例7】（2025春 玉溪期末）函数f（x）＝8x3+2x﹣17的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【例8】（2025春 天津期末）已知函数f（x）＝x2﹣log0.3x，则该函数的零点所在区间是（ ）
A．（0，0.3） B．（0.3，0.5） C．（0.5，1） D．（1，2）
【知识点3】由零点求参数
由零点求参数
(1)直接法：利用零点存在的判定定理建立不等式．
(2)数形结合法：转化为两个函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围．
(3)分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域问题
例1：
【例9】（2025春 四川期末）“a＝﹣1”是“函数y＝ax2+2x﹣1只有一个零点”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【例10】（2024秋 河西区期末）“a＜﹣1”是“函数f（x）＝2x+a存在零点”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【例11】（2024秋 资阳期末）若函数恰有两个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1]∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪[1，2） D．（﹣1，1]∪（2，+∞）
【例12】（2025春 昆明期末）若函数，有三个零点，则a的取值范围为 ．
【知识点4】二分法
二分法
(1)对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法．
(2)判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．
(3)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
例1：
【例13】（2025 九龙坡区校级二模）用二分法求方程x+lgx﹣3＝0的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（ ）
A．[1，2] B．[2，3] C．[3，4] D．[4，5]
【例14】（2025春 漳州期末）用二分法求函数f（x）＝lnx+x﹣2在区间[1，2]上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【例15】（2025春 汕头月考）用二分法求函数f（x）＝lnx+2x﹣6在区间（2，3）内的零点近似值，若要求精确度为0.1，则所需二分区间的次数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【例16】（2025春 南京校级期中）用二分法研究函数f（x）＝x5+8x3﹣1的零点时，第一次经过计算得f（0）＜0，f（0.5）＞0，则第二次应计算的函数值是 ．
【知识点5】指数函数模型
指数函数模型
（1）涉及平均增长率的问题，求解可用指数型函数模型表示，通常可以表示为（其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间）的形式．
(2)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题，都常用到指数型函数模型．
例1：
【例17】（2024春 蒸湘区校级期中）衡阳五一期间某服装店每天进店消费的人数每天都在变化，设第x（1≤x≤5，x∈N）天进店消费的人数为y，且y与（[t]表示不大于t的最大整数）成正比，第1天有15人进店消费，则第2天进店消费的人数为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【例18】（2025春 成都校级期中）为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量p（mg/L）与时间t（h）的关系为．如果在前18个小时消除了19%的污染物，那么从过滤开始到污染物共减少10%需要花的时间为（ ）
A．8小时 B．9小时 C．10小时 D．11小时
【例19】（2025春 平谷区期末）一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底部匀速漏出，tmin后剩余的沙量（单位：cm3）y＝ae﹣bt．已知经过4min后容器里的细沙还有开始时的，若再经过xmin，容器里的细沙只有开始时的，则x＝（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【例20】（2025春 保定期中）中华茶文化博大精深，实践表明，室温下用100℃的水泡茶，等到茶水温度降至60℃时，有最佳饮用口感，茶水温度y（℃）适放置时间x（分钟）的活数关系式为y＝kax+20（k∈R，0＜a＜1，x≥0），由测试可知a＝0.9，经过1分钟后茶水的温度为92℃．
（1）求常数k的值；
（2）在室温下，刚泡的该茶大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（参考数据：lg3＝0.48，lg2＝0.30）
【知识点6】对数函数模型
对数函数模型
对数函数模型：（为常数，，且）
例1：
【例21】（2025春 汕头期末）音量大小用声强级η（单位：dB）表示，声强级η与声强I（单位：W/m2）的关系是：，其中I0指的是人能听到的最低声强．人能承受的最大声强为1W/m2，对应的声强级为120dB．若学生早读期间读书的声音的声强级范围为[70，80]（单位：dB），则下列选项中错误的是（ ）
A．（单位：W/m2）
B．学生早读期间读书的声强范围为[10﹣5，10﹣4]（单位：W/m2）
C．如果声强变为原来的2倍，则对应声强级也变为原来的2倍
D．如果声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍
【例22】（2025 广州模拟）声强级LI（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：W/m2），轻柔音乐的声强一般在10﹣8～10﹣6W/m2之间，则轻柔音乐的声强级范围是（ ）
A．0～20dB B．20～40dB C．40～60dB D．60～80dB
【例23】（2025 上虞区模拟）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川里氏8.0级地震的（ ）倍（精确到1）
（参考数据：100.5＝3.2，101.5＝31.6，102.5＝316.2，104.8＝63095.7）
A．16 B．32 C．63 D．72
【例24】（2024秋 郫都区校级期末）某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y（单位：万元）是销售利润x（单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元；③销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择：A．y＝kx+b（k＞0）；B．y＝k 1.5x+b（k＞0）；C．y＝klog2（2）+n（k＞0）；
（1）请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；
（2）根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题：
①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？
②总奖金能否超过销售利润的五分之一？
【知识点7】幂函数模型
函数应用题的求解步骤i
(1)审题．
(2)建模．
(3)求模．
(4)还原
例1：
【例25】（2024秋 昭通期末）已知每投放1个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y＝f（x），其中，某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时，它能起到有效去污的作用．
（1）若只投放一次1个单位的洗衣液，求3分钟后水中洗衣液的浓度；
（2）若只投放一次1个单位的洗衣液，则有效去污时间可达多少分钟？
（3）若第一次投放2个单位的洗衣液，14分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第15分钟时（从第一次投放算起），洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由．
【例26】（2024秋 广西月考）近年来随着科技的发展，药物制剂正朝着三效，即高效、速效、长效；以及三小，即毒性小、副作用小、剂量小的方向发展．缓释片是通过一些特殊的技术和手段，使药物在体内持续释放，从而使药物在体内能长时间的维持有效血药浓度，药物作用更稳定持久．某医药研究所研制了一种具有缓释功能的新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第0.5小时起开始起效，第2小时达到最高12微克/毫升，并维持这一最高值直至第4小时结束，接着开始衰退，血液中含药量y（微克）与时间x（小时）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系．
（1）①当0.5≤x≤2时，求y与x之间的函数表达式；
②当x＞4时，求y与x之间的函数表达式；
（2）如果每毫升血液中含药量不低于4微克时有效，求一次服药后的有效时间是多少小时．
【例27】（2025春 常德期末）Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托．现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入c（x）万元．其中c（x）与x之间的关系为：，且函数c（x）的图象过A（3，9），B（6，24），C（82，1054）三点．通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完．
（1）求a，b，c的值，并写出年利润L（x）（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润．
【例28】（2025春 长沙校级月考）某公司的股票在交易市场过去的一个月内（以30天计），第x天每股的交易价格满足函数关系（单位：元），第x天的日交易量Q（x）（万股）的部分数据如下表，给出以下四个函数模型：
①Q（x）＝ax+b；②Q（x）＝a|x﹣m|+b；③Q（x）＝a﹣bx；④Q（x）＝a logbx．
x 10 15 20 25 30
Q（x） 50 55 60 55 50
（1）请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票日交易量Q（x）（万股）与时间第x天的函数关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式；
（2）根据（1）的结论，求出该股票在过去一个月内第x天的日交易额f（x）的函数关系式，并求其最小值．
