本章总结提升
判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
1.从6个篮球、2个排球中任选3个球,3个都是排球是不可能事件. ( )
2.连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次,“(正面,反面)”与“(反面,正面)”是同一个样本点. ( )
3.概率揭示随机事件发生的可能性的大小,是不断变化的数,与试验的次数有关. ( )
4.对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件. ( )
5.“两个小朋友玩剪刀、石头、布的游戏(每个小朋友等可能地出剪刀、石头、布),观察他们的胜负情况”是古典概型. ( )
6.两个事件的和事件的概率等于两个事件都发生的概率. ( )
7.两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的和. ( )
8.每一个随机试验相应地有一个样本空间,样本空间的子集就是随机事件. ( )
9.某工厂生产的产品合格率是99.99%,这说明该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件. ( )
10.用频率估计概率,需要做大量的重复试验,可以利用计算器或计算机产生随机数进行模拟试验.( )
◆ 题型一 互斥事件与对立事件的概率及应用
[类型总述] (1)互斥事件;(2)对立事件;(3)概率的基本性质.
例1 (1)(多选题)从某班级中任意选出三名学生,设A=“三名学生都是女生”,B=“三名学生都不是女生”,C=“三名学生不都是女生”,则下列结论正确的是 ( )
A.A与C为互斥事件
B.A与B互为对立事件
C.B与C存在包含关系
D.B与C不是对立事件
(2)[2024·江西吉安高一期末] 已知事件A,B是互斥事件,P(A)=,P()=,则P(A∪B)= ( )
A. B. C. D.
变式 (多选题) 设A,B是两个随机事件,则下列说法正确的是 ( )
A.A+B表示两个事件至少有一个发生
B.B+A表示两个事件至少有一个发生
C.表示两个事件均不发生
D. 表示两个事件均不发生
例2 某商场举行有奖销售活动,购物每满100元可抽取1张奖券,多购多得,每1000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:
(1)P(A),P(B),P(C);
(2)抽取1张奖券中奖的概率;
(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率.
变式 为了备战第33届夏季奥林匹克运动会(2024年巴黎奥运会),中国奥运健儿刻苦训练,成绩稳步提升.射击队的某一选手射击一次,其命中环数的概率如下表:
命中环数 10环 9环 8环 7环
概率 0.32 0.28 0.18 0.12
该选手射击一次,求:
(1)命中9环或10环的概率;
(2)至少命中8环的概率;
(3)命中不足8环的概率.
◆ 题型二 古典概型的概率求解
[类型总述] (1)样本点与样本空间;(2)古典概型的概率公式.
例3 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人
(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.
(i)试用所给字母列举出所有的样本点;
(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.
变式 [2024·湖北恩施州高二期中] 一个袋子中有4个红球,6个绿球, 采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.
(1)求第二次取出绿球的概率;
(2)如果袋子中是n个红球, 6个绿球, 已知取出的2个球都是绿球的概率为,那么n是多少
◆ 题型三 相互独立事件的概率
[类型总述] (1)相互独立事件的定义;(2)相互独立事件的概率公式.
例4 甲、乙、丙三名学生一起参加某资格证的考试,考试分笔试和面试两部分,笔试和面试均合格者将获得该资格证书,两次考试过程相互独立.已知甲、乙、丙三名学生能通过笔试的概率分别是0.6,0.5,0.4,能通过面试的概率分别是0.6,0.6,0.75.
(1)求甲、乙、丙三名学生中恰有一人通过笔试的概率;
(2)求经过两次考试后,至少有一人获得该资格证书的概率.
变式 甲、乙两位同学参加某知识闯关训练,最后一关只有两道题目,已知甲同学答对每道题的概率都为p,乙同学答对每道题的概率都为q(p>q),且两人答题互不影响,且每人各题答题结果互不影响.已知同一题甲、乙至少有一人答对的概率为,两人都答对的概率为.
(1)求p和q的值;
(2)试求最后一关甲同学答对的题数小于乙同学答对的题数的概率.
◆ 题型四 频率与概率的关系
[类型总述] (1)随机事件的频率与概率;(2)随机事件的关系与运算.
例5 进入8月份后,某市持续高温,气象局一般会提前发布高温橙色预警信号(高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37 ℃及以上),在今后的3天中,每一天最高气温在37 ℃及以上的概率是.用计算机生成了20组随机数,结果如下:
116 785 812 730 134 452 125 689 024 169
334 217 109 361 908 284 044 147 318 027
若用0,1,2,3,4,5表示发布高温橙色预警信号,用6,7,8,9表示不发布高温橙色预警信号,则估计今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率是 ( )
A. B. C. D.
变式 某试验单次成功的概率为0.8,在试验条件相同的情况下,重复3次试验,各次试验互不影响,记事件A为“3次试验中至少成功2次”.现采用随机模拟的方法估计事件A发生的概率:先由计算机给出0~9之间取整数值的随机数,指定0,1表示单次试验失败,2,3,4,5,6,7,8,9表示单次试验成功,以3个随机数为一组,代表3次试验的结果.经随机模拟产生了20组随机数如下表:
752 029 714 985 034
437 863 694 141 469
037 623 804 601 366
959 742 761 428 261
根据以上方法及数据,估计事件A发生的概率为( )
A.0.384 B.0.65 C.0.9 D.0.904
◆ 题型五 统计与概率的综合问题
[类型总述] (1)频率分布直方图;(2)用样本估计总体;(3)古典概型;(4)相互独立事件的概率.
例6 [2024·陕西汉中高一期末] 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高,被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160),第二组[160,165),…,第八组[190,195],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第六组的人数为4(同一组的数据用该组区间的中点值代表).
(1)求第七组的频率;
(2)估计该校800名男生身高的50%分位数和平均数;
(3)若从样本中身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取2名男生,记他们的身高分别为x cm,y cm,事件E=“|x-y|≤5”,求P(E).
变式 某中学参加某竞赛初赛结束后,为了解竞赛成绩情况,从所有学生中随机抽取100名学生,得到他们的成绩,将数据整理后分成五组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)补全频率分布直方图,若只有20%的人能进决赛,入围分数应设为多少分(保留两位小数)
(2)采用比例分配的分层随机抽样的方法从成绩在[80,100]内的学生中抽取容量为6的样本,再从该样本中随机抽取3名学生进行问卷调查,求至少有1名学生的成绩不低于90分的概率.
(3)进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动.考试分为两轮,第一轮为笔试,需要考2门学科,每科笔试成绩从高到低依次有A+,A,B,C,D五个等级.若两科笔试成绩均为A+,则可直接参加冬令营;若一科笔试成绩为A+,另一科笔试成绩不低于B,则要参加第二轮面试,面试通过也可参加冬令营,否则均不能参加.现有甲、乙、丙三人报名参加冬令营,三人互不影响,且每次考试互不影响.甲在每科笔试中取得A+,A,B,C,D的概率分别为,,,,;乙在每科笔试中取得A+,A,B,C,D的概率分别为,,,,;丙在每科笔试中取得A+,A,B,C,D的概率分别为,,,,.甲、乙、丙在面试中通过的概率分别为,,.求甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率.本章总结提升
【知识辨析】
1.√ 2.× 3.× 4.√ 5.√ 6.× 7.× 8.×
9.× 10.√
【素养提升】
题型一
例1 (1)ACD (2)C [解析] (1)事件C的可能情况有:一女二男、二女一男、三男,事件B=“三名学生都是男生”,故A与C为互斥事件,A正确;A与B为互斥事件,但不互为对立事件,B错误; B与C存在包含关系,C正确,D正确.故选ACD.
(2)∵P(B)=1-P(),P()=,∴P(B)=.∵事件A,B是互斥事件,∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.故选C.
变式 ACD [解析] 因为A,B是两个随机事件,所以A+B表示两个事件至少有一个发生,故A正确;B+A表示两个事件恰有一个发生,故B错误;表示两个事件均不发生,故C正确; 表示两个事件均不发生,故D正确.故选ACD.
例2 解:由题意知,事件A,B,C为互斥事件.
(1)∵每1000张奖券中设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个,∴P(A)=,P(B)==,P(C)==.
(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D,则P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=++=.
(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E,则P(E)=1-P(A)-P(B)=1--=.
变式 解:(1)记事件A=“射击一次,命中9环或10环”,由互斥事件的概率加法公式得 P(A)=0.32+0.28=0.60.
(2)设事件B=“射击一次,至少命中8环”,由互斥事件的概率加法公式得P(B)=0.18+0.28+0.32=0.78.
(3)由于事件“射击一次,命中不足8环”是事件B=“射击一次,至少命中8环”的对立事件,即表示事件“射击一次,命中不足8环”,根据对立事件的概率公式得 P()=1-P(B)=1-0.78=0.22.
题型二
例3 解:(1)由已知得,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人、2人、2人.
(2)(i)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有样本点有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G),(C,D),(C,E),(C,F),(C,G),(D,E),(D,F),(D,G),(E,F),(E,G),(F,G),共21个.
(ii)不妨设抽出的7名同学中来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则“从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级”包含的样本点有(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(F,G),共5个,所以事件M发生的概率P(M)=.
变式 解:(1)从10个球中不放回地依次随机取出2个球,样本空间包含的样本点个数为n(Ω)=10×9=90,
设事件A=“两次取出的都是红球”, 则n(A)=4×3=12.
设事件B=“第一次取出红球, 第二次取出绿球”,则n(B)=4×6=24.设事件C=“第一次取出绿球, 第二次取出红球”,则n(C)=6×4=24.
设事件D=“两次取出的都是绿球”,则n(D)=6×5=30.
易知事件A,B,C,D两两互斥.
∴第二次取出绿球的概率为P(B∪D)==.
(2)设此时的样本空间为Ω0,则由题意知P(D)==,则n(Ω0)=n(D)=72,由n(Ω0)=(n+6)(n+5)=72,得n=3或n=-14,又n∈N*,∴n=3.
题型三
例4 解:(1)分别记甲、乙、丙笔试合格为事件A1,A2,A3,则A1,A2,A3为相互独立事件,设E表示事件“甲、乙、丙三名学生中恰有一人通过笔试”,则P(E)=P(A1 )+P(A2)+P( A3)=0.6×0.5×0.6+0.4×0.5×0.6+0.4×0.5×0.4=0.38,即甲、乙、丙三名学生中恰有一人通过笔试的概率是0.38.
(2)分别记甲、乙、丙经过两次考试后获得该资格证书为事件A,B,C,则P(A)=0.6×0.6=0.36,P(B)=0.5×0.6=0.3,P(C)=0.4×0.75=0.3.设事件F表示“甲、乙、丙三名学生中至少有一人获得该资格证书”,则表示“甲、乙、丙三名学生均没有获得该资格证书”,= ,于是P(F)=1-P()=1-P()P()P()=1-0.64×0.7×0.7=0.686 4,即经过两次考试后,至少有一人获得该资格证书的概率是0.686 4.
变式 解:(1)设事件A=“最后一关,某一题甲同学答对”,B=“最后一关,某一题乙同学答对题”,则P(A)=p,P(B)=q.由于两人答题互不影响,且每人各题答题结果互不影响,所以A与B相互独立,由题意知1-P( )=1-P()P()=,P(AB)=P(A)P(B)=,即
解得
(2)设m,n分别表示最后一关甲、乙两位同学答对的题数,由题意得,所求概率为P(m题型四
例5 B [解析] 由题意可知,表示今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有116,812,730,217,109,361,284,147,318,027,共10组,故估计今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率是=.故选B.
变式 C [解析] 由随机模拟试验可得,表示3次试验中最多成功1次的随机数为141,601,共2组,则表示3次试验中至少成功2次的有20-2=18(组)随机数,故估计事件A发生的概率为=0.9,故选C.
题型五
例6 解:(1)第六组的频率为=0.08,所以第七组的频率为1-0.08-5×(0.008×2+0.016+0.04×2+0.06)=0.06.
(2)由直方图得,身高在第一组[155,160)内的频率为0.008×5=0.04,身高在第二组[160,165)内的频率为0.016×5=0.08,身高在第三组[165,170)内的频率为0.04×5=0.2,身高在第四组[170,175)内的频率为0.04×5=0.2,0.04+0.08+0.2=0.32<0.5,0.04+0.08+0.2+0.2=0.52>0.5.设该校800名男生的身高的50%分位数为m,则170所以该校800名男生的身高的50%分位数为174.5 cm,平均数为157.5×0.04+162.5×0.08+167.5×0.2+172.5×0.2+177.5×0.06×5+182.5×0.08+187.5×0.06+192.5×0.008×5=174.1(cm).
(3)身高属于第六组[180,185)的人数为4,记为a,b,c,d,身高属于第八组[190,195]的人数为0.008×5×50=2,记为A,B.从这6名男生中随机抽取2名男生包含的样本点有ab,ac,ad,bc,bd,cd,aA,aB,bA,bB,cA,cB,dA,dB,AB,共15个.因为事件E=“|x-y|≤5”发生当且仅当随机抽取的2名男生在同一组,
所以事件E包含的样本点为ab,ac,ad,bc,bd,cd,AB,共7个,所以P(E)=.
变式 解:(1)由频率分布直方图可知,成绩在[70,80)内的频率为1-(0.015+0.030+0.010+0.005)×10=0.40,
所以[70,80)对应的为0.40÷10=0.040,所以频率分布直方图如图所示.
因为(0.010+0.005)×10=0.15<0.2,0.4+(0.010+0.005)×10=0.55>0.2,所以第80%分位数位于[70,80)内,又×10+70=78.75,
所以入围分数应设为78.75分.
(2)依题意,从成绩在[80,90)内的学生中抽取6×=4(人),设这4人为a,b,c,d,从成绩在[90,100]内的学生中抽取6×=2(人),设这2人为m,n.从这6人中随机抽取3人包含的样本点有(a,b,c),(a,b,d),(a,c,d),(b,c,d),(a,b,m),(a,c,m),(a,d,m),(b,c,m),(b,d,m),(c,d,m),(a,b,n),(a,c,n),(a,d,n),(b,c,n),(b,d,n,),(c,d,n),(a,m,n),(b,m,n),(c,m,n),(d,m,n),共20个,其中3人的成绩都在[80,90)内包含的样本点有(a,b,c),(a,b,d),(a,c,d),(b,c,d),共4个.设事件A=“至少有1名学生的成绩不低于90分”,则P(A)=1-P()=1-=.
(3)依题意,甲能参加冬令营的概率P甲=×+2×××=,乙能参加冬令营的概率P乙=×+2×××=,丙能参加冬令营的概率P丙=×+2×××=,
所以甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率P=P甲P乙P丙=××=.(共50张PPT)
本章总结提升
题型一 互斥事件与对立事件的概率及应用
题型二 古典概型的概率求解
题型三 相互独立事件的概率
题型四 频率与概率的关系
题型五 统计与概率的综合问题
判断下列说法的正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
1.从6个篮球、2个排球中任选3个球，3个都是排球是不可能事件.
( )
√
2.连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，“（正面，反面）”与“
（反面，正面）”是同一个样本点.( )
×
3.概率揭示随机事件发生的可能性的大小，是不断变化的数，与试验
的次数有关．( )
×
4.对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( )
√
5.“两个小朋友玩剪刀、石头、布的游戏（每个小朋友等可能地出剪
刀、石头、布），观察他们的胜负情况”是古典概型.( )
√
6.两个事件的和事件的概率等于两个事件都发生的概率．( )
×
7.两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的
和．( )
×
8.每一个随机试验相应地有一个样本空间，样本空间的子集就是随机
事件.( )
×
9.某工厂生产的产品合格率是 ，这说明该厂生产的10 000件
产品中合格的产品一定有9 999件.( )
×
10.用频率估计概率，需要做大量的重复试验，可以利用计算器或计
算机产生随机数进行模拟试验.( )
√
题型一 互斥事件与对立事件的概率及应用
［类型总述］（1）互斥事件;（2）对立事件；（3）概率的基本性质.
例1（1） （多选题）从某班级中任意选出三名学生，设 “三名学
生都是女生”，“三名学生都不是女生”， “三名学生不都是女
生”，则下列结论正确的是( )
A.与为互斥事件 B.与 互为对立事件
C.与存在包含关系 D.与 不是对立事件
√
√
√
[解析] 事件C的可能情况有：一女二男、二女一男、三男，事件
“三名学生都是男生”，故A与C为互斥事件，A正确；
A与B为互斥事件，但不互为对立事件，B错误；
B与C存在包含关系，C正确，D正确.故选 .
（2）[2024·江西吉安高一期末]已知事件， 是互斥事件，
，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] ，，.
事件A，B是互斥事件， .
故选C.
√
变式 （多选题） 设， 是两个随机事件，则下列说法正确的是
( )
A. 表示两个事件至少有一个发生
B. 表示两个事件至少有一个发生
C. 表示两个事件均不发生
D. 表示两个事件均不发生
√
√
√
[解析] 因为A，B是两个随机事件，所以 表示两个事件至少有
一个发生，故A正确；
表示两个事件恰有一个发生，故B错误；
表示两个事件均不发生，故C正确；
表示两个事件均不发生，故D正确.故选 .
例2 某商场举行有奖销售活动，购物每满100元可抽取1张奖券，多
购多得，每1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，
二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为
，， ，求:
（1），， ;
解：由题意知，事件，， 为互斥事件．
每1000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，
，， ．
（2）抽取1张奖券中奖的概率;
解： 设“抽取1张奖券中奖”为事件 ，则
．
（3）抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．
解： 设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件 ，则
．
变式 为了备战第33届夏季奥林匹克运动会（2024年巴黎奥运会），
中国奥运健儿刻苦训练，成绩稳步提升.射击队的某一选手射击一次，
其命中环数的概率如下表：
命中环数 10环 9环 8环 7环
概率 0.32 0.28 0.18 0.12
该选手射击一次，求：
（1）命中9环或10环的概率；
解：记事件 “射击一次，命中9环或10环”，由互斥事件的概率加
法公式得 .
（2）至少命中8环的概率；
解：设事件 “射击一次，至少命中8环”，由互斥事件的概率加法
公式得 .
（3）命中不足8环的概率.
解：由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件 “射击一次，至少
命中8环”的对立事件，即 表示事件“射击一次，命中不足8环”，
根据对立事件的概率公式得 .
题型二 古典概型的概率求解
［类型总述］（1）样本点与样本空间;（2）古典概型的概率公式．
例3 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，16
0，160.现采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某
敬老院参加献爱心活动.
（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
解：由已知得，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 ，
由于采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取7名同学，因此应
从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人、2人、2人.
（2）设抽出的7名同学分别用,,,,,， 表示，现从中随机抽
取2名同学承担敬老院的卫生工作.
（ⅰ）试用所给字母列举出所有的样本点；
解： 从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有样本点有 ,
,,,,,,,,, ,
,,,,,,,,, ，共
21个.
（ⅱ）设为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件 发生的概率.
解： 不妨设抽出的7名同学中来自甲年级的是,, ，来自乙年级
的是,，来自丙年级的是, ,
则“从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级”包含的样
本点有,,, , ，共5个，所以事件发生的
概率 .
变式 [2024·湖北恩施州高二期中] 一个袋子中有4个红球,6个绿球,
采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.
（1）求第二次取出绿球的概率；
解：从10个球中不放回地依次随机取出2个球，样本空间包含的样本
点个数为 ，
设事件“两次取出的都是红球”, 则 .
设事件 “第一次取出红球, 第二次取出绿球”，则
.设事件 “第一次取出绿球, 第二次取出红球”，
则 .
设事件“两次取出的都是绿球”，则 .
易知事件,,, 两两互斥.
第二次取出绿球的概率为 .
（2）如果袋子中是 个红球, 6个绿球, 已知取出的2个球都是绿球的
概率为，那么 是多少
解：设此时的样本空间为，则由题意知 ，则
，
由，得 或，
又， .
题型三 相互独立事件的概率
［类型总述］（1）相互独立事件的定义;（2）相互独立事件的概率
公式．
例4 甲、乙、丙三名学生一起参加某资格证的考试，考试分笔试和
面试两部分，笔试和面试均合格者将获得该资格证书，两次考试过
程相互独立.已知甲、乙、丙三名学生能通过笔试的概率分别是 ，
，，能通过面试的概率分别是，， .
（1）求甲、乙、丙三名学生中恰有一人通过笔试的概率；
解：分别记甲、乙、丙笔试合格为事件,,，则,, 为相互
独立事件，设 表示事件“甲、乙、丙三名学生中恰有一人通过笔试”，
则 ，
即甲、乙、丙三名学生中恰有一人通过笔试的概率是0.38.
（2）求经过两次考试后，至少有一人获得该资格证书的概率.
解：分别记甲、乙、丙经过两次考试后获得该资格证书为事件 ，
，，则, ,
.
设事件 表示“甲、乙、丙三名学生中至少有一人获得该资格证书”，则 表示“甲、乙、丙三名学生均没有获得该资格证书”， ，于是 ，即经过两次考试后，至少有一人获得该资格证书的概率是
．
变式 甲、乙两位同学参加某知识闯关训练，最后一关只有两道题目，
已知甲同学答对每道题的概率都为 ，乙同学答对每道题的概率都为
，且两人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响.已
知同一题甲、乙至少有一人答对的概率为，两人都答对的概率为 .
（1）求和 的值；
解：设事件“最后一关，某一题甲同学答对”， “最后一关，某
一题乙同学答对题”，则, .
由于两人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以与
相互独立，由题意知，
，即
解得
（2）试求最后一关甲同学答对的题数小于乙同学答对的题数的概率.
解：设， 分别表示最后一关甲、乙两位同学答对的题数，
由题意得，所求概率为
.
题型四 频率与概率的关系
［类型总述］（1）随机事件的频率与概率;（2）随机事件的关系与
运算．
例5 进入8月份后，某市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色
预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至 及以
上），在今后的3天中，每一天最高气温在及以上的概率是 .用
计算机生成了20组随机数，结果如下：
116 785 812 730 134 452 125 689 024 169
334 217 109 361 908 284 044 147 318 027
若用0，1，2，3，4，5表示发布高温橙色预警信号，用6，7，8，9
表示不发布高温橙色预警信号，则估计今后的3天中恰有2天发布高
温橙色预警信号的概率是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意可知，表示今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信
号的随机数有116，812，730，217，109，361，284，147，318，
027，共10组，故估计今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的
概率是 .故选B.
变式 某试验单次成功的概率为 ，在试验条件相同的情况下，重
复3次试验，各次试验互不影响，记事件 为“3次试验中至少成功2
次”.现采用随机模拟的方法估计事件 发生的概率：先由计算机给出
之间取整数值的随机数，指定0，1表示单次试验失败，2，3，4，
5，6，7，8，9表示单次试验成功，以3个随机数为一组，代表3次试
验的结果.经随机模拟产生了20组随机数如下表：
752 029 714 985 034
437 863 694 141 469
037 623 804 601 366
959 742 761 428 261
根据以上方法及数据，估计事件 发生的概率为( )
A.0.384 B.0.65 C.0.9 D.0.904
√
[解析] 由随机模拟试验可得，表示3次试验中最多成功1次的随机数
为141，601，共2组，则表示3次试验中至少成功2次的有
（组）随机数，故估计事件A发生的概率为 ，故
选C.
题型五 统计与概率的综合问题
［类型总述］（1）频率分布直方图；（2）用样本估计总体；（3）
古典概型；（4）相互独立事件的概率.
例6 [2024·陕西汉中高一期末] 从某
学校的800名男生中随机抽取50名测
量身高，被测学生身高全部介于
和 之间，将测量结果按
如下方式分成八组：第一组 ，
第二组， ，第八组 ，如图是按上述分组方法得到
的频率分布直方图的一部分，已知第六组的人数为4（同一组的数据用
该组区间的中点值代表）.
（1）求第七组的频率；
解：第六组的频率为 ，
所以第七组的频率为
.
（2）估计该校800名男生身高的 分位数和平均数；
解：由直方图得，身高在第一组
内的频率为
，
身高在第二组 内的频率为
，
身高在第三组内的频率为，
身高在第四组 内的频率为，
，.
设该校800名男生的身高的 分位数为，则 .
由，解得 ，
所以该校800名男生的身高的分位数为 ，平均数为
.
（3）若从样本中身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取2名男
生，记他们的身高分别为,，事件“ ”，求
.
解：身高属于第六组 的人数
为4，记为,,, ，身高属于第八组
的人数为
，记为, .
从这6名男生中随机抽取2名男生包含
的样本点有，，，，，，，，，，，，
，，，共15个.
因为事件“ ”发生当且仅当随机抽取的2名男生在同一组，
所以事件包含的样本点为，，，，，， ，共7个，
所以 .
变式 某中学参加某竞赛初赛结束后，为了
解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取10
0名学生，得到他们的成绩，将数据整理后
分成五组： ，
， ，并绘制成如图所
示的频率分布直方图.
（1）补全频率分布直方图，若只有 的人
能进决赛，入围分数应设为多少分
（保留两位小数）？
解：由频率分布直方图可知，成绩在
内的频率为
，
所以对应的为 ，
所以频率分布直方图如图所示.
因为 ，
，
所以第分位数位于 内，
又 ，
所以入围分数应设为78.75分.
（2）采用比例分配的分层随机抽样的方法从
成绩在 内的学生中抽取容量为6的样
本，再从该样本中随机抽取3名学生进行问卷
调查，求至少有1名学生的成绩不低于90分的
概率.
解：依题意，从成绩在 内的学生中
抽取 （人），
设这4人为，，，，从成绩在
内的学生中抽取 （人），
设这2人为， .
从这6人中随机抽取3人包含的样本点有，，，
，， ，，，，，
， ，，，，，
， ，
共20个，
其中3人的成绩都在 内包含的样本
点有, ，， ，
共4个.
设事件 “至少有1名学生的成绩不低
于90分”，则 .
（3）进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动.考试分为
两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次
有，，，， 五个等级.若两科笔试成绩均为 ，则可直接参
加冬令营；若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于 ，则要
参加第二轮面试，面试通过也可参加冬令营，否则均不能参加.现有
甲、乙、丙三人报名参加冬令营，三人互不影响，且每次考试互不影
响.甲在每科笔试中取得 ，，，，的概率分别为，，，，
；
乙在每科笔试中取得，，，， 的概率分别为，，，， ；
丙在每科笔试中取得，，，，的概率分别为， ，，， .
甲、乙、丙在面试中通过的概率分别为，， . 求甲、乙、丙能同时
参加冬令营的概率.
解：依题意，甲能参加冬令营的概率
，
乙能参加冬令营的概率 ，
丙能参加冬令营的概率 ，
所以甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率
.
