九年级数学上册苏科版 第一章《一元二次方程》单元检测卷（含答案）

第一章《一元二次方程》单元检测卷
一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。）
1．已知 是方程 的根，则代数式 的值为（ ）
A． B．2 021 C． D．2 022
2．关于的方程的根是，（a，m，b，c均为常数，），则关于的方程的根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．若方程的两根之积为，则的值是（ ）
A．-1 B．1 C． D．
4．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．我们知道，利用这个性质可以求方程的解．两边平方，得，从而求出该方程的解为．若方程的解为，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法正确的是（ ）
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则；
③若满足，则关于的方程是倍根方程；
④若关于的方程是倍根方程，则
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分．）
7．如果关于x的一元二次方程有一个根为2000；那么方程必有一个根为 ．
8．已知关于的一元二次方程有一个根为，则该方程的另一个根为 ．
9．请根据图片内容填空：每轮传染中，平均一个人传染了 人．
10．已知、是方程的两根，则的值为 ．
11．《增删算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载了“圆中方形”问题，其大意为“有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好为72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远，在这个图形中，应该能求出正方形的边长和圆的直径”．如图，设正方形的边长是x步，则可列出的方程是 ．
12．若，是已知关于的方程的两个实数根，且，则的值为 ．
13．如果方程组无实数解，那么实数的取值范围是 ．
14．定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一个根是另一个根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如：方程的两个根为，，因为是的2倍，所以方程是“一元二次倍根方程”．已知是正整数，若关于的一元二次方程是“一元二次倍根方程”，且关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则的值为 ．
15．如果一个三位数，十位数字等于百位数字与个位数字的平均数，我们称这个三位数为“勤劳数”．例如：630，123．最大的“勤劳数”是，若三位数是“勤劳数”，且各位数字之和大于7小于10，且百位数字a使得关于x的一元二次方程有实数根，则满足条件的所有“勤劳数”的和是 ．
16．若函数中自变量的取值范围是一切实数，则实数的取值范围是 ．
三、解答题（本题共11小题，共88分．）
17．（6分）已知m是方程的一个根．
(1)的值为______．
(2)求的值．
18．（8分）用适当的方法解下列方程
(1) (2) (3)
19．（8分）关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根是正数，求的取值范围．
20．（8分）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论为何值时，方程总有两个不相等实数根；
(2)若方程的两个根为，，且满足，求的值．
21．（8分）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形，面积为360平方米，墙的长为15米．
(1)据学校管理人员介绍，该基地2023年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率；
(2)如图所示，学校打算在基地内用总长度为33米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为72平方米，求矩形空地的宽为多少米？
22．（8分）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个实数根；
(2)当的斜边长，且两条直角边和恰好是这个方程的两个根时，求的周长．
23．（8分）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图①是2024年9月份的日历，用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），如图②，将“Z”字型框位置B、D上的数相乘，位置A、E上的数相乘，再相减，例如：在图①中，，，不难发现，结果都等于15．
如图②，设日历中所示图形中位置C的数字为x．
(1)图②框中其余四个数用含x的代数式可以表示为__________，__________，__________，__________．
(2)用含x的式子表示发现的规律__________．
(3)利用整式的运算对（2）中的规律加以证明．
(4)如图②，在某月历中，“Z”字型框框住部分（阴影部分）5个位置上的数，若最小的数和最大的数的乘积为161，则中间C位置上的数为__________．
24．（8分）若a是关于x的一元二次方程的一个根
(1)求m的取值范围；
(2)若是关于x的一元二次方程的一个根；
①请用含a、b的式子表示n；
②若，且，求b的值．
25．（8分）如图所示，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：

(1)试判断方程是否为“勾系一元二次方程”．
(2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求 ABC的面积．
26．（8分）阅读下面材料：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的一元二次方程有两个实数根分别为，，那么由求根公式可推出，．已知关于的方程有两个实根，，请根据上述结论，解决下面问题：
(1)当方程的一个根时，求方程的另一个根；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
27．（10分）如图，在四边形ABCD中，，动点、分别从A、B同时出发，点以每秒3个单位的速度沿着折线先由向运动，再由向运动，点以每秒1个单位的速度由向运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒．
(1)两平行线与之间的距离是______．
(2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求的值．
(3)以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求的值．
参考答案
一、选择题
1．C
【详解】解：∵m是方程的根，
∴，
∴．
∴
故选C．
2．A
【详解】解：∵关于的方程的根是，，
∴关于的方程的根满足或，解得或，
故选；A．
3．B
【详解】解：对于方程 ，设其两根为 和 ，根据根与系数的关系，根的积为 ．
题目给出根的积为 ，因此有：
解得：
验证判别式：
当 时，，方程有实根，符合条件．
故选B．
4．C
【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：，
故选：C．
5．A
【详解】解：∵，
∴，
两边平方，得，
∴，
∴，
解得：或，
经检验：或都是原方程的解，
∴原方程的解为：，．
A. ，∴A正确；
B. ，∴B不正确；
C. ，∴C不正确；
D. ，∴D不正确．
故选：A．
6．B
【详解】解：①解方程，
，
∴或，
解得，，，得，，
∴方程是倍根方程，故①正确；
②若是倍根方程，，
因此或，
当时，，∴；
当时，，∴；故②错误；
③∵，假设关于的方程是倍根方程，
∴设两根为和，则两根和为 ，两根根积为 ，
代入 ，得 ，解得 ，满足两根根和为 ，故③正确；
④对于倍根方程 ，设根为和，则两根和为 ，
两根积为 ，消去得 ，故④正确；
综上，①③④均正确，
故选：B．
二、填空题
7．
【详解】解∶对于一元二次方程，设，
∴，
而关于的一元二次方程有一根为，
∴有一个根为，
则，
解得，
∴一元二次方程有一根为．
故答案为∶
8．
【详解】解：把代入一元二次方程，
得．
．
当时，方程不是一元二次方程，不合题意．
．
当时，．
，
或．
故答案为：．
9．10
【详解】解：设平均一个人传染了个人，根据题意得，
解得，，（舍去）
所以，平均一个人传染了10个人，
故答案为：10．
10．
【详解】解：∵、是方程的两根，
∴，即；；
∴
．
11．
【详解】解：从水池边到圆周，每边相距3步远，且正方形的边长是步，
圆的直径为步．
根据题意得：．
故答案为：．
12．
【详解】解：关于的方程有两个实数根，
，
解得：，
根据根与系数的关系得,
，
，
，
解得：，
，
，
故答案为：．
13．
【详解】解：，
，得，
整理得，，
∵方程组无实数解，
∴一元二次方程无实数解，
∴，
解得，
故答案为：．
14．2或5
【详解】解：，
，
或，
解得：，，
总有两个不相等的实数根，
，
解得，
∵n是正整数，
，2，3，4，5，6，
方程是“倍根方程”，
能被整除或能被3整除，
∴或6或
或5或0(舍去)．
故答案为：2或5．
15．
【详解】解：根据题意得：，
解得：
∵各位数字之和大于小于，
或，
又∵，
(舍去)或，
若则，该数为，
若则，该数为，
答： 这个“勤劳数” 432或630，
满足条件的所有“勤劳数”的和是，
故答案为：．
16．
【详解】解：由题意知，的解是一切实数，
当时，，符合题意；
当时，则有：，
∴，
，
解得：；
时，，
当，
，
，
，
不满足“自变量的取值范围是一切实数”，故此种情况舍去；
综上，．
故答案为：．
三、解答题
17．（1）解：把m代入方程，得：，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）是方程的一个根，
，且．
将等式两边同时除以m，得
．
18．（1）解：
∴，
，．
（2）解：
∴
∴
∴
解得：，
（3）解：
∴
∴或
，．
19．（1）证明：由题意得：
方程总有两个实数根；
（2）解：
，
方程有一个根是正数，
．
20．（1）证明：， ，，
，
，
，
，
，
，
，
无论为何值时，方程总有两个不相等实数根．
（2）由，得， ，
，
，
，
解得： ，
或1．
21．（1）解：设这个增长率为，由题意得：
，
解得：（不合题意舍去），，
答：这个增长率为；
（2）解：∵矩形，面积为360平方米，墙的长为15米，
，
设矩形空地的宽为y米，则的长为米，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，的长为：，不合题意，舍去；
当时，的长为：，符合题意．
米．
答：场地的宽为8米．
22．（1）证明：，
∵，，，
∴
，
∴无论k取什么实数值，该方程总有两个实数根；
（2）解：∵和是关于的一元二次方程的两个根，
∴，，
∵ ABC是直角三角形，且斜边长，
∴，即，
∴，
整理得，
解得或，
∵和是直角边，
∴和是正数，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，
∴ ABC的周长为．
23．（1）解：∵位置C的数字为x，
∴位置B的数字为，
位置A的数字为，
位置D的数字为，
位置E的数字为．
故答案为：，，，
（2）解：规律为：；
故答案为：
（3）解：；
（4）解：∵最小的数和最大的数的乘积为161，
∴，
解得，
∵x为正整数，
∴．
即中间C位置上的数为15．
故答案为：15
24．（1）解：根据题意可知：关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：；
（2）解：①∵a是关于x的一元二次方程的一个根，
∴，
解得：，
∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴，
把代入得：
，
∴
解得：；
②∵，，
∴，
整理得：，
，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
解得：．
25．（1）根据定义，方程变形为，
得到，
且，
故方程是否为“勾系一元二次方程”．
（2）∵是“勾系一元二次方程”的一个根，
∴，
∴，
∵四边形的周长是12，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
故 ABC的面积为2．
26．（1）解：把代入方程，得：，
解得：或，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上：或；
（2）∵方程有两个实根，，
∴，
∴，
解得：或，
当，方程化为：，
∴，满足条件；
当，方程化为：，此时，舍去；
故；
（3）∵方程有两个实根，，
∴，
∴
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去）或（舍去），
当时，原方程化为：，
此时，满足题意，
∴．
27．（1）解：过点作于点，
∵， ，
∴，
∴，
，
故答案为：；
（2）解：在中，
∵， ，
∴，
∴，
①当四边形为平行四边形时， ，
∴，
∴，
②当四边形为平行四边形时， ，
∴，
，
综上所述当点、与的某两个顶点围成一个平行四边形时，或；
（3）解：①当在边上时，过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
，
解得 (舍去)，
②当在边上时，
，
解得；
综上所述或时，平行四边形的面积为．