2025-2026学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（上）开学数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（上）开学数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 140.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-11 20:40:09 | ||
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文档简介
2025-2026学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列式子中，是分式的是（ ）
A. B. C. D. x+y
2.如图是由正三棱柱和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.估计的值应在（ ）
A. 0到1之间 B. 1到2之间 C. 2到3之间 D. 3到4之间
4.如图，△DEF与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，若OA：AD=2：1，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A. 6：9
B. 4：9
C. 4：6
D. 2：3
5.关于x的一元二次方程（m-2）x2-x+1=0有实数根，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. m≠2 D. 且m≠2
6.《感动中国2024年度人物》视频在上线后三天内，播放总次数达到8.9万次，其中第一天的播放量为2万次，若每天的播放量平均增长率为x,则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. 2（1+x）2=8.9 B. 2（1+x）+2（1+x）2=8.9
C. 2（1+x）+2（1+2x）=8.9 D. 2+2（1+x）+2（1+x）2=8.9
7.在△ABC中，边BC在直线MN上，且BC=7.将△ABC沿直线MN平移得到△DEF，点B的对应点为E.若平移的距离为3，则CE的长为（ ）
A. 3 B. 4 C. 10 D. 4或10
8.若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A. 11 B. 14 C. 16 D. 9
9.如图所示，在正方形ABCD中，点E为BC边上一点，连接AE，DF为AE中垂线交AB于点F.以FD，FE为邻边构造平行四边形DFEP，连接CP，若∠AFD=α，则∠EPC的大小为（ ）
A. α-30°
B. 75°-α
C. α-45°
D. 135°-2α
10.已知整式M：，规定M中各项次数和为P，各非零次项系数的乘积为Q.其中n,an，an-1 ，a1为正整数，a0为自然数，且a0＜a1.若P＜13，Q=n.下列说法：
①当P=1时，M=x；
②当P=3时，方程M=0恒有两个不相等的解；
③满足条件的整式M共有22种.
其中正确的个数是（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.因式分解：ab2-a=______．
12.已知点P1（a-2，1）和P2（1，b+1）关于原点对称，则（a+b）2025的值为 .
13.在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有1，2，3，4四个数字，这些小球除数字外都相同.甲、乙玩猜数字游戏，游戏规则如下：甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m；再由乙从袋中剩下的小球中任意摸出一个，将小球上的数字记为n.如果满足m与n的和为偶数，则称甲、乙两人“心有灵犀”，则甲、乙两人“心有灵犀”的概率是 .
14.若x1，x2是方程x2-3x+1=0的两根，则的值为 .
15.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在线段BC上，且BD=3CD，函数的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，顺次连结点D、O、M，若△ODM的面积为4.5，则k的值为 .
16.某个夏日晚上小勇陪爸爸去小区散步，如图，在路边有一路灯杆AB，在灯光下，小勇发现爸爸在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走5米到达G点（即DG=5米），此时爸爸的影长GH=5米.已知爸爸的身高为1.8米（人的宽度忽略不计），则路灯杆AB的高度为 m.
17.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=3，BC=4，将△ABO沿着AC翻折得到△AB′O，B′O与AD相交于点E，BB′与AC相交于点F，则BB′的长为 ，= .
18.对于一个四位数N，若它的各个数位上的数字互不相等且均不为零，且各数位上数字之和的3倍是一个平方数，则称这个数为“方三数”.那么最小的“方三数”为 ；若一个“方三数”，去掉其千位与个位数字得到一个两位数x,去掉千位与十位数字得到一个两位数y,若x+y除以21余数为3，则满足条件的A的最大值为 .
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解下列方程：
（1）；
（2）（x-4）2-2x（x-4）=0.
20.(本小题10分)
（1）先化简，然后a在-1、0、2三个数中任选一个合适的数代入求值；
（2）解不等式3（x-4）+4＜5x,并写出它的所有负整数解.
21.(本小题10分)
如图，在 ABCD在中，AB＜BC，BE平分∠ABC，交AD于点E．
（1）使用尺规完成基本作图：作∠BAD的角平分线交BC于点F，连接EF（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；
（2）根据（1）中作图，求证：四边形ABFE为菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：
∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAF=∠DAF．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=______，
∴______，
∴AB=AE．
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
∴______．
∵AE∥BF，
∴四边形ABFE是______．
∵AB=BF，
∴四边形ABFC是菱形．
22.(本小题10分)
为进一步推进学校安全宣传教育，某中学在七、八年级中举办了中学生安全知识竞赛活动.校团委为了解本次竞赛的情况，从七、八年级各选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中：A：95≤x≤100，B：90≤x＜95，C：85≤x＜90，D：80≤x＜85，得分在90分及以上为优秀）.
下面给出了部分信息：
七年级20名同学在B组的分数为：91，92，93，94；
八年级20名同学在B组的分数为：90，93，93，93，94，94，94，94，94.
七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
七年级 91 a 95 m
八年级 91 93 b 65%
（1）填空：a=______，b=______，m=______；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在本次知识竞赛中哪个年级的学生对安全的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）该校七年级有500名学生，八年级有600名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数.
23.(本小题10分)
列方程解下列问题：
甲、乙两支队伍计划在同一天出发自驾游，沿着不同的路线旅行至相同目的地.甲队走A路线，全程1500千米，乙队走B路线，全程1600千米，但B路线高速公路较多，若乙队平均每天行驶路程是甲队的倍，这样乙队旅行天数比甲队要少1天.
（1）求甲、乙两队原计划分别自驾多少天.
（2）甲、乙两队开始各有20人，甲队计划每人每天的平均花费为500元，而甲队实际又加入了m人（m＞0），经统计，甲队每增加1人，每人每天的平均花费将减少20元；乙队人数不变，每人每天的平均花费始终为400元.若两个队的旅行天数与各自原计划天数一致，且甲队的总花费比乙队总花费多18000元，求m的值.
24.(本小题10分)
如图，在矩形ABCD中，点E是DC上定点，连接BE、AE，AB=9，AD=3，DE=4，动点M从点D出发沿折线D-E-A方向运动，动点N从点B同时出发沿B-A方向运动，动点M，N的运动速度均为每秒1个单位长度，当点M、N其中一点到达点A时，两点同时停止运动，连接AM，EN.设运动的时间为x秒（0＜x＜9），记△AEB的面积与△BEN的面积之比为y1，△ADM的面积为y2.
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出y2的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出y1＜y2时x的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）.
25.(本小题10分)
如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线BC交x轴于点C，已知OB=2，且.
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图2，若D是线段BC上的一个动点，线段MN在x轴上运动，N在M的右侧且，当S△ABD=S△ABO时，求BM+MN+ND的最小值；
（3）如图3，将直线AB平移，与x轴、y轴分别交于E、F两点，点Q是平面内一点，若以E、F、C、Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标.
26.(本小题10分)
在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC中点，E为AC上一点.
（1）如图1所示，∠EDC=60°且，求BC的长；
（2）如图2所示，E为AC中点，F为△ABC外一点，连接EF，作EG⊥EF于点E且EG=EF.连接BG、DG、DF，若∠FDG=135°，求证：；
（3）如图3所示，点P、Q分别在AB、AC上，连接PQ，O是PQ的中点.若AB=AC=8，PQ=4，连接OB，OC，直接写出的最小值.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】a（b+1）（b-1）
12.【答案】-1
13.【答案】
14.【答案】7
15.【答案】6
16.【答案】6.3
17.【答案】4.8
18.【答案】1236
6984
19.【答案】x=1；
x1=4，x2=-4
20.【答案】，当a=2时，原式=1；
x＞-4；-3，-2，-1
21.【答案】∠CBE ∠ AEB=∠ABE AE=BF 平行四边形
22.【答案】92.5，94，60%；
八年级对安全的了解情况更好；
690人
23.【答案】甲原计划需要5天，乙原计划需要4天；
m=5
24.【答案】y1=，y2=；
图象见解析；y2性质：当0＜x≤4时，y随x增大而增大；当4＜x＜9时，y随x增大而减小；
2.4＜x＜8.1．
25.【答案】；
；
若以E、F、C、Q为顶点的四边形为菱形，点Q的坐标为或
26.【答案】；
连接GF，CF，在DF上取点M，使得CM=CF，如图2，
∵D，E分别为BC，AC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠DEC=∠A=90°，即△DEC为等腰直角三角形，
∴DE=CE，
∵EG⊥EF，
∴∠GED+∠DEF=∠FEC+∠DEF=90°，
∴∠GED=∠FEC，
在△GED≌和△FEC中，
，
∴△GED≌△FEC（SAS），
∴GD=FC，∠EGD=∠EFC，
∵EG⊥EF，EG=EF，
∴△GEF为等腰直角三角形，即∠EGF=∠EFG=45°，
∴∠EGD+∠DGF=∠DFG+∠EFD=45°，
∵∠FDG=135°，
∴∠DGF+∠DFG=45°，
∴∠EGD=∠DFG=∠EFC，
∴∠EFD+∠EFC=45°，即∠CFM=45°，
∵CM=CF=DG，
∴∠CFM=∠CMF=45°，即△CMF为等腰直角三角形，
∴，
∵∠FDG=135°，∠CMF=45°，
∴∠BDG+∠CDM=∠CDM+∠DCM=45°，
∴∠BDG=∠DCM，
在△BDG和△DCM中，
，
∴△BDG≌△DCM（SAS），
∴BG=DM，
∴；
的最小值为
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一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列式子中，是分式的是（ ）
A. B. C. D. x+y
2.如图是由正三棱柱和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.估计的值应在（ ）
A. 0到1之间 B. 1到2之间 C. 2到3之间 D. 3到4之间
4.如图，△DEF与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，若OA：AD=2：1，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A. 6：9
B. 4：9
C. 4：6
D. 2：3
5.关于x的一元二次方程（m-2）x2-x+1=0有实数根，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. m≠2 D. 且m≠2
6.《感动中国2024年度人物》视频在上线后三天内，播放总次数达到8.9万次，其中第一天的播放量为2万次，若每天的播放量平均增长率为x,则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. 2（1+x）2=8.9 B. 2（1+x）+2（1+x）2=8.9
C. 2（1+x）+2（1+2x）=8.9 D. 2+2（1+x）+2（1+x）2=8.9
7.在△ABC中，边BC在直线MN上，且BC=7.将△ABC沿直线MN平移得到△DEF，点B的对应点为E.若平移的距离为3，则CE的长为（ ）
A. 3 B. 4 C. 10 D. 4或10
8.若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A. 11 B. 14 C. 16 D. 9
9.如图所示，在正方形ABCD中，点E为BC边上一点，连接AE，DF为AE中垂线交AB于点F.以FD，FE为邻边构造平行四边形DFEP，连接CP，若∠AFD=α，则∠EPC的大小为（ ）
A. α-30°
B. 75°-α
C. α-45°
D. 135°-2α
10.已知整式M：，规定M中各项次数和为P，各非零次项系数的乘积为Q.其中n,an，an-1 ，a1为正整数，a0为自然数，且a0＜a1.若P＜13，Q=n.下列说法：
①当P=1时，M=x；
②当P=3时，方程M=0恒有两个不相等的解；
③满足条件的整式M共有22种.
其中正确的个数是（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.因式分解：ab2-a=______．
12.已知点P1（a-2，1）和P2（1，b+1）关于原点对称，则（a+b）2025的值为 .
13.在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有1，2，3，4四个数字，这些小球除数字外都相同.甲、乙玩猜数字游戏，游戏规则如下：甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m；再由乙从袋中剩下的小球中任意摸出一个，将小球上的数字记为n.如果满足m与n的和为偶数，则称甲、乙两人“心有灵犀”，则甲、乙两人“心有灵犀”的概率是 .
14.若x1，x2是方程x2-3x+1=0的两根，则的值为 .
15.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在线段BC上，且BD=3CD，函数的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，顺次连结点D、O、M，若△ODM的面积为4.5，则k的值为 .
16.某个夏日晚上小勇陪爸爸去小区散步，如图，在路边有一路灯杆AB，在灯光下，小勇发现爸爸在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走5米到达G点（即DG=5米），此时爸爸的影长GH=5米.已知爸爸的身高为1.8米（人的宽度忽略不计），则路灯杆AB的高度为 m.
17.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=3，BC=4，将△ABO沿着AC翻折得到△AB′O，B′O与AD相交于点E，BB′与AC相交于点F，则BB′的长为 ，= .
18.对于一个四位数N，若它的各个数位上的数字互不相等且均不为零，且各数位上数字之和的3倍是一个平方数，则称这个数为“方三数”.那么最小的“方三数”为 ；若一个“方三数”，去掉其千位与个位数字得到一个两位数x,去掉千位与十位数字得到一个两位数y,若x+y除以21余数为3，则满足条件的A的最大值为 .
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解下列方程：
（1）；
（2）（x-4）2-2x（x-4）=0.
20.(本小题10分)
（1）先化简，然后a在-1、0、2三个数中任选一个合适的数代入求值；
（2）解不等式3（x-4）+4＜5x,并写出它的所有负整数解.
21.(本小题10分)
如图，在 ABCD在中，AB＜BC，BE平分∠ABC，交AD于点E．
（1）使用尺规完成基本作图：作∠BAD的角平分线交BC于点F，连接EF（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；
（2）根据（1）中作图，求证：四边形ABFE为菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：
∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAF=∠DAF．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=______，
∴______，
∴AB=AE．
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
∴______．
∵AE∥BF，
∴四边形ABFE是______．
∵AB=BF，
∴四边形ABFC是菱形．
22.(本小题10分)
为进一步推进学校安全宣传教育，某中学在七、八年级中举办了中学生安全知识竞赛活动.校团委为了解本次竞赛的情况，从七、八年级各选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中：A：95≤x≤100，B：90≤x＜95，C：85≤x＜90，D：80≤x＜85，得分在90分及以上为优秀）.
下面给出了部分信息：
七年级20名同学在B组的分数为：91，92，93，94；
八年级20名同学在B组的分数为：90，93，93，93，94，94，94，94，94.
七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
七年级 91 a 95 m
八年级 91 93 b 65%
（1）填空：a=______，b=______，m=______；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在本次知识竞赛中哪个年级的学生对安全的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）该校七年级有500名学生，八年级有600名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数.
23.(本小题10分)
列方程解下列问题：
甲、乙两支队伍计划在同一天出发自驾游，沿着不同的路线旅行至相同目的地.甲队走A路线，全程1500千米，乙队走B路线，全程1600千米，但B路线高速公路较多，若乙队平均每天行驶路程是甲队的倍，这样乙队旅行天数比甲队要少1天.
（1）求甲、乙两队原计划分别自驾多少天.
（2）甲、乙两队开始各有20人，甲队计划每人每天的平均花费为500元，而甲队实际又加入了m人（m＞0），经统计，甲队每增加1人，每人每天的平均花费将减少20元；乙队人数不变，每人每天的平均花费始终为400元.若两个队的旅行天数与各自原计划天数一致，且甲队的总花费比乙队总花费多18000元，求m的值.
24.(本小题10分)
如图，在矩形ABCD中，点E是DC上定点，连接BE、AE，AB=9，AD=3，DE=4，动点M从点D出发沿折线D-E-A方向运动，动点N从点B同时出发沿B-A方向运动，动点M，N的运动速度均为每秒1个单位长度，当点M、N其中一点到达点A时，两点同时停止运动，连接AM，EN.设运动的时间为x秒（0＜x＜9），记△AEB的面积与△BEN的面积之比为y1，△ADM的面积为y2.
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出y2的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出y1＜y2时x的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）.
25.(本小题10分)
如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线BC交x轴于点C，已知OB=2，且.
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图2，若D是线段BC上的一个动点，线段MN在x轴上运动，N在M的右侧且，当S△ABD=S△ABO时，求BM+MN+ND的最小值；
（3）如图3，将直线AB平移，与x轴、y轴分别交于E、F两点，点Q是平面内一点，若以E、F、C、Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标.
26.(本小题10分)
在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC中点，E为AC上一点.
（1）如图1所示，∠EDC=60°且，求BC的长；
（2）如图2所示，E为AC中点，F为△ABC外一点，连接EF，作EG⊥EF于点E且EG=EF.连接BG、DG、DF，若∠FDG=135°，求证：；
（3）如图3所示，点P、Q分别在AB、AC上，连接PQ，O是PQ的中点.若AB=AC=8，PQ=4，连接OB，OC，直接写出的最小值.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】a（b+1）（b-1）
12.【答案】-1
13.【答案】
14.【答案】7
15.【答案】6
16.【答案】6.3
17.【答案】4.8
18.【答案】1236
6984
19.【答案】x=1；
x1=4，x2=-4
20.【答案】，当a=2时，原式=1；
x＞-4；-3，-2，-1
21.【答案】∠CBE ∠ AEB=∠ABE AE=BF 平行四边形
22.【答案】92.5，94，60%；
八年级对安全的了解情况更好；
690人
23.【答案】甲原计划需要5天，乙原计划需要4天；
m=5
24.【答案】y1=，y2=；
图象见解析；y2性质：当0＜x≤4时，y随x增大而增大；当4＜x＜9时，y随x增大而减小；
2.4＜x＜8.1．
25.【答案】；
；
若以E、F、C、Q为顶点的四边形为菱形，点Q的坐标为或
26.【答案】；
连接GF，CF，在DF上取点M，使得CM=CF，如图2，
∵D，E分别为BC，AC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠DEC=∠A=90°，即△DEC为等腰直角三角形，
∴DE=CE，
∵EG⊥EF，
∴∠GED+∠DEF=∠FEC+∠DEF=90°，
∴∠GED=∠FEC，
在△GED≌和△FEC中，
，
∴△GED≌△FEC（SAS），
∴GD=FC，∠EGD=∠EFC，
∵EG⊥EF，EG=EF，
∴△GEF为等腰直角三角形，即∠EGF=∠EFG=45°，
∴∠EGD+∠DGF=∠DFG+∠EFD=45°，
∵∠FDG=135°，
∴∠DGF+∠DFG=45°，
∴∠EGD=∠DFG=∠EFC，
∴∠EFD+∠EFC=45°，即∠CFM=45°，
∵CM=CF=DG，
∴∠CFM=∠CMF=45°，即△CMF为等腰直角三角形，
∴，
∵∠FDG=135°，∠CMF=45°，
∴∠BDG+∠CDM=∠CDM+∠DCM=45°，
∴∠BDG=∠DCM，
在△BDG和△DCM中，
，
∴△BDG≌△DCM（SAS），
∴BG=DM，
∴；
的最小值为
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