专题课:单摆问题及其拓展
例1 C [解析] 由甲地到乙地摆动加快则说明摆的周期变小,因T=2π,则重力加速度变大,要使周期不变小,则应增加摆长,即将螺母适当向下移动.由上分析可知,A、B、D错误,C正确.
变式1 D [解析] 根据周期公式T=2π知,两单摆的周期相同,与质量无关,所以相撞后两球分别经过T后回到各自的平衡位置,下一次一定是在平衡位置相遇,所以不管A、B的质量如何,下一次碰撞都在平衡位置,故A、B、C错误,D正确.
[模型建构]
模型 图示(l、l1、l2为 摆线长,r为摆球半径) 摆长 等效重力 加速度g效 周期T
双线摆 不变, lsin α+r 不变,g T= 2π
折线摆 碰到 钉子 后变小 不变,g T=π+ π
圆弧摆 不变, R-r 不变,g T= 2π
斜面摆 不变, l+r 不变, gsin α T= 2π
例2 AD [解析] 以A点为重力势能零点,小球摆动过程中,只有重力做功,机械能守恒,两侧最高点动能均为零,故重力势能也相等,故点C与点A等高,故A正确,B错误;小球从B→A→B的时间为t1=T1=π,小球从B→C→B的时间为t2=T2=×2π=π,故小球摆动的周期为T=t1+t2=π,故C错误,D正确.
变式2 D [解析] 根据周期公式T=2π,可知单摆的周期与振幅和摆球质量无关,与摆长和重力加速度有关.题图甲中沿斜面的加速度为a1=gsin θ,所以周期T1=2π,题图乙中摆球所受的库仑力始终沿摆线方向,回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供,故摆球的等效重力加速度为a2=g,所以周期T2=2π,题图丙中的周期T3=2π,题图丁中的等效重力加速度为a4=g+a,所以周期T4=2π,故T1>T2=T3>T4,故A、B、C错误,D正确.
随堂巩固
1.AD [解析] 当小球在纸面内做小角度的摆动时,摆动圆弧的圆心为O点,摆长为L,故周期为T=2π,故A正确,C错误;当小球在垂直纸面方向做小角度的摆动时,圆心在A、B所在水平面上且在O点正上方,由几何关系知摆长为L'=L,故周期为T=2π=π,故B错误,D正确.
2.AD [解析] B球来回运动的时间t=,单摆的周期为T=2t=,故A正确;单摆的周期为T==2π,联立解得重力加速度为g=,故B错误;单摆的周期为T=2π,碰撞前后周期不变,故A球释放到达P经历的时间等于A球碰后再次到达最高点的时间,故C错误;根据动能定理有mgh=m,碰撞后有mv0=mvA+0.2mv,解得vA=-,故D正确.
3.A [解析] 球A做自由落体运动,到达C点的时间为tA==,当弧BC所对的圆心角小于5°时,球B在圆弧的支持力FN和重力G的作用下做简谐运动(与单摆类似),它的振动周期为T=2π=2π,因此球B运动到C点所需的时间是tB==,故tA1.D [解析] 将一个装满沙的轻漏斗做成单摆,在摆动时沙从漏斗中慢慢漏出,摆长先变大后变小,由T=2π可知,周期也先变大后变小,选项A错误;单摆周期与振幅无关,选项B错误;将摆由高山移到地面上,重力加速度变大,则周期变小,选项C错误;将摆由北极移到赤道,重力加速度变小,则周期变大,选项D正确.
2.D [解析] 由题意可知,该双线摆的摆长为L=lcos θ+,该双线摆的周期为T=2π=2π,故选D.
3.B [解析] 设窗上沿到房顶的高度为L2,小球的摆动可视为单摆运动,可得tBO=T1=,tAO=T2=,tAO=tBO,解得L2=1.5 m,故选B.
4.A [解析] 根据单摆的周期公式可得T=2π,T=,所以R=,则生命之环的高度约为h=2R=,故选A.
5.AD [解析] 小球B做自由落体运动,小球C做简谐运动,根据题意得H=gt2,t=×2π(n=1,3,5,…),解得H=(n=1,3,5,…),A、D正确.
6.D [解析] 本题情景中,单摆的周期公式为T=2π,其中g'为小球摆动过程的等效重力加速度,则去除细线拉力后,小球受到的等效重力为G'=mg'=ρVg',又G'=Vg,联立解得T=2π,代入数据得T=16 s.
7.ABC [解析] 摆线即使碰到障碍物,摆线的拉力对摆球也不做功,整个过程中只有重力做功,所以摆球机械能守恒,其仍能回到原来的高度,故A正确;频闪照相机拍摄的时间间隔一定,由题图可知,摆线碰到障碍物前、后的周期之比为36∶24=3∶2,根据单摆的周期公式T=2π,得摆长之比为9∶4,故B正确;摆球经过最低点时,线速度不变,半径变小,根据F-mg=m知,张力变大,根据v=ωr,知角速度增大,故C正确,D错误.
8.C [解析] 由于h L,小球沿光滑圆弧面ABD运动,可看作单摆模型,运动时间等于四分之一个单摆周期.设圆弧轨道半径为R,单摆周期T=2π,小球的运动时间为t1=T=,小球沿光滑斜面ACD运动,可看作等时圆模型,运动时间等于从圆周最高点沿直径自由下落到最低点所用的时间,所以t2==2.由上述可得t2=t1,故选C.
9.AC [解析] 小球自A点以向AD方向的初速度v开始运动,把小球的运动进行分解,一个是沿水平方向的匀速运动,一个是在竖直面上的单摆,根据单摆周期公式有T=2π=2π s,小球自A点运动到C点,在竖直面上运动的时间为t=(2n+1)=(2n+1)π s(n=0,1,2,3,…),由于分运动的等时性,所以初速度为v== m/s(n=0,1,2,3,…),当n=0时,v1= m/s,当n=1时,v2= m/s,故选A、C.
10.
[解析] 球A运动的周期TA=2π
球B运动的周期TB=2π=π
则该振动系统的周期
T=TA+TB=(TA+TB)=
在每个周期T内两球会发生两次碰撞,球A从最大位移处由静止开始释放后,经6T=9π,发生12次碰撞,且第12次碰撞后A球又回到最大位置处所用时间为t'=TA=
所以从释放A到发生第12次碰撞所用时间为
t=6T-t'=9π-=.专题课:单摆问题及其拓展
学习任务一 单摆周期公式的应用
[科学思维]
(1)单摆模型周期公式的成立条件:
①圆弧运动;
②小角度摆动;
③回复力F=-kx.
(2)应用单摆模型周期公式的步骤:首先确认符合单摆模型的条件,然后寻找等效摆长L及等效重力加速度g,最后利用公式T=2π 或简谐运动规律分析、解答.
例1 惠更斯利用摆的等时性原理制成了第一座摆钟.如图甲所示为日常生活中我们能见到的一种摆钟,图乙所示为钟摆的结构示意图,圆盘固定在摆杆上,螺母可以沿摆杆上下移动.在甲地走时准确的摆钟移到乙地未做其他调整时摆动加快了,下列说法正确的是 ( )
A.甲地的重力加速度较大,若要调准可将螺母适当向下移动
B.甲地的重力加速度较大,若要调准可将螺母适当向上移动
C.乙地的重力加速度较大,若要调准可将螺母适当向下移动
D.乙地的重力加速度较大,若要调准可将螺母适当向上移动
变式1 如图所示,两单摆摆长相同,静止时两球刚好接触.将摆球A在两摆线所在平面内向左拉开一个小角度后释放,碰撞中动能有损失,碰后两球分开,分别做简谐运动.用mA、mB分别表示A、B两球的质量.下列说法中正确的是 ( )
A.若mA>mB,则下一次碰撞一定发生在平衡位置右侧
B.若mAC.只要两摆球的质量不相同,下一次碰撞就不可能发生在平衡位置
D.无论两摆球的质量之比是多少,下一次碰撞一定发生在平衡位置
学习任务二 单摆模型的变形拓展
[模型建构] 请分析下列摆的模型,该摆的摆长、等效重力加速度及周期T有何变化 完成下表.
模型 图示(l、l1、l2为 摆线长, r为摆球半径) 摆长 等效重力 加速度g效 周期T
双线摆
折线摆
圆弧摆
斜面摆
例2 (多选)[2025·深圳实验学校高二月考] 如图所示,长为l的轻绳上端固定在O点,下端系一小球(小球可视为质点),在O点正下方距O点处的P点固定一小钉子,现将小球拉至A点,使细线与竖直方向间夹角为θ(θ很小),然后由静止释放小球,小球运动的最低点为B,点C(图中未标出)是小球能够到达的左方最高位置.A、B、P、O在同一竖直平面内,重力加速度为g,不计空气阻力.下列说法正确的有 ( )
A.点C与点A等高
B.点C在点A上方
C.小球摆动的周期为2π
D.小球摆动的周期为π
变式2 如图所示,几个摆长相同的单摆,它们在不同条件下的周期分别为T1、T2、T3、T4,关于周期大小关系的判断,正确的是 ( )
A.T1>T2>T3>T4
B.T1C.T1D.T1>T2=T3>T4
[反思感悟]
1.(单摆周期公式的应用)(多选)[2024·安徽合肥一中高二月考] 如图所示,三根细线在O点处打结,A、B两端固定在同一水平面上相距为L的两点上,△AOB为直角三角形,∠BAO=30°,已知OC长为L,下端C点处系着一个小球(忽略小球的半径,小球摆动时偏角θ<5°,重力加速度为g),下列说法正确的是 ( )
A.让小球在纸面内摆动,周期T=2π
B.让小球在垂直纸面方向摆动,周期T=2π
C.让小球在纸面内摆动,周期T=2π
D.让小球在垂直纸面方向摆动,周期T=π
2.(单摆周期公式的应用)(多选)如图为一有效摆长为l的单摆,现将质量为m的摆球A向左拉高一个很小的角度,使得A球升高了h,然后由静止释放.A球摆至平衡位置P时,恰与静止在P处,质量为0.2m的B球发生正碰,碰后A继续向右摆动,B球以速度v沿光滑水平面向右运动,与距离为d的墙壁碰撞后以原速率返回,当B球重新回到位置P时,A球恰好碰后第一次回到P点,重力加速度为g.则下列说法正确的是 ( )
A.单摆的周期为T=
B.当地的重力加速度为g=
C.A球释放到达P经历的时间,大于A球碰后再次到达最高点的时间
D.A球碰后的速度大小为vA=-
3.(单摆模型的变形拓展)如图所示,MN为半径较大的光滑圆弧的一部分,把小球A放在MN的圆心处,再把另一个小球B放在MN上离最低点C很近的B处(弧BC所对圆心角小于5°),同时由静止释放两小球,则 ( )
A.球A先到达C点
B.球B先到达C点
C.两球同时到达C点
D.无法确定哪个球先到达C点专题课:单摆问题及其拓展 (时间:40分钟 总分:46分)
(选择题每小题4分)
1.下列情况下,单摆的周期会变大的是 ( )
A.将一个装满沙的轻漏斗做成单摆,在摆动时沙从漏斗中慢慢漏出
B.单摆振幅减为原来的一半
C.将摆由高山移到地面上
D.将摆由北极移到赤道
2.[2025·陕西西安铁一中学期中] 如图所示,两根不可伸长的轻质线的一端都系在小球的同一点,另一端分别固定在天花板上的A、B两点,组成一个双线摆.两根线的长度均为l,系统静止时线与竖直方向的夹角均为θ,小球的直径为d,重力加速度为g.现将小球向纸面外拉动一很小的幅度(球心与A、B仍共面)后由静止释放,小球开始绕A、B所在水平线摆动,若不计空气阻力,则该双线摆的周期为 ( )
A.T=2π
B.T=2π
C.T=2π
D.T=2π
3.[2025·山西忻州期末] 如图所示,房顶上固定一根长为L1=2 m的细线沿竖直墙壁垂到窗沿下,细线下端系了一个小球(可视为质点).打开窗户,让小球在垂直于窗户的竖直平面内小幅度摆动,A点是小球摆动的最左端,B点是小球摆动的最右端,O点是小球摆动的平衡位置.不计空气阻力,小球从A点到O点所用的最短时间为tAO,小球从B点到所O点所用的最短时间为tBO,若tAO=tBO,则窗上沿到房顶的高度为 ( )
A.1.6 m B.1.5 m C.1.2 m D.1.4 m
4.[2025·湖南长沙期末] 图甲所示为某地地标性建筑——“生命之环”,一位学生欲运用所学物理知识估测其高度.测量的原理示意图如图乙所示,他找来一个光滑小球,将其由“环”内壁上的P点(靠近最低点)由静止释放,则小球沿环内壁做往返运动.某时刻小球到达P点时利用手机的秒表计时功能开始计时,此后小球第n次回到P点时停止计时,所测得时间为t.已知当地的重力加速度为g,由此可知生命之环的高度约为 ( )
A. B. C. D.
5.(多选)如图所示,光滑圆弧槽半径为R,A为最低点,C到A的距离远远小于R,若同时释放小球B、C.设小球B到A点的距离为H,则要使两小球B和C在A点相遇(小球B和C可视为质点),H的可能值为 ( )
A.
B.
C.
D.
6.一细线一端固定,另一端系一密度为ρ=0.8×103 kg/m3的小球,组成一个单摆,其周期为T=8 s.现将此单摆倒置于水中,使其拉开一个小角度后做简谐运动,如图所示.已知水的密度为1.0×103 kg/m3,水对小球的阻力可忽略,g取10 m/s2则小球在水中做简谐运动的周期为 ( )
A.4 s
B.8 s
C.12 s
D.16 s
7.(多选)[2025·山西大同期末] 将一单摆向左拉至水平标志线上(摆角很小),从静止释放,当摆球运动到最低点时,摆线碰到障碍物,摆球继续向右摆动.用频闪照相机拍到如图所示的单摆运动过程的频闪照片,以下说法正确的是 ( )
A.这个实验说明了动能和势能可以相互转化,转化过程中机械能守恒
B.摆线碰到障碍物前后的摆长之比为9∶4
C.摆球经过最低点时,线速度不变,半径减小,摆线张力变大
D.摆球经过最低点时,角速度变大,半径减小,摆线张力不变
8.[2024·浙江金华一中高二月考] 一光滑圆弧面ABD,水平距离为L,高为h(L h),小球从顶端A处静止释放,滑到底端D的时间为t1,若在圆弧面上放一块光滑斜面ACD,则小球从A点静止释放,滑到D的时间为t2,则 ( )
A.t2=t1
B.t2=t1
C.t2=t1
D.t2=t1
9.(多选)[2025·湖南怀化期末] 如图所示,在一个水平放置的槽中,小球自A点以沿AD方向的初速度v开始运动,已知圆弧=0.9 m,圆弧所在圆的半径R=10 m,AD=10 m,A、B、C、D在同一水平面内,不计摩擦,重力加速度g取10 m/s2,欲使小球恰能通过C点,则其初速度的大小可能是 ( )
A. m/s B. m/s
C. m/s D. m/s
10.(10分)如图所示,两个完全相同的弹性小球A和B分别挂在长为l和的细线上,重心在同一水平面且小球恰好相互接触,重力加速度为g.把第一个小球A向右拉开一个不大的距离后由静止释放,经过多长时间两球发生第12次碰撞 (两球碰撞时交换速度)(共55张PPT)
专题课:单摆问题及其拓展
学习任务一 单摆周期公式的应用
学习任务二 单摆模型的变形拓展
备用习题
随堂巩固
练习册
◆
答案核查【导】
答案核查【练】
学习任务一 单摆周期公式的应用
［科学思维］
(1)单摆模型周期公式的成立条件:
①圆弧运动；
②小角度摆动；
③回复力.
(2)应用单摆模型周期公式的步骤：首先确认符合单摆模型的条件,然后寻找等效
摆长及等效重力加速度,最后利用公式 或简谐运动规律分析、解答.
例1 惠更斯利用摆的等时性原理制成了第一座摆钟.如图甲所示为日常生活中
我们能见到的一种摆钟，图乙所示为钟摆的结构示意图，圆盘固定在摆杆上，
螺母可以沿摆杆上下移动.在甲地走时准确的摆钟移到乙地未做其他调整时摆
动加快了，下列说法正确的是( )
A.甲地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向下移动
B.甲地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向上移动
C.乙地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向下移动
D.乙地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向上移动
√
[解析] 由甲地到乙地摆动加快则说明摆的周期变小，因 ，则重力加速
度变大，要使周期不变小，则应增加摆长，即将螺母适当向下移动.由上分析可
知，A、B、D错误，C正确.
变式1 如图所示，两单摆摆长相同，静止时两球刚好接触.将摆球 在两摆线所
在平面内向左拉开一个小角度后释放，碰撞中动能有损失，碰后两球分开，分
别做简谐运动.用、分别表示、 两球的质量.下列说法中正确的是( )
A.若 ，则下一次碰撞一定发生在平衡位置右侧
B.若 ，则下一次碰撞一定发生在平衡位置左侧
C.只要两摆球的质量不相同，下一次碰撞就不可能发生在平衡位置
D.无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞一定发生在平衡位置
√
[解析] 根据周期公式 知,两单摆的周期相同,与质量无关,所以相撞后两
球分别经过 后回到各自的平衡位置,下一次一定是在平衡位置相遇,所以不管
、 的质量如何,下一次碰撞都在平衡位置,
故A、B、C错误,D正确.
学习任务二 单摆模型的变形拓展
［模型建构］ 请分析下列摆的模型，该摆的摆长、等效重力加速度及周期 有
何变化？完成下表.
模型 摆长
双线摆 _____________________________________________ _________ ________ _________ _ ______________
不变，
不变，
模型 摆长
折线摆 ______________________________________ _________ _________ _________ ________________
___________
碰到钉子后变小
不变，
续表
模型 摆长
圆弧摆 ____________________________________________ _________ _________ _ ___________
斜面摆 ____________________________________________________ _________ ___________ _ _____________
不变，
不变，
不变，
不变，
续表
例2 (多选)［2025·深圳实验学校高二月考］ 如图所示，长为 的
轻绳上端固定在点，下端系一小球(小球可视为质点),在 点正下
方距点处的点固定一小钉子，现将小球拉至 点，使细线与竖
直方向间夹角为 很小 ，然后由静止释放小球，小球运动的最
低点为，点(图中未标出)是小球能够到达的左方最高位置. 、
、、在同一竖直平面内，重力加速度为 ，不计空气阻力.下
列说法正确的有( )
A.点与点等高 B.点在点 上方
C.小球摆动的周期为 D.小球摆动的周期为
√
√
[解析] 以 点为重力势能零点，小球摆动过程中，只有重力做功，机械能守恒，
两侧最高点动能均为零，故重力势能也相等，故点与点 等高，故A正确，B
错误；小球从的时间为，小球从 的时间为
，故小球摆动的周期为
，故C错误，D正确.
变式2 如图所示，几个摆长相同的单摆，它们在不同条件下的周期分别为 、
、、 ，关于周期大小关系的判断，正确的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 根据周期公式 ，可知单摆的周期与振幅和摆球质量无关，与摆
长和重力加速度有关.题图甲中沿斜面的加速度为 ，所以周期
，题图乙中摆球所受的库仑力始终沿摆线方向，回复力由重力沿
圆弧切线方向的分力提供，故摆球的等效重力加速度为 ，所以周期
，题图丙中的周期 ，题图丁中的等效重力加速度为
，所以周期，故 ，故A、B、C错误，
D正确.
1.水平地面上固定一段光滑绝缘圆弧轨道，过轨道左端 点的竖直线恰好经过
轨道的圆心(图上未画出)，紧贴 点左侧还固定有绝缘竖直挡板.自零时刻起将
一带正电的小球自轨道上的 点由静止释放.小球与挡板碰撞时无能量损失，
碰撞时间不计，运动周期为，、间的距离为 并且远远小于轨道半径，重
力加速度为 , 以下说法正确的是( )
A.圆弧轨道的半径为
B.空间加上竖直向下的匀强电场，小球的运动周期会增大
C.空间加上垂直纸面向里的匀强磁场，若小球不脱离轨道，运动周期会增大
D.时小球距点的距离约为
√
√
[解析] 、间的距离为 并且远远小于轨道半径，则小球在圆弧轨道的运动过
程，可看成单摆模型，其周期为单摆的半个周期，根据单摆的周期公式有
，，解得圆弧轨道的半径为 ，A正确；空间加上竖直
向下的匀强电场，等效重力加速度增大，根据单摆的周期公式可知小球的运动
周期将减小，B错误；空间加上垂直纸面向里的匀强磁场，小球下滑时洛伦兹
力总是与速度方向垂直，洛伦兹力不做功，不改变速度大小，所以若小球不脱
离轨道，运动周期将不改变，C错误；将从到 的过
程看成初速度为0的匀加速直线运动，连续相等位移通
过的时间之比为，约为，所以经过 时
小球距点的距离约为 ，D正确.
2.如图甲双线摆也是一种单摆，它的优点是可以把摆球的运动轨迹约束在一个
确定的平面上.现把双线摆的其中一根悬线，换成一根很轻的硬杆，组成一个
“杆线摆”，如图乙所示.杆线摆可以绕着悬挂轴来回摆动，杆与悬挂轴 垂
直，其摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，图乙中 、 、 均为已
知，重力加速度为 ,则在摆角很小时“杆线摆”的周期为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题意可知摆长为，等效的重力加速度 ，根据单摆周期公
式可得 ，故选A.
3.如图所示，两段光滑圆弧轨道半径分别为和 ，圆心
分别为和，在最低点平滑连接.点和点分别位于
点左、右两侧，、的距离小于、 的距离，圆弧
、所对应的圆心角均小于 .现分别将位于点和
点的两个小球和 (均可视为质点)同时由静止释放.关于两
小球第一次相遇点的位置，下列判断正确的是( )
A.恰好在点 B.一定在 点的左侧
C.一定在 点的右侧 D.条件不足，无法确定
√
[解析] 据题意，两段光滑圆弧所对应的圆心角均小于 ，把两球在圆弧上的运
动等效为单摆运动，等效摆长等于圆弧的半径，则、 两球的运动周期分别为
，，两球第一次到达 点的时间分
别为，，由于 ，
则，故两小球第一次相遇点的位置一定在 点的右
侧，选项C正确.
4.一个在地球上做简谐运动的单摆，其振动图像如图甲所示，今将此单摆移至
某一行星上，其简谐运动图像如图乙所示.若已知该行星的质量为地球质量的2
倍，地表重力加速度取，取 ,求：
(1) 此单摆的摆长；
[答案]
[解析] 由题图知，单摆在地球上的振动周期
根据，有
代入数据解得 .
(2) 该行星表面的重力加速度与地球表面重力加速度的比值；
[答案]
4.一个在地球上做简谐运动的单摆，其振动图像如图甲所示，今将此单摆移至
某一行星上，其简谐运动图像如图乙所示.若已知该行星的质量为地球质量的2
倍，地表重力加速度取，取 ,求：
[解析] 由题图知，单摆在该行星上的振动周期，而
得
所以行星表面的重力加速度与地球表面重力加速度的比值为 .
4.一个在地球上做简谐运动的单摆，其振动图像如图甲所示，今将此单摆移至
某一行星上，其简谐运动图像如图乙所示.若已知该行星的质量为地球质量的2
倍，地表重力加速度取，取 ,求：
(3) 该行星的半径与地球半径的比值.
[答案]
[解析] 根据 ， 得
所以该行星的半径与地球半径的比值为
1.(单摆周期公式的应用)(多选)［2024·安徽合肥一中高二月考］ 如图所示，三
根细线在点处打结，、两端固定在同一水平面上相距为的两点上，
为直角三角形， ，已知长为，下端 点处系着一个小球
(忽略小球的半径，小球摆动时偏角 ，重力加速度为 )，下列说法正确的
是 ( )
A.让小球在纸面内摆动，周期
B.让小球在垂直纸面方向摆动，周期
C.让小球在纸面内摆动，周期
D.让小球在垂直纸面方向摆动，周期
√
√
[解析] 当小球在纸面内做小角度的摆动时，摆动圆弧的圆心为点，摆长为 ，
故周期为 ，故A正确，C错误；当小球在垂直纸面方向做小角度的摆
动时，圆心在、所在水平面上且在 点正上方，由几何关系知摆长为
，故周期为 ，故B错
误，D正确.
2.(单摆周期公式的应用)(多选)如图为一有效摆长为的单摆，现将质量为 的摆球
向左拉高一个很小的角度，使得球升高了，然后由静止释放. 球摆至平衡位
置时，恰与静止在处，质量为的球发生正碰，碰后继续向右摆动，
球以速度沿光滑水平面向右运动，与距离为的墙壁碰撞后以原速率返回，当
球重新回到位置时，球恰好碰后第一次回到点，重力加速度为 .则下列说法
正确的是 ( )
A.单摆的周期为
B.当地的重力加速度为
C.球释放到达经历的时间，大于 球碰后再次到达最高
点的时间
D.球碰后的速度大小为
√
√
[解析] 球来回运动的时间，单摆的周期为 ，故A正确；单摆
的周期为，联立解得重力加速度为 ，故B错误；单摆的
周期为，碰撞前后周期不变，故 球释放到
达经历的时间等于 球碰后再次到达最高点的时间，
故C错误；根据动能定理有 ，碰撞后有
，解得 ，故D正确.
3.(单摆模型的变形拓展)如图所示， 为半径较大的光滑圆弧的一部分，把小
球放在的圆心处，再把另一个小球放在上离最低点很近的 处
(弧所对圆心角小于 )，同时由静止释放两小球，则( )
A.球先到达点 B.球先到达 点
C.两球同时到达点 D.无法确定哪个球先到达 点
√
[解析] 球做自由落体运动，到达点的时间为，当弧 所对的
圆心角小于 时，球在圆弧的支持力和重力 的作用下做简谐运动
(与单摆类似)，它的振动周期为，因此球运动到 点所需的
时间是，故，则球先到达 点，故选
A.
练习册
1.下列情况下，单摆的周期会变大的是( )
A.将一个装满沙的轻漏斗做成单摆，在摆动时沙从漏斗中慢慢漏出
B.单摆振幅减为原来的一半
C.将摆由高山移到地面上
D.将摆由北极移到赤道
√
[解析] 将一个装满沙的轻漏斗做成单摆，在摆动时沙从漏斗中慢慢漏出，摆长
先变大后变小，由 可知，周期也先变大后变小，选项A错误；单摆周
期与振幅无关，选项B错误；将摆由高山移到地面上，重力加速度变大，则周
期变小，选项C错误；将摆由北极移到赤道，重力加速度变小，则周期变大，
选项D正确.
2.［2025·陕西西安铁一中学期中］如图所示，两根不可伸长的轻质线的一端都
系在小球的同一点，另一端分别固定在天花板上的、 两点，组成一个双线摆.
两根线的长度均为，系统静止时线与竖直方向的夹角均为 ，小球的直径为 ，
重力加速度为.现将小球向纸面外拉动一很小的幅度(球心与、 仍共面)后由
静止释放，小球开始绕、 所在水平线摆动，若不计空气阻力，则该双线摆的
周期为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题意可知，该双线摆的摆长为 ，该双线摆的周期为
，故选D.
3.［2025·山西忻州期末］如图所示，房顶上固定一根长为
的细线沿竖直墙壁垂到窗沿下，细线下端系了一
个小球(可视为质点).打开窗户，让小球在垂直于窗户的竖
直平面内小幅度摆动，点是小球摆动的最左端， 点是小
球摆动的最右端， 点是小球摆动的平衡位置.不计空气阻
力，小球从点到点所用的最短时间为，小球从 点到
所点所用的最短时间为，若 ，则窗上沿到
房顶的高度为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设窗上沿到房顶的高度为 ，小球的摆动可视为单摆运动，可得
，，，解得 ，故选B.
4.［2025·湖南长沙期末］图甲所示为某地地标
性建筑——“生命之环”，一位学生欲运用所学物
理知识估测其高度.测量的原理示意图如图乙所
示，他找来一个光滑小球，将其由“环”内壁上的
A. B. C. D.
点(靠近最低点)由静止释放，则小球沿环内壁做往返运动.某时刻小球到达 点
时利用手机的秒表计时功能开始计时，此后小球第次回到 点时停止计时，所
测得时间为.已知当地的重力加速度为 ，由此可知生命之环的高度约为( )
√
[解析] 根据单摆的周期公式可得，，所以 ，则生命之
环的高度约为 ，故选A.
5.(多选)如图所示，光滑圆弧槽半径为，为最低点，
到的距离远远小于，若同时释放小球、.设小球 到
点的距离为，则要使两小球和在 点相遇
(小球和可视为质点)， 的可能值为( )
A. B. C. D.
[解析] 小球做自由落体运动，小球做简谐运动，根据题意得 ，
，解得 ，A、D正确.
√
√
6.一细线一端固定，另一端系一密度为
的小球，组成一个单摆，其周期为
.现将此单摆倒置于水中，使其拉开一个小角度后
做简谐运动，如图所示.已知水的密度为 ，
水对小球的阻力可忽略，取 则小球
在水中做简谐运动的周期为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 本题情景中，单摆的周期公式为，其中 为小球摆动过程的等
效重力加速度，则去除细线拉力后，小球受到的等效重力为 ，
又，联立解得，代入数据得 .
7.(多选)［2025·山西大同期末］ 将一单摆向左拉至水平标
志线上(摆角很小)，从静止释放，当摆球运动到最低点时，
摆线碰到障碍物，摆球继续向右摆动.用频闪照相机拍到如
图所示的单摆运动过程的频闪照片，以下说法正确的是
( )
A.这个实验说明了动能和势能可以相互转化，转化过程中机械能守恒
B.摆线碰到障碍物前后的摆长之比为
C.摆球经过最低点时，线速度不变，半径减小，摆线张力变大
D.摆球经过最低点时，角速度变大，半径减小，摆线张力不变
√
√
√
[解析] 摆线即使碰到障碍物，摆线的拉力对摆球也不做功，整个过程中只有重
力做功，所以摆球机械能守恒，其仍能回到原来的高度，故A正确；频闪照相
机拍摄的时间间隔一定，由题图可知，摆线碰到障碍物前、后的周期之比为
，根据单摆的周期公式，得摆长之比为 ，故B正确；
摆球经过最低点时，线速度不变，半径变小，根据
知，张力变大，根据 ，知角速度增
大，故C正确，D错误.
8.［2024·浙江金华一中高二月考］一光滑圆弧面，水平距离为 ，高为
，小球从顶端处静止释放，滑到底端的时间为 ，若在圆弧面上放
一块光滑斜面，则小球从点静止释放，滑到的时间为 ，则( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由于，小球沿光滑圆弧面 运动，可看作单摆模型，运动时间
等于四分之一个单摆周期.设圆弧轨道半径为，单摆周期 ,小球的运动
时间为，小球沿光滑斜面 运动，可看作等时圆模型，运动时
间等于从圆周最高点沿直径自由下落到最低点所用的时间，所以
.由上述可得 ，故选C.
9.(多选)［2025·湖南怀化期末］ 如图所示，在一个水平放置的槽中，小球自
点以沿方向的初速度开始运动，已知圆弧， 圆弧所在圆的半
径，，、、、 在同一水平面内，不计摩擦，重力加速
度取，欲使小球恰能通过 点，则其初速度的大小可能是( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 小球自点以向方向的初速度 开始运动，把小球的运动进行分解，
一个是沿水平方向的匀速运动，一个是在竖直面上的单摆，根据单摆周期公式
有，小球自点运动到 点，在竖直面上运动的时间为
，由于分运动的等时性，所以初速
度为，当
时，，当时， ，故选A、C.
10.(10分)如图所示，两个完全相同的弹性小球和分别挂在长为和 的细线上，
重心在同一水平面且小球恰好相互接触，重力加速度为. 把第一个小球 向右
拉开一个不大的距离后由静止释放，经过多长时间两球发生第12次碰撞
[答案]
(两球碰撞时交换速度)
[解析] 球运动的周期
球运动的周期
则该振动系统的周期
在每个周期内两球会发生两次碰撞，球 从最大位移处由静止开始
释放后，经，发生12次碰撞，且第12次碰撞后 球又回到
最大位置处所用时间为
所以从释放 到发生第12次碰撞所用时间为
.
例1.C 变式1.D
［模型建构］不变，,不变，,,碰到钉子后变小,
不变，,,不变，,不变，,,不变，
,不变，, 例2.AD 变式2.D
随堂巩固
1.AD 2.AD 3.A
基础巩固练
1.D 2.D 3.B 4.A 5.AD 6.D
综合提升练
7.ABC 8.C 9.AC 10.
