3 简谐运动的回复力和能量
[教材链接] 1.(1)平衡位置 (2)平衡位置 (3)-kx 2.F=-kx 位移 正比 平衡位置
[模型建构] (1)两个力;重力、支持力.
(2)不受;回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力,是按照力的作用效果来命名的,不是一种新型的力,所以分析物体的受力时,不分析回复力.回复力可以由某一个力提供(如弹力),也可能是几个力的合力,还可能是某一个力的分力,归纳起来,回复力一定等于物体沿振动方向所受的合力.
(3)回复力F=-kx,方向与位移方向相反.
例1 AD [解析] 回复力是根据力的作用效果命名的力,不是做简谐运动的物体受到的具体的力,它是由物体受到的具体的力所提供的,在此情景中弹簧的弹力充当回复力,故A正确,B错误;回复力与位移的大小成正比,由A向O运动过程中位移在减小,故此过程中回复力逐渐减小,C错误;回复力总是指向平衡位置,故D正确.
变式1 C [解析] 为使这两个木块不发生相对滑动,则上方木块的加速度要等于下方木块的加速度.设该系统的最大振幅为A,则有=,解得A=,故选C.
例2 是
[解析] 以木块为研究对象,设水的密度为ρ,静止时木块浸入水中的深度为Δx,当木块继续被压入水中x深度后所受力如图所示,则F回=mg-F浮
又F浮=ρgS(Δx+x)
联立得F回=mg-ρgS(Δx+x)=mg-ρgSΔx-ρgSx
因为静止时有mg=ρgSΔx,所以F回=-ρgSx
即F回=-kx(k=ρgS),所以木块的振动为简谐运动
变式2 AD [解析] 以O点为原点,水平向右为x轴正方向,物体在O点右方x处时所受合力为F=-(k1x+k2x)=-3kx,因此物体做简谐运动,由对称性可知,OC=OB,故A、D正确.
[教材链接] 1.动能 势能 (1)势能 动能 (2)动能 势能 2.守恒 理想化 3.振幅
例3 C [解析] 当物块在平衡位置时,速度最大,但是弹簧的弹性势能不为零,故振动系统的势能不为零,选项A错误;在平衡位置时,物块的重力势能为零,与弹簧的弹性势能一定不相等,选项B错误;由于只有重力和弹簧弹力做功,则物块的动能、重力势能及弹性势能之和守恒,故在平衡位置时,动能最大,振动系统的势能最小,选项C正确,D错误.
变式3 B [解析] 根据简谐运动的对称性,经过半个周期时,物体恰好运动到OB的中间位置,且速度方向向下,速度大小仍为v,回复力做功为零,A错误;由于下降了2h,因此重力势能减少了2mgh,B正确;由于初速度向上,末速度向下,因此速度的变化量大小为2v,C错误;由于弹簧的劲度系数为k,因此通过A点时回复力的大小为F=2kh,D错误.
例4 B [解析] 弹簧振子做简谐运动,振幅不变,振动能量不变,选项A错误;在t=0.2 s时,位移最大,小球的势能最大,选项B正确;弹簧振子的振动能量不变,在t=0.35 s时,弹簧振子具有的能量与其他时刻相同,选项C错误;在t=0.4 s时,小球的位移最大,动能为零,选项D错误.
随堂巩固
1.AB [解析] 回复力是做简谐运动的物体所受到的指向平衡位置的力,由F=-kx可知,回复力是变力,A、B正确;回复力的方向总是指向平衡位置,跟物体离开平衡位置的位移方向相反,可能跟物体的速度方向相反,也可能跟物体的速度方向相同,C、D错误.
2.D [解析] 第2 s末到第3 s末振子在衡位置,弹簧的形变量减小,故回复力减小, 振子的加速度减小,故A、B错误;振子在平衡位置速度最大,第1 s末到第2 s末,振子在做加速度增大的减速运动,故C错误;第2 s末振子到负向位移最大处,所以加速度最大,且方向为x轴正方向,故D正确.
3.B [解析] 弹簧振子做简谐运动,弹簧振子的能量不变,不为零,选项A错误;在t=0.2 s时位移最大,弹簧振子具有最大势能,选项B正确;弹簧振子的能量不变,在t=0.35 s时弹簧振子的能量与其他时刻相同,选项C错误;在t=0.4 s时振子的位移最大,动能为零,选项D错误.
4.AC [解析] 当小球振动到最高点时,弹簧正好为原长,则在最高点小球仅受到重力作用,加速度为a=g,根据简谐运动的对称性可知小球在最低点时有F1-mg=ma,解得F1=2mg,A正确;小球在运动过程中,弹簧弹力对小球做功,因此小球的机械能不守恒,B错误;由于小球在竖直方向做振幅为A的简谐运动,当小球振动到最高点时,弹簧正好为原长,则小球运动到最低点时,小球下降的高度为2A,减小的重力势能全部转化为弹性势能,即弹簧的最大弹性势能等于2mgA,C正确;小球在平衡位置的速度最大,动能亦最大,根据mgA=Ekmax+Ep,解得Ekmax=mgA-Ep,即小球的最大动能小于mgA,D错误.3 简谐运动的回复力和能量
1.B [解析] 对弹簧振子来说,k为劲度系数,x为小球离开平衡位置的位移,对于其他简谐运动来说k不是劲度系数,故A错误,B正确;k由振动系统本身结构决定,与力F和位移x无关,C错误;“-”号只表示回复力与位移反向,回复力有时是动力,有时是阻力,D错误.
2.C [解析] 简谐运动不是匀变速运动,其加速度是随时间变化的,故A错误;在如图所示的情况下的简谐运动的回复力是弹簧的弹力、支持力以及重力的合力提供的,故B错误;做简谐运动的小球在平衡位置合力为零,加速度为零,速度达到最大值,故C正确;图中的简谐运动周期跟小球质量以及弹簧的劲度系数有关,与振幅无关,故D错误.
3.C [解析] A、B之间距离为20 cm,所以振幅为10 cm,选项A错误;由F=-kx可知,物块在A、B两处受到的回复力大小都为kΔx,选项B错误,C正确;完成一次全振动物块通过的路程为40 cm,选项D错误.
4.CD [解析] 小球在平衡位置两侧往复运动,速度相同的位置可能出现在关于平衡位置对称的两点,这时弹簧长度明显不等,故A错误;小球由最低点向平衡位置运动的过程中,弹簧对小球施加的力指向平衡位置,做正功,故B错误;小球运动过程中的回复力由弹簧弹力和小球的重力的合力提供,且运动过程中机械能守恒,故C、D正确.
5.AC [解析] 做简谐运动的物体的机械能跟振幅有关,对确定的振动系统而言,振幅越大,系统的机械能越大,A正确;在简谐运动中,系统机械能守恒,但物块A的重力势能与动能总和不断变化,物块A的机械能不守恒,B错误;在简谐运动中,系统在最大位移处势能最大,在平衡位置处动能最大,势能最小,C正确,D错误.
6.C [解析] 由图可知,在0时刻,质点位移为正且最大,速度为0,振动系统势能最大,由a=-知加速度为负且最大,由图可知在0.3 s时刻,质点位移为0,速度为正向最大,振动系统势能最小,加速度为0,故A、B、D错误;在t=0.3 s时质点位移为零,位移正在从负变成正,所以回复力正在从正变成负,故C正确.
7.B [解析] 当小球1到达最高点时立即释放小球2,则两球振动的相位相差π,故A错误;两个完全相同的弹簧振子,小球质量相同,相位相差π,则瞬时速度大小始终相等,故动能始终相同,故B正确;两球的速度始终大小相等,方向相反,则动量不是始终相同,故C错误;回复力F=-kx,则回复力大小相等,方向始终指向平衡位置,两球所受回复力的方向相反,故D错误.
8.ABC [解析] 由题图可知,t1、t2时刻小球的加速度大小相等,方向相反,A正确;在t1~t2时间内回复力先减小后增大,所以小球的加速度先减小后增大,B正确;在t1~t2时间内,小球的速度先增大后减小,所以动能先增大后减小,C正确;简谐运动的系统机械能守恒,D错误.
9.C [解析] 从图乙可知,在t=2.75 s时,小球正从正的位移向平衡位置运动,位移和速度方向相反,A错误;在t0时,x=4 cm,小球所受的回复力大小为F=kx=2.0 N,B错误;在t=1.5 s时,小球位于最大位移处,弹簧的压缩量最大,弹性势能最大,C正确;由图乙可知,小球振动周期T=2 s,ω==π rad/s,小球的振动方程为x=5sin πt(cm),D错误.
10.C [解析] 根据振幅的定义,可知该简谐运动的振幅为x1,故A错误;物块在O位置时受力平衡,有kx0=mg,x0为弹簧伸长量,在A位置时的回复力大小为F=k(x0+x1)-mg=kx1,故B错误;根据简谐运动的特点可知,物体运动过程中,周期内物块通过的路程一定等于2x1,故C正确;物块从A位置回到O位置时,根据能量守恒得k(x1+x0)2=mgx1+mv2+k,解得mv2=k(+2x1x0)-mgx1,故D错误.
11.(1) (2)x=cos (t+π) (3)2mg
[解析] (1)小球处于平衡位置时,弹簧形变量
x0=
小球做简谐运动的振幅A=x0=
(2)由题可知,规定竖直向下为正方向,开始时刻小球的位移为负向最大,则x=Acos
又T=2π
解得x=cos
(3)由简谐运动的对称性可知,最低点小球的加速度a=g,方向向上
由牛顿第二定律得F弹-mg=ma
解得F弹=2mg
12.(1)见解析 (2)取向下为正方向,x'=10cos 4πt(cm)
[解析] (1)如图所示
取向下为正方向,设平衡位置O离水面高度为x0,木筷底面面积为S,将木筷往下按x之前有mg=F浮=ρgSx0
按下x后有F浮=ρgS(x0+x)
F回=-F浮+mg=-ρgSx
令ρgS=k,可知k为常数
则F回=-kx
所以,木筷在水中的运动为简谐运动.
(2)因为筷子每10秒上下振动20次,则筷子简谐运动的周期为T=0.5 s
从释放筷子开始计时,取向下为正方向,则筷子振动过程位移随时间变化的关系式
x'=10sin (cm)=10cos 4πt(cm)3 简谐运动的回复力和能量
学习任务一 简谐运动的回复力
[教材链接] 阅读教材,完成下列填空.
1.回复力
(1)定义:使振动物体回到 的力.
(2)方向:总是指向 .
(3)表达式:F= .式中“-”号表示F与x方向相反.
2.简谐运动
理论上可以证明,如果物体所受的力具有 的形式,物体就做简谐运动.也就是说:如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置 的大小成 ,并且总是指向 ,物体的运动就是简谐运动.
[模型建构] 如图所示为放在光滑水平面上的弹簧振子的模型,O点为小球的平衡位置,A、O间和B、O间距离都是x.
(1)小球在O点时受到几个力的作用 分别是什么力
(2)除重力、支持力、弹簧弹力外,振子在O、A、B点还受到回复力的作用吗 回复力有什么特点
(3) 回复力F与位移x有何关系
例1 (多选)如图所示,弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做简谐运动,下列说法正确的是 ( )
A.振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B.振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
C.振子由A向O运动过程中,回复力逐渐增大
D.振子由O向B运动过程中,回复力的方向指向平衡位置
[反思感悟]
变式1 [2024·湖北襄阳期末] 光滑的水平面上叠放有质量均为m的两木块,下方木块与一劲度系数为k的弹簧相连,弹簧的另一端固定在墙上,如图所示.已知两木块之间的最大静摩擦力为Ff,为使这两个木块不发生相对滑动,系统的最大振幅为 ( )
A. B. C. D.
[反思感悟]
例2 一质量为m、底面积为S的正方体木块放在水面上静止(平衡),如图所示.现用力向下将其压入水中一段深度后(未全部浸没)撤掉外力,木块在水面上下振动,试判断木块的振动是否为简谐运动.
变式2 (多选)如图所示,物体m系在两水平弹簧之间,两弹簧的劲度系数分别为k1和k2,且k1=k,k2=2k,两弹簧均处于自然伸长状态,今向右拉动m,然后释放,物体在B、C间振动(不计阻力),O为平衡位置,则下列判断正确的是 ( )
A.m做简谐运动,OC=OB
B.m做简谐运动,OC≠OB
C.回复力F=-kx
D.回复力F=-3kx
【要点总结】
1.回复力的性质:回复力是根据力的效果命名的,可能由合力、某个力或某个力的分力提供.它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力,分析物体受力时不能再加上回复力.
2.判断振动物体是否做简谐运动的方法
判断一个物体是否做简谐运动,可找出回复力F与位移x之间的关系,若满足F=-kx,则物体做简谐运动,否则就不做简谐运动.
学习任务二 简谐运动的能量
[教材链接] 阅读教材,完成下列填空.
1.能量转化
弹簧振子运动的过程就是 和 互相转化的过程.
(1)在最大位移处, 最大, 为零.
(2)在平衡位置处, 最大, 最小.
2.能量特点
在简谐运动中,振动系统的机械能 ,而在实际运动中都有一定的能量损耗,因此简谐运动是一种 的模型.
3.对于弹簧的劲度系数和小球质量都一定的系统, 越大,机械能越大.
[科学思维]
1.在弹簧振子振动的一个周期内,动能和势能要完成两次周期性变化.经过平衡位置时,动能最大,势能最小(为零);经过最大位移处时,势能最大,动能最小(为零).
2.简谐运动中各物理量的变化规律
小球以O为平衡位置在A、B之间做简谐运动,各物理量的变化规律如下:
位移 回复力 加速度 速度 动能 势能
从O到A 增大 增大 增大 减小 减小 增大
A 最大 最大 最大 0 0 最大
从A到O 减小 减小 减小 增大 增大 减小
O 0 0 0 最大 最大 0
从O到B 增大 增大 增大 减小 减小 增大
B 最大 最大 最大 0 0 最大
从B到O 减小 减小 减小 增大 增大 减小
例3 [2025·浙江杭州一中高二月考] 如图所示,轻质弹簧下面悬挂一物块组成一个沿竖直方向振动的弹簧振子,弹簧的上端固定于天花板上.当物块处于静止状态时,取它的重力势能为零.现将物块向下拉一小段距离后放手,此后物块在平衡位置附近上下做简谐运动,不计空气阻力,则 ( )
A.物块速度最大时,振动系统的势能为零
B.物块速度最大时,物块的重力势能与弹簧的弹性势能相等
C.物块经过平衡位置时,振动系统的势能最小
D.物块振动过程中,振动系统的机械能不守恒
[反思感悟]
变式3 [2024·北京八中高二月考] 如图所示,一轻弹簧与质量为m的物体组成弹簧振子,物体在同一条竖直线上的A、B间做简谐运动,O为平衡位置,C为AO的中点,已知OC=h,弹簧的劲度系数为k,某时刻物体恰好以大小为v的速度经过C点并向上运动, 重力加速度为g,则从此刻开始半个周期的时间内,对质量为m的物体,下列说法正确的是 ( )
A.回复力做功为2mgh
B.重力势能减少了2mgh
C.速度的变化量大小为0
D.通过A点时回复力的大小为kh
[反思感悟]
例4 图为某个弹簧振子做简谐运动的振动图像,由图像可知 ( )
A.在t=0.1 s时,由于位移为零,所以振动能量为零
B.在t=0.2 s时,弹簧振子的势能最大
C.在t=0.35 s时,弹簧振子具有的能量尚未达到最大值
D.在t=0.4 s时,弹簧振子的动能最大
1.(简谐运动的回复力)(多选)下列关于简谐运动回复力的说法正确的是 ( )
A.回复力是使物体回到平衡位置的力
B.回复力一定是变力
C.回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同
D.回复力的方向总是跟物体的速度方向相反
2.(回复力与加速度)甲图中的弹簧振子在0~5 s内的振动图像如图乙所示,下列说法中正确的是 ( )
A.从第2 s末到第3 s末振子的回复力增加
B.从第2 s末到第3 s末振子的加速度增加
C.从第1 s末到第2 s末振子在做加速运动
D.第2 s末振子的加速度最大且方向为x轴正方向
3.(简谐运动的能量)如图所示为某个弹簧振子做简谐运动的振动图像,由图像可知 ( )
A.在t=0.1 s时,由于位移为零,所以弹簧振子的能量为零
B.在t=0.2 s时,弹簧振子具有最大势能
C.在t=0.35 s时,弹簧振子的能量尚未达到最大值
D.在t=0.4 s时,振子的动能最大
4.(简谐运动的能量)(多选)[2024·福建宁德期末] 如图所示,轻质弹簧下面挂一个质量为m的小球,小球在竖直方向做振幅为A的简谐运动,当小球振动到最高点时,弹簧正好为原长.在小球做简谐运动的过程中,弹簧一直处于弹性限度内,重力加速度为g,则在振动过程中 ( )
A.小球在最低点时的弹力大小为2mg
B.小球的机械能守恒
C.弹簧的最大弹性势能等于2mgA
D.小球的最大动能等于mgA3 简谐运动的回复力和能量 (时间:40分钟 总分:60分)
(选择题每小题4分)
◆ 知识点一 简谐运动的回复力
1.[2024·湖南师大附中月考] 关于简谐运动的回复力F=-kx的含义,下列说法正确的是 ( )
A.k是弹簧的劲度系数,x是弹簧的长度
B.k是回复力跟位移的比值的绝对值,x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移
C.根据k=-,可以认为k与F成正比
D.表达式中的“-”号表示F始终阻碍物体的运动
2.[2025·广东深圳中学期中] 如图所示,由小球和弹簧组成的弹簧振子在光滑固定的斜面上做简谐运动,则小球 ( )
A.可能做匀变速运动
B.所需回复力仅由弹簧的弹力提供
C.在平衡位置时的速度最大
D.运动周期与振幅有关
3.如图所示,将物块从平衡位置拉下一段距离Δx,释放后物块在A、B间振动.设AB=20 cm,物块由A到B时间为0.1 s,物块质量为m,弹簧劲度系数为k,重力加速度为g.下列说法正确的是 ( )
A.物块的振幅为20 cm,周期为0.2 s
B.物块在A、B两处受到的回复力分别为kΔx+mg与kΔx-mg
C.物块在A、B两处受到的回复力大小都是kΔx
D.物块一次全振动通过的路程是20 cm
◆ 知识点二 简谐运动的能量
4.(多选)当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时,下列说法中正确的是 ( )
A.小球在振动过程中,速度相同时,弹簧的长度一定相等
B.小球从最低点向平衡位置运动过程中,弹簧弹力始终做负功
C.小球在运动过程中的回复力由弹簧的弹力和小球的重力的合力提供
D.小球在运动过程中,系统的机械能守恒
5.(多选)在光滑斜面上的物块A被平行于斜面的轻弹簧拉住静止于O点,如图所示.现将物块A沿斜面拉到B点无初速度释放,物块A在B、C范围内做简谐运动,则下列说法正确的是 ( )
A.OB越长,系统的机械能越大
B.在运动过程中,物块A的机械能守恒
C.物块A与轻弹簧构成的系统的势能,当物块A在C点时最大,当物块A在O点时最小
D.物块A与轻弹簧构成的系统的势能,当物块A在C点时最大,当物块A在B点时最小
6.一质点做简谐运动的图像如图所示,则在0~0.4 s内,下列结论中正确的是 ( )
A.质点速度最大而加速度为零的时刻分别是0、0.3 s
B.质点速度为零而加速度为负方向最大值的时刻分别是0、0.3 s
C.质点所受的回复力方向由正变负的时刻是0.3 s
D.振动系统势能最大而加速度为正方向最大值的时刻是0.3 s
7.如图所示,天花板下并列悬挂两个完全相同的弹簧振子,两小球的平衡位置在O1O2的水平线上.现将两球向下拉开相同的距离,先释放小球1,当小球1到达最高点时立即释放小球2,则两球在振动过程中 ( )
A.步调完全一致
B.动能始终相同
C.动量始终相同
D.回复力始终相同
8.(多选)一个弹簧振子做简谐运动的周期为T,设t1时刻小球不在平衡位置,经过一段时间到t2时刻,小球的速度与t1时刻的速度大小相等、方向相同,(t2-t1)<,如图所示,则 ( )
A.t2时刻小球的加速度一定跟t1时刻的加速度大小相等、方向相反
B.在t1~t2时间内,小球的加速度先减小后增大
C.在t1~t2时间内,小球的动能先增大后减小
D.在t1~t2时间内,弹簧振子的机械能先减小后增大
9.[2024·浙江杭州四中月考] 如图甲所示,弹簧振子在水平方向上做简谐运动,其振动图像如图乙所示.已知弹簧的劲度系数为0.5 N/cm.则 ( )
A.在t=2.75 s时,小球的位移和速度方向相同
B.在t0时,小球所受的回复力大小为0.5 N
C.在t=1.5 s时,弹簧的弹性势能最大
D.小球的振动方程为x=5sin 2πt(cm)
10.[2025·安徽六安期末] 如图所示,一轻质弹簧上端固定,下端悬挂一物块,取物块静止时所处位置为坐标原点O,向下为正方向,建立Ox坐标轴.现将物块竖直向下拉到A位置后由静止释放,不计空气阻力.已知物块的质量为m,弹簧的劲度系数为k,弹簧弹性势能的计算公式为Ep=kx2(x为弹簧形变量),A位置的坐标为x1,重力加速度为g.下列说法正确的是 ( )
A.该简谐振动的振幅为2x1
B.物块在A位置时的回复力大小为kx1-mg
C.在任意周期内物块通过的路程一定等于2x1
D.物块到O位置时的动能为k-mgx1
11.(10分)如图所示,竖直放置的轻弹簧劲度系数为k,下端固定在水平面上,上端与质量为m可视为质点的小球相连,开始时弹簧处于原长.现将小球从弹簧上端由静止开始释放,在竖直方向上做简谐运动,其周期为2π.已知重力加速度为g,不计弹簧质量和一切阻力,取竖直向下为正,开始运动时刻为0时刻,求:
(1)(3分)小球处于平衡位置时弹簧的形变量及简谐运动的振幅A;
(2)(3分)小球简谐运动位移随时间变化的表达式;
(3)(4分)小球运动到最低点时弹簧的弹力大小.
12.(10分)[2025·江苏泰州期末] 如图所示,一根粗细均匀的木筷下端绕有几圈铁丝,竖直浮在一个较大的盛水容器中,以木筷静止时下端所在位置为坐标原点O建立直线坐标系,把木筷往下压一段距离x=10 cm后放手,木筷就在水中上下振动.已知水的密度为ρ,重力加速度为g,不计水的阻力.
(1)(5分)试证明木筷的振动是简谐运动;
(2)(5分)观测发现筷子每10秒上下振动20次,从释放筷子开始计时,写出筷子振动过程位移随时间变化的关系式.(共68张PPT)
3 简谐运动的回复力和能量
学习任务一 简谐运动的回复力
学习任务二 简谐运动的能量
备用习题
随堂巩固
练习册
◆
答案核查【导】
答案核查【练】
学习任务一 简谐运动的回复力
［教材链接］
阅读教材，完成下列填空.
1.回复力
(1) 定义：使振动物体回到__________的力.
(2) 方向：总是指向__________.
(3) 表达式：______.式中“-”号表示与 方向相反.
平衡位置
平衡位置
2.简谐运动
理论上可以证明，如果物体所受的力具有_________的形式，物体就做简谐运动.
也就是说：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置______的大小成
______，并且总是指向__________，物体的运动就是简谐运动.
位移
正比
平衡位置
［模型建构］ 如图所示为放在光滑水平面上的弹簧振子的模型， 点为小球的
平衡位置，、间和、间距离都是 .
(1) 小球在 点时受到几个力的作用？分别是什么力？
[答案] 两个力；重力、支持力.
［模型建构］ 如图所示为放在光滑水平面上的弹簧振子的模型， 点为小球的
平衡位置，、间和、间距离都是 .
(2) 除重力、支持力、弹簧弹力外，振子在、、 点还受到回复力的作用吗？
回复力有什么特点？
[答案] 不受；回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，是按照力的作用
效果来命名的，不是一种新型的力，所以分析物体的受力时，不分析回复力.回
复力可以由某一个力提供(如弹力)，也可能是几个力的合力，还可能是某一个
力的分力，归纳起来，回复力一定等于物体沿振动方向所受的合力.
［模型建构］ 如图所示为放在光滑水平面上的弹簧振子的模型， 点为小球的
平衡位置，、间和、间距离都是 .
(3) 回复力与位移 有何关系？
[答案] 回复力 ，方向与位移方向相反.
例1 (多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的 、 之间做简谐运动，下
列说法正确的是( )
A.振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B.振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
C.振子由向 运动过程中，回复力逐渐增大
D.振子由向 运动过程中，回复力的方向指向平衡位置
[解析] 回复力是根据力的作用效果命名的力,不是做简谐运动的物体受到的具体
的力,它是由物体受到的具体的力所提供的,在此情景中弹簧的弹力充当回复力,
故A正确,B错误;回复力与位移的大小成正比,由向 运动过程中位移在减小,故
此过程中回复力逐渐减小,C错误;回复力总是指向平衡位置,故D正确.
√
√
变式1 ［2024·湖北襄阳期末］光滑的水平面上叠放有质量均为的两木块，
下方木块与一劲度系数为 的弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，如图所示.
已知两木块 之间的最大静摩擦力为 ，为使这两个
木块不发生相对滑动，系统的最大振幅为( )
A. B. C. D.
[解析] 为使这两个木块不发生相对滑动，则上方木块的加速度要等于下方木块
的加速度.设该系统的最大振幅为，则有，解得 ，故选C.
√
例2 一质量为、底面积为 的正方体木块放在水面上静止(平衡),如图所示.现用
力向下将其压入水中一段深度后(未全部浸没)撤掉外力,木块在水面上下振动,试
判断木块的振动是否为简谐运动.
[答案] 是
[解析] 以木块为研究对象,设水的密度为 ,静止时木块浸入水中的深度为 ,当
木块继续被压入水中深度后所受力如图所示,则
又
联立得
因为静止时有,所以
即 ，所以木块的振动为简谐运动
变式2 (多选)如图所示，物体 系在两水平弹簧之间，两弹簧的劲度系数分别
为和，且， ，两弹簧均处于自然伸长
状态，今向右拉动 ，然后释放，物体在、间振动(不
计阻力)， 为平衡位置，则下列判断正确的是( )
A.做简谐运动， B.做简谐运动，
C.回复力 D.回复力
[解析] 以点为原点，水平向右为轴正方向，物体在点右方 处时所受合力
为，因此物体做简谐运动，由对称性可知， ，
故A、D正确.
√
√
【要点总结】
1.回复力的性质：回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个
力的分力提供.它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力，分析物体受力时
不能再加上回复力.
2.判断振动物体是否做简谐运动的方法
判断一个物体是否做简谐运动,可找出回复力与位移之间的关系,若满足
,则物体做简谐运动,否则就不做简谐运动.
学习任务二 简谐运动的能量
［教材链接］
阅读教材，完成下列填空.
1.能量转化
弹簧振子运动的过程就是______和______互相转化的过程.
动能
势能
(1) 在最大位移处，______最大，______为零.
(2) 在平衡位置处，______最大，______最小.
势能
动能
动能
势能
2.能量特点
在简谐运动中，振动系统的机械能______，而在实际运动中都有一定的能量损
耗，因此简谐运动是一种________的模型.
守恒
理想化
3.对于弹簧的劲度系数和小球质量都一定的系统，______越大，机械能越大.
振幅
［科学思维］
1.在弹簧振子振动的一个周期内,动能和势能要完成两次周期性变化.经过平衡位
置时,动能最大,势能最小(为零);经过最大位移处时,势能最大,动能最小(为零).
2.简谐运动中各物理量的变化规律
小球以为平衡位置在、 之间做简谐运动,各物理量的变化规律如下:
位移 回复力 加速度 速度 动能 势能
增大 增大 增大 减小 减小 增大
最大 最大 最大 0 0 最大
减小 减小 减小 增大 增大 减小
0 0 0 最大 最大 0
增大 增大 增大 减小 减小 增大
最大 最大 最大 0 0 最大
减小 减小 减小 增大 增大 减小
例3 ［2025·浙江杭州一中高二月考］ 如图所示,轻质弹簧下面悬挂一物块组成
一个沿竖直方向振动的弹簧振子,弹簧的上端固定于天花板上.当物块处于静止状
态时,取它的重力势能为零.现将物块向下拉一小段距离后放手,此后物块在平衡
位置附近上下做简谐运动,不计空气阻力,则( )
A.物块速度最大时,振动系统的势能为零
B.物块速度最大时,物块的重力势能与弹簧的弹性势能相等
C.物块经过平衡位置时,振动系统的势能最小
D.物块振动过程中,振动系统的机械能不守恒
√
[解析] 当物块在平衡位置时，速度最大,但是弹簧的弹性势能不为零,故振动系
统的势能不为零,选项A错误;在平衡位置时,物块的重力势能为零，与弹簧的弹性
势能一定不相等,选项B错误;由于只有重力和弹簧弹力做功,则物块的动能、重力
势能及弹性势能之和守恒,故在平衡位置时，动能最大,振动系统的势能最小,选
项C正确，D错误.
变式3 ［2024·北京八中高二月考］ 如图所示，一轻弹簧与质量为
的物体组成弹簧振子，物体在同一条竖直线上的、 间做简谐
运动，为平衡位置，为的中点，已知 ，弹簧的劲度系
数为，某时刻物体恰好以大小为的速度经过 点并向上运动，重
力加速度为,则从此刻开始半个周期的时间内，对质量为 的物体，
下列说法正确的是( )
A.回复力做功为 B.重力势能减少了
C.速度的变化量大小为0 D.通过点时回复力的大小为
√
[解析] 根据简谐运动的对称性，经过半个周期时，物体恰好运动到 的中间位
置，且速度方向向下，速度大小仍为 ，回复力做功为零，A错误；由于下降了
，因此重力势能减少了 ，B正确；由于初速度向上，末速度向下，因此
速度的变化量大小为，C错误；由于弹簧的劲度系数为，因此通过 点时回
复力的大小为 ，D错误.
例4 图为某个弹簧振子做简谐运动的振动图像,由图像可知( )
A.在 时,由于位移为零,所以振动能量为零
B.在 时,弹簧振子的势能最大
C.在 时,弹簧振子具有的能量尚未达到最大值
D.在 时,弹簧振子的动能最大
[解析] 弹簧振子做简谐运动,振幅不变,振动能量不变,选项A错误;在 时,
位移最大,小球的势能最大,选项B正确;弹簧振子的振动能量不变,在 时,
弹簧振子具有的能量与其他时刻相同,选项C错误;在 时,小球的位移最大,
动能为零,选项D错误.
√
1.(多选)如图所示，物体系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为和 ，且
， ，两弹簧均处于自然状态.今向右拉动物体，然后释放，物体在
、间振动， 为平衡位置(不计阻力)，则下列判断正确的是( )
A.物体做简谐运动，
B.物体做简谐运动，
C.回复力
D.回复力
[解析] 当物体位移是 时，物体水平方向受到的作用力
，符合简谐运动的动力学方程，物体做简谐
运动，所以、的长度都等于物体做简谐运动的振幅， ，选项A、
D正确.
√
√
2.如图所示，一个弹簧振子在、间做简谐运动， 是平衡位置，把向右的方
向选为正方向，以某时刻作为计时零点，经过 周期，振子具有正方向的
最大加速度，那么如图所示的四个振动图像中能正确
反映振动情况的图像是 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为经过 周期时，振子具有正方向的最大加速度，由简谐运动的特征
可知，时小球位于负向最大位移处，说明 时刻振子的位移为
0，且向负方向运动，故D正确，A、B、C错误.
√
3.(多选)如图所示是弹簧振子做简谐运动的振动图像.下列说法中正确的是
( )
A.曲线上、、 点对应的弹簧振子的势能最大
B.曲线上、点对应的弹簧振子的势能最大,
点对应的弹簧振子的势能最小
C.曲线上、 点对应的弹簧振子的机械能相等
D.曲线上 点对应的弹簧振子的动能最大
√
√
√
[解析] 振子离平衡位置越远,则弹簧振子势能越大,A正确,B错误;因为简谐运动过
程中机械能守恒,所以越衡位置处,动能越大,D正确;因为简谐运动的机械
能是守恒的,所以在各个位置的机械能应相等,C正确.
4.如图所示,倾角为 的斜面体(斜面光滑且足够长)固定在水平地面上,斜面顶端
与劲度系数为、自然长度为 的轻质弹簧相连,弹簧轴线与斜面平行,弹簧的另一
端连接着质量为的物块.压缩弹簧,使其长度变为 ,将物块由静止开始释放,且
在物块以后的运动中,斜面体始终处于静止状态,重力加速度为 .
4.如图所示,倾角为 的斜面体(斜面光滑且足够长)固定在水平地面上,斜面顶端
与劲度系数为、自然长度为 的轻质弹簧相连,弹簧轴线与斜面平行,弹簧的另一
端连接着质量为的物块.压缩弹簧,使其长度变为 ,将物块由静止开始释放,且
在物块以后的运动中,斜面体始终处于静止状态,重力加速度为 .
(1) 求物块处于平衡位置时弹簧的长度；
[答案]
[解析] 当物块在斜面上处于平衡位置时,设弹簧伸长量为 ,有
解得
此时弹簧的长度 .
4.如图所示,倾角为 的斜面体(斜面光滑且足够长)固定在水平地面上,斜面顶端
与劲度系数为、自然长度为 的轻质弹簧相连,弹簧轴线与斜面平行,弹簧的另一
端连接着质量为的物块.压缩弹簧,使其长度变为 ,将物块由静止开始释放,且
在物块以后的运动中,斜面体始终处于静止状态,重力加速度为 .
(2) 选物块的平衡位置为坐标原点,沿斜面向下为正方向,建立坐标轴,用 表示物
块相对于平衡位置的位移,证明物块做简谐运动.
[答案] 见解析
[解析] 当物块偏离平衡位置的位移为时,弹簧形变量为
物块所受合力为
可得
所以物块做简谐运动.
1.(简谐运动的回复力)(多选)下列关于简谐运动回复力的说法正确的是( )
A.回复力是使物体回到平衡位置的力
B.回复力一定是变力
C.回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同
D.回复力的方向总是跟物体的速度方向相反
[解析] 回复力是做简谐运动的物体所受到的指向平衡位置的力，由 可
知，回复力是变力，A、B正确；回复力的方向总是指向平衡位置，跟物体离开
平衡位置的位移方向相反，可能跟物体的速度方向相反，也可能跟物体的速度
方向相同，C、D错误.
√
√
2.(回复力与加速度)甲图中的弹簧振子在 内的振动图像如图乙所示，下列
说法中正确的是( )
A.从第末到第 末振子的回复力增加
B.从第末到第 末振子的加速度增加
C.从第末到第 末振子在做加速运动
D.第末振子的加速度最大且方向为 轴正方向
√
[解析] 第末到第 末振子在衡位置，弹簧的形变量减小，故回复力减
小，振子的加速度减小，故A、B错误；振子在平衡位置速度最大，第 末到第
末，振子在做加速度增大的减速运动，故C错误；第 末振子到负向位移最
大处，所以加速度最大，且方向为 轴正方向，故D正确.
3.(简谐运动的能量)如图所示为某个弹簧振子做简谐运动的振动图像，由图像可
知( )
A.在 时，由于位移为零，所以弹簧振子的能
量为零
B.在 时，弹簧振子具有最大势能
C.在 时，弹簧振子的能量尚未达到最大值
D.在 时，振子的动能最大
√
[解析] 弹簧振子做简谐运动，弹簧振子的能量不变，不为零，选项A错误；在
时位移最大，弹簧振子具有最大势能，选项B正确；弹簧振子的能量不
变，在时弹簧振子的能量与其他时刻相同，选项C错误；在 时
振子的位移最大，动能为零，选项D错误.
4.(简谐运动的能量)(多选)［2024·福建宁德期末］ 如图所示，轻质弹簧下面挂
一个质量为的小球，小球在竖直方向做振幅为 的简谐运动，当小球振动到最
高点时，弹簧正好为原长.在小球做简谐运动的过程中，弹簧一直处于弹性限度
内，重力加速度为 ，则在振动过程中( )
A.小球在最低点时的弹力大小为
B.小球的机械能守恒
C.弹簧的最大弹性势能等于
D.小球的最大动能等于
√
√
[解析] 当小球振动到最高点时，弹簧正好为原长，则在最高点小球仅受到重力
作用，加速度为 ，根据简谐运动的对称性可知小球在最低点时有
，解得 ，A正确；小球在运动过程中，弹簧弹力对小球
做功，因此小球的机械能不守恒，B错误；由于小球在竖直方向做振幅为 的简
谐运动，当小球振动到最高点时，弹簧正好为原长，则小球运动到最低点时，
小球下降的高度为 ，减小的重力势能全部转化为弹性势能，即弹
簧的最大弹性势能等于 ，C正确；小球在平衡位置的速度最大，
动能亦最大，根据，解得 ，即
小球的最大动能小于 ，D错误.
练习册
知识点一 简谐运动的回复力
1.［2024·湖南师大附中月考］关于简谐运动的回复力 的含义，下列说
法正确的是 ( )
A.是弹簧的劲度系数， 是弹簧的长度
B.是回复力跟位移的比值的绝对值， 是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移
C.根据，可以认为与 成正比
D.表达式中的“-”号表示 始终阻碍物体的运动
√
[解析] 对弹簧振子来说，为劲度系数， 为小球离开平衡位置的位移，对于其
他简谐运动来说不是劲度系数，故A错误，B正确； 由振动系统本身结构决定，
与力和位移 无关，C错误；“-”号只表示回复力与位移反向，回复力有时是动
力，有时是阻力，D错误.
2.［2025·广东深圳中学期中］如图所示，由小球和弹簧组成的弹簧振子在光滑
固定的斜面上做简谐运动，则小球( )
A.可能做匀变速运动
B.所需回复力仅由弹簧的弹力提供
C.在平衡位置时的速度最大
D.运动周期与振幅有关
[解析] 简谐运动不是匀变速运动，其加速度是随时间变化的，故A错误；在如
图所示的情况下的简谐运动的回复力是弹簧的弹力、支持力以及重力的合力提
供的，故B错误；做简谐运动的小球在平衡位置合力为零，加速度为零，速度
达到最大值，故C正确；图中的简谐运动周期跟小球质量以及弹簧的劲度系数
有关，与振幅无关，故D错误.
√
3.如图所示，将物块从平衡位置拉下一段距离，释放后物块在、 间振动.设
，物块由到时间为，物块质量为，弹簧劲度系数为 ，重
力加速度为 .下列说法正确的是( )
A.物块的振幅为，周期为
B.物块在、 两处受到的回复力分别为
与
C.物块在、两处受到的回复力大小都是
D.物块一次全振动通过的路程是
[解析] 、之间距离为，所以振幅为，选项A错误；由 可
知，物块在、两处受到的回复力大小都为 ，选项B错误，C正确；完成一
次全振动物块通过的路程为 ，选项D错误.
√
知识点二 简谐运动的能量
4.(多选)当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法中正确的是
( )
A.小球在振动过程中，速度相同时，弹簧的长度一定相等
B.小球从最低点向平衡位置运动过程中，弹簧弹力始终做负功
C.小球在运动过程中的回复力由弹簧的弹力和小球的重力的合力提供
D.小球在运动过程中，系统的机械能守恒
√
√
[解析] 小球在平衡位置两侧往复运动，速度相同的位置可能出现在关于平衡位
置对称的两点，这时弹簧长度明显不等，故A错误；小球由最低点向平衡位置
运动的过程中，弹簧对小球施加的力指向平衡位置，做正功，故B错误；小球
运动过程中的回复力由弹簧弹力和小球的重力的合力提供，且运动过程中机械
能守恒，故C、D正确.
5.(多选)在光滑斜面上的物块被平行于斜面的轻弹簧拉住静止于 点，如图所
示.现将物块沿斜面拉到点无初速度释放，物块在、 范围内做简谐运动，
则下列说法正确的是( )
A. 越长，系统的机械能越大
B.在运动过程中，物块 的机械能守恒
C.物块与轻弹簧构成的系统的势能，当物块在 点时
最大，当物块在 点时最小
D.物块与轻弹簧构成的系统的势能，当物块在 点时
最大，当物块在 点时最小
√
√
[解析] 做简谐运动的物体的机械能跟振幅有关，对确定的振动系统而言，振幅
越大，系统的机械能越大，A正确；在简谐运动中，系统机械能守恒，但物块
的重力势能与动能总和不断变化，物块 的机械能不守恒，B错误；在简谐运动
中，系统在最大位移处势能最大，在平衡位置处动能最大，势能最小，C正确，
D错误.
6.一质点做简谐运动的图像如图所示，则在 内，下列结论中正确的是
( )
A.质点速度最大而加速度为零的时刻分别是0、
B.质点速度为零而加速度为负方向最大值的时刻分别是0、
C.质点所受的回复力方向由正变负的时刻是
D.振动系统势能最大而加速度为正方向最大值的时刻是
√
[解析] 由图可知，在0时刻，质点位移为正且最大，速度为0，振动系统势能最
大，由知加速度为负且最大，由图可知在 时刻，质点位移为0，速
度为正向最大，振动系统势能最小，加速度为0，故A、B、D错误；在
时质点位移为零，位移正在从负变成正，所以回复力正在从正变成负，故C正确.
7.如图所示，天花板下并列悬挂两个完全相同的弹簧振子，
两小球的平衡位置在 的水平线上.现将两球向下拉开相
同的距离，先释放小球1，当小球1到达最高点时立即释放小
球2，则两球在振动过程中( )
A.步调完全一致 B.动能始终相同
C.动量始终相同 D.回复力始终相同
√
[解析] 当小球1到达最高点时立即释放小球2，则两球振动的相位相差 ，故A
错误；两个完全相同的弹簧振子，小球质量相同，相位相差 ，则瞬时速度大
小始终相等，故动能始终相同，故B正确；两球的速度始终大小相等，方向相
反，则动量不是始终相同，故C错误；回复力 ，则回复力大小相等，方
向始终指向平衡位置，两球所受回复力的方向相反，故D错
误.
8.(多选)一个弹簧振子做简谐运动的周期为，设 时刻小球不在平衡位置，经
过一段时间到时刻，小球的速度与 时刻的速度大小相等、方向相同，
，如图所示，则( )
A.时刻小球的加速度一定跟 时刻的加速度大小相等、方向
相反
B.在 时间内，小球的加速度先减小后增大
C.在 时间内，小球的动能先增大后减小
D.在 时间内，弹簧振子的机械能先减小后增大
√
√
√
[解析] 由题图可知，、 时刻小球的加速度大小相等，方向相反，A正确；在
时间内回复力先减小后增大，所以小球的加速度先减小后增大，B正确；
在 时间内，小球的速度先增大后减小，所以动能先增大后减小，C正确；
简谐运动的系统机械能守恒，D错误.
9.［2024·浙江杭州四中月考］如图甲所示，弹簧振子在水平方向上做简谐运动，
其振动图像如图乙所示.已知弹簧的劲度系数为 .则( )
A.在 时，小球的位移和速度方向相同
B.在时，小球所受的回复力大小为
C.在 时，弹簧的弹性势能最大
D.小球的振动方程为
√
[解析] 从图乙可知，在 时，小球正从正的位移向平衡位置运动，位移
和速度方向相反，A错误；在时， ，小球所受的回复力大小为
，B错误；在 时，小球位于最大位移处，弹簧的压缩量
最大，弹性势能最大，C正确；由图乙可知，小球振动周期 ，
，小球的振动方程为 ，D错误.
10.［2025·安徽六安期末］如图所示，一轻质弹簧上端固定，下
端悬挂一物块，取物块静止时所处位置为坐标原点 ，向下为正
方向，建立坐标轴.现将物块竖直向下拉到 位置后由静止释
放，不计空气阻力.已知物块的质量为，弹簧的劲度系数为 ，
弹簧弹性势能的计算公式为为弹簧形变量， 位置
的坐标为，重力加速度为 .下列说法正确的是( )
A.该简谐振动的振幅为
B.物块在位置时的回复力大小为
C.在任意周期内物块通过的路程一定等于
D.物块到位置时的动能为
√
[解析] 根据振幅的定义，可知该简谐运动的振幅为，故A错误；物块在 位置
时受力平衡，有，为弹簧伸长量，在 位置时的回复力大小为
，故B错误；根据简谐运动的特点可知，物体运动
过程中，周期内物块通过的路程一定等于 ，故C正确；物块
从位置回到 位置时，根据能量守恒得
，解得
，故D错误.
11.(10分)如图所示，竖直放置的轻弹簧劲度系数为 ，下端固定在水平面上，上
端与质量为 可视为质点的小球相连，开始时弹簧处于原长.现将小球从弹簧上
端由静止开始释放，在竖直方向上做简谐运动，其周期为 .已知重力加速
度为 ，不计弹簧质量和一切阻力，取竖直向下为正，开始运动时刻为0时刻，
(1) (3分)小球处于平衡位置时弹簧的形变量及简谐运动的振幅 ；
[答案] ;
求：
[解析] 小球处于平衡位置时，弹簧形变量
小球做简谐运动的振幅
11.(10分)如图所示，竖直放置的轻弹簧劲度系数为 ，下端固定在水平面上，上
端与质量为 可视为质点的小球相连，开始时弹簧处于原长.现将小球从弹簧上
端由静止开始释放，在竖直方向上做简谐运动，其周期为 .已知重力加速
度为 ，不计弹簧质量和一切阻力，取竖直向下为正，开始运动时刻为0时刻，
(2) (3分)小球简谐运动位移随时间变化的表达式；
[答案]
求：
[解析] 由题可知，规定竖直向下为正方向，开始时刻小球的位移为负向最大，
则
又
解得
11.(10分)如图所示，竖直放置的轻弹簧劲度系数为 ，下端固定在水平面上，上
端与质量为 可视为质点的小球相连，开始时弹簧处于原长.现将小球从弹簧上
端由静止开始释放，在竖直方向上做简谐运动，其周期为 .已知重力加速
度为 ，不计弹簧质量和一切阻力，取竖直向下为正，开始运动时刻为0时刻，
(3) (4分)小球运动到最低点时弹簧的弹力大小.
[答案]
求：
[解析] 由简谐运动的对称性可知，最低点小球的加速度 ，方向向上
由牛顿第二定律得
解得
12.(10分)［2025·江苏泰州期末］ 如图所示，一根粗细均匀的木筷下端绕有几
圈铁丝，竖直浮在一个较大的盛水容器中，以木筷静止时下端所在位置为坐标
原点建立直线坐标系，把木筷往下压一段距离 后放手，木筷就在水
(1) (5分)试证明木筷的振动是简谐运动；
中上下振动.已知水的密度为 ，重力加速度为 ，不计水的阻力.
[解析] 如图所示
取向下为正方向，设平衡位置离
水面高度为，木筷底面面积为 ，
将木筷往下按之前有
按下后有
令，可知 为常数
则
所以，木筷在水中的运动为简谐运动.
12.(10分)［2025·江苏泰州期末］ 如图所示，一根粗细均匀的木筷下端绕有几
圈铁丝，竖直浮在一个较大的盛水容器中，以木筷静止时下端所在位置为坐标
原点建立直线坐标系，把木筷往下压一段距离 后放手，木筷就在水
中上下振动.已知水的密度为 ，重力加速度为 ，不计水的阻力.
(2) (5分)观测发现筷子每10秒上下振动20次，从释放
筷子开始计时，写出筷子振动过程位移随时间变化的
关系式.
[答案] 取向下为正方向，
[解析] 因为筷子每10秒上下振动20次，则筷子简谐运动的
周期为 从释放筷子开始计时，取向下为正方向，
则筷子振动过程位移随时间变化的关系式
［教材链接］ 1.（1）平衡位置 （2）平衡位置 （3）
2.,位移,正比,平衡位置
例1.AD 变式1.C 例2.是 变式2.AD
［教材链接］ 1.动能,势能 （1）势能,动能 （2）动能,势能
2.守恒,理想化 3.振幅 例3.C 变式3.B 例4.B
随堂巩固
1.AB 2.D 3.B 4.AC
基础巩固练
1.B 2.C 3.C 4.CD 5.AC 6.C
综合提升练
7.B 8.ABC 9.C 10.C
11.（1）, （2） （3）
拓展挑战练
12.（1）见解析 （2）取向下为正方向，
