2 简谐运动的描述
[教材链接] (1)平衡位置 米(m) 振动幅度大小 (2)振动过程 相同的 (3)①一次全振动 秒(s) ②全振动 赫兹(Hz) ③ ⑤反比 正比 (4)①简谐 ②t=0 ③频率
例1 BC [解析] 小球从O向左到B再回到O,只完成半个全振动,选项A错误;从A到B,小球也只完成了半个全振动,半个全振动的时间是 2 s,所以振动周期是4 s,小球离开平衡位置的最大距离为10 cm,则振幅A=10 cm,选项B正确;t=6 s=T,所以小球通过的路程为4A+2A=6A=60 cm,选项C正确;从O开始经过3 s,小球处在位置A或B,选项D错误.
变式1 A [解析] 已知甲的心率为每分钟60次,则甲的心动周期是T甲== s=1 s,可知其图纸移动的速率是v= mm/s=25 mm/s,则有乙的心动周期是T乙= s= s,则有乙的心率为f乙==次/秒=1.25次/秒=75次/分钟,故选A.
[物理建模] (1)位移、振幅、圆频率、初相位、相位
(2)ω=
例2 C [解析] 根据甲的振动方程可知它的振幅是3a,故A错误;根据振动图像可看出甲、乙做简谐运动的周期均为T=0.4 s,则它的频率是2.5 Hz,故B错误;已知甲的振动方程为x = 3asin (5πt),根据图像可知乙的振动方程为x=3asin 5πt-,则t = 0时,甲、乙的相位差是,故C正确,D错误.
变式2 (1) s 4 Hz 5 cm (2)π
[解析] (1)由题意知ω=8π rad/s
振幅A=5 cm,初相φ1=
由ω=得T= s
则f==4 Hz
(2)它们的相位差
Δφ=(ωt+φ2)-(ωt+φ1)=φ2-φ1=π-=π
[科学探究] (1)相等,即tCA=tAC.(2)相等,即tAC=tDB.
(3)速度大小相等,方向相反.
(4)速度大小相等,方向可能相同,也可能相反.
例3 B [解析] 因质点通过M,N两点速度相同,说明M,N两点关于平衡位置对称,由时间的对称性可知,平衡位置O到N点的时间t1==0.5 s.又因质点通过N点后再经过1 s,第二次经过该点,则质点由N到右侧最大位移处的时间t2=0.5 s,故=2t1+2t2=2 s,即T=4 s,由过程的对称性可知,质点在这2 s内通过的路程恰为2A,即2A=12 cm,A=6 cm,故B项正确.
变式3 AC [解析] 振子通过O点的速度方向有两种可能,一种是从O指向M,另一种是从O点背离M.利用简谐运动的对称性找出周期与运动时间的关系.如图甲所示,O为平衡位置,设OB(OC)代表振幅,若振子开始从平衡位置向M运动,从O到C所需时间为,因为简谐运动具有对称性,所以振子从M到C所用时间和从C到M所用时间相等,故=0.3 s+=0.4 s,解得T=1.6 s.则振子第三次到达M点还要经过的时间为t=1.6 s-0.2 s=1.4 s.
如图乙所示,若振子一开始从平衡位置背离M向B运动,设M'与M关于O点对称,则振子从M'经B回到M'所用的时间与振子从M经C回到M所用的时间相等,即0.2 s.振子从O到M'和从M'到O及从O到M所需时间相等,为= s.则振子第三次到达M点还要经过的时间为t'=0.2 s+×4 s= s.
随堂巩固
1.CD [解析] 由题可知,B、C间距离为10 cm,B→C运动时间为1 s,则振幅A=5 cm,周期为2 s,故A错误;从B→O→C振子通过的路程是两个振幅,不是一次全振动,故B错误;经过两次全振动,振子通过的路程s=8A=40 cm,C正确;从B开始经过3 s,振子振动了1.5个周期,此时振子在C点,振子通过的位移大小是10 cm,故D正确.
2.A [解析] 由题意知A1=4 cm,A2=2 cm,ω1=4π rad/s,ω2=2π rad/s,则A1∶A2=2∶1,f1∶f2=ω1∶ω2=2∶1,故A正确,B、C、D错误.
3.CD [解析] 由题意可知振幅为0.1 m,圆频率ω=2.5π rad/s,故周期T== s=0.8 s,故A、B错误;在t=0.2 s时,x=0.1 m,即振子的位移最大,速度最小,为零,故C正确;两弹簧振子的相位差Δφ=φ2-φ1=2.5πt+-2.5πt=,即B的相位超前A的相位,或者说A的相位滞后B的相位,故D正确.
4.B [解析] 若t和两时刻振子运动位移的大小相等、方向相同,则这两时刻振子出现在同一位置上,而每一个周期内,振子两次出现在同一个位置上,所以当速度方向相同时,Δt等于T的整数倍,当速度方向相反时,Δt不等于T的整数倍,A错误;若Δt=T,则在t和两时刻振子所处位置一定相同,故此时加速度一定相等,B正确;若t和两时刻振子运动速度的大小相等、方向相同,则Δt可能等于的整数倍,也可能大于的整数倍,还有可能小于的整数倍,C错误;若Δt=,则在t和两时刻,则振子的位置关于平衡位置对称或均处于平衡位置,故弹簧长度不一定相等,D错误.2 简谐运动的描述
1.B [解析] 振幅是标量,故A错误;周期与频率互为倒数,即T·f=1 ,故B正确;简谐运动的周期与振幅没有关系,周期的长短由系统本身决定,故C、D错误.
2.A [解析] 物体振动的周期为T== s=0.8 s,振动的频率为f==1.25 Hz,选项A正确.
3.BCD [解析] 由题图可知,物体的振动周期为T=4×10-2 s,A错误;在第2个10-2 s内,即在1×10-2 s到2×10-2 s内物体由正向的10 cm处到达平衡位置,故位移为x=0-10 cm=-10 cm,B正确;频率f== Hz=25 Hz,C正确;由题图可知,物体的振幅为10 cm,D正确.
4.A [解析] 由题意可知ω==2πf=8π rad/s,由图可知振幅A=0.3 m,t=0时刻P位于负向最大位移处,则P偏离平衡位置的位移x随时间t的变化可表示为x=Asin =0.3sin 8πt-(m),故选A.
5.D [解析] 弹簧振子在第1 s末与第3 s末的位移分别为x1=2cos cm= cm,x3=2cos ×3- cm=- cm,弹簧振子在第1 s末与第3 s末相对平衡位置的位移不相同,弹簧振子不在同一位置,弹簧的长度不相同,A、C错误;根据题意得= ,解得T=4 s,B错误;t= s时,弹簧振子的位移为x4=2cos ×- cm=0,t= s时,振子的位移等于零,表明振子在平衡位置处,加速度方向发生变化,D正确.
6.D [解析] 由题意知,从M位置沿着原路返回到起始最大位移处要用的时间也为0.3 s,故完成一个全振动的时间为T=0.3 s+0.2 s+0.3 s=0.8 s,故频率为f==1.25 Hz,D正确.
7.AD [解析] 若小球从O点开始向指向P点的方向振动,作出示意图如图甲所示,则小球的振动周期为T1=(0.5+0.1)×4 s=2.4 s,则该小球再经过时间Δt=T1-0.2 s=2.2 s,第三次经过P点;若小球从O点开始向背离P点的方向振动,作出示意图如图乙所示,则有0.5 s+0.1 s=T2,小球的振动周期为T2=0.8 s,则该小球再经过时间Δt'=T2-0.2 s=0.6 s,第三次经过P点,B、C错误,A、D正确.
8.BC [解析] 由图可知振幅A=0.5 m,周期T=8 s,则=7,所以0~60 s内的路程为s=7×4A+2A=30A=15 m,故A错误;t=0时,振子在平衡位置,所以经过7T,振子也在平衡位置,则0~60 s内的位移为零,故B正确;第3 s末与第5 s末振子的位置关于平衡位置对称,速度大小相等,方向均沿x轴负方向,故C正确;第3 s末与第5 s末的加速度大小相等,方向相反,故D错误.
9.C [解析] 小球运动到B点时开始计时,t=0.5 s时小球第一次到达C点,历时半个周期,故周期为T=1 s,故A错误;振幅为偏离平衡位置的最大距离,故振幅为A=10 cm,故B错误;t=0时刻,x=A,代入题中位移表达式可得φ0=,故C正确;位移表达式为x=10sin 2πt+ cm,将t=0.125 s,代入表达式可得t=0.125 s时小球的位移为5 cm,故D错误.
10.B [解析] 由图可知,影子P做简谐运动的振幅为R,以向上为正方向,设P的振动方程为x=Rsin (ωt+φ),由图可知,当t=0时,P的位移为R,代入振动方程解得φ=,则P做简谐运动的表达式为x=Rsin ,故B正确.
11.B [解析] 作出示意图如图甲所示,若从O点开始向C振动,因为简谐运动具有对称性,所以小球从M到C所用的时间与从C到M所用的时间相等,则 s=,解得T1=2.4 s;如图乙所示,若从O点开始向B振动,设M'与M关于O点对称,则小球从M'经B回到M'所用的时间与小球从M经C回到M所用的时间相等,即0.2 s,小球从O到M'和从M'到O及从O到M所用的时间相等,则0.5 s+ s=T2,解得T2=0.8 s,故B正确,A、C、D错误.
12.(1) (2)6 cm
[解析] (1)设简谐运动的位移表达式为
x=Asin (ωt+φ)
由题意可知,A=12 cm,T=2 s,ω=
t=0时,x=6 cm
代入上式得6 cm=12sin (0+φ) cm
解得sin φ=,φ=或π
因这时物体沿x轴正方向运动,故应取φ=,即其初相位为.
(2)由上面结果可得
x=Asin (ωt+φ)=12sin cm
故t=0.5 s时物体的位移
x=12sin cm=6 cm.
13.AD [解析] 若振幅为0.1 m,根据题意可知T=1 s(n=0,1,2,3,…),解得T= s(n=0,1,2,3,…),当n=1时,T= s,当T= s时,n不为整数,故A正确,B错误.若振幅为0.2 m,则有1 s=+nT(n=0,1,2,3,…)①,或者1 s=T+nT(n=0,1,2,3,…)②,或者1 s=+nT(n=0,1,2,3,…)③,对于①式,当T=4 s或T=6 s时,n不为整数;对于②式,当T=4 s或T=6 s时,n不为整数,对于③式,当T=4 s时,n不为整数,当T=6 s时,n=0,为整数,故C错误,D正确.
14.(1)1.0 s (2)200 cm (3)x=12.5sin 2πt(cm) 如图所示
[解析] (1)根据简谐运动的对称性可得
T=0.5×2 s=1.0 s
(2)若B、C之间距离为25 cm,则振幅
A=×25 cm=12.5 cm
振子4.0 s内通过的路程
s=×4×12.5 cm=200 cm
(3)根据x=Asin ωt,A=12.5 cm,ω==2π rad/s
可得x=12.5sin 2πt(cm)
振动图像如图所示2 简谐运动的描述
学习任务一 描述简谐运动的物理量
[教材链接] 阅读教材,完成下列填空.
(1)振幅:振动物体离开 的最大距离,叫作振动的振幅,用A表示,单位是 .振幅是表示 的物理量,是标量.
(2)全振动:一个完整的 称为一次全振动.以任何位置作为开始研究的起点,完成一次全振动所需的时间总是 .
(3)周期和频率
①周期:做简谐运动的物体完成 所需的时间,叫作振动的周期,用T表示,单位是 .
②频率:物体完成 的次数与所用时间之比叫作振动的频率,用f表示,单位是 .
③周期和频率的关系:f= .
④物理意义:周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量,周期越小,频率越大,表示振动越快.
⑤圆频率:表示简谐运动的快慢,它与周期成 ,与频率成 ,它们之间的关系为ω==2πf.
(4)相位
①相位:物理学中把(ωt+φ)叫作相位,代表了做 运动的物体此时正处于一个运动周期中的哪个状态.
②初相位: φ是 时的相位,称作初相位,或初相.
③相位差:两个具有相同 的简谐运动的相位的差值,Δφ=φ1-φ2,其中φ1>φ2.
例1 (多选)[2024·重庆一中月考] 如图所示,弹簧振子在A、B间做简谐运动,O为平衡位置,A、B间的距离是20 cm,小球由A第一次运动到B的时间是2 s,则 ( )
A.从O向左到B再回到O,小球做了一次全振动
B.振动周期为4 s,振幅是10 cm
C.从B开始经过6 s,小球通过的路程是60 cm
D.从O开始经过3 s,小球回到平衡位置
[反思感悟]
变式1 心电图是现代医疗诊断的重要手段,医生通过测量心电图上相邻两波峰的时间间隔(即心动周期),就可以计算出1分钟内心脏跳动的次数(即心率).如图所示是甲、乙两人在同一台心电图机上做出的心电图.医生通过测量后获知甲的心率每分钟60次,由此可推断出其图纸移动的速率以及乙的心率为 ( )
A.25 mm/s、每分钟75次 B.25 mm/s、每分钟48次
C.20 mm/s、每分钟75次 D.20 mm/s、每分钟48次
【要点总结】
个周期内路程与振幅的关系
(1)振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅A.只有当初始时刻振动物体在平衡位置或最大位移处时,振动物体在个周期内的路程才等于一个振幅.
(2)当初始时刻振动物体不在平衡位置或最大位移处时,若质点开始时运动的方向指向平衡位置,则质点在个周期内的路程大于A,若质点开始时运动的方向远离平衡位置,则质点在个周期内的路程小于A.
学习任务二 简谐运动的表达式x=Asin (ωt+φ)的应用
[物理建模] 我们知道简谐运动的位移随时间按正弦函数规律变化,在数学课上(如图所示的一幅图很熟悉吧),我们学习过正弦函数y=Asin (ωt+φ0).
(1)y、A、ω、φ0、ωt+φ0分别表示什么物理量
(2)圆频率ω与周期T有何关系
例2 [2025·河南南阳高二期末] 如图所示为甲、乙两个质点做简谐运动的振动图像,实线为甲的振动图像,虚线为乙的振动图像,其中甲的振动方程x=3asin (5πt).下列说法中正确的是 ( )
A.它的振幅是3
B.它的频率是5π
C.t = 0时,甲、乙的相位差是
D.t = 0时,甲、乙的相位差是
变式2 一个小球和轻质弹簧组成的系统,其位移遵循x1=5sin cm的规律.
(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相;
(2)另一简谐运动表达式为x2=5sin 8πt+π cm,求它们的相位差.
【要点总结】
对表达式x=Asin(ωt+φ)的理解
(1)由于ω==2πf,所以表达式也可写为x=Asin或x=Asin(2πft+φ).
(2)相位ωt+φ表示质点在t时刻所处的一个状态.
(3)若两个简谐运动的表达式分别为x1=A1sin(ωt+φ1),x2=A2sin(ωt+φ2),则相位差为Δφ=φ2-φ1.
当Δφ=0时,两振动质点振动步调一致.
当Δφ=π时,两振动质点振动步调完全相反.
学习任务三 对简谐运动对称性的理解和应用
[科学探究] 简谐运动的位移按正弦函数规律变化,正弦函数在时间上具有周期性,在空间上具有对称性.如图所示,质点在E与F两点间做简谐运动,O点为平衡位置,A和B两点及C和D两点关于O点对称,试分析:
(1)质点来回通过A、C两点间所用的时间有何关系
(2)质点经过AC和DB两线段所用的时间有何关系
(3)质点连续两次经过D点的速度有何关系
(4)质点经过关于O点对称的两点(如C点与D点)的速度有何关系
例3 如图所示,一质点做简谐运动,先后以相同的速度依次通过M、N两点,历时1 s,质点通过N点后再经过1 s又第2次通过N点,在这2 s内质点通过的总路程为12 cm.则质点的振动周期和振幅分别为 ( )
A.3 s,6 cm
B.4 s,6 cm
C.4 s,9 cm
D.2 s,8 cm
变式3 (多选)[2025·辽宁实验中学高二月考] 一弹簧振子做简谐运动,O点为平衡位置,当它经过O点时开始计时,经过0.3 s第一次到达M点,再经过0.2 s第二次到达M点,则弹簧振子第三次到达M点还要经过的时间可能为 ( )
A. s B. s C.1.4 s D.1.6 s
【要点总结】
1.周期性造成多解:物体经过同一位置可以对应不同的时刻,物体的位移、加速度相同,而速度可能相同,也可能等大反向,这样就形成简谐运动的多解问题.
2.对称性造成多解:由于简谐运动具有对称性,因此当物体通过两个对称位置时,其位移、加速度大小相同,而速度可能相同,也可能等大反向,这种也形成多解问题.
1.(简谐运动的描述)(多选)如图所示,弹簧振子在B、C间做简谐运动,O为平衡位置,B、C间距离是10 cm,B→C运动时间是1 s,则 ( )
A.振动周期是1 s,振幅是10 cm
B.从B→O→C振子做一次全振动
C.经过两次全振动,振子通过的路程是40 cm
D.从B开始经过3 s,振子通过的位移大小是10 cm
2.(简谐运动表达式的理解)[2024·山东实验中学月考] 两个简谐运动的表达式分别为x1=4sin 4πt(cm)和x2=2sin 2πt(cm),它们的振幅之比、频率之比分别是 ( )
A.2∶1,2∶1 B.1∶2,1∶2
C.2∶1,1∶2 D.1∶2,2∶1
3.(简谐运动的表达式)(多选)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x=0.1sin 2.5πt,位移x的单位为m,时间t的单位为s.则 ( )
A.弹簧振子的振幅为0.2 m
B.弹簧振子的周期为1.25 s
C.在t=0.2 s时,振子的运动速度为零
D.若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x=0.2sin 2.5πt+ m,则A的相位滞后B的相位
4.(简谐运动的周期性与对称性)[2024·清华附中月考] 一水平弹簧振子做简谐运动,周期为T.下列说法正确的是 ( )
A.若t和两时刻振子运动位移的大小相等、方向相同,则Δt一定等于T的整数倍
B.若Δt=T,则在t和两时刻,振子运动的加速度一定相等
C.若t和两时刻振子运动速度的大小相等、方向相同,则Δt一定等于的整数倍
D.若Δt=,则在t和两时刻,弹簧的长度一定相等2 简谐运动的描述 (时间:40分钟 总分:68分)
(选择题每小题4分)
◆ 知识点一 描述简谐运动的物理量
1.下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是 ( )
A.振幅是矢量,方向从平衡位置指向最大位移处
B.周期和频率的乘积是一个常数
C.振幅增加,周期必然增加,而频率减小
D.做简谐运动的物体,其频率与振幅成正比
2.做简谐运动的物体在24 s的时间内完成30次全振动,振动的周期和频率分别为 ( )
A.0.8 s和1.25 Hz
B.1.25 s和0.8 Hz
C.1.2 s和0.85 Hz
D.0.85 s和1.25 Hz
3.(多选)如图所示是一做简谐运动的物体的振动图像,下列说法正确的是 ( )
A.物体的振动周期是2×10-2 s
B.第2个10-2 s内物体的位移是-10 cm
C.物体的振动频率为25 Hz
D.物体的振幅是10 cm
◆ 知识点二 简谐运动的表达式
4.艺术体操运动员以频率 f=4 Hz上下抖动长绸带的一端,绸带自左向右呈现波浪状起伏.t=0 时刻,绸带形状如图所示(符合正弦函数图像特征).P为绸带上的一点,其偏离平衡位置的位移x随时间t的变化可表示为 ( )
A.x=0.3sin (m)
B.x=30sin (m)
C.x=0.3sin (m)
D.x=0.3sin (m)
5.[2024·黑龙江哈尔滨期末] 某弹簧振子在水平方向上做简谐运动,其位移x随时间t变化的函数关系式为x=2cos cm,下列说法正确的是 ( )
A.弹簧在第1 s末与第3 s末的长度相同
B.简谐运动的周期为2 s
C.第3 s末振子的位移为 cm
D.t= s时,振子的加速度方向发生变化
◆ 知识点三 简谐运动的对称性和周期性
6.一质点做简谐运动,它从最大位移处经0.3 s第一次到达某点M处,再经0.2 s第二次到达M点,则其振动频率为 ( )
A.0.4 Hz B.0.8 Hz
C.2.5 Hz D.1.25 Hz
7.(多选)小球做简谐运动,若从平衡位置O开始计时,经过0.5 s,小球第一次经过P点,又经过0.2 s,小球第二次经过P点,则再过多长时间该小球第三次经过P点 ( )
A.0.6 s B.2.4 s
C.0.8 s D.2.2 s
8.(多选)[2025·湖北荆州中学高二月考] 某弹簧振子在水平方向上做简谐运动,其振动图像如图所示,则振子在 ( )
A.0~60 s内的路程为20 m
B.0~60 s内的位移为零
C.第3 s末与第5 s末的速度相同
D.第3 s末与第5 s末的加速度相同
9.[2025·湖北黄冈中学高二月考] 如图所示,小球以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动,B、C相距20 cm.小球运动到B点时开始计时,t=0.5 s时小球第一次到达C点.若小球偏离平衡位置的位移随时间的变化规律满足x=Asin ,则下列说法正确的是 ( )
A.周期T=0.5 s
B.振幅A=20 cm
C.φ0=
D.t=0.125 s时,小球的位移为5 cm
10.[2021·江苏卷] 如图所示,半径为R的圆盘边缘有一钉子B,在水平光线下,圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P,以O为原点在竖直方向上建立x坐标系.t=0时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘,角速度为ω,则P做简谐运动的表达式为 ( )
A.x=Rsin
B.x=Rsin
C.x=2Rsin
D.x=2Rsin
11.[2024·福建福州一中月考] 弹簧振子做简谐运动,O为平衡位置,当它经过点O时开始计时,经过0.5 s,小球第一次到达点M,再经过0.2 s第二次到达点M,则弹簧振子的周期可能为 ( )
A.0.6 s
B.0.8 s
C.1.2 s
D.1.8 s
12.(10分)一物体沿x轴做简谐运动,振幅为12 cm,周期为2 s.当t=0时,位移为6 cm,且沿x轴正方向运动,求:
(1)(4分)初相位;
(2)(6分)t=0.5 s时物体的位移.
13.(多选)一小球沿x轴做简谐运动,平衡位置在坐标原点.t=0时小球的位移为-0.1 m,t=1 s时位移为0.1 m,下列说法正确的是 ( )
A.若振幅为0.1 m,则周期可能为 s
B.若振幅为0.1 m,则周期可能为 s
C.若振幅为0.2 m,则周期可能为4 s
D.若振幅为0.2 m,则周期可能为6 s
14.(10分)某弹簧振子以O点为平衡位置,在B、C两点间做简谐运动,在t=0时刻,小球从O、B间的P点以速度v向B点运动;在t=0.2 s时刻,小球速度第一次变为-v;在t=0.5 s时,小球速度第二次变为-v.
(1)(3分)求弹簧振子的振动周期T;
(2)(3分)若B、C之间的距离为25 cm,求小球在4 s内通过的路程;
(3)(4分)若B、C之间的距离为25 cm,从平衡位置开始计时,写出弹簧振子的位移表达式,并画出弹簧振子的振动图像.(共69张PPT)
2 简谐运动的描述
学习任务一 描述简谐运动的物理量
学习任务二 简谐运动的表达式
的应用
学习任务三 对简谐运动对称性的理解和应用
备用习题
随堂巩固
练习册
◆
答案核查【导】
答案核查【练】
学习任务一 描述简谐运动的物理量
［教材链接］ 阅读教材，完成下列填空.
(1) 振幅:振动物体离开__________的最大距离,叫作振动的振幅,用 表示,单位是
_______.振幅是表示______________的物理量,是标量.
(2) 全振动:一个完整的__________称为一次全振动.以任何位置作为开始研究的
起点,完成一次全振动所需的时间总是________.
平衡位置
米
振动幅度大小
振动过程
相同的
［教材链接］ 阅读教材，完成下列填空.
(3) 周期和频率
① 周期:做简谐运动的物体完成____________所需的时间,叫作振动的周期,用
表示,单位是______.
② 频率:物体完成________的次数与所用时间之比叫作振动的频率,用 表示,单
位是_________.
③ 周期和频率的关系: __.
一次全振动
秒
全振动
赫兹
④物理意义:周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量,周期越小,频率越大,表
示振动越快.
⑤ 圆频率：表示简谐运动的快慢，它与周期成______，与频率成______，它们
之间的关系为 .
反比
正比
［教材链接］ 阅读教材，完成下列填空.
(4) 相位
① 相位:物理学中把 叫作相位，代表了做______运动的物体此时正处
于一个运动周期中的哪个状态.
② 初相位: 是______时的相位，称作初相位，或初相.
③ 相位差：两个具有相同______的简谐运动的相位的差值， ，其
中 .
简谐
频率
例1 (多选)［2024·重庆一中月考］ 如图所示,弹簧振子在、间做简谐运动,
为平衡位置,、间的距离是,小球由第一次运动到的时间是 ,则
( )
A.从向左到再回到 ,小球做了一次全振动
B.振动周期为,振幅是
C.从开始经过,小球通过的路程是
D.从开始经过 ,小球回到平衡位置
√
√
[解析] 小球从向左到再回到,只完成半个全振动,选项A错误;从到 ,小球也
只完成了半个全振动,半个全振动的时间是,所以振动周期是 ,小球离开平衡
位置的最大距离为，则振幅,选项B正确; ,所以
小球通过的路程为,选项C正确;从开始经过 ,小球处在
位置或 ,选项D错误.
变式1 心电图是现代医疗诊断的重要手段，医生通过测量心电图上相邻两波峰
的时间间隔(即心动周期)，就可以计算出1分钟内心脏跳动的次数(即心率).如图
所示是甲、乙两人在同一台心电图机上做出的心电图.医生通过测量后获知甲的
心率每分钟60次，由此可推断出其图纸移动的速率以及乙的心率为( )
A.、每分钟75次 B. 、每分钟48次
C.、每分钟75次 D. 、每分钟48次
√
[解析] 已知甲的心率为每分钟60次，则甲的心动周期是 ，
可知其图纸移动的速率是 ，则有乙的心动周期是
，则有乙的心率为次/秒次/秒 次/分钟，
故选A.
【要点总结】
个周期内路程与振幅的关系
(1)振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅.只有当初始时刻振动物体
在平衡位置或最大位移处时，振动物体在个周期内的路程才等于一个振幅.
(2)当初始时刻振动物体不在平衡位置或最大位移处时，若质点开始时运动的方
向指向平衡位置，则质点在个周期内的路程大于，若质点开始时运动的方向
远离平衡位置，则质点在个周期内的路程小于.
学习任务二 简谐运动的表达式 的应用
［物理建模］ 我们知道简谐运动的位移随时间按正弦函数规律变化,在数学课
上(如图所示的一幅图很熟悉吧),我们学习过正弦函数 .
(1) 、、 、、 分别表示什么物理量
[答案] 位移、振幅、圆频率、初相位、相位
［物理建模］ 我们知道简谐运动的位移随时间按正弦函数规律变化,在数学课
上(如图所示的一幅图很熟悉吧),我们学习过正弦函数 .
(2) 圆频率 与周期 有何关系？
[答案]
例2 ［2025·河南南阳高二期末］ 如图所示为甲、乙两个质点做简谐运动的振
动图像，实线为甲的振动图像，虚线为乙的振动图像，其中甲的振动方程
.下列说法中正确的是( )
A.它的振幅是3
B.它的频率是
C.时，甲、乙的相位差是
D.时，甲、乙的相位差是
√
[解析] 根据甲的振动方程可知它的振幅是 ，故A错误；根据振动图像可看出
甲、乙做简谐运动的周期均为，则它的频率是 ，故B错误；已知
甲的振动方程为 ，根据图像可知乙的振动方程为
，则时，甲、乙的相位差是 ，故C正确，D错误.
变式2 一个小球和轻质弹簧组成的系统,其位移遵循 的
规律.
(1) 求该振动的周期、频率、振幅和初相;
[答案] ; ; ;
[解析] 由题意知
振幅,初相
由得
则
变式2 一个小球和轻质弹簧组成的系统,其位移遵循 的
规律.
(2) 另一简谐运动表达式为 ,求它们的相位差.
[答案]
[解析] 它们的相位差
【要点总结】
对表达式的理解
(1)由于,所以表达式也可写为或
.
(2)相位 表示质点在时刻所处的一个状态.
(3)若两个简谐运动的表达式分别为,,则
相位差为.
当时,两振动质点振动步调一致.
当 时,两振动质点振动步调完全相反.
学习任务三 对简谐运动对称性的理解和应用
［科学探究］ 简谐运动的位移按正弦函数规律变化，正弦函数在时间上具有周
期性，在空间上具有对称性.如图所示,质点在与两点间做简谐运动, 点为平
衡位置,和两点及和两点关于 点对称,试分析：
(1) 质点来回通过、 两点间所用的时间有何关系？
[答案] 相等,即 .
(2) 质点经过和 两线段所用的时间有何关系？
[答案] 相等,即 .
［科学探究］ 简谐运动的位移按正弦函数规律变化，正弦函数在时间上具有周
期性，在空间上具有对称性.如图所示,质点在与两点间做简谐运动, 点为平
衡位置,和两点及和两点关于 点对称,试分析：
(3) 质点连续两次经过 点的速度有何关系？
[答案] 速度大小相等,方向相反.
(4) 质点经过关于点对称的两点(如点与 点)的速度有何关系？
[答案] 速度大小相等,方向可能相同,也可能相反.
例3 如图所示,一质点做简谐运动,先后以相同的速度依次通过、 两点,历时
,质点通过点后再经过又第2次通过点,在这 内质点通过的总路程为
.则质点的振动周期和振幅分别为( )
A., B., C., D.,
[解析] 因质点通过,两点速度相同,说明, 两点关于平衡位置对称,由时间的
对称性可知,平衡位置到点的时间.又因质点通过 点后再经过
,第二次经过该点,则质点由到右侧最大位移处的时间 ,故
,即,由过程的对称性可知,质点在这 内通过的路程恰
为,即, ,故B项正确.
√
变式3 (多选)［2025·辽宁实验中学高二月考］ 一弹簧振子做简谐运动， 点为
平衡位置，当它经过点时开始计时，经过第一次到达点，再经过 第
二次到达点，则弹簧振子第三次到达 点还要经过的时间可能为( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 振子通过点的速度方向有两种可能，一种是从指向，另一种是从
点背离.利用简谐运动的对称性找出周期与运动时间的关系.如图甲所示，
为平衡位置，设代表振幅，若振子开始从平衡位置向运动，从
到 所需时间为，因为简谐运动具有对称性，所以振子从到所用时间和
从到 所用时间相等，故，解得.则振子第
三次到达 点还要经过的时间为
如图乙所示，若振子一开始从平衡位置背离向运动，设与关于 点对称，
则振子从经回到所用的时间与振子从经回到 所用的时间相等，即
.振子从到和从到及从到所需时间相等，为 .则
振子第三次到达点还要经过的时间为 .
【要点总结】
1.周期性造成多解：物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加
速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问
题.2.对称性造成多解：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位
置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这种也
形成多解问题.
1.(多选)如图所示，小球在、之间做简谐运动，为的中点，、 间的距
离为 ，则下列说法正确的是( )
A.小球的最大位移是
B.只有在、两点时，小球的振幅是，在 点时，小球的振幅是0
C.无论小球在哪个位置，它的振幅都是
D.从任意时刻起，一个完整的振动过程内小球经过的路程都是
√
√
[解析] 小球位移的起点是点，小球经过点或 点时位移最大，最大位移为
，故A错误；小球做简谐运动，振幅不变，由题意知，振幅 ，故B
错误，C正确；根据对称性和周期性可知，从任意时刻起，一个完整的振动过
程内小球经过的路程都是4倍振幅，即 ，故D正确.
2.(多选)有两个简谐运动的振动方程分别是 ,
,下列说法正确的是( )
A.它们的振幅相同 B.它们的周期相同
C.它们的相位差恒定 D.它们的振动步调一致
[解析] 由题意知,它们的振幅分别是、 ,振幅不同,选项A错误;它们的圆
频率均为,所以周期 ,选项B正确;
,故相位差恒定,选项C正确；由于 ,
即振动步调不一致，D错误.
√
√
3.某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移随时间 变化的关系为
，振动图像如图所示，下列说法正确的是( )
A.弹簧在第末与第 末的长度不同
B.简谐运动的圆频率是
C.第末振子的位移大小为
D.从第末到第 末，振子的速度方向发生变化
√
[解析] 由题图知，振子在第末与第 末的位移相同，即振子经过同一位置，
故弹簧的长度相同，故A错误；由题图知，振子振动的周期 ，则圆频率
，故B错误；位移随时间变化的函数关系式为 ，
第末振子的位移大小为，故C正确； 图像的切线斜率
表示速度，可知从第末到第 末，振子的速度
方向并没有发生变化，一直沿负方向，故D错误.
4.如图甲所示，水平弹簧振子的平衡位置为点，小球在、 两点之间做简谐
运动，规定水平向右为正方向，图乙是小球做简谐运动的 图像，则( )
A.小球从点经过点再运动到 点为一次全振动
B.小球的振动方程为
C.图乙中的 点对应时刻小球的速度方向与加速度方向都沿正方向
D.小球在前内的路程为
√
[解析] 小球从点经过点再运动到点，之后再返回 点为一次全振动，A错
误；根据题图乙可知，小球的振幅是，周期为 ，则
，规定向右为正方向，时刻位移为，表示小球从 点开始
运动，初相位为 ，则小球的振动方程为
，B错误；题图乙中的 点对应时刻小球的速度方向为负，
此时刻小球正在沿负方向做减速运动，加速度方向为正，C错误；因周期
,故，则小球在前 内的路程为
,D正确.
1.(简谐运动的描述)(多选)如图所示，弹簧振子在、间做简谐运动， 为平衡
位置，、间距离是，运动时间是 ，则( )
A.振动周期是，振幅是
B.从 振子做一次全振动
C.经过两次全振动，振子通过的路程是
D.从开始经过，振子通过的位移大小是
√
√
[解析] 由题可知，、间距离为，运动时间为 ，则振幅
，周期为，故A错误；从 振子通过的路程是两个振幅，
不是一次全振动，故B错误；经过两次全振动，振子通过的路程 ，
C正确；从开始经过，振子振动了1.5个周期，此时振子在 点，振子通过的
位移大小是 ，故D正确.
2.(简谐运动表达式的理解)［2024·山东实验中学月考］ 两个简谐运动的表达式
分别为和 ，它们的振幅之比、频率之比分
别是( )
A.， B.， C.， D.，
[解析] 由题意知，，， ，则
， ，故A正确，B、C、D错误.
√
3.(简谐运动的表达式)(多选)一弹簧振子的位移随时间 变化的关系式为
，位移的单位为，时间的单位为 .则 ( )
A.弹簧振子的振幅为
B.弹簧振子的周期为
C.在 时，振子的运动速度为零
D.若另一弹簧振子的位移随时间变化的关系式为 ，
则的相位滞后的相位
√
√
[解析] 由题意可知振幅为，圆频率 ，故周期
，故A、B错误；在时， ，即振子的位
移最大，速度最小，为零，故C正确；两弹簧振子的相位差
，即的相位超前的相位，或者说 的
相位滞后的相位 ，故D正确.
4.(简谐运动的周期性与对称性)［2024·清华附中月考］ 一水平弹簧振子做简谐
运动，周期为 .下列说法正确的是( )
A.若和两时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则一定等于 的
整数倍
B.若，则在和 两时刻，振子运动的加速度一定相等
C.若和两时刻振子运动速度的大小相等、方向相同，则一定等于 的
整数倍
D.若，则在和 两时刻，弹簧的长度一定相等
√
[解析] 若和 两时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则这两时刻
振子出现在同一位置上，而每一个周期内，振子两次出现在同一个位置上，所
以当速度方向相同时，等于的整数倍，当速度方向相反时，不等于 的整
数倍，A错误；若，则在和 两时刻振子所处位置一定相同，故此
时加速度一定相等，B正确；若和 两时刻振子运动速度的大小相等、方
向相同，则可能等于的整数倍，也可能大于的整数倍，还有可能小于 的整
数倍，C错误；若，则在和 两时刻，则振子的位置关于平衡位置
对称或均处于平衡位置，故弹簧长度不一定相等，D错误.
练习册
知识点一 描述简谐运动的物理量
1.下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是( )
A.振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处
B.周期和频率的乘积是一个常数
C.振幅增加，周期必然增加，而频率减小
D.做简谐运动的物体，其频率与振幅成正比
√
[解析] 振幅是标量，故A错误；周期与频率互为倒数，即 ，故B正确；
简谐运动的周期与振幅没有关系，周期的长短由系统本身决定，故C、D错误.
2.做简谐运动的物体在 的时间内完成30次全振动,振动的周期和频率分别为
( )
A.和 B.和
C.和 D.和
[解析] 物体振动的周期为,振动的频率为 ,选
项A正确.
√
3.(多选)如图所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是
( )
A.物体的振动周期是
B.第2个内物体的位移是
C.物体的振动频率为
D.物体的振幅是
√
√
√
[解析] 由题图可知，物体的振动周期为，A错误；在第2个
内，即在到内物体由正向的 处到达平衡位置，故位移
为 ，B正确；频率
，C正确；由题图可知，
物体的振幅为 ，D正确.
知识点二 简谐运动的表达式
4.艺术体操运动员以频率 上下抖动长绸带的一端，绸带自左向右呈现波
浪状起伏.时刻，绸带形状如图所示(符合正弦函数图像特征) 为绸带上的
一点，其偏离平衡位置的位移随时间 的变化可表示为( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 由题意可知，由图可知振幅, 时
刻位于负向最大位移处，则偏离平衡位置的位移随时间 的变化可表示为
，故选A.
5.［2024·黑龙江哈尔滨期末］某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移
随时间变化的函数关系式为 ，下列说法正确的是( )
A.弹簧在第末与第 末的长度相同
B.简谐运动的周期为
C.第末振子的位移为
D. 时，振子的加速度方向发生变化
√
[解析] 弹簧振子在第末与第 末的位移分别为
, ,弹簧振子
在第末与第 末相对平衡位置的位移不相同，弹簧振子不在同一位置，弹簧
的长度不相同，A、C错误；根据题意得 ，解得，B错误；
时，弹簧振子的位移为， 时，振子的位移等
于零，表明振子在平衡位置处，加速度方向发生变化，D正确.
知识点三 简谐运动的对称性和周期性
6.一质点做简谐运动，它从最大位移处经第一次到达某点处，再经 第
二次到达 点，则其振动频率为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知，从 位置沿着原路返回到起始最大位移处要用的时间也为
，故完成一个全振动的时间为 ，故频率为
，D正确.
√
7.(多选)小球做简谐运动，若从平衡位置开始计时，经过 ，小球第一次经
过点，又经过，小球第二次经过 点，则再过多长时间该小球第三次经过
点( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 若小球从点开始向指向 点的方向振动，作出示意图如图甲所示，则小
球的振动周期为 ，则该小球再经过时间
，第三次经过点；若小球从点开始向背离 点的方向
振动，作出示意图如图乙所示，则有 ，小球的振动周期为
，则该小球再经过时间，第三次经过 点，B、
C错误，A、D正确.
8.(多选)［2025·湖北荆州中学高二月考］ 某弹簧振子在水平方向上做简谐
运动，其振动图像如图所示，则振子在( )
A.内的路程为
B. 内的位移为零
C.第末与第末的速度相同
D.第末与第 末的加速度相同
√
√
[解析] 由图可知振幅，周期，则，所以 内的
路程为，故A错误； 时，振子在平衡位置，
所以经过，振子也在平衡位置，则内的位移为零，故B正确；第
末与第末振子的位置关于平衡位置对称，速度大小相等，方向均沿 轴负方
向，故C正确；第末与第 末的加速度大小相等，方向相反，故D错误.
9.［2025·湖北黄冈中学高二月考］如图所示，小球以点为平衡位置在、 两
点之间做简谐运动，、相距.小球运动到点时开始计时， 时小
球第一次到达 点.若小球偏离平衡位置的位移随时间的变化规律满足
，则下列说法正确的是( )
A.周期
B.振幅
C.
D.时，小球的位移为
√
[解析] 小球运动到点时开始计时，时小球第一次到达 点，历时半个
周期，故周期为 ，故A错误；振幅为偏离平衡位置的最大距离，故振幅
为，故B错误；时刻，，代入题中位移表达式可得 ，
故C正确；位移表达式为，将 ，代入表达式可
得时小球的位移为 ，故D错误.
10.［2021·江苏卷］如图所示，半径为的圆盘边缘有一钉子 ，在水平光线下，
圆盘的转轴和钉子在右侧墙壁上形成影子和，以 为原点在竖直方向上建
立坐标系.时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为 ，则
做简谐运动的表达式为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由图可知，影子做简谐运动的振幅为 ，以向上为正方向，设的
振动方程为 ，由图可知，当时，的位移为 ，代入
振动方程解得,则 做简谐运动的表达式为 ,故B正确.
11.［2024·福建福州一中月考］弹簧振子做简谐运动， 为平衡位置，当它经过
点时开始计时，经过，小球第一次到达点，再经过第二次到达点 ，
则弹簧振子的周期可能为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 作出示意图如图甲所示，若从点开始向 振动，因为简谐运动具有对称
性，所以小球从到所用的时间与从到 所用的时间相等，则
，解得；如图乙所示，若从点开始向振动，设
与关于点对称，则小球从经回到所用的时间与小球从经回到 所
用的时间相等，即，小球从到和从到及从到 所用的时间相等，
则，解得 ，故B正确，A、C、D错误.
12.(10分)一物体沿轴做简谐运动,振幅为,周期为.当 时,位移为
,且沿 轴正方向运动,求:
(1) (4分)初相位;
[答案]
[解析] 设简谐运动的位移表达式为
由题意可知，,,
时,
代入上式得
解得,或
因这时物体沿轴正方向运动,故应取,即其初相位为 .
12.(10分)一物体沿轴做简谐运动,振幅为,周期为.当 时,位移为
,且沿 轴正方向运动,求:
(2) (6分) 时物体的位移.
[答案]
[解析] 由上面结果可得
故 时物体的位移
.
13.(多选)一小球沿轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点. 时小球的位移为
，时位移为 ，下列说法正确的是( )
A.若振幅为，则周期可能为
B.若振幅为，则周期可能为
C.若振幅为，则周期可能为
D.若振幅为，则周期可能为
√
√
[解析] 若振幅为，根据题意可知 ，解得
，当时，，当时， 不为整数，
故A正确，B错误.若振幅为，则有 ，或者
，或者 ，对于①
式，当或时，不为整数；对于②式，当或时，
不为整数，对于③式，当时，不为整数，当时， ，为整数，
故C错误，D正确.
14.(10分)某弹簧振子以点为平衡位置，在、两点间做简谐运动，在 时
刻，小球从、间的点以速度向点运动；在 时刻，小球速度第一
次变为；在时，小球速度第二次变为 .
(1) (3分)求弹簧振子的振动周期 ；
[答案]
[解析] 根据简谐运动的对称性可得
14.(10分)某弹簧振子以点为平衡位置，在、两点间做简谐运动，在 时
刻，小球从、间的点以速度向点运动；在 时刻，小球速度第一
次变为；在时，小球速度第二次变为 .
(2) (3分)若、之间的距离为，求小球在 内通过的路程；
[答案]
[解析] 若、之间距离为 ，则振幅
振子 内通过的路程
14.(10分)某弹簧振子以点为平衡位置，在、两点间做简谐运动，在 时
刻，小球从、间的点以速度向点运动；在 时刻，小球速度第一
次变为；在时，小球速度第二次变为 .
(3) (4分)若、之间的距离为 ，从平衡位置开始计时，写出弹簧振子的
位移表达式，并画出弹簧振子的振动图像.
[答案] ; 如图所示
[解析] 根据，，
可得
振动图像如图所示
［教材链接］.（1）平衡位置,米,振动幅度大小 （2）振动过程,相同
的 （3）①一次全振动,秒 ②全振动,赫兹 ③ ⑤反比,正比
（4）①简谐 ② ③频率 例1.BC 变式1.A
［物理建模］.（1）位移、振幅、圆频率、初相位、相位 （2）
例2.C 变式2.（1）,,, （2）
［科学探究］.（1）相等,即. （2）相等,即. （3）速
度大小相等,方向相反. （4）速度大小相等,方向可能相同,也可能相反.
例3.B 变式3.AC
随堂巩固
1.CD 2.A 3.CD 4.B
基础巩固练
1.B 2.A 3.BCD 4.A 5.D 6.D 7.AD
综合提升练
8.BC 9.C 10.B 11.B 12.（1） （2）
拓展挑战练
13.AD 14.（1） （2）（3）,
如图所示
. .
