第十章 概率
10.1 随机事件与概率
10.1.1 有限样本空间与随机事件
一、选择题
1.关于样本点、样本空间,下列说法错误的是 ( )
A.样本点是构成样本空间的元素
B.样本点是构成随机事件的元素
C.随机事件是样本空间的子集
D.随机事件中样本点的个数可能比样本空间中的多
2.有下列事件:①连续掷一枚硬币两次,两次都出现反面朝上;②异性电荷相互吸引;③在标准大气压下,水在1 ℃结冰;④买了一注彩票就得了特等奖.其中是随机事件的有 ( )
A.①② B.①④
C.①③④ D.②④
3.[2024·安徽六安裕安区高一期中] 从4名男生,2名女生中随机抽取3人,则下列事件中的必然事件是 ( )
A.至少有2名男生 B.至少有1名男生
C.3人都是男生 D.有2名女生
4.做投掷一枚骰子的试验,观察骰子出现的点数,则事件A=“出现奇数点”用集合表示为 ( )
A.{4,5,6} B.{1,3,5}
C.{2,4,6} D.{1,5,7}
5.高一(1)班计划从A,B,C,D,E这五名班干部中选两人代表班级参加活动,则样本空间中样本点的个数为 ( )
A.5 B.10
C.15 D.20
6.对满足A B的非空集合A,B,有下列四个结论:
①“若任取x∈A,则x∈B”是必然事件;
②“若x A,则x∈B”是不可能事件;
③“若任取x∈B,则x∈A”是随机事件;
④“若x B,则x A”是必然事件.
其中正确结论的个数为 ( )
A.4 B.3
C.2 D.1
7.袋中有2个红色的变形金刚,2个白色的变形金刚,2个黑色的变形金刚,从里面任意取2个变形金刚,下列事件中不是基本事件的为 ( )
A.恰好有2个红色的变形金刚
B.恰好有2个黑色的变形金刚
C.恰好有2个白色的变形金刚
D.至少有1个红色的变形金刚
8.(多选题)[2024·云南大理白族自治州高一期末] 下列是随机事件的是 ( )
A.小明上学路上通过的5个路口都碰到绿灯
B.地球每天都在自转
C.太阳从西边升起
D.明天会下雨
9.(多选题)[2024·陕西汉中高一期末] 在25件同类产品中,有2件次品,从中任取5件产品,其中是随机事件的是 ( )
A.5件都是正品 B.至少有1件次品
C.有3件次品 D.至少有3件正品
二、填空题
10.一个家庭有两个小孩,记录两个小孩的性别,则该随机事件的样本空间Ω=
.
11.从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的三件产品中每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次,则事件A={(a1,a2),(a2,a1)}的含义是 ,事件B={(a1,b1),(b1,a1),(a2,b1),(b1,a2)}的含义是 .
12.从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数,则这一试验的样本空间包含的样本点的总数为 ,取出的三个数的和为奇数这一事件包含的样本点的个数为 .
三、解答题
13.指出下列事件是必然事件、不可能事件,还是随机事件.
(1)如果a,b都是实数,那么a+b=b+a;
(2)从分别标有1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取1张,得到4号签;
(3)没有水分,种子发芽;
(4)某电话总机在60秒内接到至少15次呼叫;
(5)在标准大气压下,水的温度达到50 ℃时沸腾.
14.在试验“袋中有3个白球和2个黑球,从中不放回地依次摸取两次,每次摸1个,观察摸出球的情况”中,记3个白球分别为ω1,ω2,ω3,2个黑球分别为b1,b2.
(1)设事件A=“第一次摸出的是黑球”,事件B=“至少有一次摸出的是黑球”,试用样本点表示事件A和事件B.
(2)指出下列随机事件的含义:
①C={(ω1,ω2),(ω1,ω3),(ω2,ω1),(ω2,ω3),(ω3,ω1),(ω3,ω2)};
②D={(ω1,b1),(ω1,b2),(ω2,b1),(ω2,b2),(ω3,b1),(ω3,b2),(b1,ω1),(b1,ω2),(b1,ω3),(b2,ω1),(b2,ω2),(b2,ω3)};
③E={(ω1,b1),(ω1,b2),(ω2,b1),(ω2,b2),(ω3,b1),(ω3,b2)}.
15.某商场对购买一定量的商品的顾客进行抽奖活动,活动规则是:一个袋中有大小、形状完全相同的红、黑球各一个,顾客从中有放回地依次随机摸取3次,每次摸取一个球,摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分,顾客3次摸球所得总分超过4分获得奖品.设“顾客获奖”为事件A,则事件A包含的样本点为 .
16.将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5)和一个质地均匀的正四面体(四个面上分别标有数字1,2,3,4)同时抛掷1次,规定:正方体向上的面上的数字为a,正四面体的三个侧面上的数字之和为b.设点M的坐标为(a,b).
(1)若集合A={(a,b)|点M在y轴上},用列举法表示集合A;
(2)用集合表示事件B=“点(a,b)满足a2+(b-6)2≤9”.第十章 概率
10.1 随机事件与概率
10.1.1 有限样本空间与随机事件
1.D [解析] 由定义知A,B,C中说法均正确.因为随机事件是样本空间的子集,所以由子集的定义可知D中说法错误.故选D.
2.B [解析] ①④是随机事件,②为必然事件,③为不可能事件.故选B.
3.B [解析] 从4名男生,2名女生中随机抽取3人,有可能2名女生、1名男生,2名男生、1名女生,也有可能3人全是男生,所以只有选项B是必然事件.故选B.
4.B [解析] 由题知A={1,3,5}.
5.B [解析] 从A,B,C,D,E五人中选两人,不同的选法有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),所以样本空间中样本点的个数为10.故选B.
6.B [解析] 对于①,因为A B,x∈A,所以x∈B,因此“若任取x∈A,则x∈B”是必然事件,故①正确;对于②,当集合A是集合B的真子集时,显然存在一个元素在集合B中,不在集合A中,因此“若x A,则x∈B”是随机事件,故②错误;对于③,任取x∈B,当集合A是集合B的真子集时,x∈A有可能成立,也可能不成立,因此“若任取x∈B,则x∈A”是随机事件,故③正确;对于④,因为x B,所以一定有x A,显然“若x B,则x A”是必然事件,故④正确.故选B.
7.D [解析] 从三种颜色的6个变形金刚中随机取出2个,样本点共有15个,即(红1,红2),(红1,白1),(红1,白2),(红1,黑1),(红1,黑2),(红2,白1),(红2,白2),(红2,黑1),(红2,黑2),(白1,白2),(白1,黑1),(白1,黑2),(白2,黑1),(白2,黑2),(黑1,黑2).其中,恰好有2个红色的变形金刚包含的样本点为(红1,红2),恰好有2个黑色的变形金刚包含的样本点为(黑1,黑2),恰好有2个白色的变形金刚包含的样本点为(白1,白2),而至少有1个红色变形金刚包含的样本点不唯一,故D不是基本事件.故选D.
8.AD [解析] 对于A,小明上学路上通过的5个路口都碰到绿灯,这件事可能发生,也可能不会发生,是随机事件,故A符合题意;对于B,地球每天都在自转从而使得昼夜更替,这是必然事件,故B不符合题意;对于C,客观事实是太阳从东边升起,所以太阳从西边升起是不可能事件,故C不符合题意;对于D,明天有可能会下雨,也可能不会下雨,所以明天会下雨是随机事件,故D符合题意.故选AD.
9.AB [解析] 在25件同类产品中,有2件次品,从中任取5件产品,“5件都是正品”“至少有1件次品”,都是随机事件,A,B正确;在25件同类产品中,有2件次品,所以不可能取出3件次品,则“有3件次品”是不可能事件,C错误;在25件同类产品中,有2件次品,从中取5件,则“至少有3件正品”为必然事件,D错误.故选AB.
10.{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)} [解析] 两个小孩有年龄大小之分,所以样本空间Ω有4个样本点,即(男,男),(女,男),(男,女),(女,女),所以Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}.
11.取出的两件产品都是正品 取出的两件产品中恰有一件次品
12.10 4 [解析] 从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10个样本点,其中(1,2,4),(1,3,5),(2,3,4),(2,4,5)中三个数之和为奇数.
13.解:结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知,(1)是必然事件,(3)(5)是不可能事件,(2)(4)是随机事件.
14.解:(1)A={(b1,ω1),(b1,ω2),(b1,ω3),(b2,ω1),(b2,ω2),(b2,ω3),(b1,b2),(b2,b1)},B={(b1,ω1),(b1,ω2),(b1,ω3),(b2,ω1),(b2,ω2),(b2,ω3),(b1,b2),(b2,b1),(ω1,b1),(ω1,b2),(ω2,b1),(ω2,b2),(ω3,b1),(ω3,b2)}.
(2)①事件C的含义是“两次摸出的都是白球”.
②事件D的含义是“摸出的2个球是1个黑球和1个白球”.
③事件E的含义是“第一次摸出的是白球,第二次摸出的是黑球”.
15.(红,红,红),(红,红,黑),(红,黑,红),(黑,红,红)
[解析] “顾客获奖”就是顾客得分为5分或6分,即3次摸到三个红球或两个红球和一个黑球,因此事件A包含的样本点为(红,红,红),(红,红,黑),(红,黑,红),(黑,红,红).
16.解:(1)点M在y轴上,即a=0,b的可能取值为6,7,8,9,所以集合A={(0,6),(0,7),(0,8),(0,9)}.
(2)由题知a2+(b-6)2≤9.
当a=0时,b=6,7,8,9,满足a2+(b-6)2≤9;
当a=1时,b=6,7,8,满足a2+(b-6)2≤9;
当a=2时,b=6,7,8,满足a2+(b-6)2≤9;
当a=3时,b=6,满足a2+(b-6)2≤9.
故B={(0,6),(0,7),(0,8),(0,9),(1,6),(1,7),(1,8),(2,6),(2,7),(2,8),(3,6)}.(共67张PPT)
10.1 随机事件与概率
10.1.1 有限样本空间与随机事件
探究点一 随机试验的样本空间
探究点二 随机事件、必然事件、不可能
事件
探究点三 随机事件的集合表示
【学习目标】
1.结合具体实例理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事
件与样本点的关系.
2.了解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.
知识点一 有限样本空间
1.（1）随机试验的概念
对随机现象的实现和对它的观察称为__________，简称______，常
用字母 表示．
随机试验
试验
（2）随机试验的特点
①试验可以在相同条件下__________；
②试验的所有可能结果是__________的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的______，但事先不能确
定出现哪一个结果．
重复进行
明确可知
一个
2.样本点、样本空间的概念与表示
定义 字母表示
样本点
样本空间 用___表示
有限样本 空间
每个可能的基本结果
全体
有限样本空间
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）一次随机试验所有可能出现的结果只有一个.( )
×
（2）样本空间中可能含有多个样本点．( )
√
（3）抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，该试验的样本空间
中含有两个样本点．( )
√
2.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学
生任意选报其中的两个，试确定该试验的样本点的个数．
解：该学生选报兴趣小组的所有可能结果有数学和计算机、数学和
航空模型、计算机和航空模型，所以该试验的样本点的个数为3．
知识点二 随机事件
1.随机事件
（1）概念：样本空间 的子集称为__________,简称事件. 只包含一
个样本点的事件称为__________.
随机事件
基本事件
（2）表示：随机事件一般用大写字母,,, 表示．
（3）在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件
发生．
2.必然事件
作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个
________发生，所以 总会发生，称 为__________．
样本点
必然事件
3.不可能事件
空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，称 为
_____________．
不可能事件
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）连续两周，每周的周五都下雨，可以断定第三周的周五还要下
雨．( )
×
（2）在体育彩票摇号试验中，“摇出球的号码为奇数”是随机事
件．( )
√
（3）必然事件与不可能事件不具有随机性．( )
√
2.“2024年李欢的高考数学成绩在130分以上”是随机事件吗？试以“20
24年李欢的高考数学成绩”为背景写一个不可能事件．
解：“2024年李欢的高考数学成绩在130分以上”是随机事件. “2024年
李欢的高考数学成绩是256分”是不可能事件．
探究点一 随机试验的样本空间
例1 写出下列随机试验的样本空间：
（1）掷一枚骰子，记录出现的点数；
解:掷一枚骰子，记录出现的点数，该试验的样本空间 ，2，3，
4，5， .
（2）将一枚骰子掷两次，记录出现的点数；
解:将一枚骰子掷两次，记录出现的点数，该试验的样本空间
，，，，，，， ，
，，，，，，，， ，
，，，，，，，， ，
，，，，，，，， ，
.
（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1，2，3，4，
5，从中同时取出3只球，观察其编号.
解:一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，
从中同时取出3只球，观察其编号，
该试验的样本空间，，， ，
，，，，， ．
变式 写出下列试验的样本空间：
（1）连续抛掷一枚硬币2次，观察正面、反面出现的情况；
解：第一次硬币向上的面与第二次硬币向上的面构成一个样本点，
样本空间为{（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），
（反面，反面）}.
（2）甲、乙、丙、丁四位同学参加演讲比赛，通过抽签确定演讲的
顺序，记录抽签的结果；
解：四位同学的一个排列构成一个样本点，样本空间为{甲乙丙丁，
甲乙丁丙，甲丙乙丁，甲丙丁乙，甲丁乙丙，甲丁丙乙，乙甲丙丁，
乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲，丙乙甲丁，
丙乙丁甲，丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙丁乙甲，丙丁甲乙，丁乙丙甲，
丁乙甲丙，丁丙乙甲，丁丙甲乙，丁甲乙丙，丁甲丙乙}.
（3）连续抛掷一枚骰子2次，观察2次掷出的点数之和；
解：第一枚骰子和第二枚骰子的点数和构成一个样本点，样本空间
为，3，4，5，6，7，8，9，10，11， .
（4）设袋中装有4个白球和6个黑球，从中不放回地逐个取出，直至
白球全部取出，记录取球的次数.
解：白球全部取出，最少取4次，最多取10次，样本空间为
.
［素养小结］
如何不重不漏地写出试验的样本空间：
（1）样本点是相对于条件而言的，要弄清试验的样本点，首先必须
明确试验中的条件;
（2）根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有样本点，也可
应用画树状图、列表等方法解决.
探究点二 随机事件、必然事件、不可能事件
例2（1） 下列事件中，随机事件的个数为( )
①甲、乙两人下棋，甲获胜；
②小明过马路，遇见车的车牌号尾号是奇数；
③某种彩票的中奖率为 ，某人买一张此种彩票中奖；
④用任意平面截球，所得截面图形是椭圆.
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 根据随机事件的定义可知①②③是随机事件，④是不可能事
件，所以随机事件的个数为3.故选C.
√
（2）已知下列事件：①任取一个整数，被2整除；②小明同学在某
次数学测试中成绩不低于120分；③甲、乙两人进行竞技比赛，甲的
实力远胜于乙，在一次比赛中甲一定获胜；④当圆的半径变为原来
的2倍时，圆的面积是原来的4倍.其中必然事件的个数是( )
A.0 B.1 C.3 D.4
[解析] ①②③均可能发生也可能不发生，为随机事件，④一定发生，
为必然事件.故选B.
√
变式 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
（1）某人购买一注福利彩票，中奖500万元；
解：某人购买一注福利彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随
机事件.
（2）三角形的内角和为 ；
解：所有三角形的内角和都为 ，所以是必然事件.
（3）没有空气和水，人类可以生存下去；
解：空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生
存，所以是不可能事件.
（4）同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；
解：同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件.
（5）从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
解：任意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任意一张，所以是
随机事件.
（6）科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现.
解：由能量守恒定律可知，不需要任何能量的“永动机”不会出现，
所以是不可能事件.
［素养小结］
对事件分类的两个关键点
条件 事件的分类是与一定的条件相对而言的，没有条
件，无法判断事件是否发生
结果发生与否 有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况
探究点三 随机事件的集合表示
例3 试验 连续抛掷一枚硬币3次，观察正面、反面出现的情况.
（1）写出试验的样本空间；
解：试验的所有可能结果共有8种，下面用字母 表示出现正面，
字母表示出现反面，则试验的样本空间可以记为 ,
,,,,,, .
（2）设事件表示“第一次出现正面”，事件 表示“3次出现同一面”，
事件表示“至少出现一次正面”，试用集合表示事件，， .
解：因为事件 表示“第一次出现正面”，所以满足要求的样本点共有
4个，为，，， ，所以事件
,,, .
事件 表示“3次出现同一面”，所以满足要求的样本点共有2个，为
，，所以事件, .
事件 表示“至少出现一次正面”，所以满足要求的样本点共有7个，
为，，，，， ，
.因此，事件,,, ,
,, .
变式1 写出下列随机试验的样本空间，并用样本点组成的集合表示
给出的随机事件.
（1）在1，2，3，4四个数字中可重复地取出两个数．
“一个数是另一个数的两倍”； “两个数互素”．
解:在1，2，3，4四个数字中可重复地取出两个数，该试验的样本空
间，，，，，，， ，
，，，，，，，
“一个数是另一个数的两倍”，则，，， .
“两个数互素”，则，，，， ，
，，，， ．
（2）甲、乙两人下一盘棋，观察结果．
“甲不输”； “没有人输”．
解:甲、乙两人下一盘棋，观察结果，该试验的样本空间 甲胜，
乙胜，和棋“甲不输”，则甲胜，和棋 “没有人输”，
则 和棋}．
变式2 在试验“连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察每次掷出的
点数”中，指出下列随机事件的含义：
（1），，，， ；
解：观察事件中所含的样本点，，，， 可
知，每个样本点中第二个数均比第一个数大1，
因此，若事件 中所含的样本点出现其中一个，则“第二次掷出的点
数比第一次的大1”发生，
同时，若“第二次掷出的点数比第一次的大1”发生，则事件 中的样
本点必出现其中一个，
故事件 的含义为“连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第二次掷出
的点数比第一次的大1”．
（2），，， ．
解：观察事件中所含的样本点，，， 可知，每
个样本点中两个数的和均为5，
因此，若事件 中所含的样本点出现其中一个，则“两次掷出的点数
之和为5”发生，
同时，若“两次掷出的点数之和为5”发生，则事件 中的样本点必出
现其中一个，
故事件 的含义为“连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，两次掷出的
点数之和为5”．
［素养小结］
（1）随机事件的表示：先列出所有的样本点，再确定要求的随机事
件包含哪些样本点，把这些样本点作为元素表示成集合即可.
（2）说明随机事件的含义：要先理解事件中样本点的意义，观察它
们的规律，进而确定随机事件的含义.
1.对随机试验的理解
对于随机事件，知道它发生的可能性的大小是非常重要的，要了解
随机事件发生的可能性的大小，最直接的方法就是试验．一个试验
如果满足下述条件:
（1）试验可以在相同条件下重复进行;
（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个;
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验
之前却不能确定这次试验会出现哪一个结果．那么像这样的试验是
一个随机试验．
如掷硬币这个试验中，试验可以重复进行，每掷一次，就是进行了一
次试验，试验结果“正面向上”“反面向上”是明确可知的，每次试验之
前不能确定出现哪个结果，但一定会出现这两种结果中的一个．
2.样本空间与样本点
随机试验的所有可能结果组成的集合称为的样本空间，记为 .样
本空间的元素，即试验 的每一个结果，称为样本点.
3.随机试验与样本空间的关系
（1）试验不同，对应的样本空间也不同.
（2）同一试验，若试验目的不同，则对应的样本空间也不同.
（3）建立样本空间，事实上就是建立随机现象的数学模型.因此，一
个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题.
4.必然事件与不可能事件不具有随机性，为了方便统一处理，将必然
事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.这样，每个事件都
是样本空间 的一个子集.
利用集合表示事件
利用集合表示事件的基本是把样本点表示出来,表示样本点的方法有
列举法、列表法、坐标系法和树状图法.
例1 甲、乙两人做出拳游戏（锤、剪、布），用 表示结果，其
中表示甲出的拳， 表示乙出的拳.
（1）写出样本空间；
解：样本空间 （锤，剪），（锤，布），（锤，锤），
（剪，锤），（剪，剪），（剪，布），（布，锤），（布，剪），
（布，布）}.
（2）用集合表示事件“甲赢”；
解：记“甲赢”为事件，则 （锤，剪），（剪，布），
（布，锤）}.
（3）用集合表示事件“平局”.
解：记“平局”为事件，则 （锤，锤），（剪，剪），
（布，布）}.
例2 [2023·河南平顶山蓝天学校高一月考] 如图，一个电路中有，
， 三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效，把这个电路是
否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.
（1）写出试验的样本空间.
解：分别用,和表示元件，和 的可能状态，则这个电路的
工作状态可用 表示，进一步地，用1表示元件的“正常”状
态，用0表示“失效”状态.
样本空间,,,,, ,
, .
（2）用集合表示下列事件： “恰好两个元件正常”；“电路是通路”；
“电路是断路”.
解：“恰好两个元件正常”等价于 ，且,, 中恰
有两个为1，所以,, .
“电路是通路”等价于 ，，且, 中至少有一
个是1，所以,, .
“电路是断路”等价于 ，或,.
所以 ,,,, .
练习册
一、选择题
1.关于样本点、样本空间，下列说法错误的是( )
A.样本点是构成样本空间的元素
B.样本点是构成随机事件的元素
C.随机事件是样本空间的子集
D.随机事件中样本点的个数可能比样本空间中的多
[解析] 由定义知A，B，C中说法均正确．因为随机事件是样本空间
的子集，所以由子集的定义可知D中说法错误．故选D．
√
2.有下列事件：①连续掷一枚硬币两次，两次都出现反面朝上；②异
性电荷相互吸引；③在标准大气压下，水在 结冰；④买了一注彩
票就得了特等奖.其中是随机事件的有( )
A.①② B.①④ C.①③④ D.②④
[解析] ①④是随机事件，②为必然事件，③为不可能事件.故选B.
√
3.[2024·安徽六安裕安区高一期中]从4名男生，2名女生中随机抽取3
人，则下列事件中的必然事件是( )
A.至少有2名男生 B.至少有1名男生
C.3人都是男生 D.有2名女生
[解析] 从4名男生，2名女生中随机抽取3人，有可能2名女生、1名男
生，2名男生、1名女生，也有可能3人全是男生，所以只有选项B是
必然事件.故选B.
√
4.做投掷一枚骰子的试验，观察骰子出现的点数，则事件 “出现
奇数点”用集合表示为( )
A.，5， B.，3， C.，4， D.，5，
[解析] 由题知 ．
√
5.高一（1）班计划从，，，， 这五名班干部中选两人代表班
级参加活动，则样本空间中样本点的个数为( )
A.5 B.10 C.15 D.20
[解析] 从A，B，C，D，五人中选两人，不同的选法有 ,
,,,,,,,, ，所以样
本空间中样本点的个数为10.故选B.
√
6.对满足的非空集合， ，有下列四个结论：
①“若任取，则 ”是必然事件；
②“若，则 ”是不可能事件；
③“若任取，则 ”是随机事件；
④“若，则 ”是必然事件.
其中正确结论的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
√
[解析] 对于①，因为，，所以，因此“若任取 ，
则 ”是必然事件，故①正确；
对于②，当集合A是集合B的真子集时，显然存在一个元素在集合B中，
不在集合A中，因此“若 ，则”是随机事件，故②错误；
对于③，任取 ，当集合A是集合B的真子集时，有可能成立，
也可能不成立，因此“若任取 ，则”是随机事件,故③正确；
对于④，因为 ，所以一定有，显然“若，则 ”是
必然事件，故④正确.故选B.
7.袋中有2个红色的变形金刚，2个白色的变形金刚，2个黑色的变形
金刚，从里面任意取2个变形金刚，下列事件中不是基本事件的为
( )
A.恰好有2个红色的变形金刚 B.恰好有2个黑色的变形金刚
C.恰好有2个白色的变形金刚 D.至少有1个红色的变形金刚
√
[解析] 从三种颜色的6个变形金刚中随机取出2个，样本点共有15个，
即（红1，红2），（红1，白1），（红1，白2），（红1，黑1），
（红1，黑2），（红2，白1），（红2，白2），（红2，黑1），
（红2，黑2），（白1，白2），（白1，黑1），（白1，黑2），
（白2，黑1），（白2，黑2），（黑1，黑2）．
其中，恰好有2个红色的变形金刚包含的样本点为（红1，红2），恰
好有2个黑色的变形金刚包含的样本点为（黑1，黑2），恰好有2个白
色的变形金刚包含的样本点为（白1，白2），而至少有1个红色变形
金刚包含的样本点不唯一，故D不是基本事件．故选D．
8.（多选题）[2024·云南大理白族自治州高一期末] 下列是随机事件
的是( )
A.小明上学路上通过的5个路口都碰到绿灯
B.地球每天都在自转
C.太阳从西边升起
D.明天会下雨
√
√
[解析] 对于A，小明上学路上通过的5个路口都碰到绿灯，这件事可
能发生，也可能不会发生，是随机事件，故A符合题意；
对于B，地球每天都在自转从而使得昼夜更替，这是必然事件，故B
不符合题意；
对于C，客观事实是太阳从东边升起，所以太阳从西边升起是不可能
事件，故C不符合题意；
对于D，明天有可能会下雨，也可能不会下雨，所以明天会下雨是随
机事件，故D符合题意.故选 .
9.（多选题）[2024·陕西汉中高一期末] 在25件同类产品中，有2件
次品，从中任取5件产品，其中是随机事件的是( )
A.5件都是正品 B.至少有1件次品
C.有3件次品 D.至少有3件正品
[解析] 在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，“5件都
是正品”“至少有1件次品”，都是随机事件，A，B正确；
在25件同类产品中，有2件次品，所以不可能取出3件次品，则“有3件
次品”是不可能事件，C错误；
在25件同类产品中，有2件次品，从中取5件，则“至少有3件正品”为
必然事件，D错误.故选 .
√
√
二、填空题
10.一个家庭有两个小孩，记录两个小孩的性别，则该随机事件的样
本空间 _________________________________________________.
（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）
[解析] 两个小孩有年龄大小之分，所以样本空间 有4个样本点，
即（男，男），（女，男），（男，女），（女，女），所以
（男，男），（男，女），（女，男），（女，女） .
11.从含有两件正品，和一件次品 的三件产品中每次任取一件，
每次取出后不放回，连续取两次，则事件， 的
含义是 ________________________，事件， ，
， 的含义是______________________________.
取出的两件产品都是正品
取出的两件产品中恰有一件次品
12.从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则这一试验的样本空间
包含的样本点的总数为____，取出的三个数的和为奇数这一事件包
含的样本点的个数为___.
10
4
[解析] 从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数有， ，
，，，，，， ，
，共10个样本点，其中，，， 中三
个数之和为奇数.
三、解答题
13.指出下列事件是必然事件、不可能事件,还是随机事件.
（1）如果,都是实数,那么 ；
（2）从分别标有1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取1张,得到4号签；
（3）没有水分,种子发芽；
（4）某电话总机在60秒内接到至少15次呼叫；
（5）在标准大气压下,水的温度达到 时沸腾.
解：结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知，（1）是必
然事件，（3）（5）是不可能事件，（2）（4）是随机事件.
14.在试验“袋中有3个白球和2个黑球，从中不放回地依次摸取两次，
每次摸1个，观察摸出球的情况”中，记3个白球分别为，， ，
2个黑球分别为， ．
（1）设事件“第一次摸出的是黑球”，事件 “至少有一次摸出
的是黑球”，试用样本点表示事件和事件 .
解：，，，， ，
，，，，， ，
，，，，， ，
，，，， .
（2）指出下列随机事件的含义：
①，，，， ，
；
解： 事件 的含义是“两次摸出的都是白球”.
②，，，，， ，
，，，，， ；
解： 事件 的含义是“摸出的2个球是1个黑球和1个白球”.
③，，，，， ．
解： 事件 的含义是“第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球”．
15.某商场对购买一定量的商品的顾客进行抽奖活动，活动规则是：
一个袋中有大小、形状完全相同的红、黑球各一个，顾客从中有放
回地依次随机摸取3次，每次摸取一个球，摸到红球时得2分，摸到
黑球时得1分，顾客3次摸球所得总分超过4分获得奖品．设“顾客获
奖”为事件，则事件 包含的样本点为__________________________
______________________________________.
（红，红，红），（红，红，黑），（红，黑，红），（黑，红，红）
[解析] “顾客获奖”就是顾客得分为5分或6分，即3次摸到三个红球或
两个红球和一个黑球，因此事件 包含的样本点为（红，红，红），
（红，红，黑），（红，黑，红），（黑，红，红）．
16.将一个质地均匀的正方体（六个面上分别标有数字0，1，2，3，4，
5）和一个质地均匀的正四面体（四个面上分别标有数字1，2，3，4）
同时抛掷1次，规定：正方体向上的面上的数字为 ，正四面体的三
个侧面上的数字之和为.设点的坐标为 .
（1）若集合点在轴上，用列举法表示集合 ；
解：点在轴上，即， 的可能取值为6，7，8，9，所以集合
，，， .
（2）用集合表示事件“点满足 ”.
解：由题知 .
当时，，7，8，9，满足 ；
当时，，7，8，满足 ；
当时，，7，8，满足 ；
当时，，满足 .
故，，，，，，， ，
，， .第十章 概率
10.1 随机事件与概率
10.1.1 有限样本空间与随机事件
【学习目标】
1.结合具体实例理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事件与样本点的关系.
2.了解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.
◆ 知识点一 有限样本空间
1.(1)随机试验的概念
对随机现象的实现和对它的观察称为 ,简称 ,常用字母E表示.
(2)随机试验的特点
①试验可以在相同条件下 ;
②试验的所有可能结果是 的,并且不止一个;
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的 ,但事先不能确定出现哪一个结果.
2.样本点、样本空间的概念与表示
定义 字母表示
样本点 随机试验E的 称为样本点 用ω表示
样本空间 样本点的集合称为试验E的样本空间 用 表示
有限 样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn, 则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为 Ω={ω1, ω2,…,ωn}
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)一次随机试验所有可能出现的结果只有一个. ( )
(2)样本空间中可能含有多个样本点. ( )
(3)抛掷一枚硬币,观察它落地时哪一面朝上,该试验的样本空间中含有两个样本点. ( )
2.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组,某学生任意选报其中的两个,试确定该试验的样本点的个数.
◆ 知识点二 随机事件
1.随机事件
(1)概念:样本空间Ω的子集称为 ,简称事件. 只包含一个样本点的事件称为 .
(2)表示:随机事件一般用大写字母A,B,C,…表示.
(3)在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生.
2.必然事件
Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个 发生,所以Ω总会发生,称Ω为 .
3.不可能事件
空集 不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,称 为 .
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)连续两周,每周的周五都下雨,可以断定第三周的周五还要下雨. ( )
(2)在体育彩票摇号试验中,“摇出球的号码为奇数”是随机事件. ( )
(3)必然事件与不可能事件不具有随机性. ( )
2.“2024年李欢的高考数学成绩在130分以上”是随机事件吗 试以“2024年李欢的高考数学成绩”为背景写一个不可能事件.
◆ 探究点一 随机试验的样本空间
例1 写出下列随机试验的样本空间:
(1)掷一枚骰子,记录出现的点数;
(2)将一枚骰子掷两次,记录出现的点数;
(3)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5,从中同时取出3只球,观察其编号.
变式 写出下列试验的样本空间:
(1)连续抛掷一枚硬币2次,观察正面、反面出现的情况;
(2)甲、乙、丙、丁四位同学参加演讲比赛,通过抽签确定演讲的顺序,记录抽签的结果;
(3)连续抛掷一枚骰子2次,观察2次掷出的点数之和;
(4)设袋中装有4个白球和6个黑球,从中不放回地逐个取出,直至白球全部取出,记录取球的次数.
[素养小结]
如何不重不漏地写出试验的样本空间:
(1)样本点是相对于条件而言的,要弄清试验的样本点,首先必须明确试验中的条件;
(2)根据日常生活经验,按照一定的顺序列举出所有样本点,也可应用画树状图、列表等方法解决.
◆ 探究点二 随机事件、必然事件、不可能事件
例2 (1)下列事件中,随机事件的个数为 ( )
①甲、乙两人下棋,甲获胜;
②小明过马路,遇见车的车牌号尾号是奇数;
③某种彩票的中奖率为99%,某人买一张此种彩票中奖;
④用任意平面截球,所得截面图形是椭圆.
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)已知下列事件:①任取一个整数,被2整除;②小明同学在某次数学测试中成绩不低于120分;③甲、乙两人进行竞技比赛,甲的实力远胜于乙,在一次比赛中甲一定获胜;④当圆的半径变为原来的2倍时,圆的面积是原来的4倍.其中必然事件的个数是 ( )
A.0 B.1
C.3 D.4
变式 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件:
(1)某人购买一注福利彩票,中奖500万元;
(2)三角形的内角和为180°;
(3)没有空气和水,人类可以生存下去;
(4)同时抛掷两枚硬币一次,都出现正面向上;
(5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张,抽到1号标签;
(6)科学技术达到一定水平后,不需任何能量的“永动机”将会出现.
[素养小结]
对事件分类的两个关键点
条件 事件的分类是与一定的条件相对而言的,没有条件,无法判断事件是否发生
结果发 生与否 有时结果较复杂,要准确理解结果包含的各种情况
◆ 探究点三 随机事件的集合表示
例3 试验E:连续抛掷一枚硬币3次,观察正面、反面出现的情况.
(1)写出试验的样本空间;
(2)设事件A表示“第一次出现正面”,事件B表示“3次出现同一面”,事件C表示“至少出现一次正面”,试用集合表示事件A,B,C.
变式1 写出下列随机试验的样本空间,并用样本点组成的集合表示给出的随机事件.
(1)在1,2,3,4四个数字中可重复地取出两个数.
A=“一个数是另一个数的两倍”;B=“两个数互素”.
(2)甲、乙两人下一盘棋,观察结果.
A=“甲不输”;B=“没有人输”.
变式2 在试验“连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次,观察每次掷出的点数”中,指出下列随机事件的含义:
(1)A={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)};
(2)B={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}.
[素养小结]
(1)随机事件的表示:先列出所有的样本点,再确定要求的随机事件包含哪些样本点,把这些样本点作为元素表示成集合即可.
(2)说明随机事件的含义:要先理解事件中样本点的意义,观察它们的规律,进而确定随机事件的含义.第十章 概率
10.1 随机事件与概率
10.1.1 有限样本空间与随机事件
【课前预习】
知识点一
1.(1)随机试验 试验 (2)①重复进行 ②明确可知 ③一个
2.每个可能的基本结果 全体 Ω 有限样本空间
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)√
2.解:该学生选报兴趣小组的所有可能结果有数学和计算机、数学和航空模型、计算机和航空模型,所以该试验的样本点的个数为3.
知识点二
1.(1)随机事件 基本事件
2.样本点 必然事件
3.不可能事件
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)√
2.解:“2024年李欢的高考数学成绩在130分以上”是随机事件. “2024年李欢的高考数学成绩是256分”是不可能事件.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)掷一枚骰子,记录出现的点数,该试验的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}.
(2)将一枚骰子掷两次,记录出现的点数,该试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.
(3)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5,从中同时取出3只球,观察其编号,
该试验的样本空间Ω={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)}.
变式 解:(1)第一次硬币向上的面与第二次硬币向上的面构成一个样本点,样本空间为{(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)}.
(2)四位同学的一个排列构成一个样本点,样本空间为{甲乙丙丁,甲乙丁丙,甲丙乙丁,甲丙丁乙,甲丁乙丙,甲丁丙乙,乙甲丙丁,乙甲丁丙,乙丙甲丁,乙丙丁甲,乙丁甲丙,乙丁丙甲,丙乙甲丁,丙乙丁甲,丙甲乙丁,丙甲丁乙,丙丁乙甲,丙丁甲乙,丁乙丙甲,丁乙甲丙,丁丙乙甲,丁丙甲乙,丁甲乙丙,丁甲丙乙}.
(3)第一枚骰子和第二枚骰子的点数和构成一个样本点,样本空间为{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.
(4)白球全部取出,最少取4次,最多取10次,样本空间为{4,5,6,7,8,9,10}.
探究点二
例2 (1)C (2)B [解析] (1)根据随机事件的定义可知①②③是随机事件,④是不可能事件,所以随机事件的个数为3.故选C.
(2)①②③均可能发生也可能不发生,为随机事件,④一定发生,为必然事件.故选B.
变式 解:(1)某人购买一注福利彩票,可能中奖,也可能不中奖,所以是随机事件.
(2)所有三角形的内角和都为180°,所以是必然事件.
(3)空气和水是人类生存的必要条件,没有空气和水,人类无法生存,所以是不可能事件.
(4)同时抛掷两枚硬币一次,不一定都是正面向上,所以是随机事件.
(5)任意抽取,可能得到1,2,3,4号标签中的任意一张,所以是随机事件.
(6)由能量守恒定律可知,不需要任何能量的“永动机”不会出现,所以是不可能事件.
探究点三
例3 解:(1)试验E的所有可能结果共有8种,下面用字母H表示出现正面,字母T表示出现反面,则试验E的样本空间可以记为Ω={(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T),(T,H,H),(T,H,T),(T,T,H),(T,T,T)}.
(2)因为事件A表示“第一次出现正面”,所以满足要求的样本点共有4个,为(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T),所以事件A={(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T)}.
事件B表示“3次出现同一面”,所以满足要求的样本点共有2个,为(H,H,H),(T,T,T),所以事件B={(H,H,H),(T,T,T)}.
事件C表示“至少出现一次正面”,所以满足要求的样本点共有7个,为(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T),(T,H,H),(T,H,T),(T,T,H).因此,事件C={(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T),(T,H,H),(T,H,T),(T,T,H)}.
变式1 解:(1)在1,2,3,4四个数字中可重复地取出两个数,该试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.A=“一个数是另一个数的两倍”,则A={(1,2),(2,1),(2,4),(4,2)}.
B=“两个数互素”,则B={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3)}.
(2)甲、乙两人下一盘棋,观察结果,该试验的样本空间Ω={甲胜,乙胜,和棋}.A=“甲不输”,则A={甲胜,和棋}.B=“没有人输”,则B={和棋}.
变式2 解:(1)观察事件A中所含的样本点(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)可知,每个样本点中第二个数均比第一个数大1,
因此,若事件A中所含的样本点出现其中一个,则“第二次掷出的点数比第一次的大1”发生,
同时,若“第二次掷出的点数比第一次的大1”发生,则事件A中的样本点必出现其中一个,
故事件A的含义为“连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次,第二次掷出的点数比第一次的大1”.
(2)观察事件B中所含的样本点(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)可知,每个样本点中两个数的和均为5,
因此,若事件B中所含的样本点出现其中一个,则“两次掷出的点数之和为5”发生,
同时,若“两次掷出的点数之和为5”发生,则事件B中的样本点必出现其中一个,
故事件B的含义为“连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次,两次掷出的点数之和为5”.
