山东省济南市实验中学2026届高三上学期开学摸底测试数学试题(含解析)

山东省实验中学中学2026届高三上学期开学摸底测试
数学试题及答案解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
. . . .
2.设随机事件满足，，则（ ）
. . . .
3.设，则中最大的是（ ）
. . . .
4.的展开式中的常数项为（ ）
. . . .
5.函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ）
. .
. .
6.有4对双胞胎共8人，从中随机选4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（ ）
. . . .
7.设，函数，则下面正确的是（ ）
.有两个极值点
.若，则当时，
.若有3个零点，则的取值范围是
.若存在，满足，则
8.已知函数，则的极值点的个数情况可能为（ ）
.没有极值点 .有无穷多个极值点
.恰有2025个极值点 .恰有2026个极值点
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.甲、乙两组各有8名同学，某项体能测试的成绩（单位：分）如下表：
则关于甲、乙两组该项体能测试成绩的说法正确的为（ ）
.甲、乙两组成绩的平均数相等
.甲组成绩的上四分位数大于乙组成绩的上四分位数
.甲组成绩的极差小于乙组成绩的极差
.甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差
10.两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率3%，；第二批占60%，次品率为2%，则（ ）
.从两批产品中各取1件，都取到次品的概率为0.06%
.从两批产品中各取1件，都取到次品的概率为2.4%
.两批产品混合后任取1件，该产品是次品的概率为2.4%
.两批产品混合后任取1件，若取到的是次品，则它取自第一批产品的概率为0.3%
11.已知函数和的最小值相等，则下列说法正确的是（ ）
.
.的最小值为2
.在上单调递增
.若直线与和的图象从左到右的交点分别为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知一组数据1,2,3,4，的上四分位数是，则的取值范围为 .
13.已知随机变量服从正态分布，且，，则 .
14.不等式对任意成立，则实数的取值范围是 .
四、解答题：本题共3小题，共47分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围.
16.无人驾驶技术是汽车研发领域的一个重要方向.某学校技术俱乐部研发了一个感知路况障碍的小汽车模型。该模型通过三个传感器共同判断路段是否有路障.在对该模型进行测试中，该俱乐部同学寻找了80个不同的路段作为测试样本，数据如下表：
（1）从这80个路段中随机抽取一个路段，求传感器1对该路况判断正确的概率；
（2）从这80个路段中随机抽取一个有障碍的路段进行测试，设为传感器1和传感器
2判断正确的总路段数，求的分布列和数学期望；
（3）现有一辆小汽车同时装载了以上3种传感器.在通过某路段时，只要3个传感器中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速.那么是否可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于？（结论不要求证明）
17.已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数.
（1）若在区间上不是单调函数，求的取值范围；
（2）若当时，恒成立，求的取值范围.
答案解析
一、选择题
1.D 解析：，，
.
2.B 解析：，，
则.
3.B 解析：∵展开式的通项公式为，
∴展开式各项的系数与二项式系数相等或互为相反数，
又由二项式系数的性质知，二项式系数最大的项为第5、第六项，
即，，∴中最大的是.
4.A 解析：的展开式中的常数项为.
5.C 解析：由函数的图象可知，当和时，；
当时，；
又由图可知当时，函数单调递增，则；
当时，函数单调递减，则，
∴的解集为.
6.A 解析：第一步：选一对双胞胎有种；
第二步：再选两对双胞胎，并从每对双胞胎中各选一人共有种；
利用分步计数乘法原理可知：
从中随机选4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为.
7.C 解析：对于A，∵，∴，
∴当时，，单调递增，无极值点；
当时，由得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
此时有两个极值点，∴不一定有两个极值点，故A错误；
对于B，当，时，由上述知，在上单调递减，在上单调递增，
则，故B错误；
对于C，当时，单调递增，至多只有一个零点，不合题意；
当时，若有3个零点，
则由单调性可知必然有，解得.
而当，时，，，
∴在区间，，中分别各有一个零点，故C正确；
对于D，∵，
∴等价于或，∴，故D错误.
8.C 解析：对求导，可得.
令，即，移项可得.
则的极值点个数等价于函数与图象的交点（不算切点）的个数，
当时，，与只有一个交点，且在该点两侧导数符号改变，∴此时有1个极值点；
当时，与都是奇函数，图象关于原点对称，
是周期函数，是过原点的直线，
随着的取值不同，由正弦函数的对称性及有界性，两函数图象的交点（不算切点）的个数只能是有限个，且是奇数个（因为关于原点对称），
∴该函数可能恰有2025个极值点.
二、选择题
9.ACD 解析：对于A，甲组成绩的平均数为，
乙组成绩的平均数为，
∴甲、乙两组成绩的平均数相等，故A正确；
对于B，将甲组成绩从小到大排序为：7,7,7,8,8,8,9,10，
∵，∴甲组成绩的上四分位数为，
将乙组成绩从小到大排序为：5,6,7,8,9,9,10,10，
∴乙组成绩的上四分位数为，
则甲组成绩的上四分位数小于乙组成绩的上四分位数，故B错误；
对于C，甲组成绩的极差为，乙组成绩的极差为，
∴甲组成绩的极差小于乙组成绩的极差，故C正确；
对于D，甲组成绩的方差为：
，
乙组成绩的方差为：
，
∴甲组成绩的方差小于乙组成绩的方程，故D正确.
10.AC 解析：依题意，从两批产品中各取1件，都取到次品的概率为，故A正确，B错误；
设事件“次品来自第一批产品”，“次品来自第二批产品”，而“从混合后的产品中取出一件是次品”，
则，，，，
∴，故C正确；
∵，故D错误.
11.ACD 解析：对于A，∵，∴易得在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为，
，当时，，在上单调递减，不符合题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
∴的最小值为，即，解得，故A正确；
对于B，∵当且仅当时取等号；当且仅当时取等号，两者不能同时取等号，∴，故B错误；
对于C，，，则，
当时，∵，，∴；
当时，∵，，∴，
总之，当时，，∴在上单调递增 ，故C正确；
对于D，如图所示，
当直线在和交点的上方时，
不妨设，，，，
则，
∵，，，
∴，即，∴，
同理，，∴，
∴，即.
同理，当直线在和交点的下方时，，故D正确.
三、填空题
12. 解析：∵，且数据1,2,3,4，的上四分位数是，
因此，数据由小到大依次为：，故.因此，的取值范围为.
13. 解析：已知，∴该正态分布曲线关于直线对称，
∵正态分布曲线关注与直线对称，∴，
由于随机变量取所有可能值的概率之和为1，即.
∴，解得.
14. 解析：由不等式，可得，
要使得不等式对任意成立，
可分为两种情况：
①不等式，且对任意成立，
由不等式恒成立，即，可得；
由不等式恒成立，即在恒成立，
令，可得恒成立，
∴在上单调递增，∴，则，∴；
②方程，且有相同的解，即且的零点重合，
由，可得，将代入，可得，解得.
综上可得，实数的取值范围是.
四、解答题
15.解：（1）当时，，则，
可得，，即切点坐标为，切线斜率为，
∴切线方程为.
（2）的定义域为，且，
若，则对任意恒成立.
∴在上单调递减，无极值，不合题意，
若，令，解得，令，解得，
可知在上单调递减，在上单调递增，
则有极小值，无极大值，
由题意可得：，
令，则，∴在上单调递增，
又，不等式等价于，解得，
又，综上的取值范围是.
16.解：（1）80个路段中，传感器1判断正确的路段有个，
设“传感器1对该路况判断正确”为事件A，则.
（2）80个路段中共有60个有障碍的路段，60个有障碍的路段中，传感器1判断正确的路段有40个，错误的有个，传感器2判断正确的路段有45个，判断错误的路段有个，
的可能取值为0,1,2，
；；
，
则的分布列为
0 1 2
随机变量的数学期望.
（3）可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于.
分析：共有20个无障碍地路段，传感器1判断无障碍的有15个，
由频率估计概率，故无障碍路段上，估计传感器1判断无障碍的概率为.
传感器2判断无障碍的有15个，由频率估计概率，故无障碍路段上，
估计传感器2判断无障碍的概率为.
若传感器3在无障碍路段上，判断为无障碍的概率为1.
小汽车在无障碍的道路上减速的概率：.
故可以通过提高传感器3的判断正确率，使小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于.
17.解：（1）由函数，可得，
令，则，
若，可得恒成立，则在上单调递增，不符合题意；
若，令，可得，
要使得函数在上不单调，则满足，
此时在上单调递减，在上单调递增，
即在上单调递减，在上单调递增，
∴，即，∴实数的取值范围为.
（2）当时，由恒成立，即，
即恒成立，即在上恒成立，
令，则，
令，则且，
故在上单调递增，∴，
当时，；当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，∴，
即实数的取值范围为.