9.2.4 总体离散程度的估计
一、选择题
1.已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5,则该样本的标准差为 ( )
A.1 B.
C. D.2
2.为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作为试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别为x1,x2,…,xn,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 ( )
A.x1,x2,…,xn的平均数
B.x1,x2,…,xn的标准差
C.x1,x2,…,xn的最大值
D.x1,x2,…,xn的中位数
3.某人参加射击比赛,打了6发子弹,报靶数据如下:7,8,9,10,6,8(单位:环),则下列说法不正确的是 ( )
A.这组数据的平均数是8
B.这组数据的极差是4
C.这组数据的中位数是8
D.这组数据的方差是2
4.[2024·长沙雅礼中学高一月考] 已知样本数据x1,x2,…,x2024的平均数和方差分别为3和56,若yi=2xi+3(i=1,2,…,2024),则y1,y2,…,y2024的平均数和方差分别是 ( )
A.12,115 B.12,224
C.9,115 D.9,224
5.[2024·安徽六安裕安区高一期中] 2023年7月18日,第31届全国青少年爱国主义读书教育活动启动,某校为了迎接此次活动,对本校高一、高二年级学生进行了前期阅读时间抽查,得到日阅读时间(单位:分钟)的统计表如下:
年级 抽查人数 平均时间 方差
高一 40 50 4
高二 60 40 6
则用样本估计总体,估计两个年级学生日阅读时间的方差为 ( )
A.52 B.29.2
C.10 D.6.4
6.[2024·辽宁大连十二中高一月考] 某班在一次考试中的数学平均分为125分,方差为.成绩分析时发现有三名同学的成绩录入有误,A同学实际成绩137分,被错录为118分;B同学实际成绩115分,被错录为103分;C同学实际成绩98分,被错录为129分.更正后重新统计,得到方差为,则与的大小关系为 ( )
A.= B.>
C.< D.不能确定
7.王老师统计了自己三位学生近五次的定时训练成绩,其中1~5号为甲同学近五次成绩,6~10号为乙同学近五次成绩,11~15号为丙同学近五次成绩,相关信息如下:
(1)三人近五次定时训练成绩的平均数如下:
同学 甲 乙 丙
平均数 118 122 121
(2)三人近五次定时训练成绩统计图如图所示.
记甲、乙、丙近五次定时训练成绩的方差分别为,,,根据图表判断,,的大小关系为 ( )
A.<< B.<<
C.<< D.<<
8.(多选题)[2024·江苏无锡天一中学高一期末] 在学校组织的《爱我中华》主题演讲比赛中,有10位评委对每位选手进行评分(评分互不相同),将选手的得分去掉一个最低评分和一个最高评分,则下列结论错误的是 ( )
A.剩下评分的平均数变大
B.剩下评分的极差变小
C.剩下评分的方差变小
D.剩下评分的中位数变大
9.(多选题)2023年8月8日是我国第15个“全民健身日”,“全民健身日”提升了全民健身意识,让健身成为一种习惯和风俗.为倡导健康生活方式,某大学社团联合学生会倡议全校学生参与“每日万步行”健走活动.如图为该校甲、乙两名同学在同一星期内每日步数的折线统计图,则下列说法正确的是 ( )
A.这一星期内甲的日步数的中位数小于乙的日步数的中位数
B.这一星期内甲的日步数的平均数大于乙的日步数的平均数
C.这一星期内乙的日步数的标准差小于甲的日步数的标准差
D.这一星期内乙的日步数的75%分位数是12 400
二、填空题
10.一组数据的方差是4,将这组数据中的每个数据都乘5,所得到的新数据的标准差是 .
11.已知样本数据a1,a2,a3,a4,a5都为正数,其方差s2=(++++-80),则样本数据2a1+3,2a2+3,2a3+3,2a4+3,2a5+3的平均数为 .
12.[2024·江苏无锡天一中学高一期末] 某旅行团共有游客600人,其中男性400人,女性200人.为了获得该团游客的身高信息,采用男、女按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本,并观测样本的指标值(单位: cm),经计算得到男生样本的均值为170,方差为18,女生样本的均值为161,方差为30.根据以上数据,估计该旅行团游客身高的均值为 ;估计该旅行团游客身高的方差为 .
三、解答题
13.从某实验农场种植的甲、乙两种玉米苗中各随机抽取5株,分别测量它们的株高如下(单位: cm):
甲:29,31,30,32,28;
乙:27,44,40,31,43.
请根据平均数和方差的相关知识,解答下列问题:
(1)哪种玉米苗长得高
(2)哪种玉米苗长得齐
14.某校为了解该校高三年级学生的物理成绩,从某次高三年级物理测试中随机抽取12名男生和8名女生的测试试卷,记录其物理成绩(单位:分),其中12名男生的物理成绩分别为72,68,72,76,80,76,72,80,88,68,72,76.
(1)求这12名男生物理成绩的平均数与方差;
(2)经计算得这8名女生物理成绩的平均数=70,方差=23,求这20名学生物理成绩的平均数与方差.
15.(多选题)[2024·河南南阳六校高一期末] 某地环境部门对辖区内甲、乙、丙、丁四个地区的环境治理情况进行检查督导,若一地区连续10天每天的空气质量指数均不大于100,则认为该地区的环境治理达标,否则认为该地区的环境治理不达标.根据连续10天检测所得数据的数字特征推断,环境治理一定达标的地区是 ( )
A.甲地区:平均数为90,方差为10
B.乙地区:平均数为60,众数为50
C.丙地区:中位数为50,极差为70
D.丁地区:极差为20,80%分位数为80
16. 某校有高中生2000人,其中男女生人数之比约为5∶4,为了获得该校全体高中生的身高信息,采取了以下两种方案:
方案一:采用比例分配的分层随机抽样方法,抽取了样本量为n的样本,得到频数分布表和频率分布直方图(如图).
身高(cm) [145,155) [155,165) [165,175) [175,185) [185,195]
频数 m p q 6 4
方案二:采用分层随机抽样方法,抽取了男、女生样本量均为25的样本,计算得到男生样本的平均数为170,方差为16,女生样本的平均数为160,方差为20.
(1)根据图表信息,求n,q并补充完整频率分布直方图,估计该校高中生身高的平均数(同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值为代表).
(2)计算方案二中总样本的平均数及方差.
(3)计算两种方案总样本平均数的差,并说明用方案二总样本的平均数作为总体平均数的估计合适吗 为什么 9.2.4 总体离散程度的估计
【学习目标】
1.结合具体实例,经历用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)的过程,理解离散程度参数的统计含义.
2.经历比例分配的分层随机抽样的样本平均数和方差的推导过程,会求具体问题的样本平均数和样本方差,并能解释它们在实际问题中的意义.
3.结合具体实例,认识样本与总体的关系,逐步建立用样本估计总体的思想,尝试运用统计语言描述总体的特征.
◆ 知识点一 极差
极差:极差为一组数据中最大值与最小值的差.
◆ 知识点二 方差和标准差
1.一组数据的方差和标准差
一组数据x1,x2,…,xn的方差为(xi-)2=-,标准差为.
2.总体方差和总体标准差
(1)总体方差和总体标准差:如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,总体平均数为,则称S2=(Yi-)2为总体方差,S=为总体标准差.
(2)总体方差的加权形式:如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数为fi(i=1,2,…,k),则总体方差为S2=fi(Yi-)2.
3.样本方差和样本标准差
如果一个样本中个体的变量值分别为y1,y2,…,yn,样本平均数为,则称s2=(yi-)2为样本方差,s=为样本标准差.
4.标准差的意义
标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度,标准差越大,数据的离散程度越 ;标准差越小,数据的离散程度越 .
平均数和标准差一起能反映数据取值的信息.一般情况下数据中大部分落在区间 内,绝大部分数据落在 内.
5.比例分配的分层随机抽样的方差
设样本量为n,样本数据的平均数为,样本分为两层,其中两层的个体数量分别为n1,n2,两层的平均数分别为,,方差分别为,,则这个样本的方差s2= .
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一组数据的值大小相等,没有波动变化,则标准差为0. ( )
(2)标准差越大,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;标准差越小,表明各个样本数据在样本平均数周围越分散. ( )
(3)标准差的大小不会超过极差. ( )
(4)一般情况下数据中绝大部分数据落在[-2s,+2s]内,也有可能落在[-2s,+2s]外. ( )
(5)计算比例分配的分层随机抽样中总样本的平均数与方差时,必须已知各层的权重. ( )
◆ 探究点一 方差、标准差的计算及应用
角度1 方差、标准差的计算
例1 下面的数据是某男运动员跳高的跳跃高度(单位:cm),请计算这组数据的平均数、方差和标准差(精确到小数点后两位).
190.0 190.3 190.5 193.0 193.5
198.1 194.1 197.1 202.9
变式1 电动摩托车的续航里程,是指电动摩托车在蓄电池满电量的情况下一次能行驶的最大距离.为了解某种型号电动摩托车的续航里程,现从某卖场库存电动摩托车中随机抽取5台电动摩托车,在相同条件下进行测试,统计结果如下:
电动摩托车编号 1 2 3 4 5
续航里程(km) 120 125 122 124 124
则这种型号被测试电动摩托车续航里程的方差为 ,标准差为 .
变式2 某高校共有“机器人”兴趣团队20个,将这20个团队分为甲、乙两组,每组10个团队,进行理论和实践操作考试(共150分),甲、乙两组的成绩如下(单位:分):
甲:125,141,140,137,122,114,119,139,121,142;
乙:127,116,144,127,144,116,140,140,116,140.
学校计划从甲、乙两组中选一组参加机器人大赛,从统计学角度分析,若最终选择甲组,理由是什么 若最终选择乙组,理由是什么
[素养小结]
标准差、方差的意义
(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小.标准差的大小不会超过极差.
(2)标准差、方差的取值范围是[0,+∞).
标准差、方差为0时,样本中的各数据相等,说明数据没有波动幅度,数据没有离散性.
角度2 方差、标准差的性质
例2 (1)某组数据x1,x2,…,xn的平均数为2.5,方差为1.5,求2x1-1,2x2-1,…,2xn-1的方差.
(2)设一组数据x1,x2,…,xn的标准差为sx,另一组数据3x1+a,3x2+a,…,3xn+a的标准差为sy,求sx与sy的关系.
变式 (1)[2024·辽宁大连高一期末] 若x1,x2,…,x10的方差为2,则3x1+1,3x2+1,…,3x10+1的方差是 ( )
A.18 B.7
C.6 D.2
(2)(多选题)有两组样本数据:x1,x2,…,x2024;y1,y2,…,y2024.其中yi=xi+2024(i=1,2,…,2024),则这两组样本数据的 ( )
A.样本平均数相同 B.样本中位数相同
C.样本方差相同 D.样本极差相同
[素养小结]
(1)一组数据中的每一个数都加上或减去同一个常数,所得的一组新数据的方差不变,标准差也不变.
(2)若把一组数据中的每一个数都变为原来的k倍并加上或减去常数a,则所得的一组新数据的标准差变为原来的k倍,方差变为原来的k2倍,而与a的大小无关.
◆ 探究点二 分层随机抽样的方差
例3 [2024·浙江杭州四中高一期中] 为了了解学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性等,某学校对在校1500名学生进行了一次坐位体前屈测试,采用按学生性别比例分配的分层随机抽样方法抽取75人,已知这1500名学生中男生有900人,且抽取的样本中男生所获得成绩的平均数和方差分别为13.2 cm和13.36,女生所获得成绩的平均数和方差分别为15.2 cm和17.56.
(1)求样本中男生和女生应分别抽取多少人
(2)求抽取的总样本的平均数,并估计全体学生的坐位体前屈成绩的方差.
变式 甲、乙两支田径队队员的体检结果为:甲队队员体重的平均数为60 kg,方差为200,乙队队员体重的平均数为70 kg,方差为300.已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4,求甲、乙两队全部队员体重的平均数和方差.
[素养小结]
分层随机抽样的方差:设样本中不同层的平均数分别为,,…,,方差分别为,,…,,相应的权重分别为w1,w2,…,wn,则这个样本的方差为s2=wi[+(-)2](其中为这个样本的平均数).
拓展 某市新时代文明实践中心承办了该市马拉松志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩(单位:分),并分成五组:第一组[45,55),第二组[55,65),第三组[65,75),第四组[75,85),第五组[85,95],绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3,第一组和第五组的频率相同.
(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)和第25百分位数;
(2)现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取20人担任本市的宣传者,若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40,第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70,据此估计这次第二组和第四组面试者所有人面试成绩的方差.
◆ 探究点三 数据的数字特征的综合应用
例4 在一次科技知识竞赛中,两组学生的成绩如下表(满分为100分):
成绩(分) 50 60 70 80 90 100
人数 甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
请根据你所学过的统计知识,进一步判断这两组学生在这次竞赛中的成绩谁优谁劣,并说明理由.
变式 甲、乙两人在相同条件下各射靶10次,每次射靶的成绩情况如图所示.
(1)请填写下表:
平均数 方差 中位数 命中9环及 9环以上的次数
甲
乙
(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析:
①从平均数和方差相结合看(谁的成绩更稳定);
②从平均数和中位数相结合看(谁的成绩好些);
③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(谁的成绩好些);
④从折线图上两人射靶命中环数的走势看(谁更有潜力).
[素养小结]
数据分析的要点
(1)要正确处理此类问题,首先要抓住问题中的关键词语,全方位地进行必要的计算、分析,而不能习惯性地仅从样本方差的角度去判断,实际问题中应从实际的角度去分析.
(2)在进行数据分析时,不同的标准没有对和错的问题,也不存在唯一解的问题,而是根据需要来选择“好”的决策,至于决策的好坏,是根据提出的标准而定的.9.2.4 总体离散程度的估计
1.B [解析] 这个样本的平均数=×(1+2+3+4+5)=3,标准差s==.
2.B [解析] 标准差能反映一组数据的稳定程度,故选B.
3.D [解析] 对于A,平均数为=8,故A中说法正确;对于B,极差为10-6=4,故B中说法正确;对于C,数据从小到大排序后为6,7,8,8,9,10,中位数为=8,故C中说法正确;对于D,方差为×[(7-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2+(6-8)2+(8-8)2]=,故D中说法不正确,故选D.
4.D [解析] 因为样本数据x1,x2,…,x2024的平均数和方差分别为3和56,yi=2xi+3(i=1,2,…,2024),所以y1,y2,…,y2024的平均数为2×3+3=9,方差为22×56=224.故选D.
5.B [解析] 由题意,估计高一、高二学生日阅读时间的平均数=50×+40×=44(分钟),方差s2=[4+(50-44)2]×+[6+(40-44)2]×=29.2.故选B.
6.C [解析] 设班级人数为n(n>0),因为118+103+129=137+115+98,所以更正前后平均分不变,且(118-125)2+(103-125)2+(129-125)2=549<(137-125)2+(115-125)2+(98-125)2=973,所以<.故选C.
7.A [解析] 由统计图知,甲同学成绩的波动幅度最小,丙同学成绩的波动幅度最大,所以<<,故选A.
8.AD [解析] 去掉一个最低评分和一个最高评分后剩下评分的平均数有可能变小,不变或变大,故A中结论错误;剩下评分的极差一定会变小,故B中结论正确;剩下评分的波动性变小,则方差变小,故C中结论正确;剩下评分的中位数不变,故D中结论错误.故选AD.
9.BC [解析] 由折线图可得,甲一星期内的日步数从小到大排列为11 000,11 800,12 200,12 600,13 500,15 400,18 200,所以中位数为12 600;由折线图可得,乙一星期内的日步数从小到大排列为11 800,12 200,12 400,12 600,13 000,13 800,14 000,所以中位数为12 600.故这一星期内甲、乙的日步数的中位数都为12 600,A错误;这一星期内甲的日步数的平均数为为×(11 000+11 800+12 200+12 600+13 500+15 400+18 200)=,这一星期内乙的日步数的平均数为×(11 800+12 200+12 400+12 600+13 000+13 800+14 000)=,因为>,故B正确;由折线图知,甲的波动程度较大,故方差较大,标准差较大,故C正确;乙一星期内的日步数从小到大排列为11 800,12 200,12 400,12 600,13 000,13 800,14 000,因为7×0.75=5.25,所以这一星期内乙的日步数的75%分位数是13 800,故D错误.故选BC.
10.10 [解析] 一组数据的方差是4,将这组数据中的每个数据都乘5,所得到的新数据的方差是52×4=100,故所得新数据的标准差为10.
11.11 [解析] 根据题意,设样本数据a1,a2,a3,a4,a5的平均数为,其方差s2=[(a1-)2+(a2-)2+(a3-)2+(a4-)2+(a5-)2]=(++++-2a1-2a2-2a3-2a4-2a5+5)=(++++-5),又s2=(++++-80),则有5=80,解得=4,则样本数据2a1+3,2a2+3,2a3+3,2a4+3,2a5+3的平均数为2+3=11.
12.167 40 [解析] 由题意可估计该旅行团游客身高的均值=×170+×161=167,估计该旅行团游客身高的方差S2=×{400×[18+(170-167)2]+200×[30+(161-167)2]}=40.
13.解:(1)甲种玉米苗株高的平均数=×(29+31+30+32+28)=×150=30(cm),
乙种玉米苗株高的平均数=×(27+44+40+31+43)=×185=37(cm),
∴<,故乙种玉米苗长得高.
(2)甲种玉米苗株高的方差=×[(29-30)2+(31-30)2+(30-30)2+(32-30)2+(28-30)2]=2,
乙种玉米苗株高的方差=×[(27-37)2+(44-37)2+(40-37)2+(31-37)2+(43-37)2]=46,
∴<,故甲种玉米苗长得齐.
14.解:(1)这12名男生物理成绩的平均数为=×(68×2+72×4+76×3+80×2+88)=75,
方差=×[(68-75)2×2+(72-75)2×4+(76-75)2×3+(80-75)2×2+(88-75)2]=.
(2)这20名学生物理成绩的平均数=+==73,
方差s2=[+(-)2]+[+(-)2]=×+×[23+(70-73)2]=33.
15.AD [解析] 故最大值不大于100,该地区的环境治理达标,故D正确.故选AD.
16.解:(1)因为身高在区间[185,195]内的频率为0.008×10=0.08,频数为4,
所以n==50,故m=0.008×10×50=4,p=0.04×10×50=20,q=50-4-20-6-4=16,
所以身高在区间[165,175)内的频率为=0.32,在区间[175,185)内的频率为=0.12,由此可补充完整频率分布直方图:
由频率分布直方图可知,样本的平均数为150×0.008×10+160×0.04×10+170×0.032×10+180×0.012×10+190×0.008×10=12+64+54.4+21.6+15.2=167.2(cm).
因此可估计该校高中生身高的平均数为167.2 cm.
(2)把男生样本记为x1,x2,…,x25,其平均数记为,方差记为;把女生样本记为y1,y2,…,y25,其平均数记为,方差记为,则总样本平均数=+==165.
因为
(3)两种方案总样本平均数的差为167.2-165=2.2.
用方案二总样本的平均数作为总体平均数的估计不合适,
原因:没有按照等比例进行分层随机抽样,每个个体被抽到的可能性不同,因此样本的代表性比较差.9.2.4 总体离散程度的估计
【课前预习】
知识点二
4.大 小 [-s,+s] [-2s,+2s]
5.[+(-)2]+[+(-)2]
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√ [解析] (2)标准差越大,数据的离散程度越大,数据越分散;标准差越小,数据的离散程度越小,数据越集中.
【课中探究】
探究点一
例1 解:根据题意,9个数据依次为190.0,190.3,190.5,193.0,193.5,198.1,194.1,197.1,202.9,则平均数=×(190.0+190.3+190.5+193.0+193.5+198.1+194.1+197.1+202.9)=190+×(0.3+0.5+3+3.5+8.1+4.1+7.1+12.9)≈194.39,方差s2=×[(190.0-)2+(190.3-)2+…+(202.9-)2]≈16.39,标准差s≈≈4.05.
变式1 [解析] 这种型号被测试电动摩托车续航里程的平均数=120+=123(km),设这种型号被测试电动摩托车续航里程的方差为s2,则s2=×[(120-123)2+(125-123)2+(122-123)2+(124-123)2+(124-123)2]=,标准差为=.
变式2 解:甲组成绩的平均数=×(125+141+140+137+122+114+119+139+121+142)=130,
乙组成绩的平均数=×(127+116+144+127+144+116+140+140+116+140)=131.
甲组数据的方差=×[(125-130)2+(141-130)2+(140-130)2+(137-130)2+(122-130)2+(114-130)2+(119-130)2+(139-130)2+(121-130)2+(142-130)2]=104.2,
乙组数据的方差=×[(127-131)2+(116-131)2+(144-131)2+(127-131)2+(144-131)2+(116-131)2+(140-131)2+(140-131)2+(116-131)2+(140-131)2]=128.8.
选择甲组的理由:甲、乙两组的平均数相差不大,但<,甲组成绩的波动较小.
选择乙组的理由:<,在比赛中,高分团队获胜的概率较大.
例2 解:(1)设x1,x2,…,xn的平均数为,则=(x1+x2+…+xn)=2.5,[(x1-2.5)2+(x2-2.5)2+…+(xn-2.5)2]=1.5,
∴[(2x1-1)+(2x2-1)+…+(2xn-1)]=[2(x1+x2+…+xn)-n]=2×2.5-1=4,
∴[(2x1-1-4)2+(2x2-1-4)2+…+(2xn-1-4)2]=[(2x1-5)2+(2x2-5)2+…+(2xn-5)2]=[(x1-2.5)2+(x2-2.5)2+…+(xn-2.5)2]=4×1.5=6.
(2)设x1,x2,…,xn的平均数为,则3x1+a,3x2+a,…,3xn+a的平均数为3+a.
sy===
==3sx,∴sy=3sx.
变式 (1)A (2)CD [解析] (1)由题意得3x1+1,3x2+1,…,3x10+1的方差是32×2=18.故选A.
(2)根据题意,对于数据x1,x2,…,x2024,假设x1探究点二
例3 解:(1)总体容量为1500,样本容量为75,则抽样比为=,所以样本中男生人数为900×=45,女生人数为(1500-900)×=30.
(2)因为抽取的样本中男生所获得成绩的平均数=13.2(cm),方差=13.36,女生所获得成绩的平均数=15.2(cm),方差=17.56,所以总样本的平均数=×(45×13.2+30×15.2)=14(cm),总样本的方差s2=×{45×[13.36+(13.2-14)2]+30×[17.56+(15.2-14)2]}=×(630+570)=16,所以估计全体学生的坐位体前屈成绩的方差为16.
变式 解:由题意可知=60 kg,甲队队员在所有队员中所占权重为=,=70 kg,乙队队员在所有队员中所占权重为=,则甲、乙两队全部队员体重的平均数=×60+×70=68(kg),甲、乙两队全部队员体重的方差s2=×[200+(60-68)2]+×[300+(70-68)2]=296.
拓展 解:(1)由题意可知解得
可知每组的频率依次为0.05,0.25,0.45,0.2,0.05,
故估计这100名候选者面试成绩的平均数为50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5(分).
由0.05+0.25=0.3>0.25,
设第25百分位数为x,则x∈[55,65),所以0.05+(x-55)×0.025=0.25,解得x=63,故估计第25百分位数为63.
(2)设第二组、第四组的平均数分别为,,方差分别为,,因为两组的频率之比为=,所以估计这次第二组和第四组面试者所有人面试成绩的平均数为==70(分),
故估计这次第二组和第四组面试者所有人面试成绩的方差为s2=[+(-)2]+[+(-)2]=×[40+(62-70)2]+×[70+(80-70)2]=.
探究点三
例4 解:(1)甲组学生成绩的众数为90分,乙组学生成绩的众数为70分,从成绩的众数来看,甲组学生的成绩好些.
(2)=×(50×2+60×5+70×10+80×13+90×14+100×6)=×4000=80(分),=×(50×4+60×4+70×16+80×2+90×12+100×12)=×4000=80(分).=×[2×(50-80)2+5×(60-80)2+10×(70-80)2+13×(80-80)2+14×(90-80)2+6×(100-80)2]=172,=×[4×(50-80)2+4×(60-80)2+16×(70-80)2+2×(80-80)2+12×(90-80)2+12×(100-80)2]=256.
∵=,<,∴甲、乙两组学生成绩的平均数相同,但甲组学生的成绩比乙组学生的成绩更为稳定,故甲组学生的成绩好些.
(3)甲、乙两组学生的成绩的中位数、平均数都是80分,其中,甲组学生成绩在80分及以上的有33人,乙组学生成绩在80分及以上的有26人.从这一角度看,甲组学生的成绩较好.
(4)从成绩统计表看,甲组学生成绩大于或等于90分的有20人,乙组学生成绩大于或等于90分的有24人,∴乙组学生成绩集中在高分段的较多.
同时,乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6.从这一角度看,乙组的成绩较好.
变式 解:(1)由题图可知,甲射靶命中的环数分别为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7,乙射靶命中的环数分别为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.
甲射靶命中环数的平均数为×(9+5+7+8+7+6+8+6+7+7)=7,方差为×[(9-7)2+(5-7)2+4×(7-7)2+2×(8-7)2+2×(6-7)2]=1.2,中位数是7,命中9环及9环以上的次数为1;
乙射靶命中环数的平均数为×(2+4+6+8+7+7+8+9+9+10)=7,方差为×[(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+2×(8-7)2+2×(7-7)2+2×(9-7)2+(10-7)2]=5.4,中位数是7.5,命中9环及9环以上的次数为3.
可填写表格如下:
平均数 方差 中位数 命中9环及9环以上的次数
甲 7 1.2 7 1
乙 7 5.4 7.5 3
(2)①甲、乙的平均数相同,乙的方差较大,所以甲的成绩更稳定;
②甲、乙的平均数相同,乙的中位数较大,所以乙的成绩好些;
③甲、乙的平均数相同,乙命中9环及9环以上的次数比甲多,所以乙的成绩较好;
④从折线图上看,在后半部分,乙呈上升趋势,而甲起伏不定,且均未超过乙,故乙更有潜力.(共95张PPT)
9.2 用样本估计总体
9.2.4 总体离散程度的估计
探究点一 方差、标准差的计算及应用
探究点二 分层随机抽样的方差
探究点三 数据的数字特征的综合应用
【学习目标】
1.结合具体实例,经历用样本估计总体的离散程度参数（标准差、
方差、极差）的过程,理解离散程度参数的统计含义.
2.经历比例分配的分层随机抽样的样本平均数和方差的推导过程,
会求具体问题的样本平均数和样本方差,并能解释它们在实际问题中
的意义.
3.结合具体实例,认识样本与总体的关系,逐步建立用样本估计总
体的思想,尝试运用统计语言描述总体的特征.
知识点一 极差
极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差.
知识点二 方差和标准差
1.一组数据的方差和标准差
一组数据，， ，的方差为 ，标
准差为 .
2.总体方差和总体标准差
（1）总体方差和总体标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为
，， ，，总体平均数为，则称 为总体
方差， 为总体标准差.
（2）总体方差的加权形式：如果总体的 个变量值中，不同的值共
有个，不妨记为，， ，，其中 出现的频数为
，则总体方差为 .
3.样本方差和样本标准差
如果一个样本中个体的变量值分别为，， ， ，样本平均数
为，则称为样本方差， 为样本标准差.
4.标准差的意义
标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离
散程度越____；标准差越小，数据的离散程度越____.
平均数和标准差一起能反映数据取值的信息.一般情况下数据中大部
分落在区间_____________内，绝大部分数据落在_______________内.
大
小
5.比例分配的分层随机抽样的方差
设样本量为，样本数据的平均数为 ，样本分为两层，其中两层的
个体数量分别为，，两层的平均数分别为， ，方差分别为
，，则这个样本的方差 _______________________________
_____.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0.( )
√
（2）标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标
准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散.( )
×
[解析] 标准差越大,数据的离散程度越大,数据越分散;标准差越小,数
据的离散程度越小,数据越集中.
（3）标准差的大小不会超过极差.( )
√
（4）一般情况下数据中绝大部分数据落在 内，也有
可能落在 外.( )
√
（5）计算比例分配的分层随机抽样中总样本的平均数与方差时，必
须已知各层的权重.( )
√
探究点一 方差、标准差的计算及应用
角度1 方差、标准差的计算
例1 下面的数据是某男运动员跳高的跳跃高度（单位： ），请计
算这组数据的平均数、方差和标准差（精确到小数点后两位）.
解:根据题意，9个数据依次为，，， ，
，，，，，则平均数 ,
方差
，
标准差 .
变式1 电动摩托车的续航里程，是指电动摩托车在蓄电池满电量的
情况下一次能行驶的最大距离．为了解某种型号电动摩托车的续航
里程，现从某卖场库存电动摩托车中随机抽取5台电动摩托车，在相
同条件下进行测试，统计结果如下：
电动摩托车编号 1 2 3 4 5
120 125 122 124 124
则这种型号被测试电动摩托车续航里程的方差为___，标准差为_ ___.
[解析] 这种型号被测试电动摩托车续航里程的平均数
，
设这种型号被测试电动摩托车续航里程的方差为 ，则
，
标准差为 .
变式2 某高校共有“机器人”兴趣团队20个，将这20个团队分为甲、
乙两组，每组10个团队，进行理论和实践操作考试（共150分），甲、
乙两组的成绩如下（单位：分）
甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142；
乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140.
学校计划从甲、乙两组中选一组参加机器人大赛，从统计学角度分
析，若最终选择甲组，理由是什么？若最终选择乙组，理由是什么？
解：甲组成绩的平均数 ，
乙组成绩的平均数 .
甲组数据的方差
，
乙组数据的方差
.
选择甲组的理由：甲、乙两组的平均数相差不大，但 ，甲组
成绩的波动较小.
选择乙组的理由： ，在比赛中，高分团队获胜的概率较大.
［素养小结］
标准差、方差的意义
（1）标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、
方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散
程度越小.标准差的大小不会超过极差.
（2）标准差、方差的取值范围是 .
标准差、方差为0时，样本中的各数据相等，说明数据没有波动幅度，
数据没有离散性.
角度2 方差、标准差的性质
例2（1） 某组数据，， ，的平均数为，方差为 ，求
，， ， 的方差.
解：设，， ，的平均数为 ，则
，
，
，
．
（2）设一组数据，， ，的标准差为 ，另一组数据
，， ，的标准差为，求与 的关系．
解：设，， ，的平均数为，则，， ，
的平均数为 .
， .
变式（1） [2024· 辽宁大连高一期末]若，， ， 的方差为2，
则，， ， 的方差是( )
A.18 B.7 C.6 D.2
[解析] 由题意得，， ， 的方差是
.故选A.
√
（2）（多选题）有两组样本数据：,, ,；,, , .
其中 ，则这两组样本数据的
( )
A.样本平均数相同 B.样本中位数相同
C.样本方差相同 D.样本极差相同
√
√
[解析] 根据题意，对于数据，， ， ，假设
，设其平均数为，中位数为，方差为 ，极
差为，则， ，
，
，
又，设其平均数为，中位数为 ，
方差为，极差为，则数据，， ， 的平均数
，
中位数 ，
，方差，故这两组样本数据的方差和极差相同，平均数和中位数不同.故选 .
［素养小结］
（1）一组数据中的每一个数都加上或减去同一个常数，所得的一组
新数据的方差不变，标准差也不变．
（2）若把一组数据中的每一个数都变为原来的 倍并加上或减去常
数，则所得的一组新数据的标准差变为原来的 倍，方差变为原来
的倍，而与 的大小无关．
探究点二 分层随机抽样的方差
例3 [2024·浙江杭州四中高一期中] 为了了解学生躯干、腰、髋等部
位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性等，某学校对在校1500名学生进
行了一次坐位体前屈测试，采用按学生性别比例分配的分层随机抽
样方法抽取75人，已知这1500名学生中男生有900人，且抽取的样本
中男生所获得成绩的平均数和方差分别为和 ，女生所
获得成绩的平均数和方差分别为 和17.56.
（1）求样本中男生和女生应分别抽取多少人？
解：总体容量为1500，样本容量为75，则抽样比为 ，
所以样本中男生人数为 ，
女生人数为 .
（2）求抽取的总样本的平均数，并估计全体学生的坐位体前屈成绩
的方差.
解：因为抽取的样本中男生所获得成绩的平均数 ，方
差，女生所获得成绩的平均数 ，方差
，
所以总样本的平均数，总样本的方差 ，
所以估计全体学生的坐位体前屈成绩的方差为16.
变式 甲、乙两支田径队队员的体检结果为：甲队队员体重的平均数
为，方差为200，乙队队员体重的平均数为 ，方差为300.
已知甲、乙两队的队员人数之比为 ，求甲、乙两队全部队员体重
的平均数和方差.
解：由题意可知 ，甲队队员在所有队员中所占权重为
，，乙队队员在所有队员中所占权重为 ，
则甲、乙两队全部队员体重的平均数 ，
甲、乙两队全部队员体重的方差
.
［素养小结］
分层随机抽样的方差：设样本中不同层的平均数分别为， ，
， ，方差分别为，， ，，相应的权重分别为 ，
，， ，则这个样本的方差为
（其中 为这个样本的平均数）.
拓展 某市新时代文明实践中心承办
了该市马拉松志愿者选拔的面试工作.
现随机抽取了100名候选者的面试成
绩（单位：分），并分成五组：第一
组，第二组 ，第三组
，第四组 ，第五组
，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之
和为 ，第一组和第五组的频率相同.
（1）估计这100名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该
组区间的中点值作代表）和第25百分位数；
解：由题意可知
解得
可知每组的频率依次为，，， ，
，
故估计这100名候选者面试成绩的平均数为
（分）.
由 ，
设第25百分位数为，则 ，
所以，解得 ，
故估计第25百分位数为63.
（2）现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取20人担
任本市的宣传者，若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均
数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差
分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组面试者所有人面试成
绩的方差.
解：设第二组、第四组的平均数分别为, ,方差
分别为,，因为两组的频率之比为 ，所
以估计这次第二组和第四组面试者所有人面试成绩
的平均数为 （分），
故估计这次第二组和第四组面试者所有人面试成绩的方差为
.
探究点三 数据的数字特征的综合应用
例4 在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表（满分为100
分）
成绩（分） 50 60 70 80 90 100
人数 甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两组学生在这次竞赛中
的成绩谁优谁劣，并说明理由.
解： （1）甲组学生成绩的众数为90分，乙组学生成绩的众数
为70分，从成绩的众数来看，甲组学生的成绩好些.
（2） （分）， （分）
，
.
，， 甲、乙两组学生成绩的平均数相同，但甲
组学生的成绩比乙组学生的成绩更为稳定，故甲组学生的成绩好些.
（3）甲、乙两组学生的成绩的中位数、平均数都是80分，其中，甲
组学生成绩在80分及以上的有33人，乙组学生成绩在80分及以上的
有26人.从这一角度看，甲组学生的成绩较好.
（4）从成绩统计表看，甲组学生成绩大于或等于90分的有20人，乙
组学生成绩大于或等于90分的有24人， 乙组学生成绩集中在高分
段的较多.
同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6.从这一角度看，乙
组的成绩较好.
变式 甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如
图所示.
（1）请填写下表：
平均数 方差 中位数 命中9环及9环以上的次数
甲
乙
[解析] 由题图可知，甲射靶命中的环数分别为9，5，7，8，7，6，8，
6，7，7，乙射靶命中的环数分别为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.
甲射靶命中环数的平均数为
，
方差为 ，
中位数是7，
命中9环及9环以上的次数为1；
，
方差为 ，
中位数是 ，
命中9环及9环以上的次数为3.
可填写表格如下：
平均数 方差 中位数 命中9环及9环以上的次数
甲 7 1.2 7 1
乙 7 5.4 7.5 3
（2）请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行
分析：
①从平均数和方差相结合看（谁的成绩更稳定）；
②从平均数和中位数相结合看（谁的成绩好些）；
③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看（谁的成绩好些）；
④从折线图上两人射靶命中环数的走势看（谁更有潜力）.
解：①甲、乙的平均数相同，乙的方差较大，所
以甲的成绩更稳定；
②甲、乙的平均数相同，乙的中位数较大，所以
乙的成绩好些；
③甲、乙的平均数相同，乙命中9环及9环以上的
次数比甲多，所以乙的成绩较好；
④从折线图上看，在后半部分，乙呈上升趋势，而甲起伏不定，且均未
超过乙，故乙更有潜力.
［素养小结］
数据分析的要点
（1）要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位
地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的角度去
判断，实际问题中应从实际的角度去分析.
（2）在进行数据分析时，不同的标准没有对和错的问题，也不存在
唯一解的问题，而是根据需要来选择“好”的决策，至于决策的好坏，
是根据提出的标准而定的.
1.标准差与方差的统计意义
（1）标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小.标准
差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离
散程度越小．反之亦可由离散程度的大小推算标准差、方差的大小．
（2）标准差的单位与原数据的单位相同，方差的单位是原数据的单
位的平方，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准
差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时，
一般采用标准差．
（3）标准差（方差）的取值范围为 ．若样本数据都相等，
表明数据没有波动幅度，数据没有离散性，则标准差为0．反之，标
准差为0的样本，其中的数据都相等．
2.描述数据离散程度的另一统计量——极差
（1）一组数据中的最大值与最小值的差称为极差．
（2）极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端
值非常敏感，一般情况下，极差大，则数据较分散，数据的波动性
大；极差小，则数据相对集中，数据的波动性小．极差的计算非常
简单，但极差只考虑了两个极端值，而没有考虑中间的数据，因此
很多时候极差作为数据的离散程度的统计量可靠性较差．
（3）极差的取值范围也是 ．标准差的大小不会超过极差．
3.计算标准差的步骤如下：
（1）求样本数据的平均数 ；
（2）求 ；
（3）求 ；
（4）求 ；
（5）求, 即为标准差．
1.平均数、方差、标准差的计算及应用
例1（1） [2024·河南创新发展联盟高一联考]已知样本数据
，，，，， 的平均数为
16，方差为9，则另一组数据，，，，， ，12的方差为
( )
A. B. C. D.7
√
[解析] 设数据，，，，，的平均数为，方差为 ，
由题意得，，所以 ，
，
则，，，，， ，12的平均数为，方差为 .故选C.
（2）（多选题）[2024·甘肃酒泉敦煌中学高一月考] 已知甲组数据
为8,9,11,10,12，乙组数据为 ,8,9,10,15，若甲、乙两组数据的平均数
相同，则( )
A.甲组数据的中位数为10
B.乙组数据的第75百分位数为9.5
C.甲、乙两组数据的极差相同
D.甲组数据的方差小于乙组数据的方差
√
√
[解析] 甲组数据按照从小到大的顺序排列为8，9，10，11，12，则
甲组数据的中位数为10,故A正确；
由题意得甲、乙两组数据的平均数相同，且易知甲组数据的平均数
为10，故乙组数据的平均数也为10，所以，解得
，又 ，乙组数据按照从小到大的顺序排列为8,8,9,
10,15，所以乙组数据的第75百分位数为10,故B错误；
易知甲组数据的极差为4，乙组数据的极差为7, 故C错误；
两组数据的平均数相同，乙组数据的离散程度显然更大，即乙组数据
的方差更大，故D正确.故选 .
2.比例分配的分层随机抽样中样本均值和方差的计算
例2 （多选题）某中学有高三学生500人，其中男生300人，女生200
人，现希望获得全体学生的身高（单位： ）信息，按比例分配的
分层随机抽样的方法抽取了容量为50的样本，经计算得到样本中男
生身高的平均数为171，方差为29，女生身高的平均数为161，样本
中所有学生身高的方差为49，下列说法中正确的是( )
A.样本中男生人数为30
B.每个男生被抽到的概率均为
C.样本中学生身高的平均数为167
D.女生身高的样本方差为19
√
√
√
[解析] 对于A选项，因为按比例分配的分层随机抽样的方法抽取了
容量为50的样本，所以样本中男生人数为 ，故A正确；
对于B选项，每个男生被抽到的概率均相等，为 ，故B错误；
对于C选项，易得样本中女生的人数为20，所以样本中学生身高的平
均数为 ，故C正确；
对于D选项，设男生的身高分别为,, ,，平均数， ，女生的身高分别为，， ，，平均数，方差为 ，样本中所有学生的身高的平均数为167，方差 ，
则 ，解得，即女生身高的样本方差为19，故D正确.故选 .
练习册
一、选择题
1.已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为( )
A.1 B. C. D.2
[解析] 这个样本的平均数 ，标准差
.
√
2.为评估一种农作物的种植效果,选了块地作为试验田.这 块地的亩
产量（单位:）分别为,, , ,下面给出的指标中可以用来评估
这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A.,, ,的平均数 B.,, , 的标准差
C.,, ,的最大值 D.,, , 的中位数
[解析] 标准差能反映一组数据的稳定程度,故选B.
√
3.某人参加射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7，8，9，10，
6，8（单位：环），则下列说法不正确的是( )
A.这组数据的平均数是8 B.这组数据的极差是4
C.这组数据的中位数是8 D.这组数据的方差是2
[解析] 对于A，平均数为 ，故A中说法正确;
对于B，极差为 ，故B中说法正确;
对于C，数据从小到大排序后为6,7,8,8,9,10，中位数为 ，故C中说法正确;
对于D，方差为 ，故D中说法不正确，故选D.
√
4.[2024·长沙雅礼中学高一月考]已知样本数据，， ， 的
平均数和方差分别为3和56，若 ，则
，， ， 的平均数和方差分别是( )
A.12，115 B.12，224 C.9，115 D.9，224
[解析] 因为样本数据，， ， 的平均数和方差分别为3和5
6，，所以，， ， 的平均
数为，方差为 .故选D.
√
5.[2024·安徽六安裕安区高一期中]2023年7月18日，第31届全国青少
年爱国主义读书教育活动启动，某校为了迎接此次活动，对本校高
一、高二年级学生进行了前期阅读时间抽查，得到日阅读时间
（单位：分钟）的统计表如下：
年级 抽查人数 平均时间 方差
高一 40 50 4
高二 60 40 6
则用样本估计总体，估计两个年级学生日阅读时间的方差为( )
A.52 B.29.2 C.10 D.6.4
√
[解析] 由题意，估计高一、高二学生日阅读时间的平均数
（分钟），方差
.故选B.
6.[2024·辽宁大连十二中高一月考]某班在一次考试中的数学平均分
为125分，方差为.成绩分析时发现有三名同学的成绩录入有误，
同学实际成绩137分，被错录为118分； 同学实际成绩115分，被错
录为103分； 同学实际成绩98分，被错录为129分.更正后重新统计，
得到方差为，则与 的大小关系为( )
A. B. C. D.不能确定
[解析] 设班级人数为 ，因为，所以更正前后平均分不变，且，所以 .故选C.
√
7.王老师统计了自己三位学生近五次的定时训练成绩，其中 号
为甲同学近五次成绩，号为乙同学近五次成绩， 号为
丙同学近五次成绩，相关信息如下：
（1）三人近五次定时训练成绩的平均数如下：
同学 甲 乙 丙
平均数 118 122 121
（2）三人近五次定时训练成绩统计图
如图所示.记甲、乙、丙近五次定时训
练成绩的方差分别为，， ，根
据图表判断，， 的大小关系
为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由统计图知，甲同学成绩的波动幅度最小，丙同学成绩的波
动幅度最大，所以 ，故选A.
√
8.（多选题）[2024·江苏无锡天一中学高一期末] 在学校组织的《爱
我中华》主题演讲比赛中,有10位评委对每位选手进行评分
（评分互不相同）,将选手的得分去掉一个最低评分和一个最高评分,
则下列结论错误的是( )
A.剩下评分的平均数变大 B.剩下评分的极差变小
C.剩下评分的方差变小 D.剩下评分的中位数变大
[解析] 去掉一个最低评分和一个最高评分后剩下评分的平均数有可
能变小,不变或变大,故A中结论错误;
剩下评分的极差一定会变小,故B中结论正确;
剩下评分的波动性变小,则方差变小,故C中结论正确;
剩下评分的中位数不变,故D中结论错误.故选 .
√
√
9.（多选题）2023年8月8日是我国第15个
“全民健身日”，“全民健身日”提升了全民健
身意识，让健身成为一种习惯和风俗.为倡
导健康生活方式，某大学社团联合学生会倡
A.这一星期内甲的日步数的中位数小于乙的日步数的中位数
B.这一星期内甲的日步数的平均数大于乙的日步数的平均数
C.这一星期内乙的日步数的标准差小于甲的日步数的标准差
D.这一星期内乙的日步数的 分位数是12 400
议全校学生参与“每日万步行”健走活动.如图为该校甲、乙两名同学在
同一星期内每日步数的折线统计图，则下列说法正确的是 ( )
√
√
[解析] 由折线图可得，甲一星期内的日步
数从小到大排列为,, ,
,,, ，所以中位
数为12 600；
由折线图可得，乙一星期内的日步数从小
到大排列为,, ,,, , ，所以中
位数为12 600.故这一星期内甲、乙的日步数的中位数都为 ，A错误；
这一星期内甲的日步数的平均数为为
，这一星期内乙的日步数的平均数为 ，
因为 ，故B正确；
由折线图知，甲的波动程度较大，故
方差较大，标准差较大，故C正确；
乙一星期内的日步数从小到大排列
为,,,,
,, ,因为
，所以这一星期内乙的日步数的分位数是 ，故D错误.故选 .
二、填空题
10.一组数据的方差是4，将这组数据中的每个数据都乘5，所得到的
新数据的标准差是____.
10
[解析] 一组数据的方差是4，将这组数据中的每个数据都乘5，所得
到的新数据的方差是 ，故所得新数据的标准差为10.
11.已知样本数据，，，， 都为正数，其方差
，则样本数据 ，
，，， 的平均数为____.
11
，
又，则有，解得 ，
则样本数据，，，， 的平均数
为 .
[解析] 根据题意，设样本数据，，，，的平均数为 ，
其方差
12.[2024·江苏无锡天一中学高一期末] 某旅行团共有游客600人,其中
男性400人,女性200人.为了获得该团游客的身高信息,采用男、女按比
例分配的分层随机抽样的方法抽取样本,并观测样本的指标值
（单位: ）,经计算得到男生样本的均值为170,方差为18,女生样本
的均值为161,方差为30.根据以上数据,估计该旅行团游客身高的均值
为_____;估计该旅行团游客身高的方差为____.
167
40
[解析] 由题意可估计该旅行团游客身高的均值
，
估计该旅行团游客身高的方差 .
三、解答题
13.从某实验农场种植的甲、乙两种玉米苗中各随机抽取5株，分别测
量它们的株高如下（单位： ）：
甲：29，31，30，32，28；
乙：27，44，40，31，43.
请根据平均数和方差的相关知识，解答下列问题：
（1）哪种玉米苗长得高？
解：甲种玉米苗株高的平均数
，
乙种玉米苗株高的平均数
，
，故乙种玉米苗长得高.
（2）哪种玉米苗长得齐？
解：甲种玉米苗株高的方差
，
乙种玉米苗株高的方差
，
，故甲种玉米苗长得齐.
14.某校为了解该校高三年级学生的物理成绩，从某次高三年级物理
测试中随机抽取12名男生和8名女生的测试试卷，记录其物理成绩
（单位：分），其中12名男生的物理成绩分别为72，68，72，76，
80，76，72，80，88，68，72，76.
（1）求这12名男生物理成绩的平均数与方差 ；
解：这12名男生物理成绩的平均数为
，
方差 .
（2）经计算得这8名女生物理成绩的平均数，方差 ，
求这20名学生物理成绩的平均数与方差.
解：这20名学生物理成绩的平均数
，
方差 .
15.（多选题）[2024·河南南阳六校高一期末] 某地环境部门对辖区
内甲、乙、丙、丁四个地区的环境治理情况进行检查督导，若一地
区连续10天每天的空气质量指数均不大于100，则认为该地区的环境
治理达标，否则认为该地区的环境治理不达标.根据连续10天检测所
得数据的数字特征推断，环境治理一定达标的地区是( )
A.甲地区：平均数为90，方差为10
B.乙地区：平均数为60，众数为50
C.丙地区：中位数为50，极差为70
D.丁地区：极差为20， 分位数为80
√
√
[解析] 设每天的空气质量指数为 ，10天的空气质量
指数的平均数为，则方差为 ，
对于A，由，得 ，若这10天
中有1天的空气质量指数大于100，则必有 ，矛盾，
所以这10天每天的空气质量指数都不大于100，该地区的环境治理达
标，故A正确；
对于B，假设有8天的空气质量指数为50，有1天的空气质量
指数为140，有1天的空气质量指数为60，此时平均数为60，众数为
50，但该地区的环境治理不达标，故B错误；
对于C，假设第1天的空气质量指数为120，后面9天的空气质量指数为
50，此时中位数为50，极差为70，但该地区的环境治理不达标，故C
错误；
对于D，如果空气质量指数的最大值大于100，根据极差为20，则空气
质量指数的最小值大于80，这与 分位数为80矛盾，故最大值不大
于100，该地区的环境治理达标，故D正确.故选 .
16.某校有高中生2000人，其中男女生人数之比约为 ，为了获得
该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：
方案一：采用比例分配的分层随机
抽样方法，抽取了样本量为 的样
本，得到频数分布表和频率分布
直方图（如图）.
频数 6 4
方案二：采用分层随机抽样方法，抽取了男、女生样本量均为25的
样本，计算得到男生样本的平均数为170，方差为16，女生样本的
平均数为160，方差为20.
（1）根据图表信息，求， 并补充完整频率分布直方图，估计该校
高中生身高的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点
值为代表）.
解：因为身高在区间 内的频率为 ，频数为4，
所以 ，
故 ， ，
，
所以身高在区间 内的频率为
，在区间 内的频率为
，由此可补充完整频率分布直方图：
由频率分布直方图可知，样本的平均数为
因此可估计该校高中生身高的平均数为 .
（2）计算方案二中总样本的平均数及方差.
解：把男生样本记为,, ,,其平均数记为，方差记为 ;把女
生样本记为,, ,,其平均数记为，方差记为 ,则总样本平均
数 .
因为 ,
所以 ,
同理可得 ,
所以总样本方差
.
（3）计算两种方案总样本平均数的差，并说明用方案二总样本的平均
数作为总体平均数的估计合适吗？为什么？
解：两种方案总样本平均数的差为 ．
用方案二总样本的平均数作为总体平均数的估计不合适，
原因：没有按照等比例进行分层随机抽样，每个个体被抽到的可能性
不同，因此样本的代表性比较差．
