北师大版九年级上第4章 图形的相似 单元测试（含答案）

北师大版九年级上 第4章 图形的相似 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么它们对应高线的比是（　　）
A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．8：27
2．已知b=2a,则的值为（　　）
A． B． C． D．3
3．如图，△ACP∽△ABC，若∠A=100°，∠ACP=20°，则∠ACB的度数是（　　）
A．80° B．60° C．50° D．30°
4．在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC=2BE，则的值是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF=1：2，那么下列结论中，正确的是（　　）
A．AC：AE=1：3 B．CE：EA=1：3 C．CD：EF=1：2 D．AB：EF=1：2
6．如图，已知直线a∥b∥c,若AB=2，BC=3，EF=2.5，则DE=（　　）
A． B． C． D．
7．两个相似三角形的对应边上的中线比为1：，则它们面积比的为（　　）
A．2：1 B．1：2 C．1： D．：1
8．如图，点D是等边△ABC的边BC上的一点，下面四个条件不能判定△BDF∽△CED是（　　）
A．∠EDF=60° B．
C．DE∥AB，DF∥AC D．
9．如图，在△ABC中，点D，E为边AB的三等分点，点F，G在边BC上，且AC∥DG∥EF，点H为CE与DG的交点．若AC=12，则GH的长为（　　）
A． B．2 C． D．3
10．如图，B，F，C三点共线，AC与BD交于点E，EF∥AB∥DC，若BF：CF=5：7，则的值为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD，DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①AE=FC，②∠PDE=15°，③=，④=，⑤DE2=PF FC，其中正确的为 （　　）
A．①②③ B．①②⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤
12．如图，点P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论：①AH⊥EF；②MF=MC；③EF2=PM PH；④EF的最小值是．其中正确结论的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共5小题）
13．若3x=2y（xy≠0），则= ______．
14．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC和AB上的点，且DE≠BC，请你添加一个条件，使得△ABC与△AED相似，你添加的条件是______（任填一个）．
15．如图，在△ABC中，，则AC的长是 ______．
16．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB=40cm,BD=20cm,AQ=10m,则树高PQ=______m.
17．如图，在等腰△ABC中，，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BC边上的一个动点，以AP为边向右作△APQ∽△ABC，连接DQ，则AD= ______，DQ的最小值为 ______cm.
三．解答题（共5小题）
18．如图，点D，E分别是AB和AC上的点，△ADE∽△ABC，AD=2a cm,DB=a cm,BC=b cm,∠A=70°，∠B=50°．
（1）求∠ADE的度数；
（2）求∠AED的度数；
（3）求DE的长．
19．如图所示，已知△ABE≌△ACD，且AB=AC．
（1）说明△ABE经过怎样的变换后可与△ACD重合；
（2）∠BAD与∠CAE有何关系？请说明理由；
（3）BD与CE相等吗？为什么？
20．如图，在菱形ABCD中，DE⊥BC交BC的延长线于点E，连结AE交BD于点F，交CD于点G，连结CF．
（1）求证：AF2=EF GF；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，求FG的长．
21．如图，已知在△ABC中，∠C=90°，BC=6cm,AC=8cm,点P从点B开始沿BA边向点A以2cm/s的速度移动，同时点Q从点A开始沿AC边向点C以1cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．设运动时间为t s.
（1）当t=______时△PAQ与△ABC相似；
（2）当△PAQ的面积等于时，求t的值．
22．如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在边CD延长线上，且满足∠MAN=90°，联结MN，AC，MN与边AD交于点E．
（1）求证：AM=AN；
（2）如果∠CAD=2∠NAD，求证：AM2=AB AE；
（3）MN交AC点O，若=k,则=______（直接写答案、用含k的代数式表示）．
北师大版九年级上第4章图形的相似单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、A 2、D 3、B 4、C 5、A 6、B 7、B 8、D 9、B 10、B 11、D 12、C
二．填空题（共5小题）
13、； 14、∠AED=∠ACB（∠AED=∠ABC或=或=或DE∥BC）； 15、6； 16、5； 17、；；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）∵∠A=70°，∠B=50°，
∴∠C=60°，
∵△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B=50°，
（2）∵△ADE∽△ABC，
∴∠AED=∠C=70°；
（3）∵△ADE∽△ABC，
∴，
∵AD=2a cm,DB=a cm,
∴AB=3a cm,
∴DE=b,
19、解：（1）：（Ⅰ）沿BE边上的高向右翻折即可得到．
（Ⅱ）沿过E（B）点垂直BE所在的直线向右（左）翻折，再向右（左）平移即可得到△ACD
（2）∠BAD=∠CAE．
∵△ABE≌△ACD，
∴∠BAE=∠CAD，
∴∠BAE-∠DAE=∠CAD-∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
（3）BD=CE，
∵△ABE≌△ACD，
∴BE=CD，
∴BE-DE=CD-DE，
∴BD=CE．
20、（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠ABF=∠CBF，
∵BF=BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF=CF．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD=∠BCD，AD∥BE，
∴∠DAF=∠FEC，
∵△ABF≌△CBF，
∴∠BAF=∠BCF，
∴∠DAF=∠DCF，
∴∠GCF=∠CEF，
∵∠CFG=∠EFC，
∴△CFG∽△EFC，
∴，
∴CF2=EF GF，
∵AF=CF，
∴AF2=EF GF．
（3）解：∵∠BAD=120°，
∴∠DCE=60°，
∵菱形边长为2，
∴CD=AD=2，
∵DE⊥BC，
∴∠ADE=∠CED=90°，
∴∠CDE=30°，
∴CE==1，DE=，
∴AE==，BE=BC+CE=2+1=3，
∵AD∥BE，
∴△FAD∽△FEB，△GAD∽△GEC，
∴=，=，
∴AF==，AG=AE=，
∴FG=AG-AF=-=．
21、解：在△ABC中，∠C=90°，
∵BC=6cm,AC=8cm,
∴AB==10（cm），
设运动时间为t秒，则BP=2t cm,AP=AB-BP=（10-2t）cm,AQ=t cm,
（1）当△APQ∽△ABC时，=，
∴=，
解得：t=；
当△AQP∽△ABC时，=，
∴=，
解得：t=．
答：秒或秒后，△PAQ与△ABC相似
故答案为：或；
（2）如图，过点P作PD⊥AC于点D，
∴PD∥BC，
∴△APD∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴PD=（10-2t），
∵△PAQ的面积等于，
∴AQ PD=，
∴t （10-2t）=，
整理得：t2-5t+6=0，
∴t1=2或t2=3，
∴t的值为2或3．
22、证明（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠CAD=∠ACB=45°，∠BAD=∠CDA=∠B=90°，
∴∠BAM+∠MAD=90°，
∵∠MAN=90°，
∴∠MAD+∠DAN=90°，
∴∠BAM=∠DAN，
∵AD=AB，∠ABC=∠ADN=90°，
∴△ABM≌△ADN（ASA），
∴AM=AN．
（2）∵AM=AN，∠MAN=90°，
∴∠MNA=45°，
∵∠CAD=2∠NAD=45°，
∴∠NAD=22.5°
∴∠CAM=∠MAN-∠CAD-∠NAD=22.5°
∴∠CAM=∠NAD，∠ACB=∠MNA=45°，
∴△AMC∽△AEN，
∴，
∴AM AN=AC AE，
∵AN=AM，AC=AB，
∴AM2=AB AE；
（3）=．
理由：如图，过点M作MF∥AB交AC于点F，
设BM=a,
∵=k,
∴BM=a,BC=（k+1）a,
即ND=BM=a,AB=CD=BC=（k+1）a,
∵MF∥AB∥CD，
∴，
∴MF=ka,
∴==．
故答案为：．