北师大版九年级上第2章 一元二次方程 单元测试（含答案）

北师大版九年级上 第2章 一元二次方程 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．3（x+1）2=2（x+1） B．+-2=0
C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x-x2-1=0
2．方程-x2-2x+2=0经过配方后得（　　）
A．（-x-1）2=1 B．（x+1）2=3 C．（x-1）2=3 D．（-x+1）2=-3
3．一元二次方程2x2-5x+3=0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
4．某商品经过两次降价，零售价降为原来的，若两次降价的百分率均为x,则列出方程正确的是（　　）
A． B． C． D．（1-x）2=2
5．已知x1，x2是方程x2+4x-2=0的两个实数根，则的值（　　）
A．-2 B．1 C．0 D．2
6．已知m是方程3x2+2x-1=0的一个根，则代数式3m2+2m+2024的值为（　　）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
7．若代数式3x2-2x+1与-x2+5x-3的值互为相反数，则x的值为（　　）
A．-或-2 B．或2 C．-2或 D．-或2
8．要使方程x2-x=左边能成完全平方式应该在方程的两边都加上（　　）
A．（-）2 B．（-）2 C．（）2 D．（）2
9．已知代数式-ax2+bx的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程-ax2+bx+2=0的解是（　　）
x … -2 -1 0 1 2 3 …
-ax2+bx … -4 -2 0 0 -2 -4 …
A．x1=0，x2=1 B．x1=-1，x2=2
C．x1=-2，x2=2 D．x1=-1，x2=-2
10．已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a（x+2）2+b（x+2）+1=0的两根之和为（　　）
A．3 B．-1 C．1 D．0
11．若一个两位数比它的十位数字与个位数字和的平方少2，且个位数字比十位数字大1，则这个两位数是（　　）
A．23 B．34 C．23或34 D．-23或-34
12．“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配方，即可求出代数式的最大值或最小值．
例：x2+4x+5=x2+4x+22-22+5=（x2+4x+22）-22+5=（x+2）2+1．
∵（x+2）2≥0，
∴（x+2）2+1≥1，即x2+4x+5≥1，
∴x2+4x+5的最小值为1．
参照以上方法，求得代数式x2-3x+2的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
13．若x=m是一元二次方程x2+3x+1=0的解，则2024-4m2-12m的值为 ______．
14．已知a,b是方程x2-3x+2=0的两个根，则数据：4，a,6，b,7的平均数是 ______．
15．若a,b是方程x2+x-3=0的两个实数根，则ab-a-b的值为 ______．
16．关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于x的一元二次方程x2-（2a-1）x+a2-8=0没有实数根，则符合条件的整数a的和为 ______．
17．已知，则（a+b） c=______．
三．解答题（共6小题）
18．解这两个方程．
①x2+2x-1=0；
②x2-3x=0．
19．关于x的方程x2-（m+2）x+（m-1）=0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根为-l,求m的值．
20．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0．那么我们称这个方程为“凤凰”方程．
（1）已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程．且有两个相等的实数根．试求a与c的关系；
（2）已知关于x的方程m（x2+1）-3x2+nx=0是“凤凰”方程，且两个实数根都是整数．求整数m的值．
21．《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来，代表了国家把加强中小学劳动教育摆在更加突出的位置．某中学为了让学生体验农耕劳动，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用20m长的篱笆围成一个矩形菜地ABCD（篱笆只围AB，AD两边）．
（1）若菜地的面积为75m2，求AB的长；
（2）若在直角墙角内点P处有一棵古树，且到墙CD的距离为12m.若要将这棵古树围在矩形菜地内（含边界，不考虑树的粗细），判断该菜地的面积能否为100m2？说明理由．
22．已知关于x的一元二次方程x2-（m+3）x+3m=0．
（1）求证：无论m取什么实数值，该方程总有两个实数根．
（2）若该方程的两实根x1和x2是一个矩形两邻边的长且该矩形的对角线长为，求m的值．
23．阅读下面材料：
若设关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为x1，x2，那么由根与系数的关系得：x1+x2=-，x1x2=．∵，∴=a[x2-（x1+x2）x+x1x2]=a（x-x1）（x-x2）．于是，二次三项式就可以分解因式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）．
（1）请用上面的方法将多项式4x2+8x-1分解因式．
（2）判断二次三项式2x2-4x+7在实数范围内是否能利用上面的方法因式分解，并说明理由．
（3）如果关于x的二次三项式mx2-2（m+1）x+（m+1）（1-m）能用上面的方法分解因式，试求出m的取值范围．
北师大版九年级上第2章一元二次方程单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、A 2、B 3、B 4、A 5、D 6、A 7、C 8、B 9、B 10、B 11、A 12、D
二．填空题（共5小题）
13、2028； 14、4； 15、-2； 16、30； 17、96；
三．解答题（共6小题）
18、解：①x2+2x-1=0，
整理得：x2+2x=1，
配方得：x2+2x+1=1+1，
即（x+1）2=2，
直接开平方得：x+1=±，
解得：x1=-1，x2=--1；
②x2-3x=0，
因式分解得：x（x-3）=0，
解得：x1=0，x2=3．
19、（1）证明：∵Δ=（m+2）2-4（m-1）=m2+8，
在实数范围内，m无论取何值m2+8大于0，
∴方程恒有两个不相等的实数根；
（2）解：将x=-1代入方程x2-（m+2）x+（m-1）=0得1+m+2+（m-1）=0，
解得m=-1．
20、解：（1）由题意得：a+b+c=0，b=-a-c,
∵ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，
∴Δ=b2-4ac=0，
把b=-a-c代入到b2-4ac=0中得：（-a-c）2-4ac=0，
（a-c）2=0，
∴a=c；
（2）m（x2+1）-3x2+nx=0，
（m-3）x2+nx+m=0，
当x=1时，2m-3+n=0，n=3-2m,
Δ=n2-4m（m-3）=n2-4m2+12m=（3-2m）2-4m2+12m=9，
∴x===，
x1=，x2=1，
因为方程两个实数根都是整数，
∴整数m为0或2或4或6．
21、解：（1）设AB的长为x m,则BC=（20-x）m,
由题意得：x（20-x）=75，
整理得：x2-20x+75=0，
解得：x1=5，x2=15，
答：AB的长为5m或15m；
（2）菜地的面积不能为100m2，理由如下：
设AB的长为y m,则BC=（20-y）m,
由题意得：y（20-y）=100，
整理得：y2-20y+100=0，
解得：y1=y2=10，
当y=10时，20-y=10，
即当AB=10m,BC=10m＜12m,这棵树没有被围在菜地里，
∴要将这棵树围在矩形菜地内，菜地的面积不能为100m2．
22、（1）证明：Δ=[-（m+3）]2-4×3m=m2-6m+9=（m-3）2，
因为不论m为何值，（m-3）2≥0，
所以△≥0，
所以无论m取什么实数值，该方程总有两个实数根；
（2）解：根据根与系数的关系得：x1+x2=m+3，x1 x2=3m,
∵该方程的两实根x1和x2是一个矩形两邻边的长且该矩形的对角线长为，
∴x12+x22=10，
∴x12+x22=（x1+x2）2-2 x1 x2=（m+3）2-2 3m=10，
即m2=1，
解得：m1=1，m2=-1，
∵矩形的边长不可能是负数，
∴m2=-1不合题意，舍去，
即m的值为1．
23、解：（1）令4x2+8x-1=0，
∵a=4，b=8，c=-1，b2-4ac=64+16=80＞0，
∴x1=，x2=，
则4x2+8x-1=4（x-）（x-）；
（2）二次三项式2x2-4x+7在实数范围内不能利用上面的方法分解因式，理由如下：
令2x2-4x+7=0，
∵b2-4ac=（-4）2-56=-40＜0，
∴此方程无解，
则此二次三项式不能用上面的方法分解因式；
（3）令mx2-2（m+1）x+（m+1）（1-m）=0，
由此二次三项式能用上面的方法分解因式，即有解，
∴b2-4ac=4（m+1）2-4m（m+1）（1-m）≥0，
化简得：（m+1）[4（m+1）+4m（m-1）]≥0，即4（m+1）（m2+1）≥0，
∵m2+1＞0，∴m+1≥0，解得m≥-1，又m≠0，1-m≠0，
则m≥-1且m≠0且m≠1时，此二次三项式能用上面的方法分解因式．