滚动习题(九)
1.D [解析] 对于A,抛掷硬币10次,事件A可能发生5次,故A错误;对于B,抛掷硬币100次,事件A可能发生50次,故B错误;对于C,抛掷硬币1000次,事件A发生的频率接近0.5,故C错误;对于D,随着抛掷硬币次数的增多,事件A发生的频率接近0.5,则事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小,故D正确.故选D.
2.B [解析] 因为A,B为两个互斥事件,P(A)>0,P(B)>0,所以A∩B= ,即P(AB)=0,且P(A∪B)=P(A)+P(B).故选B.
3.C [解析] 掷一枚质地均匀的骰子,朝上的一面的点数可以是奇数,即朝上一面的点数为偶数的事件不一定发生,A不正确;10张票中只有1张有奖,10人去拿,每人拿到的可能性相同,无论谁先拿,拿到奖票的概率都是0.1,B不正确;至少取到2件次品的对立事件是至多取到1件次品,C正确;若A,B是互斥事件,则P(B)=P(A+B)-P(A)=0.3,D不正确.故选C.
4.C [解析] 从集合{1,2,3,4,5}中任取两个不同的数,则样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},则n(Ω)=10,设事件A=“两个数的和不小于5”,则A={(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},则n(A)=8,所以这两个数的和不小于5的概率为P(A)==.故选C.
5.B [解析] 根据所给的数据的分组和各组的频数知,大于或等于31.5的数据共有12+7+3=22(个),又样本量为66,所以大于或等于31.5的数据的频率为=,所以可估计在总体中大于或等于31.5的数据占.故选B.
6.C [解析] 设事件A为“所有二等品被取出时恰取出3件产品检验”,该事件的发生有三步,最后一次必取出二等品,前两次中有一次取出二等品,故P(A)=××+××=.故选C.
7.BCD [解析] 对于A,C选项,因为P(C)=,P(D)== ,P(CD)=,所以P(C)×P(D)=P(CD),所以C与D相互独立,故A选项错误,C选项正确;对于B选项,E与F不会同时发生,故它们互斥,故B选项正确;对于D选项,因为P(F)=×+×=,P(DF)=×=,所以P(D)×P(F)=P(DF),故D与F相互独立,故D选项正确.故选BCD.
8.AD [解析] 对于A,有放回地依次随机选取两张标签包含的样本点有5×5=25(个),其中标号相等包含的样本点有5个,所以所求概率P1==,所以A正确;对于B,有放回地依次随机选取两张标签包含的样本点有5×5=25(个),其中第一次的标号大于第二次包含的样本点有10个,所以所求概率P2==,所以B不正确;对于C,无放回地依次随机选取两张标签包含的样本点有5×4=20(个),其中标号之和为5包含的样本点有4个,所以所求概率P3==,所以C不正确;对于D,无放回地依次随机选取两张标签包含的样本点有5×4=20(个),其中第一次的标号大于第二次包含的样本点有10个,所以所求概率P4==,所以D正确.故选AD.
9. [解析] 表示恰好击中0次的随机数为3312,共1个,表示恰好击中1次的随机数为0293,0371,6233,6011,共4个,故表示至多击中1次的随机数共5个,则表示至少击中2次的随机数共15个,故所求概率为=.
10.0.95 [解析] 设A=“小张语文成绩及格”,B=“小张数学成绩及格”,则AB=“小张语文和数学成绩同时及格”,A∪B=“小张语文和数学两科至少有一科成绩及格”.由已知得,P(A)=0.8,P(B)=0.9,P(AB)=0.75,代入P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),得P(A∪B)=0.8+0.9-0.75=0.95.
11. [解析] 记2名男生为a,b,2名女生为A,B,任选2人参加围棋比赛包含的样本点有(a,b),(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(A,B),共6个,其中“所选2人中至少有1名男生”包含的样本点有(a,b),(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),共5个,故所选2人中至少有1名男生的概率为.
12.0.8 [解析] 设该题被乙独立解出的概率为P,又该题被甲独立解出的概率为0.6,则甲、乙两人都解不出来的概率为P1=(1-0.6)·(1-P),又因为该题被甲或乙解出的概率为0.92,所以1-P1=0.92,即1-(1-0.6)·(1-P)=0.92,故0.4(1-P)=0.08,解得P=0.8.
13.解:(1)记“甲射击一次,命中7环以下”为事件A,则P(A)=1-0.56-0.22-0.12=0.1.
记“甲射击一次,命中7环”为事件B,则P(B)=0.12.
由于在一次射击中,A与B不可能同时发生,故A与B是互斥事件.事件“甲射击一次,命中不足8环”即为A+B,由互斥事件的概率加法公式知,P(A+B)=P(A)+P(B)=0.1+0.12=0.22,
故甲射击一次,命中不足8环的概率是0.22.
(2)方法一:记“甲射击一次,命中8环”为事件C,“甲射击一次,命中9环及以上”为事件D,
则事件“甲射击一次,至少命中7环”为B+C+D,
则P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.12+0.22+0.56=0.9,故甲射击一次,至少命中7环的概率为0.9.
方法二:因为“甲射击一次,至少命中7环”为事件,
所以P()=1-P(A)=1-0.1=0.9,
故甲射击一次,至少命中7环的概率为0.9.
14.解:(1)设A盒中的4个红球分别为a1,a2,a3,a4,2个白球分别为b1,b2,则甲从A盒中一次抽取2个球包含的样本点有(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(b1,b2),共15个,2个球颜色不同包含的样本点有(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),共8个,所以甲从A盒中一次抽取2个球,2个球颜色不同的概率为P1=.
(2)由题意知,甲、乙共抽到3个红球的情况及概率如下:
①甲第一次抽到红球,第二次抽到白球,乙两次都抽到红球的概率为P2=×××=;
②甲第一次抽到白球,第二次抽到红球,乙两次都抽到红球的概率为P3=×××=;
③甲两次都抽到红球,乙第一次抽到红球,第二次抽到白球的概率为P4=×××=;
④甲两次都抽到红球,乙第一次抽到白球,第二次抽到红球的概率为P5=×××=.
所以甲、乙共抽到3个红球的概率为P=+++=.
15.解:(1)由频率分布直方图,可估计参加竞赛的2000名学生得分的众数为=75.
设参加竞赛的2000名学生得分的中位数的估计值为x,则x∈[70,80),
由题意可得0.04(80-x)+0.2=0.5,解得x=72.5,
故估计参加竞赛的2000名学生得分的中位数为72.5.
(2)因为得分在[60,70)内和在[70,80)内的学生人数之比为1∶2,
所以应从得分在[60,70)内的学生中抽出2人,记这2人分别为A,B,从得分在[70,80)内的学生中抽出4人,记这4人分别为C,D,E,F,
从这6名学生中随机选出2人,则该试验的样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)},共包含15个样本点.
设事件M=“选出的2人竞赛得分都不低于70”,
则M={(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)},共包含6个样本点,
则P(M)==,即选出的2人竞赛得分都不低于70的概率为.(共33张PPT)
滚动习题（九）范围10.1～10.3
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1.抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件 “正面向上”，则下列说法正
确的是( )
A.抛掷硬币10次，事件 必发生5次
B.抛掷硬币100次，事件 不可能发生50次
C.抛掷硬币1000次，事件 发生的频率一定等于0.5
D.随着抛掷硬币次数的增多，事件 发生的频率在0.5附近波动的幅
度较大的可能性小
√
[解析] 对于A，抛掷硬币10次，事件A可能发生5次，故A错误；
对于B，抛掷硬币100次，事件A可能发生50次，故B错误；
对于C，抛掷硬币1000次，事件A发生的频率接近 ，故C错误；
对于D，随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率接近 ，则
事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小，故D正确．
故选D．
2.设,为两个互斥事件，且， ，则下列各式一定
正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为A,B为两个互斥事件，， ，所以
，即，且 故选B.
√
3.下列说法正确的是( )
A.掷一枚质地均匀的骰子，偶数点朝上是必然事件
B.10张票中只有1张有奖，若有10人每人拿1张后不放回，谁先拿，
则谁中奖的可能性最大
C.从一批产品中随机取出10件，记事件 “至少取到2件次品”，则
“至多取到1件次品”
D.若，是互斥事件，，，则
√
[解析] 掷一枚质地均匀的骰子，朝上的一面的点数可以是奇数，即
朝上一面的点数为偶数的事件不一定发生，A不正确；
10张票中只有1张有奖，10人去拿，每人拿到的可能性相同，无论谁
先拿，拿到奖票的概率都是 ，B不正确；
至少取到2件次品的对立事件是至多取到1件次品，C正确；
若A，B是互斥事件，则 ，D不正确.
故选C.
4.从集合 中任取两个不同的数，则这两个数的和不小于5的
概率是( )
A. B. C. D.
[解析] 从集合 中任取两个不同的数，则样本空间
，，，，，，， ，
，，则，
设事件 “两个数的和不小于5”，则，，，，
，，， ，则，所以这两个数的和不小于
5的概率为 .故选C.
√
5.有一个容量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下表所示：
分组
频数 2 4 9 18 11 12 7 3
根据样本的频率分布，估计在总体中大于或等于31.5的数据占( )
A. B. C. D.
√
[解析] 根据所给的数据的分组和各组的频数知，大于或等于31.5的
数据共有 （个），
又样本量为66，所以大于或等于31.5的数据的频率为 ，所以可
估计在总体中大于或等于31.5的数据占 .故选B．
6.某产品在出厂时每5个一等品装成一箱，工人不小心把2件二等品和
3件一等品装入了一箱，为找出该箱中的二等品，需要对该箱中的产
品逐一取出检验，取出的产品不放回，则“所有二等品被取出时恰取
出3件产品检验”的概率为( )
A. B. C. D.
[解析] 设事件A为“所有二等品被取出时恰取出3件产品检验”,该事件
的发生有三步，最后一次必取出二等品，前两次中有一次取出二等
品，故 .故选C.
√
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
7.[2024·重庆八中高一月考]，两组各有2名男生、2名女生，从 ，
两组中各随机选出1名同学参加演讲比赛.表示事件“从 组中选出
的是男生小明”，表示事件“从组中选出的是1名男生”， 表示事
件“从，两组中选出的是2名男生”，表示事件“从， 两组中选
出的是1名男生和1名女生”，则( )
A.与互斥 B.与 互斥
C.与相互独立 D.与 相互独立
√
√
√
[解析] 对于A，C选项，因为， ， ，
所以 ，所以C与D相互独立，故A选项错误，C
选项正确；
对于B选项，与 不会同时发生，故它们互斥，故B选项正确；
对于D选项，因为 ，，
所以，故D与 相互独立，故D选项正确.
故选 .
8.[2024·山东青岛高一期中]一个盒子中装有标号1,2,3,4,5的5张标签，
则( )
A.有放回地依次随机选取两张标签，标号相等的概率为
B.有放回地依次随机选取两张标签，第一次的标号大于第二次的概
率为
C.无放回地依次随机选取两张标签，标号之和为5的概率为
D.无放回地依次随机选取两张标签，第一次的标号大于第二次的概
率为
√
√
[解析] 对于A，有放回地依次随机选取两张标签包含的样本点有
（个），其中标号相等包含的样本点有5个，所以所求概
率 ，所以A正确；
对于B，有放回地依次随机选取两张标签包含的样本点有
（个），其中第一次的标号大于第二次包含的样本点有10个，所以
所求概率 ，所以B不正确；
对于C，无放回地依次随机选取两张标签包含的样本点有
（个），其中标号之和为5包含的样本点有4个，所以所求概率
，所以C不正确；
对于D，无放回地依次随机选取两张标签包含的样本点有
（个），其中第一次的标号大于第二次包含的样本点有10个，所以
所求概率 ，所以D正确.故选 .
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9.某射击运动员每次击中靶心的概率均为0.6.现采用随机模拟的方法
估计该运动员射击4次至少击中2次靶心的概率：先由计算器产生
之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中靶心，4，
5，6，7，8，9表示击中靶心.因为射击4次，所以以每4个随机数为一
组，代表射击4次的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：
8636 0293 7140 9857 5727 0347 4373
9647 4698 3312 6710 0371 6233 2616
9597 8045 6011 3661 4281 7424
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中2次靶心的概率为__.
[解析] 表示恰好击中0次的随机数为3312，共1个，表示恰好击中1次
的随机数为0293，0371，6233，6011，共4个，
故表示至多击中1次的随机数共5个，则表示至少击中2次的随机数共
15个，故所求概率为 .
10.根据以往经验，小张每次考试语文成绩及格的概率为 ，数学成
绩及格的概率为，语文和数学成绩同时及格的概率为 ，则至
少有一科成绩及格的概率为_____.
0.95
[解析] 设“小张语文成绩及格”， “小张数学成绩及格”，则
“小张语文和数学成绩同时及格”， “小张语文和数学两
科至少有一科成绩及格”.
由已知得，， ，，
代入 ，
得 .
11.[2024·江西上饶高一期末] 据古代典籍《世本》记载：“尧造围棋，
丹朱善之.”围棋，起源于中国，至今已有四千多年历史，蕴含着中华
文化的丰富内涵.现从2名男生和2名女生中任选2人参加围棋比赛，则
所选2人中至少有1名男生的概率为__.
[解析] 记2名男生为,，2名女生为, ，任选2人参加围棋比赛包含
的样本点有,,,,, ，共6个，
其中“所选2人中至少有1名男生”包含的样本点有,,,
, ，共5个，故所选2人中至少有1名男生的概率为 .
12.[2024·武汉高一期中] 甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该
题被甲独立解出的概率为，被甲或乙解出的概率为 ，则该题
被乙独立解出的概率为____.
0.8
[解析] 设该题被乙独立解出的概率为 ，又该题被甲独立解出的概
率为，则甲、乙两人都解不出来的概率为 ，
又因为该题被甲或乙解出的概率为，所以 ，即
，故，解得 .
四、解答题（本大题共3小题，共38分）
13.（10分）已知射手甲射击一次,命中9环及以上的概率为 ,命中8
环的概率为 ,命中7环的概率为0.12.
（1）求甲射击一次,命中不足8环的概率;
解：记“甲射击一次,命中7环以下”为事件 ,则
.
记“甲射击一次,命中7环”为事件,则 .
由于在一次射击中,与不可能同时发生,故与 是互斥事件.
事件 “甲射击一次,命中不足8环”即为 ,由互斥事件的概率加法公式
知, ,
故甲射击一次,命中不足8环的概率是0.22.
（2）求甲射击一次,至少命中7环的概率.
解：方法一:记“甲射击一次,命中8环”为事件 ,
“甲射击一次,命中9环及以上”为事件 ,
则事件“甲射击一次,至少命中7环”为 ,
则 ,
故甲射击一次,至少命中7环的概率为0.9.
方法二:因为“甲射击一次,至少命中7环”为事件 ,
所以 ,
故甲射击一次,至少命中7环的概率为0.9.
14.（13分）[2024·广东佛山高一期中] 已知 盒子装有4个红球和2
个白球， 盒子装有2个红球和2个白球，它们除了颜色不同外大小材
质均相同.
（1）若甲从 盒中一次抽取2个球，求2个球颜色不同的概率；
解：设盒中的4个红球分别为，，，，2个白球分别为 ，
，则甲从盒中一次抽取2个球包含的样本点有， ，
，，，，，， ，
，，，，， ，共15个，
2个球颜色不同包含的样本点有，，， ，
，，，，共8个，所以甲从 盒中一次
抽取2个球，2个球颜色不同的概率为 .
（2）若甲从盒中，乙从 盒中分别有放回地抽取两次，每次每人
抽取1个球，求甲、乙共抽到3个红球的概率.
解：由题意知，甲、乙共抽到3个红球的情况及概率如下：
①甲第一次抽到红球，第二次抽到白球，乙两次都抽到红球的概率
为 ;
②甲第一次抽到白球，第二次抽到红球，乙两次都抽到红球的概率
为 ;
③甲两次都抽到红球，乙第一次抽到红球，第二次抽到白球的概率
为 ;
④甲两次都抽到红球，乙第一次抽到白球，第二次抽到红球的概率
为 .
所以甲、乙共抽到3个红球的概率为 .
15.（15分）为发扬并传承中国航天精神，某校
抽取2000名学生进行了航天知识竞赛并记录得
分（满分为100分），根据得分将数据分成
， ， 共七组，绘制出
如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，估计参加竞赛
的2000名学生得分的众数和中位数
（同一组中的数据用该组区间的中点值代
替）；
解：由频率分布直方图，可估计参加竞赛的
2000名学生得分的众数为 .
设参加竞赛的2000名学生得分的中位数的估
计值为,则 ，
由题意可得，解得 ，
故估计参加竞赛的2000名学生得分的中位数为72.5.
（2）先从得分在 内的学生中采用比例分
配的分层随机抽样的方法抽出6名学生，再从这6
名学生中随机选出2人参加航天知识演讲活动，求
选出的2人竞赛得分都不低于70的概率．
解：因为得分在内和在 内的学生人
数之比为 ，
所以应从得分在 内的学生中抽出2人，记
这2人分别为，，
从得分在 内的学生中抽出4人，记这4人
分别为，，， ，从这6名学生中随机选出2人，
则该试验的样本空间, ,,,,,
,,，,, ,, , ，共包
含15个样本点.
设事件 “选出的2人竞赛得分都不低于70”，
则,,,,, ，
共包含6个样本点，
则 ，即选出的2人竞赛得分都不低
于70的概率为 ．滚动习题(九)[范围10.1~10.3]
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.抛掷一枚质地均匀的硬币,设事件A=“正面向上”,则下列说法正确的是 ( )
A.抛掷硬币10次,事件A必发生5次
B.抛掷硬币100次,事件A不可能发生50次
C.抛掷硬币1000次,事件A发生的频率一定等于0.5
D.随着抛掷硬币次数的增多,事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小
2.设A,B为两个互斥事件,且P(A)>0,P(B)>0,则下列各式一定正确的是 ( )
A.P(AB)=P(A)P(B)
B.P(A∪B)=P(A)+P(B)
C.P(AB)=P(A)+P(B)
D.P(A∪B)=P(A)P(B)
3.下列说法正确的是 ( )
A.掷一枚质地均匀的骰子,偶数点朝上是必然事件
B.10张票中只有1张有奖,若有10人每人拿1张后不放回,谁先拿,则谁中奖的可能性最大
C.从一批产品中随机取出10件,记事件A=“至少取到2件次品”,则=“至多取到1件次品”
D.若A,B是互斥事件,P(A)=0.2,P(A+B)=0.5,则P(B)=0.7
4.从集合{1,2,3,4,5}中任取两个不同的数,则这两个数的和不小于5的概率是 ( )
A. B. C. D.
5.有一个容量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下表所示:
分组 [11.5, 15.5) [15.5, 19.5) [19.5, 23.5) [23.5, 27.5) [27.5, 31.5) [31.5, 35.5) [35.5, 39.5) [39.5, 43.5]
频数 2 4 9 18 11 12 7 3
根据样本的频率分布,估计在总体中大于或等于31.5的数据占 ( )
A. B. C. D.
6.某产品在出厂时每5个一等品装成一箱,工人不小心把2件二等品和3件一等品装入了一箱,为找出该箱中的二等品,需要对该箱中的产品逐一取出检验,取出的产品不放回,则“所有二等品被取出时恰取出3件产品检验”的概率为 ( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.[2024·重庆八中高一月考] A,B两组各有2名男生、2名女生,从A,B两组中各随机选出1名同学参加演讲比赛.C表示事件“从A组中选出的是男生小明”,D表示事件“从B组中选出的是1名男生”,E表示事件“从A,B两组中选出的是2名男生”,F表示事件“从A,B两组中选出的是1名男生和1名女生”,则 ( )
A.C与D互斥 B.E与F互斥
C.C与D相互独立 D.D与F相互独立
8.[2024·山东青岛高一期中] 一个盒子中装有标号1,2,3,4,5的5张标签,则 ( )
A.有放回地依次随机选取两张标签,标号相等的概率为
B.有放回地依次随机选取两张标签,第一次的标号大于第二次的概率为
C.无放回地依次随机选取两张标签,标号之和为5的概率为
D.无放回地依次随机选取两张标签,第一次的标号大于第二次的概率为
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.某射击运动员每次击中靶心的概率均为0.6.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中2次靶心的概率:先由计算器产生0~9之间取整数值的随机数,指定0,1,2,3表示没有击中靶心,4,5,6,7,8,9表示击中靶心.因为射击4次,所以以每4个随机数为一组,代表射击4次的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:
8636 0293 7140 9857 5727 0347 4373
9647 4698 3312 6710 0371 6233 2616
9597 8045 6011 3661 4281 7424
据此估计,该射击运动员射击4次至少击中2次靶心的概率为 .
10.根据以往经验,小张每次考试语文成绩及格的概率为0.8,数学成绩及格的概率为0.9,语文和数学成绩同时及格的概率为0.75,则至少有一科成绩及格的概率为 .
11.[2024·江西上饶高一期末] 据古代典籍《世本》记载:“尧造围棋,丹朱善之.”围棋,起源于中国,至今已有四千多年历史,蕴含着中华文化的丰富内涵.现从2名男生和2名女生中任选2人参加围棋比赛,则所选2人中至少有1名男生的概率为 .
12.[2024·武汉高一期中] 甲、乙两人独立解某一道数学题,已知该题被甲独立解出的概率为0.6,被甲或乙解出的概率为0.92,则该题被乙独立解出的概率为 .
四、解答题(本大题共3小题,共38分)
13.(10分)已知射手甲射击一次,命中9环及以上的概率为0.56,命中8环的概率为0.22,命中7环的概率为0.12.
(1)求甲射击一次,命中不足8环的概率;
(2)求甲射击一次,至少命中7环的概率.
14.(13分)[2024·广东佛山高一期中] 已知A盒子装有4个红球和2个白球,B盒子装有2个红球和2个白球,它们除了颜色不同外大小材质均相同.
(1)若甲从A盒中一次抽取2个球,求2个球颜色不同的概率;
(2)若甲从A盒中,乙从B盒中分别有放回地抽取两次,每次每人抽取1个球,求甲、乙共抽到3个红球的概率.
15.(15分)为发扬并传承中国航天精神,某校抽取2000名学生进行了航天知识竞赛并记录得分(满分为100分),根据得分将数据分成[20,30),[30,40),…,[80,90]共七组,绘制出如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图,估计参加竞赛的2000名学生得分的众数和中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代替);
(2)先从得分在[60,80)内的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽出6名学生,再从这6名学生中随机选出2人参加航天知识演讲活动,求选出的2人竞赛得分都不低于70的概率.
