10.1.4 概率的基本性质(B)
1.C [解析] 事件∩与事件A∪B是对立事件,所以P(∩)=1-P(A∪B)=1-=,故选C.
2.B [解析] 由题意,事件=“向上的面大于或等于4的点数出现”,即={4,5,6},A={2,4},故A∪={2,4,5,6},故事件A∪发生的概率为=.故选B.
3.C [解析] 设事件A=“两个球都是红球”,事件B=“两个球都是白球”,事件C=“两个球颜色不同”,则P(A)=,P(B)=,且=A∪B.因为事件A,B,C两两互斥,所以P(C)=1-P()=1-P(A∪B)=1-[P(A)+P(B)]=1--=.故选C.
4.C [解析] 由A∪B有16个样本点,且P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),得A∩B共有10+8-16=2(个)样本点,则∩B有8-2=6(个)样本点,故P(∩B)==.故选C.
5.C [解析] 设事件A表示质量小于4.8 g,事件B表示质量不超过4.85 g,事件C表示质量在[4.8,4.85]范围内,则A∪C=B,又A与C互斥,所以P(A∪C)=P(A)+P(C)=P(B),即0.3+P(C)=0.32,所以P(C)=0.02.故选C.
6.A [解析] 设A=“该成员出现X性状”,B=“该成员出现Y性状”,则∩=“该成员X,Y两种性状都不出现”,则A∩B=“该成员X,Y两种性状都出现”,所以P(A)=,P(B)=,P(∩)=,所以P(A∪B)=1-P(∩)=,又P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),所以P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=+-=.故选A.
7.B [解析] 对于A,由P(B)=,可得P()=1-P(B)=,所以A中说法正确;对于B,由P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=,可得P(AB)=,所以B中说法不正确;对于C,由P(A)=,P(B)=,P(AB)=,可得P(AB)=P(A)P(B),所以C中说法正确;对于D,由P()=1-P(AB)=,P()P()=×=,所以P()≠P()P(),所以D中说法正确.故选B.
8.ACD [解析] 从装有2个红球、4个白球的袋子中任意摸出2个球,该试验的样本空间中共包含15个样本点,事件A=“至少摸出1个红球”,事件B=“至多摸出1个白球”,则事件A,B均包含摸出1个红球和1个白球,摸出2个红球这两种情况,则事件A,B都包含2×4+1=9(个)样本点,故P(A)=P(B)==,故A中说法错误,B中说法正确;P(A∪B)=P(A)=,P(A)+P(B)=+=,故C,D中说法错误.故选ACD.
9.ACD [解析] 对于A,抛掷一枚质地均匀的骰子一次,并观察向上的点数,样本空间为{1,2,3,4,5,6},共6个样本点,A={3,4,5,6},共4个样本点,所以P(A)==,故A正确;对于B,B={1,3,5},共3个样本点,所以P(B)==,故B错误;对于C,由选项A,B知,A+B={1,3,4,5,6},共5个样本点,所以P(A+B)=,故C正确;对于D,由选项A,B知,A∩B={3,5},共2个样本点,所以P(A∩B)==,故D正确.故选ACD.
10.0.15 [解析] 由题知,抽到的是二等品或三等品的概率为P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.1+0.05=0.15.
11. [解析] 因为P(B)=,所以P()=1-P(B)=,故P(A∩)=P(A)+P()-P(A∪)=+-=.
12. [解析] 设事件A=“中奖”,事件A1=“抽到的第1包零食中奖”,事件A2=“抽到的第2包零食中奖”.注意到事件A的对立事件是“抽到的2包零食都不中奖”,由于=“抽到的2包零食都不中奖”,而n()=3×2=6,所以P()==,因此P(A)=1-P()=.
13.解:从擅长游泳与擅长骑自行车的选手中各选出一名,与选手C1组成参赛队,该试验的样本空间Ω={(A1,B1,C1),(A1,B2,C1),(A1,B3,C1),(A2,B1,C1),(A2,B2,C1),(A2,B3,C1),(A3,B1,C1),(A3,B2,C1),(A3,B3,C1)},共有9个样本点, 每一个样本点的出现都是等可能的.
(1)事件M=“A1被选中”包含的样本点有3个,分别为(A1,B1,C1),(A1,B2,C1),(A1,B3,C1),
∴ P(M)==.
(2) 事件N=“A1,B1不全被选中”,则事件= {(A1,B1,C1)},∴事件“A1,B1不全被选中”发生的概率P(N)=1-P()=1-= .
14.解:(1)设3名男老师为A,B,C,2名女老师为a,b,则从5名老师中选出2名老师包含的样本点有(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b),共10个,
其中选出的老师全是男老师包含的样本点有(A,B),(A,C),(B,C),共3个,故所求概率为P1=.
(2)方法一:选出的老师中至少有1名女老师包含的样本点有(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b),共7个,故所求概率为P2=.
方法二:事件“选出的老师中至少有1名女老师”与事件“选出的老师全是男老师”互为对立事件,所以选出的老师中至少有1名女老师的概率为P2=1-=.
15.3,2,4 [解析] 记事件A,B,C分别表示取出黑球、黄球、绿球,则A,B,C为互斥事件,由题意得解得即取出黑球、黄球、绿球的概率分别是,,,故黑球的个数是9×=3,黄球的个数是9×=2,绿球的个数是9×=4,即袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是3,2,4 .
16.解:(1)若当天需求量n≥17,则y=85;
若当天需求量n<17,则y=10n-85.
故y关于n的函数解析式为y=(n∈N).
(2)(i)这100天中有10天的日利润为55元,20天的日利润为65元,16天的日利润为75元,54天的日利润为85元,
所以这100天的日平均利润为×(55×10+65×20+75×16+85×54)=76.4(元).
(ii)“当天的利润不少于75元”即“当天的需求量不少于16枝”,故当天的利润不少于75元的概率为0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.10.1.4 概率的基本性质
【课前预习】
知识点
P(A)≥0 1 0 P(A)+P(B) P(A1)+P(A2)+…+P(Am) 1-P(B) 1-P(A) ≤ ≤ ≤
P(A)+P(B)-P(A∩B)
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)×
2.0.6 0.1 [解析] 因为P(A)=0.6,P(B)=0.1,B A,所以P(A∪B)=P(A)=0.6,P(AB)=P(B)=0.1.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)B (2)C (3)0.4 [解析] (1)由题意知,从中任意取出2粒恰好是同一色的概率P=+=,故选B.
(2)“取到红球”与“取到白球”互为对立事件,故所求概率P=1-=.
(3)由题意P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.4+0.3-0.3=0.4.
变式 (1)C (2)B (3)BCD [解析] (1)对于A,当A,B为两个互斥事件时,才有P(A∪B)=P(A)+P(B),当A,B不互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),A选项错误;对于B,当事件A,B,C两两互斥,且A∪B∪C=Ω时,才有P(A)+P(B)+P(C)=1,B选项错误;对于C,当A,B为互斥事件时,P(A)+P(B)=P(A∪B)≤1,C选项正确;对于D,由概率的性质可知,若A B,则P(A)≤P(B),D选项错误.故选C.
(2)由随机事件A和B互斥可知, P(A∪B)=P(A)+P(B),将P(A∪B)=0.5,P(B)=0.2代入计算可得P(A)=0.3,又A和C互为对立事件,所以P(A)+P(C)=1,解得P(C)=0.7.故选B.
(3)“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件,所以“甲获胜”的概率是1--=,故A中说法正确;设A=“甲不输”,则事件A是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以P(A)=+=,故B中说法错误;“乙输”的概率即“甲获胜”的概率,为,故C中说法错误;设B=“乙不输”,则事件B是“乙获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以P(B)=+=,故D中说法错误.故选BCD.
探究点二
例2 解:方法一(应用互斥事件的概率加法公式求概率):
(1)事件“取出1个球为红球或黑球”发生的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.
(2)事件“取出1个球为红球或黑球或白球”发生的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=++=.
方法二(应用对立事件的概率公式求概率):
(1)“取出1个球为红球或黑球”的对立事件为“取出1个球为白球或绿球”,即A∪B的对立事件为C∪D,
故“取出1个球为红球或黑球”发生的概率为P(A∪B)=1-P(C∪D)=1-[P(C)+P(D)]=1-=.
(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1个球为绿球”,即A∪B∪C的对立事件为D,所以“取出1个球为红球或黑球或白球”发生的概率为P(A∪B∪C)=1-P(D)=1-=.
变式 解:把3个选择题记为x1,x2,x3,2个判断题记为p1,p2,
则“甲抽到选择题,乙抽到判断题”包含的样本点有(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,p1),(x3,p2),共6个;
“甲抽到判断题,乙抽到选择题”包含的样本点有(p1,x1),(p1,x2),(p1,x3),(p2,x1),(p2,x2),(p2,x3),共6个;
“甲、乙都抽到选择题”包含的样本点有(x1,x2),(x1,x3),(x2,x1),(x2,x3),(x3,x1),(x3,x2),共6个;
“甲、乙都抽到判断题”包含的样本点有(p1,p2),(p2,p1),共2个.
因此样本点的总数为6+6+6+2=20.
(1)记事件A=“甲抽到选择题,乙抽到判断题”,则P(A)==;
记事件B=“甲抽到判断题,乙抽到选择题”,
则P(B)==.
故“甲、乙两人中有一人抽到选择题,另一人抽到判断题”的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.
(2)记事件C=“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”,则事件=“甲、乙两人都抽到判断题”,
由题意得P()==,故“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的概率为P(C)=1-P()=1-=.
拓展 解:(1)设袋内有x个黑球,则白球有(100-45-x)个,由题可知=0.23,解得x=32,故袋内黑球的个数为32.
(2)因为白球和黑球共有100-45=55(个),所以从袋中任意摸出1个球,摸到的球是白球或黑球的概率为=0.55.10.1.4 概率的基本性质(A)
一、选择题
1.若A,B是互斥事件,P(A)=0.2,P(A∪B)=0.5,则P(B)= ( )
A.0.3 B.0.7
C.0.1 D.1
2.从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,取到红桃的概率为,则没有取到红桃的概率为 ( )
A. B.
C. D.1
3.已知P(A)=0.6,P()=0.3,如果A B,那么P(A∩B)= ( )
A.0.18 B.0.42
C.0.6 D.0.7
4.[2024·北京房山区高一期末] 某产品按质量分为甲、乙、丙三个级别,从这批产品中随机抽取一件进行检测,设“抽到甲级品”的概率为0.8,“抽到乙级品”的概率为0.15,则“抽到丙级品”的概率为 ( )
A.0.05 B.0.25
C.0.8 D.0.95
5.某商店月收入(单位:千元)在一定范围内的概率如下表所示:
月收入 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30)
概率 0.12 a b 0.14
已知月收入在[10,30)内的概率为0.67,则月收入在[15,30)内的概率为 ( )
A.0.55 B.0.74
C.0.5 D.0.88
6.某班共有48名同学,其中12名同学精通乐器,8名同学擅长舞蹈,从该班中任选一名同学了解其艺术特长.设事件A=“选中的同学精通乐器”,B=“选中的同学擅长舞蹈”,若P(A∪B)=,则P(AB)= ( )
A. B. C. D.
7.保险柜的密码由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的四个不同数字组成,假设一个人记不清自己的保险柜密码,只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列,则最多输入2次就能开锁的概率是 ( )
A. B. C. D.
8.(多选题) 下列说法中不正确的有 ( )
A.对立事件一定是互斥事件
B.若A,B为两个事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)
C.若事件A,B,C彼此互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1
D.若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件
9.(多选题)某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图所示.现随机选取一个成员,则 ( )
A.他只参加音乐小组的概率为
B.他只参加英语小组的概率为
C.他参加至少2个小组的概率为
D.他参加不超过2个小组的概率为
二、填空题
10.一次考试中,小明数学超过90分的概率是0.8,物理超过90分的概率是0.7,两门都超过90分的概率是0.6,则他的数学和物理至少有一门超过90分的概率是 .
11.某市举办花展,园方挑选红色、黄色、白色鲜花各1盆,分别赠送给甲、乙、丙三人,每人1盆,则甲没有拿到白色鲜花的概率是 .
12.袋中装有100个大小、形状完全相同的红球、白球和黑球,从中任意摸出一个球,若摸出红球、白球的概率分别是0.4和0.35,则共有 个黑球.
三、解答题
13.现有下乡义诊计划,某医院派出医生的人数及其概率如下表所示:
人数 0 1 2 3 4 大于或等于5
概率 0.1 0.18 0.28 0.19 0.21 0.04
(1)求派出医生至多2人的概率;
(2)求派出医生至少2人的概率.
14.某班级有45%的学生喜欢打羽毛球,80%的学生喜欢打乒乓球,30%的学生两种运动都喜欢.现从该班随机抽取一名学生,求下列事件的概率:
(1)这名学生只喜欢打羽毛球;
(2)这名学生至少喜欢一种运动;
(3)这名学生只喜欢一种运动;
(4)这名学生两种运动都不喜欢.
15.若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是 ( )
A.(1,2) B.
C. D.
16.甲、乙两人进行摸球游戏,游戏规则是:在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1,2,3,4,5的5个球,甲先随机摸出一个球,记下编号,设编号为a,放回后乙再随机摸出一个球,也记下编号,设编号为b,记录摸球结果(a,b),若a+b>5,则甲赢,否则乙赢.
(1)求a+b=5的概率;
(2)这种游戏规则公平吗 请说明理由.10.1.4 概率的基本性质(B)
一、选择题
1.已知随机事件A,B满足P(A∪B)=,某人猜测事件∩发生,则此人猜测正确的概率为 ( )
A.1 B. C. D.0
2.在一个掷一枚质地均匀的骰子的试验中,事件A=“向上的面小于5的偶数点数出现”,事件B=“向上的面小于4的点数出现”,则在一次试验中,事件A∪发生的概率为 ( )
A. B. C. D.
3.从装有若干个红球和白球(除颜色外其余均相同)的黑色布袋中,随机不放回地摸球两次,每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为,“两个球都是白球”的概率为,则“两个球颜色不同”的概率为 ( )
A. B. C. D.
4.[2024·浙江杭州四中高一期中] 已知某样本空间中共有18个样本点,其中事件A有10个样本点,事件B有8个样本点,事件A∪B有16个样本点,则P(∩B)= ( )
A. B. C. D.
5.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8 g的概率为0.3,质量不超过4.85 g的概率为0.32,那么质量在[4.8,4.85]范围内的概率是 ( )
A.0.62 B.0.38
C.0.02 D.0.68
6.[2024·重庆八中高一月考] 某家族有X,Y两种不同的遗传性状,该家族某成员出现X性状的概率为,出现Y性状的概率为,X,Y两种性状都不出现的概率为,则该成员X,Y两种性状都出现的概率为 ( )
A. B. C. D.
7.[2024·广东汕尾高一期末] 若事件A,B满足P(A)=,P(B)=,P(A∪B)=,则下列说法不正确的是 ( )
A.P()=
B.P(AB)=
C.P(AB)=P(A)P(B)
D.P()≠P()P()
8.(多选题)从装有2个红球、4个白球的袋子中任意摸出2个球,事件A=“至少摸出1个红球”,事件B=“至多摸出1个白球”,则下列说法错误的是 ( )
A.P(A)
B.P(A)=P(B)
C.P(A∪B)=P(A)+P(B)
D.P(A)+P(B)=1
9.(多选题)[2024·广东珠海一中高一月考] 抛掷一枚质地均匀的骰子一次,并观察向上的点数.A=“骰子向上的点数大于或等于3”,B=“骰子向上的点数为奇数”,则 ( )
A.P(A)= B.P(B)=
C.P(A+B)= D.P(A∩B)=
二、填空题
10.从一箱产品中随机抽取一件产品,事件A,B,C分别表示抽到的是一等品、二等品、三等品,且P(A)=0.7,P(B)=0.1,P(C)=0.05,则抽到的是二等品或三等品的概率为 .
11.设A,B是随机事件,且P(A)=,P(B)=,P(A∪)=,则P(A∩)= .
12.为了增加销量,某零食生产企业开展有奖促销活动:将5包零食放在一个大礼包内,其中有2包为能够中奖的零食.若从一个大礼包中不放回地随机抽取2次,每次抽取1包,则能中奖的概率为 .
三、解答题
13.在某次铁人三项比赛中,某户外运动俱乐部要从三名擅长游泳的选手A1,A2,A3,三名擅长骑自行车的选手B1,B2,B3,两名擅长跑马拉松的选手C1,C2中各选一名组成参赛队.假设在两名擅长跑马拉松的选手中C1的状态更好,已确定入选,擅长游泳的三名选手与擅长骑自行车的三名选手入选的可能性相等.求下列事件的概率:
(1)M=“A1被选中”;
(2)N=“A1,B1不全被选中”.
14.[2024·广东佛山南海一中高一月考] 某校组织全体师生观看录播课,计划从5名老师中选出2名老师组织这次观看活动,已知这5名老师中有3名男老师,2名女老师.
(1)求选出的老师全是男老师的概率;
(2)求选出的老师中至少有1名女老师的概率.
15.袋中有9个大小、形状完全相同的黑球、黄球、绿球,从中任意取出一个球,取出黑球或黄球的概率是,取出黄球或绿球的概率是,则袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是 .
16.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝某品种的玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,那么剩下的玫瑰花作为垃圾处理.
(1)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式.
(2)花店记录了100天该种玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
日需求量 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日平均利润(单位:元);
(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率.10.1.4 概率的基本性质
【学习目标】
1.体会概率的概念,能够探索出概率的性质.
2.掌握随机事件概率的运算法则.
◆ 知识点 概率的基本性质
性质1 对任意的事件A,都有 .
性质2 必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)= ,P( )= .
性质3 如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)= .
推广:如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)= .
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(A)= ,P(B)= .
性质5 如果A B,那么P(A) P(B).
推广:对于任意事件A,因为 A Ω,所以0 P(A) 1.
性质6 设A,B是一个随机试验中的两个事件,有P(A∪B)= .
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若事件A与B互为对立事件,则P(A)=-P(B). ( )
(2)若P(A)+P(B)=1,则事件A与B互为对立事件. ( )
(3)在同一试验中,对任意两个事件A,B,P(A∪B)=P(A)+P(B). ( )
2.已知P(A)=0.6,P(B)=0.1,若B A,则P(A∪B)= ,P(AB)= .
◆ 探究点一 概率性质的直接应用
例1 (1)围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为,从中取出2粒都是白子的概率是,则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是 ( )
A. B. C. D.1
(2)从装有质地、大小均相同的2个红球和n个白球的口袋中随机取出1个球,若取到红球的概率是,则取到白球的概率为 ( )
A. B. C. D.
(3)已知在一次随机试验E中,定义两个随机事件A,B,且P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A∩B)=0.3,则P(A∪B)= .
变式 (1)给出下列说法,其中说法正确的是 ( )
A.若A,B为一个随机试验中的两个事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)
B.若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1
C.若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)≤1
D.若A B,则P(A)(2)已知随机事件A和B互斥,A和C互为对立事件,且P(A∪B)=0.5,P(B)=0.2,则P(C)= ( )
A.0.8 B.0.7
C.0.6 D.0.5
(3)(多选题)甲、乙两人下棋,和棋的概率为,乙获胜的概率为,则下列说法错误的是 ( )
A.甲获胜的概率是 B.甲不输的概率是
C.乙输的概率是 D.乙不输的概率是
[素养小结]
1.在运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分清事件之间是否互斥,同时要会把一个事件拆分成几个互斥事件,做到不重不漏,然后再利用概率加法公式计算.
2.利用对立事件的概率公式求解时,必须准确判断两个事件确实是对立事件时才能应用.
◆ 探究点二 求解复杂事件的概率
例2 盒子里装有红、黑、白、绿四种颜色的球共12个,从中任取1个球.记事件A为“取出1个红球”,事件B为“取出1个黑球”,事件C为“取出1个白球”,事件D为“取出1个绿球”.已知P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=.
(1)求事件“取出1个球为红球或黑球”发生的概率;
(2)求事件“取出1个球为红球或黑球或白球”发生的概率.
变式 甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5个题,其中选择题3个,判断题2个,甲、乙两人从中抽出2个题,每人抽1个题.
(1)甲、乙两人中有一人抽到选择题,另一人抽到判断题的概率是多少
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少
[素养小结]
求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件的概率转化为彼此互斥的事件的概率的和;二是先求对立事件的概率,再求所求事件的概率.
拓展 袋内共有100个除颜色外完全相同的红球、白球和黑球,其中红球有45个,从袋中任意摸出1个球,摸出白球的概率是0.23.
(1)求袋内黑球的个数;
(2)从袋中任意摸出1个球,求摸到的球是白球或黑球的概率.(共89张PPT)
10.1 随机事件与概率
10.1.4 概率的基本性质
探究点一 概率性质的直接应用
探究点二 求解复杂事件的概率
【学习目标】
1.体会概率的概念,能够探索出概率的性质.
2.掌握随机事件概率的运算法则.
知识点 概率的基本性质
性质1 对任意的事件 ，都有_________．
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 ___，
___．
性质3 如果事件与事件互斥，那么 ____________．
推广：如果事件,, ,两两互斥，那么事件
发生的概率等于这 个事件分别发生的概率之和，即
__________________________．
1
0
性质4 如果事件与事件互为对立事件，那么 _________，
_________．
性质5 如果，那么___ ．
推广：对于任意事件，因为 ，所以0___ ___1．
性质6 设，是一个随机试验中的两个事件，有
_______________________．
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）若事件与互为对立事件，则 ．( )
×
（2）若，则事件与 互为对立事件．( )
×
（3）在同一试验中，对任意两个事件， ，
.( )
×
2.已知,，若，则 ____，
____．
0.6
0.1
[解析] 因为,， ，所以
， ．
探究点一 概率性质的直接应用
例1（1） 围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑
子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是 ，则从中任意取出2
粒恰好是同一色的概率是( )
A. B. C. D.1
[解析] 由题意知，从中任意取出2粒恰好是同一色的概率
，故选B．
√
（2）从装有质地、大小均相同的2个红球和 个白球的口袋中随机取
出1个球，若取到红球的概率是 ，则取到白球的概率为( )
A. B. C. D.
[解析] “取到红球”与“取到白球”互为对立事件，故所求概率
.
√
（3）已知在一次随机试验中，定义两个随机事件， ，且
，，，则 ____.
0.4
[解析] 由题意
.
变式（1） 给出下列说法，其中说法正确的是( )
A.若， 为一个随机试验中的两个事件，则
B.若事件，，两两互斥，则
C.若，为互斥事件，则
D.若，则
√
[解析] 对于A，当A，B为两个互斥事件时，才有
，当A，B不互斥时，
，A选项错误；
对于B，当事件A，B，C两两互斥，且 时，才有
，B选项错误；
对于C，当A，B为互斥事件时， ，C选
项正确；
对于D，由概率的性质可知，若，则 ，D选项错误.
故选C.
（2）已知随机事件和互斥，和 互为对立事件，且
,，则 ( )
A.0.8 B.0.7 C.0.6 D.0.5
[解析] 由随机事件A和B互斥可知， ，将
,代入计算可得 ，
又A和C互为对立事件，所以，解得 .
故选B.
√
（3）（多选题）甲、乙两人下棋，和棋的概率为 ，乙获胜的概率
为 ，则下列说法错误的是( )
A.甲获胜的概率是 B.甲不输的概率是
C.乙输的概率是 D.乙不输的概率是
√
√
√
[解析] “甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概
率是，故A中说法正确；
设 “甲不输”，则事件A是 “甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并
事件，所以 ，故B中说法错误；
“乙输”的概率即“甲获胜”的概率，为 ，故C中说法错误；
设 “乙不输”，则事件B是“乙获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并
事件，所以，故D中说法错误.故选 .
［素养小结］
1.在运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否
互斥，同时要会把一个事件拆分成几个互斥事件，做到不重不漏，
然后再利用概率加法公式计算.
2.利用对立事件的概率公式求解时，必须准确判断两个事件确实是对
立事件时才能应用.
探究点二 求解复杂事件的概率
例2 盒子里装有红、黑、白、绿四种颜色的球共12个，从中任取1个
球．记事件为“取出1个红球”，事件为“取出1个黑球”，事件 为
“取出1个白球”，事件为“取出1个绿球”.已知 ，
，， ．
（1）求事件“取出1个球为红球或黑球”发生的概率；
（2）求事件“取出1个球为红球或黑球或白球”发生的概率．
解：方法一（应用互斥事件的概率加法公式求概率）
（1）事件“取出1个球为红球或黑球”发生的概率为
．
（2）事件“取出1个球为红球或黑球或白球”发生的概率为
．
方法二（应用对立事件的概率公式求概率）
（1）“取出1个球为红球或黑球”的对立事件为“取出1个球为白球或
绿球”，即的对立事件为 ，
故“取出1个球为红球或黑球”发生的概率为
．
（2）“取出1个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1个球为
绿球”，即的对立事件为 ，
所以“取出1个球为红球或黑球或白球”发生的概率为
．
变式 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个题，其中选择题3个，
判断题2个，甲、乙两人从中抽出2个题，每人抽1个题.
（1）甲、乙两人中有一人抽到选择题，另一人抽到判断题的概率是
多少？
解：把3个选择题记为，，，2个判断题记为， ，
则“甲抽到选择题，乙抽到判断题”包含的样本点有 ，
，，，， ，共6个；
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”包含的样本点有， ，
，，， ，共6个；
“甲、乙都抽到选择题”包含的样本点有，， ，
，， ，共6个；
（1）甲、乙两人中有一人抽到选择题，另一人抽到判断题的概率是
多少？
“甲、乙都抽到判断题”包含的样本点有， ，共2个.
因此样本点的总数为 .
记事件 “甲抽到选择题，乙抽到判断题”，则 ；
记事件 “甲抽到判断题，乙抽到选择题”，则 .
故“甲、乙两人中有一人抽到选择题，另一人抽到判断题”的概率为
.
（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
解： 记事件 “甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”，则事件
“甲、乙两人都抽到判断题”，
由题意得 ，故“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”
的概率为 .
［素养小结］
求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件的概率转化为
彼此互斥的事件的概率的和；二是先求对立事件的概率，再求所求
事件的概率．
拓展 袋内共有100个除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，其中
红球有45个，从袋中任意摸出1个球，摸出白球的概率是0.23．
（1）求袋内黑球的个数；
解：设袋内有个黑球，则白球有 个，由题可知
，解得 ，故袋内黑球的个数为32．
（2）从袋中任意摸出1个球，求摸到的球是白球或黑球的概率．
解：因为白球和黑球共有 （个），所以从袋中任意摸
出1个球，摸到的球是白球或黑球的概率为 .
1.互斥事件的推广
两个事件互斥的定义可以推广到个事件中去：如果事件,, ,
,中的任意两个事件互斥，就称事件,,, , 彼此互
斥．从集合的角度来看， 个事件彼此互斥是指各个事件所包含的样
本点组成的集合两两之间的交集均为空集.
例如，掷一枚骰子，出现1点，出现2点，出现3点， 出现4点
，出现5点， 出现6点}彼此互斥．
2.概率加法公式的推广
一般地，如果事件,,, , 两两互斥（彼此互斥），那么事
件“”发生（事件,,, , 中至少有一个
发生）的概率等于这 个事件分别发生的概率之和，即
．
转化与化归思想在和事件中的应用
转化与化归思想的核心是把陌生问题转化为熟悉的问题，事实上解
题过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于
目标系统的过程．
在本节中运用加法公式及对立思想把复杂概率问题分解为易求解的
概率问题．
例1（1） [2024·北京通州区高一期中]若某群体中的成员用现金支付
的概率为，用非现金支付的概率为 ，则既用现金支付也用非
现金支付的概率为( )
A.0.10 B.0.15 C.0.40 D.0.45
[解析] 设事件“用现金支付”，事件 “用非现金支付”，
则“既用现金支付也用非现金支付”，
则 ，， ，
则 .
故选B.
√
（2）已知随机事件和互斥，且， ，则
事件 的对立事件发生的概率为( )
A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8
[解析] 根据题意，因为 ，事件A和B互斥，所以
，所以 ，所以
事件B的对立事件发生的概率为 .故选D.
√
例2 [2024·四川泸州高一期中] 围棋是一种策略性两人棋类游戏，已
知围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，从中随机取出2粒，都是黑子
的概率是，都是白子的概率是 .
（1）求从中任意取出2粒恰好是同一色的概率；
解：设事件“从中任意取出2粒都是黑子”，事件 “从中任意取
出2粒都是白子”，事件“从中任意取出2粒恰好是同一色”，
则，且事件 与互斥，
则 ，
即从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是 .
（2）求从中任意取出2粒恰好是不同色的概率.
解：设事件“从中任意取出2粒恰好是不同色”，
由（1）知事件 与事件是对立事件，且 ，
所以从中任意取出2粒恰好是不同色的概率为
.
练习册A
一、选择题
1.若，是互斥事件，,，则 ( )
A.0.3 B.0.7 C.0.1 D.1
[解析] 由题意，可得，所以 ，故
选A.
√
2.从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，取到红桃的概率为
，则没有取到红桃的概率为( )
A. B. C. D.1
[解析] 设事件“取到红桃”， ，则没有取到红桃是A的对
立事件，故 .故选C.
√
3.已知，，如果，那么 ( )
A.0.18 B.0.42 C.0.6 D.0.7
[解析] 因为，所以 .故选C.
√
4.[2024·北京房山区高一期末]某产品按质量分为甲、乙、丙三个级
别，从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到甲级品”的概率
为，“抽到乙级品”的概率为 ，则“抽到丙级品”的概率为
( )
A.0.05 B.0.25 C.0.8 D.0.95
[解析] 设“抽到甲级品”“抽到乙级品”“抽到丙级品”分别为事件A,B，
C，则A，B，C两两互斥，且 .
因为“抽到甲级品”的概率为，“抽到乙级品”的概率为 ，
所以“抽到丙级品”的概率为 .故选A.
√
5.某商店月收入（单位：千元）在一定范围内的概率如下表所示：
月收入
概率 0.12 0.14
已知月收入在内的概率为，则月收入在 内的概率
为( )
A.0.55 B.0.74 C.0.5 D.0.88
[解析] 设这个商店月收入在， 内的事
件分别为A,B,C,D，因为事件A,B,C,D两两互斥，且
， ，所以
.
√
6.某班共有48名同学，其中12名同学精通乐器，8名同学擅长舞蹈，
从该班中任选一名同学了解其艺术特长.设事件 “选中的同学精通
乐器”，“选中的同学擅长舞蹈”，若，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 由题知，,，因为 ，
所以，即 ，解得
.故选C.
√
7.保险柜的密码由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的四个不同数字组成，假设一
个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照
递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的概率是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列的结果有
，，，， ，共5个.
设最多输入2次就能开锁为事件A，它是事件 “输入1次就能开锁”
与事件“第2次输入才能开锁”的和，与互斥， ，
，则 ，故最多输入2次就
能开锁的概率是 .
8.（多选题） 下列说法中不正确的有( )
A.对立事件一定是互斥事件
B.若,为两个事件，则
C.若事件,,彼此互斥，则
D.若事件,满足，则, 是对立事件
√
√
√
[解析] 对于A，对立事件一定是互斥事件，故A中说法正确；
对于B，当且仅当A与B互斥时才有 ，故B中
说法不正确；
对于C，若事件A,B,C彼此互斥，则 ，故C中
说法不正确；
对于D，若袋中有除颜色外完全相同的红、黄、黑、蓝四种颜色的小
球各一个，从袋中任意摸出一个小球，设事件“摸到红球或黄球”，
事件 “摸到黄球或黑球”，则满足，，
，但事件A与B不互斥，也不对立，故D中说法不正确.
故选 .
9.（多选题）某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个
小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具
体情况如图所示.现随机选取一个成员，则( )
A.他只参加音乐小组的概率为
B.他只参加英语小组的概率为
C.他参加至少2个小组的概率为
D.他参加不超过2个小组的概率为
√
√
[解析] 由题图知，参加兴趣小组的共有
（人），只
参加数学、英语、音乐小组的人数分别为10，
6，8，故只参加音乐小组的概率为 ，故
A错误；
只参加英语小组的概率为 ，故B错误；
“参加至少2个小组”包含“参加2个小组” 和“参加3个小组”两种情
况，故他参加至少2个小组的概率为 ，故C正确；
“参加不超过2个小组”包含“参加1个小组”和
“参加2个小组”，其对立事件是“参加3个小组”，
故他参加不超过2个小组的概率
，故D正确. 故选 .
二、填空题
10.一次考试中，小明数学超过90分的概率是 ，物理超过90分的概
率是，两门都超过90分的概率是 ，则他的数学和物理至少有一
门超过90分的概率是____.
0.9
[解析] 因为一次考试中，小明数学超过90分的概率是 ，物理超过
90分的概率是，两门都超过90分的概率是 ，所以他的数学和物
理至少有一门超过90分的概率为 .
11.某市举办花展，园方挑选红色、黄色、白色鲜花各1盆，分别赠送
给甲、乙、丙三人，每人1盆，则甲没有拿到白色鲜花的概率是 __ .
[解析] 设事件 “甲拿到白色鲜花”，根据题意有红色、黄色、白色
鲜花各1盆,分别赠送给甲、乙、丙三人，每人1盆，则甲、乙、丙三
人拿到白色鲜花的概率相等，都为，
所以 ，
则甲没有拿到白色鲜花的概率为 .
12.袋中装有100个大小、形状完全相同的红球、白球和黑球，从中任
意摸出一个球，若摸出红球、白球的概率分别是0.4和 ，则共有
____个黑球．
25
[解析] 由题意可知摸出黑球的概率是 ，故共有
（个）黑球．
三、解答题
13.现有下乡义诊计划，某医院派出医生的人数及其概率如下表所示：
人数 0 1 2 3 4 大于或等于5
概率 0.1 0.18 0.28 0.19 0.21 0.04
（1）求派出医生至多2人的概率；
解：设事件“不派出医生”，事件“派出1名医生”，事件 “派
出2名医生”，事件“派出3名医生”，事件 “派出4名医生”，事
件“派出5名及5名以上医生”，
则事件，，，，， 彼此互斥，且，，
， ，， .
“派出医生至多2人”的概率为
.
（2）求派出医生至少2人的概率.
解： 方法一：“派出医生至少2人”的概率为
.
方法二：“派出医生至少2人”的概率为
.
14.某班级有的学生喜欢打羽毛球， 的学生喜欢打乒乓球，
的学生两种运动都喜欢.现从该班随机抽取一名学生，求下列事
件的概率：
（1）这名学生只喜欢打羽毛球；
解：从该班随机抽取一名学生，设 “这名学生喜欢打羽毛球”，
“这名学生喜欢打乒乓球”，
则，， .
这名学生只喜欢打羽毛球的概率为
.
（2）这名学生至少喜欢一种运动；
解： 这名学生至少喜欢一种运动的概率为
.
（3）这名学生只喜欢一种运动；
解： 这名学生只喜欢一种运动的概率为
.
（4）这名学生两种运动都不喜欢.
解： 这名学生两种运动都不喜欢的概率为
.
15.若随机事件，互斥，， 发生的概率均不等于0，且
，，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且
，，
即解得，即 .故选D.
16.甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中
装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，甲
先随机摸出一个球，记下编号，设编号为 ，放回后乙再随机摸出一
个球，也记下编号，设编号为，记录摸球结果，若 ，
则甲赢，否则乙赢.
（1）求 的概率；
解：样本空间中包含的样本点是，，，， ，
，，，，，，，， ，
，，，，，，，， ，
，，共25个，
其中包含的样本点为 ，，， ，共4个，
故由古典概型的概率计算公式可得 .
（2）这种游戏规则公平吗？请说明理由.
解：这种游戏规则不公平.
理由如下：设事件表示甲赢，事件 表示乙赢，则，为对立事件，
由题意，事件包含的样本点有 ，，，，，
，，，， ，，，，，
，共15个，由古典概型的概率计算公式可得 ，
，
， 这种游戏规则不公平.
练习册B
一、选择题
1.已知随机事件,满足，某人猜测事件 发生，则
此人猜测正确的概率为( )
A.1 B. C. D.0
[解析] 事件与事件 是对立事件，所以
，故选C．
√
2.在一个掷一枚质地均匀的骰子的试验中，事件 “向上的面小于5
的偶数点数出现”，事件 “向上的面小于4的点数出现”，则在一次
试验中，事件 发生的概率为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意，事件 “向上的面大于或等于4的点数出现”，即
，,故,故事件 发生的概率
为 .故选B.
√
3.从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，
随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”
的概率为，“两个球都是白球”的概率为 ，则“两个球颜色不同”的
概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设事件“两个球都是红球”，事件 “两个球都是白球”，
事件“两个球颜色不同”，则，，且 .
因为事件A，B，C两两互斥，
所以
.故选C.
4.[2024· 浙江杭州四中高一期中]已知某样本空间中共有18个样本点，
其中事件有10个样本点，事件有8个样本点，事件 有16个样
本点，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由 有16个样本点，且
，得共有
（个）样本点，则有 （个）样本点，故
.故选C.
√
5.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于的概率为 ，质
量不超过的概率为，那么质量在 范围内的概率是
( )
A.0.62 B.0.38 C.0.02 D.0.68
[解析] 设事件A表示质量小于，事件B表示质量不超过 ，
事件C表示质量在范围内，则 ，
又A与C互斥，所以，即
，所以 .故选C.
√
6.[2024·重庆八中高一月考]某家族有， 两种不同的遗传性状，该
家族某成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，， 两
种性状都不出现的概率为，则该成员， 两种性状都出现的概率为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设“该成员出现性状”，“该成员出现 性状”，则
“该成员，两种性状都不出现”，则“该成员，
两种性状都出现”，所以,， ，所以
，
又 ，所以
.故选A.
7.[2024·广东汕尾高一期末]若事件,满足， ，
，则下列说法不正确的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于A，由，可得 ，所以A中说
法正确；
对于B，由 ，可得，
所以B中说法不正确；
对于C，由, , ，可得 ，
所以C中说法正确；
对于D，由, ，
所以 ，所以D中说法正确.故选B.
8.（多选题）从装有2个红球、4个白球的袋子中任意摸出2个球,事件
“至少摸出1个红球”,事件 “至多摸出1个白球”,则下列说法错误
的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 从装有2个红球、4个白球的袋子中任意摸出2个球,该试验的
样本空间中共包含15个样本点,事件“至少摸出1个红球”,事件
“至多摸出1个白球”,则事件A,B均包含摸出1个红球和1个白球,摸出2
个红球这两种情况,则事件A，B都包含 （个）样本点,
故 ,故A中说法错误,B中说法正确;
, ,故C,D中说法错误.故
选 .
9.（多选题）[2024·广东珠海一中高一月考] 抛掷一枚质地均匀的骰
子一次,并观察向上的点数.“骰子向上的点数大于或等于3”，
“骰子向上的点数为奇数”，则( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对于A，抛掷一枚质地均匀的骰子一次，并观察向上的点数，
样本空间为，共6个样本点， ，共4个样本点，
所以，故A正确；
对于B， ，共3个样本点，所以 ，故B错误；
对于C，由选项A，B知，，共5个样本点，所以
，故C正确；
对于D，由选项A，B知， ，共2个样本点，所以
，故D正确.故选 .
二、填空题
10.从一箱产品中随机抽取一件产品，事件，， 分别表示抽到的
是一等品、二等品、三等品，且， ，
，则抽到的是二等品或三等品的概率为_______．
[解析] 由题知，抽到的是二等品或三等品的概率为
．
11.设,是随机事件，且,, ，则
__.
[解析] 因为，所以 ，故
.
12.为了增加销量，某零食生产企业开展有奖促销活动：将5包零食放
在一个大礼包内，其中有2包为能够中奖的零食.若从一个大礼包中不
放回地随机抽取2次，每次抽取1包，则能中奖的概率为___.
[解析] 设事件“中奖”，事件 “抽到的第1包零食中奖”，事件
“抽到的第2包零食中奖”.
注意到事件 的对立事件是“抽到的2包零食都不中奖”，由于
“抽到的2包零食都不中奖”，而，所以
，因此 .
三、解答题
13.在某次铁人三项比赛中，某户外运动俱乐部要从三名擅长游泳的
选手，，，三名擅长骑自行车的选手，， ，两名擅长
跑马拉松的选手， 中各选一名组成参赛队．假设在两名擅长跑
马拉松的选手中 的状态更好，已确定入选，擅长游泳的三名选手
与擅长骑自行车的三名选手入选的可能性相等.求下列事件的概率：
解：从擅长游泳与擅长骑自行车的选手中各选出一名，与选手 组
成参赛队，该试验的样本空间， ，
，，，， ，
， ，共有9个样本点，每一个样本点的出现都
是等可能的.
事件“ 被选中”包含的样本点有3个，分别为
，， ，
.
（1）“ 被选中”；
（2）“， 不全被选中”.
解： 事件“，不全被选中”，则事件，
事件“，不全被选中”发生的概率．
14.[2024·广东佛山南海一中高一月考] 某校组织全体师生观看录播
课，计划从5名老师中选出2名老师组织这次观看活动，已知这5名老
师中有3名男老师，2名女老师.
（1）求选出的老师全是男老师的概率；
解：设3名男老师为,,，2名女老师为, ，则从5名老师中选出2
名老师包含的样本点有,,,,,, ,
,, ，共10个，
其中选出的老师全是男老师包含的样本点有,, ，共3
个，故所求概率为 .
（2）求选出的老师中至少有1名女老师的概率.
解：方法一：选出的老师中至少有1名女老师包含的样本点有 ,
,,,,， ，共7个，故所求概率为
.
方法二：事件“选出的老师中至少有1名女老师”与事件“选出的老师
全是男老师”互为对立事件，所以选出的老师中至少有1名女老师的
概率为 .
15.袋中有9个大小、形状完全相同的黑球、黄球、绿球，从中任意取
出一个球，取出黑球或黄球的概率是，取出黄球或绿球的概率是 ，
则袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是_________.
3，2，4
[解析] 记事件，，分别表示取出黑球、黄球、绿球，则， ，
为互斥事件，由题意得解得
即取出黑球、黄球、绿球的概率分别是，， ，故黑球的个数是
，黄球的个数是，绿球的个数是 ，即袋
中黑球、黄球、绿球的个数分别是3,2,4.
16.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝某品种的玫瑰花，
然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，那么剩下的玫瑰花
作为垃圾处理．
（1）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润 （单位：元）关
于当天需求量（单位：枝， ）的函数解析式.
解：若当天需求量，则 ；
若当天需求量，则 ．
故关于的函数解析式为 ．
（2）花店记录了100天该种玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理
得下表：
日需求量 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
（ⅰ）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日平
均利润（单位：元）；
解： 这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16
天的日利润为75元，54天的日利润为85元，
所以这100天的日平均利润为
（元）．
（ⅱ）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率
作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．
解：“当天的利润不少于75元”即“当天的需求量不少于16枝”，故
当天的利润不少于75元的概率为
．10.1.4 概率的基本性质(A)
1.A [解析] 由题意,可得P(A∪B)=P(A)+P(B),所以P(B)=0.3,故选A.
2.C [解析] 设事件A=“取到红桃”,P(A)=,则没有取到红桃是A的对立事件,故P()=1-P(A)=.故选C.
3.C [解析] 因为A B,所以P(A∩B)=P(A)=0.6.故选C.
4.A [解析] 设“抽到甲级品”“抽到乙级品”“抽到丙级品”分别为事件A,B,C,则A,B,C两两互斥,且A+B+C=Ω.因为“抽到甲级品”的概率为0.8,“抽到乙级品”的概率为0.15,所以“抽到丙级品”的概率为1-0.8-0.15=0.05.故选A.
5.A [解析] 设这个商店月收入在[10,15),[15,20),[20,25),[25,30)内的事件分别为A,B,C,D,因为事件A,B,C,D两两互斥,且P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.67,P(A)=0.12,所以P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.67-0.12=0.55.
6.C [解析] 由题知,P(A)==,P(B)==,因为P(A∪B)=,所以P(A)+P(B)-P(AB)=,即+-P(AB)=,解得P(AB)=.故选C.
7.C [解析] 密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列的结果有(1,3,5,7),(1,3,5,9),(1,3,7,9,),(1,5,7,9),(3,5,7,9),共5个.设最多输入2次就能开锁为事件A,它是事件A1=“输入1次就能开锁”与事件A2=“第2次输入才能开锁”的和,A1与A2互斥,P(A1)=,P(A2)==,则P(A)=P(A1)+P(A2)=,故最多输入2次就能开锁的概率是.
8.BCD [解析] 对于A,对立事件一定是互斥事件,故A中说法正确;对于B,当且仅当A与B互斥时才有P(A∪B)=P(A)+P(B),故B中说法不正确;对于C,若事件A,B,C彼此互斥,则P(A)+P(B)+P(C)≤1,故C中说法不正确;对于D,若袋中有除颜色外完全相同的红、黄、黑、蓝四种颜色的小球各一个,从袋中任意摸出一个小球,设事件A=“摸到红球或黄球”,事件B=“摸到黄球或黑球”,则满足P(A)=,P(B)=,P(A)+P(B)=1,但事件A与B不互斥,也不对立,故D中说法不正确.故选BCD.
9.CD [解析] 由题图知,参加兴趣小组的共有6+7+8+8+10+10+11=60(人),只参加数学、英语、音乐小组的人数分别为10,6,8,故只参加音乐小组的概率为=,故A错误;只参加英语小组的概率为=,故B错误;“参加至少2个小组”包含“参加2个小组”和“参加3个小组”两种情况,故他参加至少2个小组的概率为=,故C正确;“参加不超过2个小组”包含“参加1个小组”和“参加2个小组”,其对立事件是“参加3个小组”,故他参加不超过2个小组的概率P=1-=,故D正确.故选CD.
10.0.9 [解析] 因为一次考试中,小明数学超过90分的概率是0.8,物理超过90分的概率是0.7,两门都超过90分的概率是0.6,所以他的数学和物理至少有一门超过90分的概率为P=0.8+0.7-0.6=0.9.
11. [解析] 设事件A=“甲拿到白色鲜花”,根据题意有红色、黄色、白色鲜花各1盆,分别赠送给甲、乙、丙三人,每人1盆,则甲、乙、丙三人拿到白色鲜花的概率相等,都为,所以P(A)=,则甲没有拿到白色鲜花的概率为P()=1-P(A)=1-=.
12.25 [解析] 由题意可知摸出黑球的概率是1-0.4-0.35=0.25,故共有 100×0.25=25(个)黑球.
13.解:设事件A=“不派出医生”,事件B=“派出1名医生”,事件C=“派出2名医生”,事件D=“派出3名医生”,事件E=“派出4名医生”,事件F=“派出5名及5名以上医生”,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥,且P(A)=0.1,P(B)=0.18,P(C)=0.28,P(D)=0.19,P(E)=0.21,P(F)=0.04.
(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.18+0.28=0.56.
(2)方法一:“派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)=P(C)+P(D)+P(E)+P(F)=0.28+0.19+0.21+0.04=0.72.
方法二:“派出医生至少2人”的概率为1-P(A∪B)=1-0.1-0.18=0.72.
14.解:从该班随机抽取一名学生,设A=“这名学生喜欢打羽毛球”,B=“这名学生喜欢打乒乓球”,
则P(A)=0.45,P(B)=0.8,P(AB)=0.3.
(1)这名学生只喜欢打羽毛球的概率为P(A)=P(A)-P(AB)=0.45-0.3=0.15.
(2)这名学生至少喜欢一种运动的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.45+0.8-0.3=0.95.
(3)这名学生只喜欢一种运动的概率为P(A+B)-P(AB)=0.95-0.3=0.65.
(4)这名学生两种运动都不喜欢的概率为P()=1-P(A+B)=1-0.95=0.05.
15.D [解析] ∵随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,∴
即解得16.解:(1)样本空间中包含的样本点是(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共25个,其中a+b=5包含的样本点为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4个,
故由古典概型的概率计算公式可得P(a+b=5)=.
(2)这种游戏规则不公平.理由如下:设事件A表示甲赢,事件B表示乙赢,则A,B为对立事件,由题意,事件A包含的样本点有(1,5),(2,4),(2,5),(3,3),(3,4),(3,5),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共15个,由古典概型的概率计算公式可得P(A)==,
∴P(B)=1-P(A)=,∵P(A)>P(B),∴这种游戏规则不公平.