2025-2026学年广东省深圳市南山外国语学校（集团）高新中学九年级（上）开学数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年广东省深圳市南山外国语学校（集团）高新中学九年级（上）开学数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 135.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-11 17:20:38 | ||
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文档简介
2025-2026学年广东省深圳市南山外国语学校（集团）高新中学九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动.下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.若a＜b,则下列结论一定成立的是（ ）
A. -4a＞-4b B. C. D. ac2＜bc2
3.下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. 6x2y3=2x2 3y3 B. a（a+1）（a-1）=a3-a
C. D.
4.一元二次方程2x2+x-5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 2，1，5 B. 2，1，-5 C. 2，0，-5 D. 2，0，5
5.如图，在一个对边平行的纸条上有两点A，B及线段AB的中点O，以下操作和判断不正确的是（ ）
A. 过点O作任意直线（除直线AB）交纸条两边于点C，D，得到平行四边形ACBD
B. 过点O作AB的垂线l交纸条两边于点C，D，得到菱形ACBD
C. 分别过点A，B作对边的垂线，交对边于点C，D，得到矩形ACBD
D. 在点A，B所在边的对边分别取C，D两点，使得AC=BD，得到平行四边形ACBD
6.若α，β是方程x2+2x-2025=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ）
A. 2023 B. 2027 C. -2023 D. 4050
7.初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物.小组里每两名成员之间互相赠送一张卡片（即A送给B一张，B也送给A一张）.已知全组共赠送了306张卡片，则该小组一共有多少名成员？（ ）
A. 16 B. 17 C. 18 D. 19
8.如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是（ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.一元二次方程x2-4x+a=0的一个解为x=1，则a= ______.
10.如图， ABCD的周长为60cm,AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为 cm.
11.在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化.假设在2023年初，有一块质量为500克的某种放射性同位素.由于放射性衰变，其质量会逐年减少.到2025年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至405克.设这种放射性同位素质量的年平均减少率为x,根据题意，可列出一元二次方程为： .（只列方程，不需求解）
12.如图，某小区要在长为16m,宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______m.
13.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=45°，∠BCD=90°，连接BD、CA，若CA平分∠BCD，，BC=5，则BD= ______.
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题8分)
解下列方程：
（1）（x-2）2=9；
（2）.
15.(本小题7分)
先化简：，再从-2、-1、0、1、2中选择一个合适的数作为n的值代入求值.
16.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-4，0），B（0，1），C（-2，3）.
（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点B的对应点B1的坐标为（5，-2），请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕坐标原点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）若将△A2B2C2绕点P旋转可得到△A1B1C1，则点P的坐标为______.
17.(本小题8分)
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是OB，OD的中点，连接AE、CE、AF、CF.
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是矩形，∠BAC=90°，，求BC的长；
（3）尺规作图：过点B作直线BP，使得BP∥AE.（保留作图痕迹，不写作法.）
18.(本小题11分)
2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）
类别
价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣
进货价（元/件） 30 25
销售价（元/件） 45 37
（1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
（2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
19.(本小题9分)
阅读材料，并解决问题.
【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x-35=0为例，构造方法如下：
首先将方程x2+2x-35=0变形为x（x+2）=35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22=4×35+4.因此，可得新方程（x+x+2）2=144.因为x表示边长，所以2x+2=12，即x=5.遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根.
【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程x2-4x-12=0（x＞0）的正确构图是______.（从序号①②③中选择）
【类比迁移】小颖根据以上解法解方程2x2+3x-2=0，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为，即x（______）=1；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程______，解得原方程的一个根为______；
【拓展应用】一般地，对于形如x2+ax=b的一元二次方程可以构造图2来解.已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数a= ______，b= ______，求得方程的正根为______.
20.(本小题10分)
【定义学习】
定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”.
【判断尝试】
（1）在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“对直四边形”的是______；（填序号）
（2）如图1，四边形ABCD是对直四边形，若，则边BC的长是______；
【操作探究】
如图2，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，AE⊥BC于点E，请在边CD上找一点F，使得以点A、E、C、F组成的四边形为“对直四边形”，直接写出EF的长是______；
【拓展延伸】
如图3，在正方形ABCD中，AB=6，点E、F、G分别从点B、B、C同时出发，并分别以每秒1、1、2个单位长度的速度，分别沿正方形的边BA、BC、CD方向运动（保持CG≤CD），再分别过点E、F作AB、BC的垂线交于点H，连结AH、HG.
试说明：四边形AHGD为对直四边形.
【实践应用】
某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中AB=2米，BC=6米，∠B=∠C=90°，∠D=45°.现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余.请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长是______.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】3
10.【答案】30
11.【答案】500（1-x）2=405
12.【答案】2
13.【答案】13
14.【答案】x1=5，x2=-1；
x=-4
15.【答案】，当n=1时，3；当n=-1时，-1．
16.【答案】∵点B（0，1）的对应点B1的坐标为（5，-2），
∴△ABC先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，
如图，△A1B1C1即为所求，
如图，△A2B2C2即为所求．
如图，若将△A2B2C2绕点P旋转可得到△A1B1C1，则点P的坐标为（4，1）．
17.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，
∴OA=OC，OB=OD，
∴点E，F分别是OB，OD的中点，
∴OE=BEOB，OF=DF=OD，
∴OE=OF，
∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
BC的长是2．
如图，直线BP就是所求的直线
18.【答案】解：（1）设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，
依题意得：，
解得：．
答：购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件．
（2）设购进m件A款钥匙扣，则购进（80-m）件B款钥匙扣，
依题意得：30m+25（80-m）≤2200，
解得：m≤40．
设再次购进的A、B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，则w=（45-30）m+（37-25）（80-m）=3m+960．
∵3＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=40时，w取得最大值，最大值=3×40+960=1080，此时80-m=80-40=40．
答：当购进40件A款钥匙扣，40件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元．
（3）设B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为（a-25）元，平均每天可售出4+2（37-a）=（78-2a）件，
依题意得：（a-25）（78-2a）=90，
整理得：a2-64a+1020=0，
解得：a1=30，a2=34．
答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元．
19.【答案】② x+ （x+x+）2=4×1+（）2 ±2 3 1或3
20.【答案】②④；
；
【操作探究】；
【拓展延伸】如图，延长EH，交CD于R，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°=∠C=∠D=90°，AB=BC，
∵HE⊥AB，HF⊥BC，
∴∠HEB=∠HFB=∠B=90°，
∴四边形EBFH是矩形，
∵点E、F、G分别从点B、B、C同时出发，并分别以每秒1、1、2个单位长度的速度运动，
∴CG=2BE=2BF，
∴四边形EBFH是正方形，
∴BE=BF=EH，
∴AE=CF，
同理可得：四边形CFHR是矩形，
∴BE=CR，CF=HR，
∴AE=HR，GR=EH，
∵∠AEH=∠HRG=90°，
∴△AEH≌△HRG（SAS），
∴∠RHG=∠EAH，
∴∠RHG+∠AHE=∠EAH+∠AHE=90°，
∴∠AHG=90°，
∴四边形AHGD为对直四边形；
【实践应用】或4或或
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一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动.下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.若a＜b,则下列结论一定成立的是（ ）
A. -4a＞-4b B. C. D. ac2＜bc2
3.下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. 6x2y3=2x2 3y3 B. a（a+1）（a-1）=a3-a
C. D.
4.一元二次方程2x2+x-5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 2，1，5 B. 2，1，-5 C. 2，0，-5 D. 2，0，5
5.如图，在一个对边平行的纸条上有两点A，B及线段AB的中点O，以下操作和判断不正确的是（ ）
A. 过点O作任意直线（除直线AB）交纸条两边于点C，D，得到平行四边形ACBD
B. 过点O作AB的垂线l交纸条两边于点C，D，得到菱形ACBD
C. 分别过点A，B作对边的垂线，交对边于点C，D，得到矩形ACBD
D. 在点A，B所在边的对边分别取C，D两点，使得AC=BD，得到平行四边形ACBD
6.若α，β是方程x2+2x-2025=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ）
A. 2023 B. 2027 C. -2023 D. 4050
7.初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物.小组里每两名成员之间互相赠送一张卡片（即A送给B一张，B也送给A一张）.已知全组共赠送了306张卡片，则该小组一共有多少名成员？（ ）
A. 16 B. 17 C. 18 D. 19
8.如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是（ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.一元二次方程x2-4x+a=0的一个解为x=1，则a= ______.
10.如图， ABCD的周长为60cm,AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为 cm.
11.在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化.假设在2023年初，有一块质量为500克的某种放射性同位素.由于放射性衰变，其质量会逐年减少.到2025年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至405克.设这种放射性同位素质量的年平均减少率为x,根据题意，可列出一元二次方程为： .（只列方程，不需求解）
12.如图，某小区要在长为16m,宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______m.
13.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=45°，∠BCD=90°，连接BD、CA，若CA平分∠BCD，，BC=5，则BD= ______.
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题8分)
解下列方程：
（1）（x-2）2=9；
（2）.
15.(本小题7分)
先化简：，再从-2、-1、0、1、2中选择一个合适的数作为n的值代入求值.
16.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-4，0），B（0，1），C（-2，3）.
（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点B的对应点B1的坐标为（5，-2），请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕坐标原点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）若将△A2B2C2绕点P旋转可得到△A1B1C1，则点P的坐标为______.
17.(本小题8分)
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是OB，OD的中点，连接AE、CE、AF、CF.
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是矩形，∠BAC=90°，，求BC的长；
（3）尺规作图：过点B作直线BP，使得BP∥AE.（保留作图痕迹，不写作法.）
18.(本小题11分)
2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）
类别
价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣
进货价（元/件） 30 25
销售价（元/件） 45 37
（1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
（2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
19.(本小题9分)
阅读材料，并解决问题.
【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x-35=0为例，构造方法如下：
首先将方程x2+2x-35=0变形为x（x+2）=35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22=4×35+4.因此，可得新方程（x+x+2）2=144.因为x表示边长，所以2x+2=12，即x=5.遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根.
【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程x2-4x-12=0（x＞0）的正确构图是______.（从序号①②③中选择）
【类比迁移】小颖根据以上解法解方程2x2+3x-2=0，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为，即x（______）=1；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程______，解得原方程的一个根为______；
【拓展应用】一般地，对于形如x2+ax=b的一元二次方程可以构造图2来解.已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数a= ______，b= ______，求得方程的正根为______.
20.(本小题10分)
【定义学习】
定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”.
【判断尝试】
（1）在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“对直四边形”的是______；（填序号）
（2）如图1，四边形ABCD是对直四边形，若，则边BC的长是______；
【操作探究】
如图2，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，AE⊥BC于点E，请在边CD上找一点F，使得以点A、E、C、F组成的四边形为“对直四边形”，直接写出EF的长是______；
【拓展延伸】
如图3，在正方形ABCD中，AB=6，点E、F、G分别从点B、B、C同时出发，并分别以每秒1、1、2个单位长度的速度，分别沿正方形的边BA、BC、CD方向运动（保持CG≤CD），再分别过点E、F作AB、BC的垂线交于点H，连结AH、HG.
试说明：四边形AHGD为对直四边形.
【实践应用】
某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中AB=2米，BC=6米，∠B=∠C=90°，∠D=45°.现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余.请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长是______.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】3
10.【答案】30
11.【答案】500（1-x）2=405
12.【答案】2
13.【答案】13
14.【答案】x1=5，x2=-1；
x=-4
15.【答案】，当n=1时，3；当n=-1时，-1．
16.【答案】∵点B（0，1）的对应点B1的坐标为（5，-2），
∴△ABC先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，
如图，△A1B1C1即为所求，
如图，△A2B2C2即为所求．
如图，若将△A2B2C2绕点P旋转可得到△A1B1C1，则点P的坐标为（4，1）．
17.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，
∴OA=OC，OB=OD，
∴点E，F分别是OB，OD的中点，
∴OE=BEOB，OF=DF=OD，
∴OE=OF，
∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
BC的长是2．
如图，直线BP就是所求的直线
18.【答案】解：（1）设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，
依题意得：，
解得：．
答：购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件．
（2）设购进m件A款钥匙扣，则购进（80-m）件B款钥匙扣，
依题意得：30m+25（80-m）≤2200，
解得：m≤40．
设再次购进的A、B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，则w=（45-30）m+（37-25）（80-m）=3m+960．
∵3＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=40时，w取得最大值，最大值=3×40+960=1080，此时80-m=80-40=40．
答：当购进40件A款钥匙扣，40件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元．
（3）设B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为（a-25）元，平均每天可售出4+2（37-a）=（78-2a）件，
依题意得：（a-25）（78-2a）=90，
整理得：a2-64a+1020=0，
解得：a1=30，a2=34．
答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元．
19.【答案】② x+ （x+x+）2=4×1+（）2 ±2 3 1或3
20.【答案】②④；
；
【操作探究】；
【拓展延伸】如图，延长EH，交CD于R，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°=∠C=∠D=90°，AB=BC，
∵HE⊥AB，HF⊥BC，
∴∠HEB=∠HFB=∠B=90°，
∴四边形EBFH是矩形，
∵点E、F、G分别从点B、B、C同时出发，并分别以每秒1、1、2个单位长度的速度运动，
∴CG=2BE=2BF，
∴四边形EBFH是正方形，
∴BE=BF=EH，
∴AE=CF，
同理可得：四边形CFHR是矩形，
∴BE=CR，CF=HR，
∴AE=HR，GR=EH，
∵∠AEH=∠HRG=90°，
∴△AEH≌△HRG（SAS），
∴∠RHG=∠EAH，
∴∠RHG+∠AHE=∠EAH+∠AHE=90°，
∴∠AHG=90°，
∴四边形AHGD为对直四边形；
【实践应用】或4或或
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