10.1.3 古典概型
【课前预习】
知识点一
1.度量 P(A)
2.(1)有限个 (2)相等
诊断分析
1.(1)√ (2)√ (3)× (4)× [解析] (1)∵古典概型中具有等可能性,∴每一个样本点出现的可能性相等,故正确.
(2)∵古典概型中的任何两个样本点都不能同时发生,∴都是互斥的,故正确.
2.解:不是古典概型.虽然试验的所有可能结果只有11个,但命中10环、命中9环、…、命中1环和脱靶的出现不是等可能的,所以不满足古典概型的等可能性.
知识点二
1. 个数
诊断分析
(1)× (2)√ (3)×
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)是古典概型,因为样本点个数有限,而且每个样本点发生的可能性相等,所以是古典概型.
(2)把球的颜色作为划分样本点的依据,可得到“取得1个白球”“取得1个红球”“取得1个黄球”3个样本点.样本点个数有限,但“取得1个白球”的可能性与“取得1个红球”或“取得1个黄球”的可能性不相等,即不满足等可能性,故不是古典概型.
变式 C [解析] A选项,种子长出果实,不长出果实的发生不是等可能的,故A选项不是古典概型;B选项,取出的正整数不满足“有限性”,所以B选项不是古典概型;C选项,在甲、乙、丙、丁4名志愿者中,任选一名志愿者参加跳高项目,样本空间的样本点是有限的,且每个样本点的发生是等可能的,所以C选项是古典概型;D选项,抛掷的次数不满足“等可能性”,所以D选项不是古典概型.故选C.
探究点二
例2 解:(1)将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,
该试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共有36个样本点.
事件A=“两数之和为8”包含的样本点为(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5个,
∴事件A发生的概率P(A)=.
(2)∵事件B=“两数之和是3的倍数”,∴事件B包含的样本点有12个,分别为(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6),∴事件B发生的概率P(B)==.
(3)事件A与事件C至少有一个发生包含的样本点有11个,分别为(2,2),(2,4),(2,6),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(6,2),(6,4),(6,6),∴事件A与事件C至少有一个发生的概率为P(A∪C)=.
变式1 [解析] 出现3点或5点的概率P==.
变式2 解:(1)设抽样比为x,则由比例分配的分层随机抽样法可知,街舞、围棋、武术三个社团抽取的人数分别为48x,42x,30x.由题意得48x-42x=1,解得x=,
故街舞、围棋、武术三个社团抽取的人数分别为48×=8,42×=7,30×=5.
(2)由(1)知,从围棋社团抽取的同学有7人,其中2名女同学记为A,B,5名男同学记为C,D,E,F,G.
从7人中随机选出2人担任该社团活动监督的职务,则样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G),(C,D),(C,E),(C,F),(C,G),(D,E),(D,F),(D,G),(E,F),(E,G),(F,G)},共包含21个样本点.
记事件M=“至少有1名女同学担任监督职务”,则M= {(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G)},共包含11个样本点,所以P(M)=,
故至少有1名女同学担任监督职务的概率为.
探究点三
例3 解:(1)记3个红球的编号分别为1,2,3,2个白球的编号分别为4,5,则在有放回情况下,
第一次摸球时有5种等可能的结果,对应第一次摸球的每个可能结果,第二次摸球时都有5种等可能的结果.将两次摸球的结果配对,组成25种等可能的结果.
如表1所示.
表1
第一次 第二次
1 2 3 4 5
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)
第一次摸到白球的可能结果有10种,见表中后两行.
记A= “第一次摸到白球”,则P(A)==.
(2)在无放回情况下,第一次摸球时有5种等可能的结果,对应第一次摸球的每个可能结果,第二次摸球时都有4种等可能的结果.将两次摸球的结果配对,组成20种等可能的结果,如表2所示.
表2
第一次 第二次
1 2 3 4 5
1 × (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)
2 (2,1) × (2,3) (2,4) (2,5)
3 (3,1) (3,2) × (3,4) (3,5)
4 (4,1) (4,2) (4,3) × (4,5)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) ×
第二次摸到白球的可能结果有8种,见表中后两列.
记B= “第二次摸到白球”,则P(B)==.
(3)“同时摸出2个球”的可能结果有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种,
其中至少摸到一个白球包含的可能结果有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共7种,
记C= “至少摸到一个白球”,则P(C)=.
变式 解:(1)从袋中一次随机摸出2个小球,该试验的样本空间Ω1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共包含6个样本点,
设事件A=“摸出的2个小球的标号之和为奇数”,则 A={(1,2),(1,4),(2,3),(3,4)},共包含4个样本点,
故P(A)==.
(2)从袋中每次随机摸出1个小球,有放回地摸两次,则该试验的样本空间Ω2={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共包含16个样本点,
设事件B=“两次摸出的小球的标号之和为奇数”,则B={(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3)},共包含8个样本点,所以P(B)==,
同理得两次摸出的小球的标号之和为偶数的概率为,所以甲、乙获胜的概率均为,故此游戏公平.
拓展 解:(1)记黑球为1,2,白球为3,4,红球为5,6,甲从中取出3个球,样本空间Ω={123,124,125,126,134,135,136,145,146,156,234,235,236,245,246,256,345,346,356,456},共包含20个样本点,当甲、乙成平局时,甲取出的3个球是1个黑球、1个白球、1个红球,共包含8个样本点,故甲、乙成平局的概率P1==.
(2)甲获胜时,得分只能是4分或5分,即取出的是2个红球、1个白球或1个红球、2个白球或2个红球、1个黑球,共包含6个样本点,故甲获胜的概率P2==,同理,乙获胜的概率P3==,所以P2=P3,故取球的顺序不影响比赛的公平性.10.1.3 古典概型
一、选择题
1.下列概率模型是古典概型的是 ( )
A.已知袋子中装有大小完全相同的红色、绿色、黑色小球各1个,从中任意取出1个球,观察球的颜色
B.在适宜条件下,种下一粒种子,观察它是否发芽
C.在平面直角坐标系内任取一点P,观察点P是否在第一象限
D.从直径为(120±0.3)mm的零件中取出一个,测量它的直径
2.考试的时候小明忘记了egg(鸡蛋)怎么写,只记得有e,g,g三个字母,就随机写了一个,则他写对的概率为 ( )
A. B. C. D.
3.随机抛掷两枚质地均匀的骰子,则得到的两枚骰子的点数之和是4的倍数的概率是 ( )
A. B. C. D.
4.甲、乙两人有三个不同的学习小组A,B,C可以参加,若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组,则两人参加同一个小组的概率为 ( )
A. B. C. D.
5.[2024·安徽六安高一期末] 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想可以表述为“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数的和”,如16=5+11.在不超过12的质数中,随机选取两个不同的数,其和为偶数的概率为 ( )
A. B. C. D.
6.[2024·重庆十八中高一月考] 在一个不透明的袋子里装有四个小球,球上分别标有6,7,8,9四个数字,这些小球除数字外完全相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏,甲先从袋中任意摸出一个小球,将小球上的数字记为m,再由乙猜这个小球上的数字,记为n.如果m,n满足|m-n|≤1,那么就称甲、乙两人“心领神会”,则两人“心领神会”的概率是 ( )
A. B. C. D.
7.有两人从一座6层大楼的底层进入电梯,假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的,则这两人在不同层离开电梯的概率是 ( )
A. B.
C. D.
8.(多选题)在一个古典概型中,若两个不同的随机事件A,B发生的概率相等,则称A和B是“等概率事件”,如:抛掷一枚质地均匀的骰子一次,事件“奇数点朝上”和“偶数点朝上”是“等概率事件”.关于“等概率事件”,下列说法正确的是( )
A.在同一个古典概型中,所有的基本事件之间都是“等概率事件”
B.若一个古典概型的样本空间中样本点的个数大于2,则在这个古典概型中除基本事件外没有其他“等概率事件”
C.因为所有必然事件的概率都是1,所以任意两个必然事件都是“等概率事件”
D.同时抛掷三枚质地均匀的硬币一次,则事件“恰有一个正面向上”和“恰有两个正面向上”是“等概率事件”
9.(多选题)[2024·辽宁六校协作体高一联考] 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3的三个小球,现从甲、乙两个盒子中各取出1个球,每个球被取出的可能性相等.下列说法正确的是 ( )
A.取出的两个球上标号为不同数字的概率为
B.取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为
C.取出的两个球上标号为相同数字的概率为
D.甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为
二、填空题
10.袋子里装有大小与质地均相同的1个红球、1个白球和1个黑球,从中任取1个球,观察其颜色,该随机试验的样本空间为 .
11. 一个盒子里装有标号为1,2,3,4的四张标签,随机地选取两张标签,若标签的选取是无放回的,则两张标签上的数字为相邻整数的概率为 ;若标签的选取是有放回的,则两张标签上的数字为相邻整数的概率为 .
12.在△ABC中,边AB,AC的长度分别为5,12,从8,9,10,…,15,16这9个正整数中任选一个数作为边BC的长度,则△ABC为钝角三角形的概率为 .
三、解答题
13.[2024·天津和平区高一期末] 一个盒子中装有4个编号依次为1,2,3,4的球,这4个球除号码外完全相同,采用有放回方式取球,先从盒子中随机取一个球,该球的编号为X,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为Y.
(1)写出试验的样本空间;
(2)设事件A=“两次取出球的编号之和小于4”,事件B=“X14.甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,求选出的2名教师性别相同的概率;
(2)若从报名的6名教师中任选2名,求选出的2名教师来自同一学校的概率.
15.[2024·湖北荆州重点高中高一月考] 有2个信封,第一个信封内的四张卡片上分别写有1,2,3,4,第二个信封内的四张卡片上分别写有5,6,7,8,甲、乙两人商定了一个游戏,规则是:从这两个信封中各随机抽取一张卡片,得到两个数.为了对双方都公平,获胜规则不正确的是 ( )
A.第一个信封内取出的数作为横坐标,第二个信封内取出的数作为纵坐标,所确定的点在直线y=x+4上甲获胜,所确定的点在直线y=-x+8上乙获胜
B.取出的两个数乘积不大于15甲获胜,否则乙获胜
C.取出的两个数的差的绝对值是偶数甲获胜,否则乙获胜
D.取出的两个数相加,得到的和为奇数甲获胜,否则乙获胜
16. 有甲、乙两个盒子,其中甲盒中有3个红球,2个白球;乙盒中有1个红球,4个白球(除颜色外,球的质地、大小完全相同).
(1)从甲盒中按先后顺序随机取两个球,取后不放回,则至少取得一个红球的概率是多少
(2)现在从两个盒子中任意选择一个,再从中任意摸出一球,如果摸到的是红球,你认为选择的是哪个盒子 做出你的判断,并说说你的想法,你认为能否做出完全正确的判断 10.1.3 古典概型
1.A [解析] 古典概型满足两个条件:①有限性:样本空间的样本点只有有限个;②等可能性:每个样本点发生的可能性相等.对于A,满足古典概型的两个条件,故A是古典概型;对于B,由于一粒种子是否发芽的可能性不一定相同,∴不满足古典概型的等可能性,故B不是古典概型;对于C,在平面直角坐标系内任取一点P,观察点P是否在第一象限,样本空间的样本点有无数个,不满足古典概型的有限性,故C不是古典概型;对于D,试验的样本空间的样本点有无数个,不满足古典概型的有限性,故D不是古典概型.故选A.
2.C [解析] 所有的样本点为(e,g,g),(g,e,g),(g,g,e),共有3个,故写对的概率为.故选C.
3.C [解析] 随机抛掷两枚质地均匀的骰子,观察得到的点数,该试验的样本空间中样本点总数n=6×6=36.用事件B表示所得点数之和是4的倍数,则事件B包含的样本点有(1,3),(3,1),(2,2),(2,6),(6,2),(4,4),(3,5),(5,3), (6, 6),共9个,故所求的概率为P(B)==.故选C.
4.A [解析] 依题意,甲、乙两人参加学习小组,样本空间中的样本点有(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C),共9个,两人参加同一个小组包含的样本点有(A,A),(B,B),(C,C),共3个,∴两人参加同一个小组的概率P==.故选A.
5.B [解析] 不超过12的质数有2,3,5,7,11,共5个,从这五个质数中随机选取两个不同的数包含的样本点有(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(3,5),(3,7),(3,11),(5,7),(5,11),(7,11),共10个,其中和为偶数包含的样本点有(3,5),(3,7),(3,11),(5,7),(5,11),(7,11),共6个,所以从不超过12的质数中,随机选取两个不同的数,其和为偶数的概率为=.故选B.
6.D [解析] 根据题意,试验的样本点用(m,n)表示,则试验的样本空间Ω={(6,6),(6,7),(6,8),(6,9),(7,6),(7,7),(7,8),(7,9),(8,6),(8,7),(8,8),(8,9),(9,6),(9,7),(9,8),(9,9)},共包含16个样本点,m,n满足|m-n|≤1包含的样本点有(6,6),(6,7),(7,6),(7,7),(7,8),(8,7),(8,8),(8,9),(9,8),(9,9),共10个,所以两人“心领神会”的概率是=.故选D.
7.C [解析] 设这两人为A,B,则这两人离开电梯的样本空间Ω={(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(A2,B5),(A2,B6),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4),(A3,B5),(A3,B6),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4),(A4,B5),(A4,B6),(A5,B2),(A5,B3),(A5,B4),(A5,B5),(A5,B6),(A6,B2),(A6,B3),(A6,B4),(A6,B5),(A6,B6)},共包含25个样本点.事件“两人在相同层离开电梯”包含(A2,B2),(A3,B3),(A4,B4),(A5,B5),(A6,B6),共5个样本点,所以“两人在不同层离开电梯”共包含20个样本点,所求概率P==,故选C.
8.AD [解析] 根据古典概型的定义可知所有的基本事件之间都是“等概率事件”,故A正确;抛掷一枚质地均匀的骰子一次,该试验的样本空间中样本点的个数为6,且事件“奇数点朝上”和“偶数点朝上”是“等概率事件”,但这两个事件都不是基本事件,故B错误;由题可知“等概率事件”是针对同一个古典概型的,故C错误;同时抛掷三枚质地均匀的硬币一次,则事件“恰有一个正面向上”的概率为,“恰有两个正面向上”的概率为,所以二者是“等概率事件”,故D正确.故选AD.
9.BCD [解析] 由题意,样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)},共包含9个样本点.对于A,取出的两个球上标号为不同数字的概率为=,A错误;对于B,取出的两个球上标号之积能被3整除包含的样本点有(1,3),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共5个,所以所求概率为,B正确;对于C,取出的两个球上标号为相同数字的概率为=,C正确;对于D,甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大包含的样本点有(2,1),(3,1),(3,2),共3个,所以甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为=,D正确.故选BCD.
10.{红球,白球,黑球} [解析] 该随机试验的样本空间为{红球,白球,黑球}.
11. [解析] 若标签的选取是无放回的,则样本空间中的样本点有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),共12个,其中,事件“两张标签上的数字为相邻整数”包含的样本点有(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),共6个,所以两张标签上的数字为相邻整数的概率为=.若标签的选取是有放回的,则样本空间中的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个,其中,事件“两张标签上的数字为相邻整数”包含的样本点有(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),共6个,所以两张标签上的数字为相邻整数的概率为=.
12. [解析] 由题意可知713,故BC的取值可以是8,9,10,14,15,16,共包含6个样本点,故△ABC为钝角三角形的概率为=.
13.解:(1)由题意可知,所有可能的样本点共有16个,样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
(2)由题意可知,A={(1,1),(1,2),(2,1)},共包含3个样本点,故P(A)=,B={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共包含6个样本点,故P(B)==,
事件AB包含的样本点只有(1,2)一个,故P(AB)=.
14.解:(1)甲校2名男教师分别用A,B表示,女教师用C表示;乙校男教师用D表示,2名女教师分别用E,F表示.
从甲校和乙校的教师中各任选1名的所有样本点为(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),共9个.
选出的2名教师性别相同包含的样本点有(A,D),(B,D),(C,E),(C,F),共4个,所以选出的2名教师性别相同的概率为.
(2)从甲校和乙校的6名教师中任选2名包含的样本点为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15个.
选出的2名教师来自同一学校包含的样本点有(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F),共6个.所以选出的2名教师来自同一学校的概率为=.
15.A [解析] 画树状图如图:
对于A,由树状图可知,共有16种等可能的结果,即样本空间包含的样本点个数为16,其中所确定的点在直线y=x+4上包含的样本点有(1,5),(2,6),(3,7),(4,8),共4个,所确定的点在直线y=-x+8上包含的样本点有(1,7),(2,6),(3,5),共3个,故两种情况下的样本点个数不一样,即两种情况下概率不一样,选项A中获胜规则不正确;对于B,由树状图可知,两个数乘积大于15包含的样本点有(2,8),(3,6),(3,7),(3,8),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),共8个,则两个数乘积不大于15包含的样本点也有8个,故两种情况下的样本点个数一样,即两种情况下概率一样,选项B中获胜规则正确; 对于C,由树状图可知,取出的两个数差的绝对值是偶数包含的样本点有(1,5),(1,7),(2,6),(2,8),(3,5),(3,7),(4,6),(4,8),共8个,则取出的两个数差的绝对值是奇数包含的样本点也有8个,故两种情况下的样本点个数一样,即两种情况下概率一样,选项C中获胜规则正确;对于D,由树状图可知,取出的两个数相加,得到的和为奇数包含的样本点有(1,6),(1,8),(2,5),(2,7),(3,6),(3,8),(4,5),(4,7),共8个,则取出的两个数相加,得到的和为偶数包含的样本点也有8个,故两种情况下的样本点个数一样,即两种情况下概率一样,选项D中获胜规则正确.故选A.
16.解:(1)甲盒中的3个红球记为a1,a2,a3,2个白球记为b1,b2,从甲盒中按先后顺序随机取两个球,取后不放回,样本空间中每个样本点用(M,N)表示,其中M,N都取自5个球中的任意一个,且不能重复,
即对M的每一种情况,N都有4种不同的情况与之对应,
而M有5种不同的情况,列举可知共有5×4=20(个)样本点.
取到的两个球都是白球包含的样本点有(b1,b2),(b2,b1),共2个,故至少取得一个红球的概率P==.
(2)参考答案一:选择的是甲盒,理由如下:
在甲盒中摸到红球的概率是,在乙盒中摸到红球的概率是,在甲盒中摸到红球的概率大于乙盒,故选择的应该是甲盒,但这种判断并不能保证完全正确,也存在选择乙盒的可能性.
参考答案二:选择的是乙盒,理由如下:
在甲盒中摸到红球的概率是,在乙盒中摸到红球的概率是,在乙盒中摸到红球的概率较低,但是不为0,
所以存在选择乙盒的可能性,但这种判断并不能保证完全正确,也存在选择甲盒的可能性.
参考答案三:无法判断,理由如下:
在甲盒中摸到红球的概率是,在乙盒中摸到红球的概率是,
都是概率不为0的随机事件,都有可能发生,所以无法判断.10.1.3 古典概型
【学习目标】
1.会计算古典概型中的简单随机事件的概率.
2.在解决问题的过程中,提升数学抽象、数学建模、数学运算素养.
◆ 知识点一 古典概型的概念
1.事件的概率
对随机事件发生可能性大小的 (数值)称为事件的概率,事件A的概率用 表示.
2.古典概型
我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.
(1)有限性:样本空间的样本点只有 ;
(2)等可能性:每个样本点发生的可能性 .
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等. ( )
(2)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的.( )
(3)“在适宜条件下种下一粒种子,观察它是否发芽”是古典概型. ( )
(4)袋中装有大小均匀的四个红球、三个白球和两个黑球,那么每种颜色的球被摸到的可能性相等.( )
2.某同学随机地向一靶心进行射击,这一试验的所有可能结果只有有限个:命中10环、命中9环、…、命中1环和脱靶.你认为这是古典概型吗 为什么
◆ 知识点二 古典概型的概率计算
1.计算公式
一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)= =.其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点 .
2.计算样本点个数时要注意两个区别
(1)“无序”与“有序”的区别:“无序”指取出的元素没有先后次序,常用“任取”表述,“有序”指取出的元素有先后次序,常用“依次取出”表述,但是“任取”样本空间中样本点的个数可以按没有次序去计算,也可以按有次序去计算;
(2)“有放回”与“无放回”的区别:“有放回”中取出的元素可以重复,“无放回”中取出的元素不可以重复.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)抛两枚质地均匀的硬币,该试验的样本点有“两枚都正面朝上”“两枚都反面朝上”“一枚正面朝上、一枚反面朝上”,共3个. ( )
(2)古典概型的概率公式为P(A)=,其中k为事件A包含的样本点个数,n为样本空间Ω包含的样本点个数. ( )
(3)从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率为. ( )
◆ 探究点一 古典概型的判定
例1 袋中有大小相同的3个白球,2个红球,2个黄球,每个球有一个区别于其他球的编号,从中随机摸出1个球.
(1)把每个球的编号看作一个样本点建立的概率模型是不是古典慨型
(2)把球的颜色作为划分样本点的依据,有多少个样本点 以这些样本点建立的概率模型是不是古典概型
变式 下列问题是古典概型的是 ( )
A.小杨种下一粒种子,求种子能长出果实的概率
B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为样本点
C.在甲、乙、丙、丁4名志愿者中,任选一名志愿者参加跳高项目,求甲被选中的概率
D.抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止,抛掷的次数作为样本点
[素养小结]
判断试验是不是古典概型,关键看是否符合两大特征:有限性和等可能性.
◆ 探究点二 古典概型的概率
例2 将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,事件A=“两数之和为8”,事件B=“两数之和是3的倍数”,事件C=“两个数均为偶数”.
(1)写出该试验的样本空间Ω,并求事件A发生的概率;
(2)求事件B发生的概率;
(3)求事件A与事件C至少有一个发生的概率.
变式1 掷一枚质地均匀的骰子,出现3点或5点的概率为 .
变式2 [2024·河南南阳六校高一期末] 某学校开设了街舞、围棋、武术三个社团,三个社团参加的人数如下表所示:
社团 街舞 围棋 武术
人数 48 42 30
为调查社团活动开展情况,学校社团管理部采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取一个样本,已知从围棋社团抽取的同学比从街舞社团抽取的同学少1人.
(1)求三个社团分别抽取的人数;
(2)已知从围棋社团抽取的同学中有2名女同学,若从围棋社团被抽取的同学中随机选出2人担任该社团活动监督的职务,求至少有1名女同学担任监督职务的概率.
[素养小结]
1.求古典概型的基本方法:
首先,判断每个样本点发生的可能性是否相等,并用字母A表示所求事件;其次,求出样本空间Ω包含的样本点的个数n及事件A包含的样本点的个数k;最后,利用公式P(A)==,求出事件A发生的概率.
2.求概率时,若事件可以表示成有序数对的形式,则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示,也可以采用数形结合法用图表表示,使问题变得更为直观.
◆ 探究点三 较复杂的古典概型
例3 袋子中有5个大小、质地完全相同的球,其中红球3个,白球2个.
(1)从中有放回地依次随机摸出2个球,求第一次摸到白球的概率;
(2)从中无放回地依次随机摸出2个球,求第二次摸到白球的概率;
(3)若同时随机摸出2个球,求至少摸到一个白球的概率.
变式 袋中有形状、大小完全相同的4个小球,4个小球的标号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中一次随机摸出2个小球,求摸出的2个小球的标号之和为奇数的概率.
(2)从袋中每次随机摸出1个小球,有放回地摸两次.甲、乙约定:若两次摸出的小球的标号之和为奇数,则甲胜,反之,则乙胜.你认为此游戏是否公平 说明你的理由.
[素养小结]
解题时要注意是“有放回抽取”还是“不放回抽取”,若是“有放回抽取”,则在每次抽取之前,产品种类及个数都不发生变化,因此某件产品被抽到的概率也不变;若是“不放回抽取”(假设每次抽取的结果都可知),则在每次抽取之前,所剩产品种类及个数都在发生变化,因此某件产品被抽到的概率也在不断变化.
拓展 袋中装有6个形状、大小完全相同的球,其中黑球2个、白球2个、红球2个,规定取出1个黑球记0分,取出1个白球记1分,取出1个红球记2分,抽取这些球的时候,谁也无法看到球的颜色.首先由甲取出3个球,并不再将它们放回原袋中,然后由乙取出剩余的3个球,规定取出球的总得分多者获胜.
(1)求甲、乙成平局的概率;
(2)从概率的角度分析取球的顺序是否影响比赛的公平性.(共87张PPT)
10.1 随机事件与概率
10.1.3 古典概型
探究点一 古典概型的判定
探究点二 古典概型的概率
探究点三 较复杂的古典概型
【学习目标】
1.会计算古典概型中的简单随机事件的概率.
2.在解决问题的过程中,提升数学抽象、数学建模、数学运算素养.
知识点一 古典概型的概念
1.事件的概率
对随机事件发生可能性大小的______（数值）称为事件的概率，事
件 的概率用______表示．
度量
2.古典概型
我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称
为古典概率模型，简称古典概型．
（1）有限性：样本空间的样本点只有________；
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性______．
有限个
相等
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）古典概型中每一个样本点出现的可能性相等．( )
√
[解析] 古典概型中具有等可能性， 每一个样本点出现的可能性
相等，故正确.
（2）古典概型中的任何两个样本点都是互斥的.( )
√
[解析] 古典概型中的任何两个样本点都不能同时发生， 都是互
斥的，故正确.
（3）“在适宜条件下种下一粒种子，观察它是否发芽”是古典概型.
( )
×
（4）袋中装有大小均匀的四个红球、三个白球和两个黑球，那么每
种颜色的球被摸到的可能性相等．( )
×
2.某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的所有可能结果只有有
限个：命中10环、命中9环、…、命中1环和脱靶.你认为这是古典概
型吗 为什么
解：不是古典概型.虽然试验的所有可能结果只有11个，但命中10环、
命中9环、…、命中1环和脱靶的出现不是等可能的，所以不满足古
典概型的等可能性.
知识点二 古典概型的概率计算
1.计算公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间 包含个样本点，事件
包含其中的个样本点，则定义事件的概率__ ．其
中，和分别表示事件和样本空间 包含的样本点______．
个数
2.计算样本点个数时要注意两个区别
（1）“无序”与“有序”的区别：“无序”指取出的元素没有先后次序，
常用“任取”表述，“有序”指取出的元素有先后次序，常用“依次取出”
表述，但是“任取”样本空间中样本点的个数可以按没有次序去计算，
也可以按有次序去计算；
（2）“有放回”与“无放回”的区别：“有放回”中取出的元素可以重复，
“无放回”中取出的元素不可以重复.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）抛两枚质地均匀的硬币，该试验的样本点有“两枚都正面朝上”
“两枚都反面朝上”“一枚正面朝上、一枚反面朝上”，共3个．( )
×
（2）古典概型的概率公式为，其中为事件 包含的样本点
个数，为样本空间 包含的样本点个数．( )
√
（3）从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为 .( )
×
探究点一 古典概型的判定
例1 袋中有大小相同的3个白球，2个红球，2个黄球，每个球有一个
区别于其他球的编号，从中随机摸出1个球.
（1）把每个球的编号看作一个样本点建立的概率模型是不是古典慨型
解：是古典概型，因为样本点个数有限，而且每个样本点发生的可
能性相等，所以是古典概型.
（2）把球的颜色作为划分样本点的依据，有多少个样本点 以这些
样本点建立的概率模型是不是古典概型
解：把球的颜色作为划分样本点的依据，可得到“取得1个白球”“取
得1个红球”“取得1个黄球”3个样本点.
样本点个数有限，但“取得1个白球”的可能性与“取得1个红球”或“取
得1个黄球”的可能性不相等，即不满足等可能性,故不是古典概型.
变式 下列问题是古典概型的是( )
A.小杨种下一粒种子，求种子能长出果实的概率
B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数
作为样本点
C.在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者参加跳高项目，
求甲被选中的概率
D.抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为
样本点
√
[解析] A选项，种子长出果实，不长出果实的发生不是等可能的，
故A选项不是古典概型；
B选项，取出的正整数不满足“有限性”，所以B选项不是古典概型；
C选项，在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者参加跳高
项目，样本空间的样本点是有限的，且每个样本点的发生是等可能
的，所以C选项是古典概型；
D选项，抛掷的次数不满足“等可能性”，所以D选项不是古典概型.故
选C.
［素养小结］
判断试验是不是古典概型，关键看是否符合两大特征：有限性和等
可能性.
探究点二 古典概型的概率
例2 将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件
“两数之和为8”，事件“两数之和是3的倍数”，事件 “两个
数均为偶数”.
（1）写出该试验的样本空间 ，并求事件 发生的概率；
解:将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，
该试验的样本空间，，，，， ，
，，，，，，，， ，
，，，，，，，， ，
，，，，，，，， ，
，， ，共有36个样本点.
事件“两数之和为8”包含的样本点为，，， ，
，共5个， 事件发生的概率 .
（2）求事件 发生的概率；
解: 事件“两数之和是3的倍数”， 事件 包含的样本点有12个，
分别为，，，，，，， ，
，，，， 事件发生的概率 .
（3）求事件与事件 至少有一个发生的概率.
解:事件与事件 至少有一个发生包含的样本点有11个，分别为
，，，，，，，， ，
，， 事件与事件 至少有一个发生的概率为
.
变式1 掷一枚质地均匀的骰子，出现3点或5点的概率为__.
[解析] 出现3点或5点的概率 .
变式2 [2024·河南南阳六校高一期末] 某学校开设了街舞、围棋、武
术三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：
社团 街舞 围棋 武术
人数 48 42 30
为调查社团活动开展情况，学校社团管理部采用比例分配的分层随
机抽样的方法从中抽取一个样本，已知从围棋社团抽取的同学比从
街舞社团抽取的同学少1人.
（1）求三个社团分别抽取的人数；
解：设抽样比为 ，则由比例分配的分层随机抽样法可知，街舞、围
棋、武术三个社团抽取的人数分别为，， .
由题意得，解得 ，
故街舞、围棋、武术三个社团抽取的人数分别为 ，
， .
（2）已知从围棋社团抽取的同学中有2名女同学，若从围棋社团被
抽取的同学中随机选出2人担任该社团活动监督的职务，求至少有1
名女同学担任监督职务的概率.
解：由（1）知，从围棋社团抽取的同学有7人，其中2名女同学记为
，，5名男同学记为，，，， .
从7人中随机选出2人担任该社团活动监督的职务，则样本空间
，，，，，， ，
，，，，，，， ，
，，，，， ，共包含21个样本点.
记事件“至少有1名女同学担任监督职务”,则 ，
，，，，，，， ，
，，共包含11个样本点，所以 ，
故至少有1名女同学担任监督职务的概率为 .
［素养小结］
1.求古典概型的基本方法：
首先,判断每个样本点发生的可能性是否相等,并用字母 表示所求事
件;其次,求出样本空间 包含的样本点的个数及事件 包含的样本
点的个数;最后,利用公式,求出事件 发生的概率.
2.求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本
点用平面直角坐标系中的点表示，也可以采用数形结合法用图表表
示，使问题变得更为直观.
探究点三 较复杂的古典概型
例3 袋子中有5个大小、质地完全相同的球，其中红球3个，白球2个.
（1）从中有放回地依次随机摸出2个球，求第一次摸到白球的概率；
解：记3个红球的编号分别为1，2，3，2个白球的编号分别为4，5，
则在有放回情况下，
第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，
第二次摸球时都有5种等可能的结果.将两次摸球的结果配对，组成25
种等可能的结果.
如表1所示.
表1
第一次 第二次 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
第一次摸到白球的可能结果有10种，见表中后两行.
记“第一次摸到白球”，则 .
（2）从中无放回地依次随机摸出2个球，求第二次摸到白球的概率；
解：在无放回情况下，第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一
次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果.
将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，如表2所示.
表2
第一次 第二次 1 2 3 4 5
1 ×
2 ×
3 ×
4 ×
5 ×
第二次摸到白球的可能结果有8种，见表中后两列.
记“第二次摸到白球”，则 .
（3）若同时随机摸出2个球，求至少摸到一个白球的概率.
解：“同时摸出2个球”的可能结果有,,,, ,
, ,,, ，共10种，
其中至少摸到一个白球包含的可能结果有,,, ,
,, ，共7种，
记“至少摸到一个白球”，则 .
变式 袋中有形状、大小完全相同的4个小球，4个小球的标号分别为
1，2，3，4．
（1）从袋中一次随机摸出2个小球，求摸出的2个小球的标号之和为
奇数的概率.
解：从袋中一次随机摸出2个小球，该试验的样本空间 ，
，，，， ，共包含6个样本点，
设事件“摸出的2个小球的标号之和为奇数”，则 ，
，， ，共包含4个样本点，
故 ．
（2）从袋中每次随机摸出1个小球，有放回地摸两次．甲、乙约定：
若两次摸出的小球的标号之和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜．你
认为此游戏是否公平？说明你的理由．
解：从袋中每次随机摸出1个小球，有放回地摸两次，则该试验的样
本空间，，，，，， ，
，，，，，，，， ，共
包含16个样本点，
设事件“两次摸出的小球的标号之和为奇数”，则 ，
，，，，，， ，共包含8个样本
点，所以 ，
同理得两次摸出的小球的标号之和为偶数的概率为 ，所以甲、乙获
胜的概率均为 ，故此游戏公平.
［素养小结］
解题时要注意是“有放回抽取”还是“不放回抽取”,若是“有放回抽取”,
则在每次抽取之前，产品种类及个数都不发生变化,因此某件产品被
抽到的概率也不变;若是“不放回抽取”（假设每次抽取的结果都可
知）,则在每次抽取之前,所剩产品种类及个数都在发生变化，因此某
件产品被抽到的概率也在不断变化.
拓展 袋中装有6个形状、大小完全相同的球，其中黑球2个、白球2
个、红球2个，规定取出1个黑球记0分，取出1个白球记1分，取出1
个红球记2分，抽取这些球的时候，谁也无法看到球的颜色.首先由甲
取出3个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出剩余的3个球，
规定取出球的总得分多者获胜.
（1）求甲、乙成平局的概率；
解:记黑球为1，2，白球为3，4，红球为5，6，甲从中取出3个球，
样本空间 ，124，125，126，134，135，136，145，146，
156，234，235，236，245，246，256，345，346，356， ，共
包含20个样本点，
当甲、乙成平局时，甲取出的3个球是1个黑球、1个白球、1个红球，
共包含8个样本点，故甲、乙成平局的概率 .
（2）从概率的角度分析取球的顺序是否影响比赛的公平性.
解:甲获胜时，得分只能是4分或5分，即取出的是2个红球、1个白球
或1个红球、2个白球或2个红球、1个黑球，共包含6个样本点，故甲
获胜的概率，
同理，乙获胜的概率 ，所以 ，
故取球的顺序不影响比赛的公平性.
1.对古典概型的理解
必须同时具备有限性和等可能性两个特征的概率问题才是古典概型.
一般来说，有限性是容易验证的，所以判别一个概率模型是不是古
典概型，关键是看等可能性条件是否满足.
2.古典概型概率的计算步骤
1.利用树状图法或图表法求古典概型的概率
（1）当样本点的个数没有很明显的规律，并且涉及的样本点又不是
太多时，我们可借助树状图法直观地将其表示出来，这是进行列举
的常用方法．树状图可以清晰准确地列出所有的样本点，并且画出
一个树枝之后可猜想其余的情况．
（2）在求概率时，若事件可以表示成有序数对的集合的形式，则可
以把样本空间的样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表
的形式可以准确地找出样本点的个数．故采用数形结合法求概率可
以使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便．
例1 有，，，四位贵宾，应分别坐在，，， 四个席位上，
现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座．
（1）求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率;
解：将，，， 四位贵宾就座情况用下面图形表示出来
（从左到右依次为席位,,, ）：
由图可知，样本空间中的样本点共有24个．
设事件为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件 只
包含1个样本点，所以 ．
（2）求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率;
解： 设事件为“这四人恰好都没有坐在自己的席位上”，则事件
包含9个样本点，所以 ．
（3）求这四人中恰好有一人坐在自己的席位上的概率．
解： 设事件 为“这四人中恰好有一人坐在自己的席位上”，则事件
包含8个样本点，所以 ．
2.公平性问题
一个游戏规则是否公平，关键是看游戏双方获胜的概率是否相等.若
相等则公平，否则不公平，要解决这类问题，要先算出双方获胜的
概率，再判断，另外，设计新规则，方案不唯一，只要使双方获胜
的概率相等即可.
例2 [2024·广东佛山高一期中]下面的三个游戏都是袋子中装有球，
然后从袋子中随机不放回地取球，若游戏中甲、乙获胜的概率相同，
则游戏公平，这三个游戏公平的是( )
游戏1 游戏2 游戏3
袋子中球的 数量和颜色 1个红球和 1个白球 2个红球和2个白球 3个红球和1个白球
取球规则 取1个球 取出2个球 取出2个球
获胜规则
A.游戏1和游戏3 B.游戏2 C.游戏1和游戏2 D.游戏3
√
[解析] 对于游戏1，甲获胜的概率为 ，所以游戏1公平；
对于游戏2，设2个红球为A，B，2个白球为, ，取出2个球包含的样
本点有，，，，， ，共6个，其中2
个球同色包含的样本点有，，共2个，故甲获胜的概率为
，所以游戏2不公平；
对于游戏3，设3个红球为，，，白球为 ，取出2个球包含的样本
点有，，，， ，，共6个，其中2个
球同色包含的样本点有， ，，共3个，故甲获胜的
概率为 ，所以游戏3公平.
故游戏1和游戏3公平.故选A.
例3 一只口袋内有形状、大小、质地都相同的4个小球，这4个小球
上分别标记着数字1，2，3，4.
甲、乙、丙三名学生约定：
每人不放回地随机摸取一个球；
按照甲、乙、丙的次序摸取；
谁摸取的球上标记的数字最大，谁就获胜.
用有序数组表示这个试验的样本点，例如 表示在一次
试验中，甲摸取的球上标记着数字1，乙摸取的球上标记着数字4，
丙摸取的球上标记着数字3； 表示在一次试验中，甲摸取的球
上标记着数字3，乙摸取的球上标记着数字1，丙摸取的球上标记着
数字2.
（1）列出所有样本点，并指出样本点的总数；
解：所有样本点为，，，， ，
，，，，，， ，
，，，，，， ，
，，，， ，
样本点的总数是24.
（2）求甲获胜的概率；
解：事件“甲获胜”所包含的样本点为，， ，
，，，， ，共8个，故甲获胜的概
率 .
（3）写出乙获胜的概率，并指出甲、乙、丙三名同学获胜的概率与
其摸取的次序是否有关.
解：乙获胜的概率为 ；
甲、乙、丙三名同学获胜的概率与其摸取的次序无关.
练习册
一、选择题
1.下列概率模型是古典概型的是( )
A.已知袋子中装有大小完全相同的红色、绿色、黑色小球各1个，从
中任意取出1个球，观察球的颜色
B.在适宜条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
C.在平面直角坐标系内任取一点，观察点 是否在第一象限
D.从直径为 的零件中取出一个，测量它的直径
√
[解析] 古典概型满足两个条件：①有限性：样本空间的样本点只有
有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
对于A，满足古典概型的两个条件，故A是古典概型；
对于B，由于一粒种子是否发芽的可能性不一定相同， 不满足古典
概型的等可能性，故B不是古典概型；
对于C，在平面直角坐标系内任取一点，观察点 是否在第一象限，
样本空间的样本点有无数个，不满足古典概型的有限性，故C不是
古典概型；
对于D，试验的样本空间的样本点有无数个，不满足古典概型的有
限性，故D不是古典概型．故选A．
2.考试的时候小明忘记了（鸡蛋）怎么写，只记得有，， 三个
字母，就随机写了一个，则他写对的概率为( )
A. B. C. D.
[解析] 所有的样本点为，， ，共有3个，故写
对的概率为 .故选C.
√
3.随机抛掷两枚质地均匀的骰子，则得到的两枚骰子的点数之和是4
的倍数的概率是( )
A. B. C. D.
[解析] 随机抛掷两枚质地均匀的骰子，观察得到的点数，该试验的
样本空间中样本点总数 .
用事件B表示所得点数之和是4的倍数,则事件B包含的样本点有,
，，， ，，，,，共9个，故
所求的概率为 . 故选C.
√
4.甲、乙两人有三个不同的学习小组，， 可以参加，若每人必须
参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为
( )
A. B. C. D.
[解析] 依题意,甲、乙两人参加学习小组，样本空间中的样本点有
，，，，，，， ，
，共9个，两人参加同一个小组包含的样本点有，，
，共3个， 两人参加同一个小组的概率 .故选A.
√
5.[2024·安徽六安高一期末]我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研
究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想可以表述为“每个大于2的
偶数都可以表示为两个质数的和”，如 .在不超过12的质
数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率为( )
A. B. C. D.
[解析] 不超过12的质数有2,3,5,7,11，共5个，从这五个质数中随机选
取两个不同的数包含的样本点有,,,,, ,
,,, ，共10个，
其中和为偶数包含的样本点有,,,,, ，
共6个，所以从不超过12的质数中，随机选取两个不同的数，其和为
偶数的概率为 .故选B.
√
6.[2024·重庆十八中高一月考]在一个不透明的袋子里装有四个小球，
球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外完全相同.甲、
乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上
的数字记为，再由乙猜这个小球上的数字，记为.如果， 满足
，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”
的概率是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 根据题意，试验的样本点用 表示，则试验的样本空间
,,,,,,,,,, ,
,,,,,共包含16个样本点，
， 满足包含的样本点有,,,,,
, , ,,,共10个，所以两人“心领神会”的概率是
.故选D.
7.有两人从一座6层大楼的底层进入电梯，假设每个人自第二层开始
在每一层离开电梯是等可能的，则这两人在不同层离开电梯的概率
是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设这两人为A，B，则这两人离开电梯的样本空间
，,，，, ,
，,,,,, ,
,,,,,, ,
,,,， ,共包含25个样本点.
事件“两人在相同层离开电梯”包含,,, ,
，共5个样本点，所以“两人在不同层离开电梯”共包含20个
样本点，所求概率 ，故选C．
8.（多选题）在一个古典概型中，若两个不同的随机事件， 发生
的概率相等，则称和 是“等概率事件”，如：抛掷一枚质地均匀的
骰子一次，事件“奇数点朝上”和“偶数点朝上”是“等概率事件”．关于
“等概率事件”，下列说法正确的是( )
A.在同一个古典概型中，所有的基本事件之间都是“等概率事件”
B.若一个古典概型的样本空间中样本点的个数大于2，则在这个古典
概型中除基本事件外没有其他“等概率事件”
C.因为所有必然事件的概率都是1，所以任意两个必然事件都是“等
概率事件”
D.同时抛掷三枚质地均匀的硬币一次，则事件“恰有一个正面向上”
和“恰有两个正面向上”是“等概率事件”
√
√
[解析] 根据古典概型的定义可知所有的基本事件之间都是“等概率事
件”，故A正确；
抛掷一枚质地均匀的骰子一次，该试验的样本空间中样本点的个数为
6，且事件“奇数点朝上”和“偶数点朝上”是“等概率事件”，但这两个
事件都不是基本事件，故B错误；
由题可知“等概率事件”是针对同一个古典概型的，故C错误；
同时抛掷三枚质地均匀的硬币一次，则事件“恰有一个正面向上”的
概率为 ，“恰有两个正面向上”的概率为，所以二者是“等概率事件”，
故D正确．故选 .
9.（多选题）[2024·辽宁六校协作体高一联考] 在甲、乙两个盒子中
分别装有标号为1，2，3的三个小球，现从甲、乙两个盒子中各取出
1个球，每个球被取出的可能性相等.下列说法正确的是( )
A.取出的两个球上标号为不同数字的概率为
B.取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为
C.取出的两个球上标号为相同数字的概率为
D.甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为
√
√
√
[解析] 由题意，样本空间,,,,, ,
,, ，共包含9个样本点.
对于A，取出的两个球上标号为不同数字的概率为 ，A错误；
对于B，取出的两个球上标号之积能被3整除包含的样本点有,
,,, ，共5个，所以所求概率为 ，B正确；
对于C，取出的两个球上标号为相同数字的概率为 ，C正确；
对于D，甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大包含的样
本点有,, ，共3个，所以甲盒中取出的球上标号比乙盒
中取出的球上标号大的概率为 ，D正确.故选 .
二、填空题
10.袋子里装有大小与质地均相同的1个红球、1个白球和1个黑球，从
中任取1个球，观察其颜色，该随机试验的样本空间为____________
________.
{红球，白球，黑球}
[解析] 该随机试验的样本空间为{红球，白球，黑球}.
11.一个盒子里装有标号为1，2，3，4的四张标签，随机地选取两张
标签，若标签的选取是无放回的，则两张标签上的数字为相邻整数
的概率为__；若标签的选取是有放回的，则两张标签上的数字为相
邻整数的概率为__．
[解析] 若标签的选取是无放回的，则样本空间中的样本点有 ，
，，，，，，，， ，
， ，共12个，其中，事件“两张标签上的数字为相邻整数”
包含的样本点有，，，，， ，共6个，
所以两张标签上的数字为相邻整数的概率为 .
若标签的选取是有放回的，则样本空间中的样本点有，，
， ，，，，，，，，
， ，，， ，共16个，其中，事件“两张标签
上的数字为相邻整数”包含的样本点有，，，，
， ，共6个，所以两张标签上的数字为相邻整数的概率为
．
12.在中，边，的长度分别为5，12，从8，9，10， ，
15，16这9个正整数中任选一个数作为边的长度，则 为钝
角三角形的概率为 __．
[解析] 由题意可知，从8，9，10， ，15，16这9个正
整数中任选一个数作为边 的长度，该试验的样本空间中共包含9
个样本点.
要使为钝角三角形，需满足 或
，即或，故 的取值可以是8，9，10，14，
15，16，共包含6个样本点，故 为钝角三角形的概率为 ．
三、解答题
13.[2024·天津和平区高一期末] 一个盒子中装有4个编号依次为1，2，
3，4的球，这4个球除号码外完全相同，采用有放回方式取球，先从
盒子中随机取一个球，该球的编号为 ，将球放回袋中，然后再从袋
中随机取一个球，该球的编号为 .
（1）写出试验的样本空间；
解：由题意可知，所有可能的样本点共有16个，样本空间
,,,,,，,,,, ,
,,,, .
（2）设事件“两次取出球的编号之和小于4”，事件“ ”，
分别求事件，，发生的概率,, .
解：由题意可知,,， ，共包含3个样本点，故
，
,,,,, ，共包含6个样本点，故
，
事件包含的样本点只有一个，故 .
14.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
（1）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性
别相同的概率；
解：甲校2名男教师分别用，表示，女教师用 表示；乙校男教师
用表示，2名女教师分别用， 表示．
从甲校和乙校的教师中各任选1名的所有样本点为， ，
，，，，，， ，共9个．
选出的2名教师性别相同包含的样本点有，， ，
，共4个，所以选出的2名教师性别相同的概率为 .
（2）若从报名的6名教师中任选2名，求选出的2名教师来自同一学
校的概率．
解：从甲校和乙校的6名教师中任选2名包含的样本点为 ，
，，，，，，， ，
，，，，， ，共15个．
选出的2名教师来自同一学校包含的样本点有， ，
，，， ，共6个．所以选出的2名教师来自同
一学校的概率为 .
15.[2024·湖北荆州重点高中高一月考]有2个信封，第一个信封内的
四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别
写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个
信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数.为了对双方都公平，获胜
规则不正确的是( )
A.第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为
纵坐标，所确定的点在直线 上甲获胜，所确定的点在直线
上乙获胜
B.取出的两个数乘积不大于15甲获胜，否则乙获胜
C.取出的两个数的差的绝对值是偶数甲获胜，否则乙获胜
D.取出的两个数相加，得到的和为奇数甲获胜，否则乙获胜
√
[解析] 画树状图如图：
对于A，由树状图可知，共有16种等可能的结果，即样本空间包含的
样本点个数为16，其中所确定的点在直线 上包含的样本点
有,,,，共4个，所确定的点在直线 上包
含的样本点有,, ，共3个，故两种情况下的样本点个数
不一样，即两种情况下概率不一样，选项A中获胜规则不正确；
对于B，由树状图可知，两个数乘积大于15包含的样本点有, ,
,,,,, ，共8个，则两个数乘积不大于15包
含的样本点也有8个，故两种情况下的样本点个数一样，即两种情况
下概率一样，选项B中获胜规则正确；
对于C，由树状图可知，取出的两个数差的绝对值是偶数包含的样本
点有，， ，，,,, ，共8个，则
取出的两个数差的绝对值是奇数包含的样本点也有8个，故两种情况下
的样本点个数一样，即两种情况下概率一样，选项C中获胜规则正确；
对于D，由树状图可知，取出的两个数相加，得到的和为奇数包含的
样本点有 , ,,,,,, ，共8个，则取
出的两个数相加，得到的和为偶数包含的样本点也有8个，故两种情
况下的样本点个数一样，即两种情况下概率一样，选项D中获胜规则
正确.故选A.
16.有甲、乙两个盒子，其中甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有1
个红球，4个白球（除颜色外，球的质地、大小完全相同）．
（1）从甲盒中按先后顺序随机取两个球，取后不放回，则至少取得
一个红球的概率是多少？
解:甲盒中的3个红球记为，，，2个白球记为， ，从甲盒
中按先后顺序随机取两个球，取后不放回，样本空间中每个样本点
用表示，其中， 都取自5个球中的任意一个，且不能重复，
即对的每一种情况， 都有4种不同的情况与之对应，
而有5种不同的情况，列举可知共有 （个）样本点.
取到的两个球都是白球包含的样本点有， ，共2个，
故至少取得一个红球的概率 ．
（2）现在从两个盒子中任意选择一个，再从中任意摸出一球，如果
摸到的是红球，你认为选择的是哪个盒子？做出你的判断，并说说
你的想法，你认为能否做出完全正确的判断？
解:参考答案一：选择的是甲盒，理由如下：
在甲盒中摸到红球的概率是，在乙盒中摸到红球的概率是 ，在甲
盒中摸到红球的概率大于乙盒，故选择的应该是甲盒，但这种判断
并不能保证完全正确，也存在选择乙盒的可能性．
参考答案二：选择的是乙盒，理由如下：
在甲盒中摸到红球的概率是，在乙盒中摸到红球的概率是 ，在乙
盒中摸到红球的概率较低，但是不为0，
所以存在选择乙盒的可能性，但这种判断并不能保证完全正确，也
存在选择甲盒的可能性．
参考答案三：无法判断，理由如下：
在甲盒中摸到红球的概率是，在乙盒中摸到红球的概率是 ，
都是概率不为0的随机事件，都有可能发生，所以无法判断．
