(共75张PPT)
10.3 频率与概率
10.3.1 频率的稳定性
10.3.2 随机模拟
探究点一 频率与概率的关系
探究点二 随机模拟试验
【学习目标】
结合具体实例,会用频率估计概率.
知识点一 频率的稳定性
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件 发生
的频率具有________.一般地，随着试验次数 的______，频率偏离
概率的幅度会______，即事件 发生的频率______会逐渐稳定于事件
发生的概率 ．称频率的这个性质为频率的________．可以用
频率 估计概率______.
随机性
增大
缩小
稳定性
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）事件的概率越大，在重复试验中，相应的频率一般也越
大．( )
√
（2）概率能反映随机事件发生可能性的大小.( )
√
（3）某种疾病治愈率为 ，若前7个人没有治愈，则后3个人一定
能治愈．( )
×
（4）试验次数相同，频率 可能不同，这说明随机事件发生的
频率具有随机性．( )
√
2.在相同条件下进行掷硬币的试验，若掷100次，记“正面向上”这一
事件为，此次试验中，出现反面向上的次数为53，则 ____，
_____.
47
0.47
[解析] 由题意知， ．
知识点二 随机模拟
1.随机数的定义
随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每
一个数的机会______．
相等
2.产生随机数的方法
（1）由试验（如摸球或抽签）产生随机数
例：产生 之间的随机整数.
①将25个大小形状相同的小球分别标上1，2， ，24，25，放入一
个袋中，充分搅拌.
②从中摸出1个球，这个球上的数就是随机数.
（2）由计算器或计算机产生随机数
计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数，具有周
期性（周期很长），它们具有类似随机数的性质，但不是真正的随
机数，称为伪随机数.
称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）用计算机进行随机模拟，可以在短时间内多次重复做试验，应
用很广泛．( )
√
（2）用计算器或计算机产生随机数，既能保证操作简单、省时省力，
又能保证等可能性．( )
√
探究点一 频率与概率的关系
［探索］ 小明说：“做10次抛硬币试验，正面向上的次数一定是5.”
这个说法对吗？
解：这个说法不对．因为每次试验的结果都是随机的，在试验前不
能确定正面向上的次数．
例1（1） 容量为40的样本观测数据，分组后得到的频数分布表如下：
分组
频数 4 7 8 11 7 3
则样本观测数据落在区间 内的频率为( )
A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65
[解析] 样本观测数据落在内的频数为 ，故所
求频率为 ，故选D．
√
（2）为了解某社区居民家庭人均月收入（百元）情况，调查了该社
区80户居民的家庭人均月收入，列出频率分布表如下:
家庭人均月收 入（百元） 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组
频率 0.1 0.2 0.15 0.1 0.1
则这80户居民中，家庭人均月收入在 内的有____户
（用数字作答）；假设家庭人均月收入在第一组和第二组的为中低
收入家庭，现从该社区居民中随机抽取1户，估计该家庭为中低收入
家庭的概率是____．
28
0.3
[解析] ，所以这80户居
民中，家庭人均月收入在内的有 （户）.
频率分布表中第一组与第二组的频率之和为 ，所以可估计所求
概率为0.3.
（3）利用简单随机抽样的方法抽查了某校500名学生，其中共青团
员有320人，戴眼镜的有365人，若在这个学校中随机抽查1名学生，
则估计他是共青团员的概率为_____，戴眼镜的概率为_____．
0.64
0.73
[解析] 500名学生中有共青团员320人，即共青团员出现的频率为
，所以随机抽查1名学生，估计他是共青团员的概率为
0.64.
500名学生中戴眼镜的有365人，即戴眼镜的学生出现的频率为
，所以随机抽查1名学生，估计他戴眼镜的概率为0.73．
变式（1） 甲同学在数学探究活动中做抛硬币试验，共抛掷了2000
次，其中正面朝上的有1034次，则下列说法正确的是( )
A.抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517
B.甲同学的试验中，反面朝上的频率为0.483
C.抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5
D.甲同学的试验中，正面朝上的频率接近0.517
√
[解析] 甲同学的试验中，正面朝上的频率为 ，反面朝上的频率
为 ，故B正确；
抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的概率均为 ，为定值，故A，
C错误；
甲同学的试验中，正面朝上的频率就是，而不是接近 ，
故D错误.故选B.
（2）鲁班锁是一种广泛流传于中国民间的智力玩具，相传由春秋末
期到战国初期的鲁班发明，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧，
易拆难装，十分巧妙，每根木条上的花纹是卖点，也是制作的关键.
某玩具公司开发了甲、乙两款鲁班锁玩具，各生产了100件样品，样
品分为一等品、二等品、三等品，根据销售部市场调研分析，得到
相关数据如下（单件成本利润率利润 成本 ）：
甲款鲁班锁玩具
一等品 二等品 三等品
单件成本利润率
频数 10 60 30
乙款鲁班锁玩具
一等品 二等品 三等品
单件成本利润率
频数 50 30 20
①用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，求该产品是一
等品的概率；
解：用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，该产品是一
等品的概率为 .
②若甲、乙两款鲁班锁玩具各生产100件的投资成本均为20 000元，
且每件的投资成本是相同的，分别求投资这两款鲁班锁玩具各100件
所获得的利润.
解：对于甲款鲁班锁玩具，一等品的利润为
（元），二等品的利润为 （元），三等品的
利润为 （元），故100件甲款鲁班锁玩具所获
得的利润为 （元）.
对于乙款鲁班锁玩具，一等品的利润为
（元），二等品的利润为 （元），三等品
的利润为 （元），故100件乙款鲁班锁玩具所
获得的利润为 （元）.
［素养小结］
（1）频率是事件发生的次数与试验总次数 的比值，频率本身是
随机变量，当 很大时，频率总是在一个稳定值附近上下摆动，这个
稳定值就是概率．
（2）解此类题目的步骤是:先利用频率的计算公式依次计算出各个
频率值，然后根据概率的定义确定频率的稳定值，即为概率．
探究点二 随机模拟试验
例2（1） 用随机模拟的方法估计概率时，其准确程度取决于( )
A.产生的随机数的大小 B.产生的随机数的个数
C.随机数对应的结果 D.产生随机数的方法
[解析] 随机数的个数越多，由频率估计概率越准确，故选B．
√
（2）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为 ，
这三天中恰有两天下雨的概率大概是多少？（用随机模拟试验来解
决，并给出关键步骤）
解：①设计模拟试验
利用计算机（计算器）产生 之间的取整数值的随机数，约定用
0，1，2，3表示下雨，4，5，6，7，8，9表示不下雨，以体现下雨
的概率是 .连续产生三个随机数为一组，作为三天的模拟结果.
②进行模拟试验
例如：产生30组随机数，这就相当于做了30次重复试验.
③统计试验结果
在一组数中，若恰有两个数在，1，2， 中，则表示三天中恰有
两天下雨，统计出这样的随机数的组数 ，则在30次试验中，三天中
恰有两天下雨的频率为，故可估计所求概率为 .
变式1 天气预报显示，某地连续四天，每天下雨的概率为 ，现用
随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在 十个整数
值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天
不下雨.在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位
随机数：
9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869
3281 7890 2692 8280 8425 3990 8460
7980 2436 5987 3882 0753 8935
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由表中数据可得表示四天中恰有三天下雨的随机数有9533，9
522，0018，0018，3281，8425，2436，0753，共8组，所以估计四
天中恰有三天下雨的概率为 .故选B.
变式2 某射击运动员每次击中目标的概率都是 ，若该运动员连
续射击10次，用随机模拟的方法估计其恰好有5次击中目标的概率．
解：用随机模拟的方法估计其恰好有5次击中目标的概率的步骤如下：
（1）用1,2,3,4,5,6,7,8表示击中目标,用9,0表示未击中目标，这样可以
体现击中的概率为 ；
（2）利用计算机或计算器产生0到9之间的整数随机数，每10个作为
一组,统计组数 ；
（3）统计这组数中恰有5个数在中的组数 ；
（4）连续射击10次恰好有5次击中目标的概率的近似值为 .
1.随机事件的概率
一般地，随机事件 在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大
量重复试验后，随着试验次数的增加，事件 发生的频率会逐渐稳定
在区间中的某个常数上，这个常数可以用来度量事件 发生的可
能性的大小，定义为事件发生的概率．即用事件发生的频率
作为事件发生的概率 ，从精确度上来讲，它是一种近似计算，
即.通过频率求事件 发生的概率的前提是：大量重复的试
验，试验的次数越多，获得的数据越多，这时用来表示 就越
精确．
2.频率与概率之间的区别与联系
（1）频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接
近于概率，在实际问题中，通常事件发生的概率未知，常用频率作
为它的估计值．
（2）频率本身是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，做同样
次数的重复试验得到的事件发生的频率会不同．比如，全班每个人
都做了10次掷硬币的试验，但得到正面朝上的频率可以是不同的．
（3）概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次的试验无关，比
如，若一个硬币是质地均匀的，则掷硬币出现正面朝上的概率是
，与做多少次试验无关．
3.随机模拟的步骤
（1）建立概率模型；
（2）进行模拟试验（可用计算器或计算机进行）；
（3）统计试验结果．
随机模拟的基本思路：
1.针对实际问题建立一个简单可行的概率统计模型，使问题所求的解
为该模型的概率分布或者数字特征，比如：某个事件的概率.
2.对模型中的随机变量建立抽样方法，在计算机上进行模拟试验，得
到足够的随机数，并对相关事件进行统计.
3.对试验结果进行分析，给出所求解的估计及其精度（方差）的估计.
例1（1） [2024·湖北荆门高一期末] 在一次羽毛球男子单打比赛中，
运动员甲、乙进入了决赛，比赛规则是三局两胜制（比满三局）.根
据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为 ，利
用计算机模拟试验，产生 之间的整数随机数，当出现随机数1或
2时，表示一局比赛甲获胜，当出现随机数3，4或5时，表示一局比
赛乙获胜.计算机产生的15组随机数为421，231，344，114，522，
123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，据此估计
甲获得冠军的概率为___.
[解析] 由计算机产生的15组随机数中，表示甲获得冠军的随机数有4
21，231，114，522，123，232，122，共7组，据此估计甲获得冠军
的概率为 .
（2）[2024·四川宜宾高一期末] 袋子中有四个小球，分别写有“中、
华、民、族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两
个字都被取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概
率，利用计算机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表
取到写有“中、华、民、族”这四个字的小球，以每三个随机数为一
组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为__.
[解析] 由随机模拟产生的随机数可知，表示恰好抽取三次就停止的
随机数有021,001,130,031，共4组，所以估计恰好抽取三次就停止的
概率为 .
例2 [2024·吕梁高一期末] 甲、乙两人进行三局两胜制的比赛
（比满三局），假设每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为
，各局比赛相互独立.用计算机产生 之间的整数随机数，当出
现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，当出现随机数4或5时，
表示一局比赛乙获胜．由于要比赛三局，所以每三个随机数为一组，
现产生了20组随机数：
123 344 423 114 423 453 354 332 125
342 534 443 541 512 152 432 334 151
314 525
（1）用以上随机数估计甲获胜的概率；
解：计算机产生的20组随机数相当于做了20次重复试验，其中表示
甲获胜的有123，423，114，423，332，125，342，512，152，432，
334，151，314，共13组，故估计甲获胜的概率为 .
（2）计算甲获胜的概率．
解：甲获胜的概率
．
练习册
一、选择题
1.关于频率和概率的关系，下列说法正确的是( )
A.当试验次数很大时，概率稳定在频率附近
B.试验得到的频率与概率不可能相等
C.当试验次数很大时，频率稳定在概率附近
D.频率等于概率
[解析] 对于A，概率是定值，故本选项错误；
对于B，可以相等，如“抛硬币试验”，可得到正面向上的频率为 ，
与概率相等，故本选项错误；
对于C，当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，故本选项正确；
对于D，频率只能估计概率，故本选项错误.故选C．
√
2.掷一枚质地均匀的硬币，用 表示正面向上这一事件，若掷10次，
正面向上出现了6次，则 ( )
A.发生的概率为
B.发生的概率接近
C.在这10次试验中发生的频率为
D.在这10次试验中发生的频率为6
[解析] 概率是频率的稳定值，A发生的概率等于 ，故A，B错误；
A在这10次试验中发生的频率为 ，故C正确，D错误.故选C.
√
3.下列说法正确的是( )
A.随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机
事件发生的概率
B.某种福利彩票的中奖概率为 ，买1000张这种彩票一定能中奖
C.连续100次掷一枚质地均匀的硬币，结果出现了49次反面向上，则
掷一枚质地均匀的硬币出现反面向上的概率为
D.某市气象台预报“明天本市降水概率为 ”，指的是：该市气象
台专家中，有认为明天会降水， 认为明天不会降水
√
[解析] 对于A,随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳
定于该随机事件发生的概率，概率是频率的稳定值，故A正确；
对于B,某种福利彩票的中奖概率为 ，买1000张这种彩票不一定中
奖，故B错误；
对于C,连续100次掷一枚质地均匀的硬币，结果出现了49次反面向上，
则在100次抛硬币的试验中出现反面向上的频率为 ，而掷一枚质地
均匀的硬币出现反面向上的概率为 ，故C错误；
对于D，某市气象台预报“明天本市降水概率为 ”，指的是明天会
降水的可能性为 ，故D错误.故选A.
4.从存放着号码分别为1，2， ，10的卡片的盒子中，有放回地取1
00次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到的次数 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9
则取到号码为奇数的卡片的频率是( )
A.0.53 B.0.5 C.0.47 D.0.37
[解析] 由题意知， 有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号
码， 总次数是100，由表可以看出取到号码为奇数的卡片有
（次）， 频率 ，故选A.
√
5.[2023·天津河东区高一期末]用木块制作的一个四面体的四个面上
分别标记1，2，3，4，重复抛掷这个四面体200次，记录每个面落在
地上的次数（如表）.下列说法正确的是( )
四面体的面 1 2 3 4
频数 44 36 42 78
A.该四面体一定不是均匀的
B.再抛掷一次，估计标记2的面落地的概率为0.72
C.再抛掷一次，标记4的面一定落地
D.再抛掷一次，估计标记3的面落地的概率为0.21
√
[解析] 对于A选项，如果四面体是均匀的，那么理论上每个面落地
的次数仍旧可能不一样，在均匀的条件下，随着试验次数的增多，
每个面落地的次数将会变得越来越接近，换句话说，即使是均匀的
四面体，仅仅在200次试验中，得到落地的面的统计结果也可能不一
样，A选项错误.
对于B，C，D选项，由于这200次试验中标记2，3，4的面落在地上的
频率分别为,,，即,, ，B选项中所估计的概率0.72
和频率0.18差距过大，C选项认为标记4的面一定落地，是必然事件，
概率为1，但频率只有 ，因此不能认为必然发生，B，C选项错误；
D选项中估计标记3的面落地的概率是 ，D选项正确.故选D.
6.[2024·广东佛山高一期中]规定：投掷飞镖3次为一轮，若3次中至
少2次命中8环以上，则成绩为优秀.根据以往经验某选手投掷一次命
中8环以上的概率为 .现采用计算机做模拟试验来估计该选手成绩优
秀的概率.用计算机产生 之间的整数随机数，用0，1表示该次投
掷没有命中8环以上，用2，3，4，5，6，7，8，9表示该次投掷命中
8环以上，经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
据此估计，该选手投掷1轮，成绩优秀的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意可知，随机模拟试验产生了20组随机数，代表“3次中
至少2次命中8环以上”的数组共18组，因此，估计该选手投掷1轮，
成绩优秀的概率为 .故选A.
7.[2024·安徽六安高一期中]已知某运动员每次投篮命中的概率都为
，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中
的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，
4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，再以每三个随机数为一
组，代表三次投篮的结果，经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
137 966 191 925 271 932 812 458
569 683 431 257 393 027 556 488
730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A.0.40 B.0.30 C.0.35 D.0.25
√
[解析] 由题意知,经随机模拟产生的20组随机数中表示三次投篮恰有
两次命中的有137,191,271,932,812,393,共6组随机数，所以估计所求
概率为 ，故选B.
8.（多选题）[2024·福建师范大学附中高一期末] 下列说法错误的是
( )
A.抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为6的概率是 ，即每掷6次就有一
次掷得点数6
B.抛掷一枚质地均匀的硬币，试验200次出现正面的频率不一定比试
验100次出现正面的频率更接近概率
C.某地气象局预报说，明天本地下雨的概率为 ，是指明天本地
有 的区域下雨
D.随机事件，中至少有一个发生的概率一定比， 中恰有一个发
生的概率大
√
√
√
[解析] 在A中，抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为6的概率是 ，只
能说明每掷6次就可能有一次掷得点数6，故A中说法错误；
在B中，抛掷一枚质地均匀的硬币，由概率的定义得，试验200次出
现正面的频率不一定比试验100次出现正面的频率更接近概率，故B
中说法正确；
在C中，某地气象局预报说，明天本地下雨的概率为 ，是指
明天本地有 的可能性会下雨，故C中说法错误；
在D中，随机事件A，B中至少有一个发生的概率不一定比A，B中恰
有一个发生的概率大，如 “掷一枚质地均匀的骰子一次，向上的
点数是偶数 ”， “掷一枚质地均匀的骰子一次，向上的点数是奇数”，
则A，B中至少有一个发生的概率是1，A，B中恰有一个发生的概率也
是1，故D中说法错误.故选 .
9.（多选题）统计两支球队之间的100次比赛结果，其中甲胜的次数
为55，乙胜的次数为18.记甲胜为事件，乙胜为事件 ，平局为事件
，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是
( )
A. B.
C. D.
[解析] 由频率估计概率得 ,故A正确；
,故B正确；
，故C正确；
,故D错误.故选 .
√
√
√
二、填空题
10.[2024·上海晋元高级中学高一月考] 在一个不透明的袋子中装有4
个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸
出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验，发现摸出
红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 ____个.
16
[解析] 设袋子中红球约有个，根据题意，得 ，解得
， 所以袋子中红球约有16个.
11.某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如
下表所示.
第一组 第二组 第三组
投篮次数 100 200 600
命中的次数 68 125 369
命中的频率 0.68 0.625 0.615
根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，那么使误
差较小的估计值最可能是______.
0.615
[解析] 由题意知，试验次数越多，频率越接近概率，对概率的估计
误差就越小，所以使误差较小的估计值最可能是0.615.
12.[2024·重庆八中高一月考] 采取随机模拟的方法估计某型号防空
导弹击中目标的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，
指定1，2，3，4表示击中目标，5，6，7，8，9，0表示未击中目标，
以三个随机数为一组，代表三次发射的结果，经随机模拟试验产生
了如下20组随机数：
107 956 181 935 271 832 612 458 329 683 331 257 393 027 556
498 730 113 537 989
根据以上数据，估计该型号防空导弹三次发射至少有一次击中目标
的概率为___.
[解析] 根据题意，这20组随机数中表示一次也没有击中目标的有956,
556,989，共有3组，所以估计三次发射至少有一次击中目标的概率
.
三、解答题
13.某乒乓球制造商生产了一批乒乓球，从中随机抽取100个，测得每
个乒乓球的直径（单位: ），将数据分组如下表:
分组 频数 频率
10
20
50
20
合计 100
（1）请将上表补充完整；
解：
分组 频数 频率
10 0.1
20 0.2
50 0.5
20 0.2
合计 100 1.0
（2）已知标准乒乓球的直径为 ，试估计这批乒乓球的直
径误差不超过 的概率．
解：标准尺寸是，若要使误差不超过 ，
则直径应落在 内．
由（1）中表知，直径落在 内的频率为
，所以估计这批乒乓球的直径误差不超过
的概率为0.9．
14.某学校有1200名学生，随机抽出300名进行调查研究，调查者设计
了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全相同的10
个红球、10个绿球和10个白球的袋子．调查中有两个问题：
问题1：你的阳历生日月份是不是奇数？
问题2：你是否经常缺交作业？
每个被调查者随机从袋中摸出1个球（摸出后再放回袋中）．若摸到
红球，则如实回答第一个问题；若摸到绿球，则不回答任何问题；
若摸到白球，则如实回答第二个问题．所有回答“是”的被调查者只
需往一个盒子中放一颗小石子，回答“否”的被调查者什么也不用
做．最后收集回来53颗小石子，由此估计该学校经常缺交作业的学
生人数是多少？
解：由题意可知，每个被调查者从袋中摸出红球、绿球、白球的概
率都是，由此估计有 （名）学生回答了第一个问题，
有（名）学生不回答任何问题，有 （名）
学生回答了第二个问题．
易知每个被调查者的阳历生日月份是奇数的概率为 ，
所以可估计回答第一个问题的100名学生中大约有50名学生回答了
“是”，所以我们能推出在回答第二个问题的100名学生中大约有3名
学生回答了“是”，故该学校大约有 的学生经常缺交作业，也就是
全校大约有36名学生经常缺交作业．
15.某次战争期间，统计学家将缴获的 军坦克序列号作为样本，用
样本估计总体的方法得出军某月生产的坦克总数.假设 军某月生产
的坦克总数是，缴获的该月生产的辆坦克序列号从小到大为 ,
, ,，即最大序列号为 ，且缴获的坦克是从所生产的坦克中
随机获取的，因为坦克的序列号是连续编号的，所以缴获坦克的序
列号,, ,，相当于从中随机抽取的个整数，这 个数将
区间分成个小区间，其中前 个区间已知，最右边的区
间未知（由于未知）.由于这个数是随机抽取的，所以可以用前
个区间的平均长度来估计所有个区间的平均长度 ，进而
得到 的估计值.例如，某月缴获坦克的序列号是3,8,12,18,20,24，则
统计学家利用上述方法估计 军该月生产的坦克数约为____辆.
28
[解析] 由于用前个区间的平均长度估计所有 个区间的平
均长度，而缴获坦克的编号是3,8,12,18,20,24，即, ，
故，所以，即统计学家利用上述方法估计 军该月生
产的坦克数约为28辆.
16.甲、乙两支篮球队进行一局比赛（不会有平局），甲获胜的概率
为0.6.若采用三局两胜制举办一次比赛（比满三局），试用随机模拟
的方法求乙获胜的概率．
解：利用计算器或计算机生成 之间取整数值的随机数，用0，1，
2，3，4，5表示甲获胜，6，7，8，9表示乙获胜，这样能体现甲获
胜的概率为 ．
因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．
例如，产生30组随机数：
034 743 738 636 964 736 614 698 637 162
332 616 804 560 111 410 959 774 246 762
428 114 572 042 533 237 322 707 360 751
这就相当于做了30次重复试验．
如果一组随机数中恰有2个或3个数在，7，8， 中，就表示乙获
胜，那么满足条件的随机数分别是738，636，964，736，698，637，
616，959，774，762，707，共11个．
所以采用三局两胜制，乙获胜的概率约为 ．10.3 频率与概率
10.3.1 频率的稳定性
10.3.2 随机模拟
1.C [解析] 对于A,概率是定值,故本选项错误;对于B,可以相等,如“抛硬币试验”,可得到正面向上的频率为0.5,与概率相等,故本选项错误;对于C,当试验次数很大时,频率稳定在概率附近,故本选项正确;对于D,频率只能估计概率,故本选项错误.故选C.
2.C [解析] 概率是频率的稳定值,A发生的概率等于,故A,B错误;A在这10次试验中发生的频率为=,故C正确,D错误.故选C.
3.A [解析] 对于A, 随着试验次数的增大,随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率,概率是频率的稳定值,故A正确;对于B, 某种福利彩票的中奖概率为,买1000张这种彩票不一定中奖,故B错误;对于C, 连续100次掷一枚质地均匀的硬币,结果出现了49次反面向上,则在100次抛硬币的试验中出现反面向上的频率为,而掷一枚质地均匀的硬币出现反面向上的概率为,故C错误;对于D,某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”,指的是明天会降水的可能性为70%,故D错误.故选A.
4.A [解析] 由题意知,∵有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,∴总次数是100,由表可以看出取到号码为奇数的卡片有13+5+6+18+11=53(次),∴频率==0.53,故选A.
5.D [解析] 对于A选项,如果四面体是均匀的,那么理论上每个面落地的次数仍旧可能不一样,在均匀的条件下,随着试验次数的增多,每个面落地的次数将会变得越来越接近,换句话说,即使是均匀的四面体,仅仅在200次试验中,得到落地的面的统计结果也可能不一样,A选项错误.对于B,C,D选项,由于这200次试验中标记2,3,4的面落在地上的频率分别为,,,即0.18,0.21,0.39,B选项中所估计的概率0.72和频率0.18差距过大,C选项认为标记4的面一定落地,是必然事件,概率为1,但频率只有0.39,因此不能认为必然发生,B,C选项错误;D选项中估计标记3的面落地的概率是0.21,D选项正确.故选D.
6.A [解析] 由题意可知,随机模拟试验产生了20组随机数,代表“3次中至少2次命中8环以上”的数组共18组,因此,估计该选手投掷1轮,成绩优秀的概率为=.故选A.
7.B [解析] 由题意知,经随机模拟产生的20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有137,191,271,932,812,393,共6组随机数,所以估计所求概率为=0.30,故选B.
8.ACD [解析] 在A中,抛掷一枚质地均匀的骰子,点数为6的概率是,只能说明每掷6次就可能有一次掷得点数6,故A中说法错误;在B中,抛掷一枚质地均匀的硬币,由概率的定义得,试验200次出现正面的频率不一定比试验100次出现正面的频率更接近概率,故B中说法正确;在C中,某地气象局预报说,明天本地下雨的概率为80%,是指明天本地有80%的可能性会下雨,故C中说法错误;在D中,随机事件A,B中至少有一个发生的概率不一定比A,B中恰有一个发生的概率大,如A=“掷一枚质地均匀的骰子一次,向上的点数是偶数 ”,B=“掷一枚质地均匀的骰子一次,向上的点数是奇数”,则A,B中至少有一个发生的概率是1,A,B中恰有一个发生的概率也是1,故D中说法错误.故选ACD.
9.ABC [解析] 由频率估计概率得P(A)==0.55,故A正确;P(B)==0.18,故B正确;P(C)=1-P(A)-P(B)=1-0.55-0.18=0.27,故C正确;P(B+C)=P(B)+P(C)=0.18+0.27=0.45,故D错误.故选ABC.
10.16 [解析] 设袋子中红球约有x个,根据题意,得=0.8,解得x=16,所以袋子中红球约有16个.
11.0.615 [解析] 由题意知,试验次数越多,频率越接近概率,对概率的估计误差就越小,所以使误差较小的估计值最可能是0.615.
12. [解析] 根据题意,这20组随机数中表示一次也没有击中目标的有956,556,989,共有3组,所以估计三次发射至少有一次击中目标的概率P=1-=.
13.解:(1)
分组 频数 频率
[39.95,39.97) 10 0.1
[39.97,39.99) 20 0.2
[39.99,40.01) 50 0.5
[40.01,40.03] 20 0.2
合计 100 1.0
(2)标准尺寸是40.00 mm,若要使误差不超过0.03 mm,
则直径应落在[39.97,40.03]内.
由(1)中表知,直径落在[39.97,40.03]内的频率为0.2+0.5+0.2=0.9,所以估计这批乒乓球的直径误差不超过0.03 mm的概率为0.9.
14.解:由题意可知,每个被调查者从袋中摸出红球、绿球、白球的概率都是,由此估计有300×=100(名)学生回答了第一个问题,有300×=100(名)学生不回答任何问题,有300×=100(名)学生回答了第二个问题.
易知每个被调查者的阳历生日月份是奇数的概率为,
所以可估计回答第一个问题的100名学生中大约有50名学生回答了“是”,所以我们能推出在回答第二个问题的100名学生中大约有3名学生回答了“是”,故该学校大约有3%的学生经常缺交作业,也就是全校大约有36名学生经常缺交作业.
15.28 [解析] 由于用前n个区间的平均长度估计所有(n+1)个区间的平均长度,而缴获坦克的编号是3,8,12,18,20,24,即n=6,x6=24,故=,所以N=28,即统计学家利用上述方法估计A军该月生产的坦克数约为28辆.
16.解:利用计算器或计算机生成0~9之间取整数值的随机数,用0,1,2,3,4,5表示甲获胜,6,7,8,9表示乙获胜,这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制,所以每3个随机数作为一组.例如,产生30组随机数:
034 743 738 636 964 736 614 698 637 162
332 616 804 560 111 410 959 774 246 762
428 114 572 042 533 237 322 707 360 751
这就相当于做了30次重复试验.
如果一组随机数中恰有2个或3个数在{6,7,8,9}中,就表示乙获胜,那么满足条件的随机数分别是738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707,共11个.
所以采用三局两胜制,乙获胜的概率约为≈0.367.10.3 频率与概率
10.3.1 频率的稳定性
10.3.2 随机模拟
【课前预习】
知识点一
随机性 增大 缩小 fn(A) 稳定性 P(A)
诊断分析
1.(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2.47 0.47 [解析] 由题意知nA=47,fn(A)==0.47.
知识点二
1.相等
诊断分析
(1)√ (2)√
【课中探究】
探究点一
探索 解:这个说法不对.因为每次试验的结果都是随机的,在试验前不能确定正面向上的次数.
例1 (1)D (2)28 0.3 (3)0.64 0.73 [解析] (1)样本观测数据落在[20,50)内的频数为7+8+11=26,故所求频率为=0.65,故选D.
(2)a=1-(0.1+0.2+0.15+0.1+0.1)=0.35,所以这80户居民中,家庭人均月收入在[28,34)内的有80×0.35=28(户).频率分布表中第一组与第二组的频率之和为0.3, 所以可估计所求概率为0.3.
(3)500名学生中有共青团员320人,即共青团员出现的频率为=0.64,所以随机抽查1名学生,估计他是共青团员的概率为0.64.500名学生中戴眼镜的有365人,即戴眼镜的学生出现的频率为=0.73,所以随机抽查1名学生,估计他戴眼镜的概率为0.73.
变式 (1)B [解析] 甲同学的试验中,正面朝上的频率为0.517,反面朝上的频率为0.483,故B正确;抛掷一枚硬币,正面朝上与反面朝上的概率均为0.5,为定值,故A,C错误;甲同学的试验中,正面朝上的频率就是0.517,而不是接近0.517,故D错误.故选B.
(2)解:①用频率估计概率,从这200件产品中随机抽取一件,该产品是一等品的概率为=.
②对于甲款鲁班锁玩具,一等品的利润为×10%×10=200(元),二等品的利润为×8%×60=960(元),三等品的利润为×4%×30=240(元),故100件甲款鲁班锁玩具所获得的利润为200+960+240=1400(元).
对于乙款鲁班锁玩具,一等品的利润为×7.5%×50=750(元),二等品的利润为×5.5%×30=330(元),三等品的利润为×3%×20=120(元),故100件乙款鲁班锁玩具所获得的利润为750+330+120=1200(元).
探究点二
例2 (1)B [解析] 随机数的个数越多,由频率估计概率越准确,故选B.
(2)解:①设计模拟试验
利用计算机(计算器)产生0~9之间的取整数值的随机数,约定用0,1,2,3表示下雨,4,5,6,7,8,9表示不下雨,以体现下雨的概率是40%.连续产生三个随机数为一组,作为三天的模拟结果.
②进行模拟试验
例如:产生30组随机数,这就相当于做了30次重复试验.
③统计试验结果
在一组数中,若恰有两个数在{0,1,2,3}中,则表示三天中恰有两天下雨,统计出这样的随机数的组数n,则在30次试验中,三天中恰有两天下雨的频率为,故可估计所求概率为.
变式1 B [解析] 由表中数据可得表示四天中恰有三天下雨的随机数有9533,9522,0018,0018,3281,8425,2436,0753,共8组,所以估计四天中恰有三天下雨的概率为=.故选B.
变式2 解:用随机模拟的方法估计其恰好有5次击中目标的概率的步骤如下:
(1)用1,2,3,4,5,6,7,8表示击中目标,用9,0表示未击中目标,这样可以体现击中的概率为80%;
(2)利用计算机或计算器产生0到9之间的整数随机数,每10个作为一组,统计组数n;
(3)统计这n组数中恰有5个数在{1,2,3,4,5,6,7,8}中的组数m;
(4)连续射击10次恰好有5次击中目标的概率的近似值为.10.3 频率与概率
10.3.1 频率的稳定性
10.3.2 随机模拟
一、选择题
1.关于频率和概率的关系,下列说法正确的是 ( )
A.当试验次数很大时,概率稳定在频率附近
B.试验得到的频率与概率不可能相等
C.当试验次数很大时,频率稳定在概率附近
D.频率等于概率
2.掷一枚质地均匀的硬币,用A表示正面向上这一事件,若掷10次,正面向上出现了6次,则A ( )
A.发生的概率为
B.发生的概率接近
C.在这10次试验中发生的频率为
D.在这10次试验中发生的频率为6
3.下列说法正确的是 ( )
A.随着试验次数的增大,随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率
B.某种福利彩票的中奖概率为,买1000张这种彩票一定能中奖
C.连续100次掷一枚质地均匀的硬币,结果出现了49次反面向上,则掷一枚质地均匀的硬币出现反面向上的概率为
D.某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”,指的是:该市气象台专家中,有70%认为明天会降水,30%认为明天不会降水
4.从存放着号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下:
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到的次数 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9
则取到号码为奇数的卡片的频率是 ( )
A.0.53 B.0.5 C.0.47 D.0.37
5.[2023·天津河东区高一期末] 用木块制作的一个四面体的四个面上分别标记1,2,3,4,重复抛掷这个四面体200次,记录每个面落在地上的次数(如表).下列说法正确的是 ( )
四面体的面 1 2 3 4
频数 44 36 42 78
A.该四面体一定不是均匀的
B.再抛掷一次,估计标记2的面落地的概率为0.72
C.再抛掷一次,标记4的面一定落地
D.再抛掷一次,估计标记3的面落地的概率为0.21
6.[2024·广东佛山高一期中] 规定:投掷飞镖3次为一轮,若3次中至少2次命中8环以上,则成绩为优秀.根据以往经验某选手投掷一次命中8环以上的概率为.现采用计算机做模拟试验来估计该选手成绩优秀的概率.用计算机产生0~9之间的整数随机数,用0,1表示该次投掷没有命中8环以上,用2,3,4,5,6,7,8,9表示该次投掷命中8环以上,经随机模拟试验产生了如下20组随机数:
据此估计,该选手投掷1轮,成绩优秀的概率为 ( )
A. B.
C. D.
7.[2024·安徽六安高一期中] 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中,再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果,经随机模拟试验产生了如下20组随机数:
137 966 191 925 271 932 812 458
569 683 431 257 393 027 556 488
730 113 537 989
据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ( )
A.0.40 B.0.30
C.0.35 D.0.25
8.(多选题)[2024·福建师范大学附中高一期末] 下列说法错误的是 ( )
A.抛掷一枚质地均匀的骰子,点数为6的概率是,即每掷6次就有一次掷得点数6
B.抛掷一枚质地均匀的硬币,试验200次出现正面的频率不一定比试验100次出现正面的频率更接近概率
C.某地气象局预报说,明天本地下雨的概率为80%,是指明天本地有80%的区域下雨
D.随机事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大
9.(多选题)统计两支球队之间的100次比赛结果,其中甲胜的次数为55,乙胜的次数为18.记甲胜为事件A,乙胜为事件B,平局为事件C,用频率估计概率的方法,得到的下述结论中,正确的是 ( )
A.P(A)=0.55 B.P(B)=0.18
C.P(C)=0.27 D.P(B+C)=0.55
二、填空题
10.[2024·上海晋元高级中学高一月考] 在一个不透明的袋子中装有4个白球和若干个红球,这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球,记下颜色后再放回袋中,通过多次重复试验,发现摸出红球的频率稳定在0.8附近,则袋子中红球约有 个.
11.某同学做立定投篮训练,共做3组,每组投篮次数和命中的次数如下表所示.
第一组 第二组 第三组
投篮次数 100 200 600
命中的次数 68 125 369
命中的频率 0.68 0.625 0.615
根据表中的数据信息,用频率估计一次投篮命中的概率,那么使误差较小的估计值最可能是 .
12.[2024·重庆八中高一月考] 采取随机模拟的方法估计某型号防空导弹击中目标的概率,先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示击中目标,5,6,7,8,9,0表示未击中目标,以三个随机数为一组,代表三次发射的结果,经随机模拟试验产生了如下20组随机数:
107 956 181 935 271 832 612 458 329 683 331 257 393 027 556 498 730 113 537 989
根据以上数据,估计该型号防空导弹三次发射至少有一次击中目标的概率为 .
三、解答题
13.某乒乓球制造商生产了一批乒乓球,从中随机抽取100个,测得每个乒乓球的直径(单位:mm),将数据分组如下表:
分组 频数 频率
[39.95,39.97) 10
[39.97,39.99) 20
[39.99,40.01) 50
[40.01,40.03] 20
合计 100
(1)请将上表补充完整;
(2)已知标准乒乓球的直径为40.00 mm,试估计这批乒乓球的直径误差不超过0.03 mm的概率.
14.某学校有1200名学生,随机抽出300名进行调查研究,调查者设计了一个随机化装置,这是一个装有大小、形状和质量完全相同的10个红球、10个绿球和10个白球的袋子.调查中有两个问题:
问题1:你的阳历生日月份是不是奇数
问题2:你是否经常缺交作业
每个被调查者随机从袋中摸出1个球(摸出后再放回袋中).若摸到红球,则如实回答第一个问题;若摸到绿球,则不回答任何问题;若摸到白球,则如实回答第二个问题.所有回答“是”的被调查者只需往一个盒子中放一颗小石子,回答“否”的被调查者什么也不用做.最后收集回来53颗小石子,由此估计该学校经常缺交作业的学生人数是多少
15.某次战争期间,统计学家将缴获的A军坦克序列号作为样本,用样本估计总体的方法得出A军某月生产的坦克总数.假设A军某月生产的坦克总数是N,缴获的该月生产的n辆坦克序列号从小到大为x1,x2,…,xn,即最大序列号为xn,且缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的,因为坦克的序列号是连续编号的,所以缴获坦克的序列号x1,x2,…,xn,相当于从[0,N]中随机抽取的n个整数,这n个数将区间[0,N]分成(n+1)个小区间,其中前n个区间已知,最右边的区间未知(由于N未知).由于这n个数是随机抽取的,所以可以用前n个区间的平均长度来估计所有(n+1)个区间的平均长度,进而得到N的估计值.例如,某月缴获坦克的序列号是3,8,12,18,20,24,则统计学家利用上述方法估计A军该月生产的坦克数约为 辆.
16.甲、乙两支篮球队进行一局比赛(不会有平局),甲获胜的概率为0.6.若采用三局两胜制举办一次比赛(比满三局),试用随机模拟的方法求乙获胜的概率.10.3 频率与概率
10.3.1 频率的稳定性
10.3.2 随机模拟
【学习目标】
结合具体实例,会用频率估计概率.
◆ 知识点一 频率的稳定性
大量试验表明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有 .一般地,随着试验次数n的 ,频率偏离概率的幅度会 ,即事件A发生的频率 会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).称频率的这个性质为频率的 .可以用频率fn(A)估计概率 .
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)事件的概率越大,在重复试验中,相应的频率一般也越大. ( )
(2)概率能反映随机事件发生可能性的大小. ( )
(3)某种疾病治愈率为0.3,若前7个人没有治愈,则后3个人一定能治愈. ( )
(4)试验次数n相同,频率fn(A)可能不同,这说明随机事件发生的频率具有随机性. ( )
2.在相同条件下进行掷硬币的试验,若掷100次,记“正面向上”这一事件为A,此次试验中,出现反面向上的次数为53,则nA= ,fn(A)= .
◆ 知识点二 随机模拟
1.随机数的定义
随机数就是在一定范围内随机产生的数,并且得到这个范围内的每一个数的机会 .
2.产生随机数的方法
(1)由试验(如摸球或抽签)产生随机数
例:产生1~25之间的随机整数.
①将25个大小形状相同的小球分别标上1,2,…,24,25,放入一个袋中,充分搅拌.
②从中摸出1个球,这个球上的数就是随机数.
(2)由计算器或计算机产生随机数
计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数,具有周期性(周期很长),它们具有类似随机数的性质,但不是真正的随机数,称为伪随机数.
称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)用计算机进行随机模拟,可以在短时间内多次重复做试验,应用很广泛. ( )
(2)用计算器或计算机产生随机数,既能保证操作简单、省时省力,又能保证等可能性. ( )
◆ 探究点一 频率与概率的关系
[探索] 小明说:“做10次抛硬币试验,正面向上的次数一定是5.”这个说法对吗
例1 (1)容量为40的样本观测数据,分组后得到的频数分布表如下:
分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70]
频数 4 7 8 11 7 3
则样本观测数据落在区间[20,50)内的频率为 ( )
A.0.35 B.0.45
C.0.55 D.0.65
(2)为了解某社区居民家庭人均月收入(百元)情况,调查了该社区80户居民的家庭人均月收入,列出频率分布表如下:
家庭人均 月收入 (百元) 第一组 [10,16) 第二组 [16,22) 第三组 [22,28) 第四组 [28,34) 第五组 [34,40) 第六组 [40,46]
频率 0.1 0.2 0.15 a 0.1 0.1
则这80户居民中, 家庭人均月收入在[28,34)内的有 户(用数字作答);假设家庭人均月收入在第一组和第二组的为中低收入家庭,现从该社区居民中随机抽取1户,估计该家庭为中低收入家庭的概率是 .
(3)利用简单随机抽样的方法抽查了某校500名学生,其中共青团员有320人,戴眼镜的有365人,若在这个学校中随机抽查1名学生,则估计他是共青团员的概率为 ,戴眼镜的概率为 .
变式 (1)甲同学在数学探究活动中做抛硬币试验,共抛掷了2000次,其中正面朝上的有1034次,则下列说法正确的是 ( )
A.抛掷一枚硬币,正面朝上的概率为0.517
B.甲同学的试验中,反面朝上的频率为0.483
C.抛掷一枚硬币,反面朝上的概率小于0.5
D.甲同学的试验中,正面朝上的频率接近0.517
(2)鲁班锁是一种广泛流传于中国民间的智力玩具,相传由春秋末期到战国初期的鲁班发明,它看似简单,却凝结着不平凡的智慧,易拆难装,十分巧妙,每根木条上的花纹是卖点,也是制作的关键.某玩具公司开发了甲、乙两款鲁班锁玩具,各生产了100件样品,样品分为一等品、二等品、三等品,根据销售部市场调研分析,得到相关数据如下(单件成本利润率=利润÷成本×100%):
甲款鲁班锁玩具
一等品 二等品 三等品
单件成本利润率 10% 8% 4%
频数 10 60 30
乙款鲁班锁玩具
一等品 二等品 三等品
单件成本利润率 7.5% 5.5% 3%
频数 50 30 20
①用频率估计概率,从这200件产品中随机抽取一件,求该产品是一等品的概率;
②若甲、乙两款鲁班锁玩具各生产100件的投资成本均为20 000元,且每件的投资成本是相同的,分别求投资这两款鲁班锁玩具各100件所获得的利润.
[素养小结]
(1)频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值,频率本身是随机变量,当n很大时,频率总是在一个稳定值附近上下摆动,这个稳定值就是概率.
(2)解此类题目的步骤是:先利用频率的计算公式依次计算出各个频率值,然后根据概率的定义确定频率的稳定值,即为概率.
◆ 探究点二 随机模拟试验
例2 (1)用随机模拟的方法估计概率时,其准确程度取决于 ( )
A.产生的随机数的大小 B.产生的随机数的个数
C.随机数对应的结果 D.产生随机数的方法
(2)天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为40%,这三天中恰有两天下雨的概率大概是多少 (用随机模拟试验来解决,并给出关键步骤)
变式1 天气预报显示,某地连续四天,每天下雨的概率为0.6,现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率:在0~9十个整数值中,假定0,1,2,3,4,5表示当天下雨,6,7,8,9表示当天不下雨.在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数:
9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869
3281 7890 2692 8280 8425 3990 8460
7980 2436 5987 3882 0753 8935
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为 ( )
A. B. C. D.
变式2 某射击运动员每次击中目标的概率都是80%,若该运动员连续射击10次,用随机模拟的方法估计其恰好有5次击中目标的概率.
