九年级数学上册苏科版 第2章《对称图形—圆》章节测试卷（含答案）

第2章《对称图形—圆》章节测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，的直径垂直于弦，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是的直径，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，为的外接圆，半径，垂足为点E，，则的长为（ ）
A． B． C．10 D．8
5．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点．如图，过整点A，B，C有一条圆弧，如果一条直线与这条圆弧相切于点B，则这条直线可以经过（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
6．如图，正五边形的两条边，与相切，切点为点，，则为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形内接于，，．若的半径为6，则的长是（ ）
A． B． C． D．
8．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正八边形作近似估计，可得π的估计值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
9．如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，等腰的一个锐角顶点是上的一个动点，，腰与斜边分别交于点，分别过点作的切线交于点，且点恰好是腰上的点，连接，若的半径为4，则的最大值为：（ ）
A． B． C．6 D．8
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，、、是⊙的切线，切点分别是P、C、D．若，，则的长是 ．
12．如图，是的直径，点C为圆上一点且，D是劣弧的中点，连接，，则的度数为 ．
13．如图，是的直径，是的内接三角形．若，，则的直径 ．

14．如图， 是四边形的外接圆， 直线与相切于点B，，，则 的度数为 ．
15．将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ．
16．如图，四边形内接于，，，，则的半径为： ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F．
(1)求证：．
(2)若，求的半径．
18．（6分）如图，在中，弦，于，于．
(1)求证：．
(2)若的半径为5，，求的长．
19．（8分）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，请在网格图中进行下列操作：

(1)利用网格作出该圆弧所在圆的圆心点的位置，并写出点的坐标为______；
(2)求出扇形的面积．
20．（8分）已知锐角内接于，点是的内心，连接交于点，过点作的平行线．
(1)求证：直线与相切；
(2)若半径为，．连接，求证：
21．（10分）如图，正六边形内接于，边长为2．
(1)求的直径的长；
(2)求的度数．
22．（10分）如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度．
(1)计算桥拱圆弧所在圆的半径；
(2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？
23．（12分）如图，在中，弦，点在上．
(1)如图①，若是的直径，求的度数；
(2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数．
24．（12分）如图，是的直径，内接于，点是的内心（三条角平分线的交点），的延长线与交于点是上任意一点，连接．
(1)若，求的度数：
(2)若，，，请直接写出与的数量关系；
(3)找出图中所有与相等的线段，并证明．
参考答案
一．选择题
1．B
【分析】本题考查了确定圆的条件、垂径定理、圆心角与弦的关系以及三角形外心的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据相关知识点需逐一分析．
【详解】解：①不在同一直线上的三点才能确定一个圆，若三点共线则无法确定，错误；
②根据垂径定理，平分非直径弦的直径必垂直于该弦，正确；
③ 相等的圆心角所对的弦相等需在同圆或等圆中成立，未限定条件则不成立，错误；
④ 三角形的外心是各边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等（即外接圆半径），正确；
综上，正确的有②和④，共2个．
故选：B．
2．C
【分析】本题考查垂径定理、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理．根据垂径定理推出，推出，再由即可解决问题．
【详解】是直径，，
，
，
，
，
故选：C．
3．B
【分析】本题考查弧与圆心角的关系、圆周角定理、等腰三角形的性质，先根据等弧对等圆心角得到，则，再根据圆周角定理得到，然后利用等边对等角求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，垂径定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
由圆周角定理可得，由等腰直角三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
5．C
【分析】此题主要考查了切线的性质以及垂径定理和坐标与图形的性质，得出时，，即得出点的坐标是解决问题的关键．根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，时E点的位置即可．
【详解】解：连接，作，的垂直平分线，交格点于点，则点就是所在圆的圆心，
∴三点组成的圆的圆心为：，
∵只有时，与圆相切，
此时，，且，
∴，
∴，则点的坐标为：，
延长，可知过点，，
∴点与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：，，．
故选：C．
6．D
【分析】本题考查了多边形的内角定理、切线的定义、三角形外角的性质，首先根据多边形的内角定理求出正五边形每个内角的度数为，根据切线的定义可知，从而可得，再根据三角形外角的性质求出的度数．
【详解】解：如下图所示，连接并延长到点，
五边形是正五边形，
，
又、是的切线，
，
，
，，
．
故选：D．
7．C
【分析】本题主要考查了圆的内接四边形的性质、圆周角定理、弧长计算、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握圆周角定理及弧长计算是解题的关键．
先根据圆的内接四边形的性质可得：，再根据三角形内角和定理可得，然后运用圆周角定理可得，最后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图：连接，
∵四边形内接于，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的半径为6，
∴的长为．
故选：C．
8．B
【分析】本题考查正多边形和圆，解直角三角形，求出正八边形的面积，即可得出结果．
【详解】解：如图，为圆内接正八边形中的一个等腰三角形，作，
由题意，得：，，
∴，
∴正八边形的面积为：，
∴，即：；
故选B
9．D
【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内切圆和面积，设的内切圆为，与 分别相切于点，由，，得，，连接，由可得，即得，同理得，进而即可求解，正确地作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：设的内切圆为，与 分别相切于点，
∵，，，
∴，
，
∵为斜边上的中线，
∴，
∴，
连接，，，，，，则，
∵，且，，，
∴，
解得：，
同理可得，，
解得，
∴，
故选：D．
10．A
【分析】先由等腰三角形的性质、切线的性质及圆的半径相等判定四边形ODFE是正方形，再得出点C在以EF为直径的半圆上运动，则当OC经过半圆圆心G时，OC的值最大，用勾股定理计算出OG的长度，再加上CG的长度即可．
【详解】解：∵等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠DOE=2∠A=90°，
∵分别过点D，E作⊙O的切线，
∴OD⊥DF，OE⊥EF，
∴四边形ODFE是矩形，
∵OD=OE=4，
∴四边形ODFE是正方形，
∴EF=4，
∵点F恰好是腰BC上的点，
∴∠ECF=90°
∴点C在以EF为直径的半圆上运动，
∴设EF的中点为G，则EG=FG=CG=EF=2，且当OC经过半圆圆心G时，OC的值最大，此时，在Rt△OEG中，OG=，
∴OC=OG+CG=.
故答案为：A.
二．填空题
11．
【分析】由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长．本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．
【详解】解：、为的切线，
，
、为的切线，
，
．
故答案为：4．
12．
【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理的推论，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握圆周角定理及垂径定理的推论是解题的关键．
连接交于点，由垂径定理的推论可得，则，由直角三角形的两个锐角互余可得，由圆周角定理可得，由此即可求出的度数．
【详解】解：如图，连接交于点，
是劣弧的中点，为圆心，
，
，
，
，
由圆周角定理可得：
，
故答案为：．
13．
【分析】连接，，根据在同圆中直径所对的圆周角是可得，根据圆周角定理可得，根据圆心角，弦，弧之间的关系可得，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，，如图：

∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，连接、，先根据圆周角定理得，则，再根据切线的性质求出，根据平行线的性质得，则，再根据圆内接四边形的性质可求出的度数．
【详解】解：如图，连接、，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵直线与相切于点B，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是四边形的外接圆，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查确定圆的圆心，由题意可知，，，取的中点，连接，，，由勾股定理可得，可知点为、、三点所作圆的圆心，进而可得答案．
【详解】解：由题意可知，，，
取的中点，则，，
连接，，，
由勾股定理可得：，，
∴，
即：点为、、三点所作圆的圆心，
则该圆的半径为，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定等知识点，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
连接，延长至点，使，连接并延长交于点，连接，即可证得，进而可求得，再利用圆周角定理得到，运用含角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，连接，延长至点，使，连接并延长交于点，连接，
∵四边形内接于，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴是的直径，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴,
∴，
∴，
∵．
故答案为：．
三．解答题
17．（1）证明：∵，是半径，
∴，
∴
∴
（2）解：设的半径是，如图，连接 ，
∵
由垂径定理得：，
∵
∴
∴
∴的半径是5.
18．（1）证明：，
，
∴，
即，
；
（2）解：连接，
，，
．
．
19．（1）解：根据网格作，的中垂线，这两条中垂线相交于点，连接，，，则点，

故答案为：；
（2）解：由（1）图可知：
，
，
为直角三角形，，
即的半径为，的度数为，
∴．
20．（1）解：连接，
∵点是的内心，
∴平分，
∴，
∴，
∴点是的中点，
∴，
∵直线，
∴，
∴直线与相切．
（2）连接，
由（1）得，，
∵所对的圆周角为，，
∴，
∴，
∵点是的内心，
∴平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
21．（1）解：连接．
∵正六边形内接于，
∴，
又，
∴是等边三角形．
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴．
22．（1）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，
由题意得，，，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
桥拱圆弧所在圆的半径为．
（2）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点，
由题意得，四边形是矩形，
，
，
，
由（1）得，，
，
，
要保证该货轮安全通过大桥，则货轮露出水面部分的高度应不超过，
，
需要提前增加货物，
由题意得，至少需要增加吨，
答：要保证该货轮安全通过大桥，需要提前增加货物，至少需要增加120吨．
23．（1）解：∵是的直径，
∴，
∵
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴；
（2）解：连接，如图，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∴．
24．（1）解：∵内接于，是上任意一点，
∴四边形为圆内接四边形，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴；
（2）同（1）法可得：，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（3），证明如下：
连接，
∵点是的内心，
∴平分，平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．