（单元提升培优）第3单元 角的度量 专项06 应用题 2025-2026学年四年级数学上册单元提升培优精练人教版（含答案解析）

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2025-2026学年四年级数学上册单元提升培优精练人教版
第3单元 角的度量 专项06 操作题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．学校为给学生提供更大的展示舞台，将长方形的音乐排练厅内部设计成三个三角形区域，如图所示，中间的大三角形区域是展示区，其余两个区域是观众区。已知∠1＝40°。
（1）求∠2的度数。
（2）量一量∠4的度数，它和∠1有什么关系？利用该结论，求出∠5的度数。
2．从一个角的顶点引出一条射线，把它分成两个大小相等的角，这条射线叫作这个角的平分线。如图①，∠1＝∠2，射线AD是∠BAC的平分线。
（1）在图②中画出角的平分线。
（2）如图③，A，O，C在同一条直线上，OD，OE分别是∠AOB，∠BOC 的平分线，那么∠1＋∠2＝_______°。
3．城市中一些交通流量大的路口同时设立了地铁站和公交站，如下图所示。经过一段时间发现，除了沿着大路换乘，人们还在路口旁的绿地中走出了一条小路。
（1）请你在图中画出这条小路最可能的样子和位置，再简单写出你的理由。
（2）针对这个现象，请你提出一条建议。
4．明明把一张长方形的纸折了起来（如图），如果∠1＝30°，∠2＝20°，你能算出∠3的度数是多少吗？
5．清代诗人高鼎用“草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟。儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”生动描绘了儿童放风筝的场景。下图画的是甲、乙两人放风筝的场景，风筝线的长度相等。
（1）量一量，甲的风筝线与地面的夹角是（ ）°，乙的风筝线与地面的夹角是（ ）°。
（2）风筝的高度和风筝线与地面的夹角有什么关系？（夹角90°范围内）
（3）如果丙的风筝线与地面的夹角为35°（风筝线的长度与甲、乙的相等），那么他的风筝飞的高度有甲和乙的高吗？为什么？
6．亮亮用量角器量角时犯了两个错误：
(1)第一个角的一条边没有与刻度线对齐，而是与的刻度线对齐了，这样读出的数为70°，实际这个角的度数是( )°。
(2)读第二个角时看错了内外圈，一个锐角被他读成了的钝角，实际这个锐角的度数是( )°。
7．折纸中的数学。
将一张圆形纸对折3次，得到的角分别是多少度？
对折次数 第一次 第二次 第三次
图形
度数 （ ） （ ） （ ）
8．新知识：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫作这个角的角平分线。如图，∠1＝∠2，射线AD是∠BAC的角平分线。
（1）你能用量角器画出下面的角平分线吗？
（2）如图，A，O，C在同一条直线上， OD，OE分别是∠AOB，∠BOC的角平分线，∠1＋∠2＝ 。
9．如图，把一张长方形纸的一个顶点放在另一张长方形纸的长边上，已知∠1＝25°，那么∠2是多少度？
10．如图，小宇把一张长方形纸折叠成下面的图形，如果∠1＝20°，那么∠2是多少度？如果∠2＝40°，则∠1是多少度？
11．量一量，想一想。
甜甜和妙妙放风筝。两人所用的风筝线一样长，如图所示，她们都把风筝线放到了最长。
(1)甜甜的风筝线与地面的夹角（∠1）是( )°，妙妙的风筝线与地面的夹角（∠2）是( )°。
(2)风筝的高度和风筝线与地面的夹角（小于或等于90°的角）有什么关系？
12．方方在折纸时，将一张长方形的纸折成了如图所示的形状，如果他折出的。∠1＝35°，∠2＝25°，那么图中的∠3是多少度？
13．东东只有小半块破损的量角器，你有办法帮他测量出∠1的度数吗？
请你在图上画一画，并说说你的办法。
我的方法是：________________。
14．东东是个粗心的孩子，你瞧，刚发下的数学试卷就被折角了。同桌丽丽看到折角的试卷想出了一道题，难住了东东。题目是这样的：试卷折起来的，那么∠2是多少度呢？你能帮助东东解答吗？请写下计算过程。
15．兰兰用学具小棒摆成一个50°的角，佳佳用同样的小棒摆成一个角，比兰兰的3倍还多30°，佳佳摆的角是多少度？是什么角？
16．李老师在黑板上画了一个图形，如下图所示，∠1＝∠2＝∠3，且图中所有角的度数和是150°，求∠AOB是多少度。
17．小明想将下图衣帽钩固定在墙上，至少需要几个钉子？请用学过的知识进行解释。
18．两只蚂蚁夺旗，它们的位置如图所示。
19．张叔叔是个台球迷，他发现当台球撞击桌边时就会向另一个方向弹走，如图所示：
（1）已知∠1＝45°，∠3＝50°，请你量一量，∠2＝（ ），∠4＝（ ）。
（2）如上图，台球撞向桌边的路线与桌边形成了一个角，它弹走的路线与桌边也形成了一个角，你发现（ ）。
（3）请运用你发现的规律在上面图3中画出台球向另一个方向弹走的角度和路线。
20．什么是平角？平角与直线有什么区别？如图，两条直线相交于点O。
（1）每相邻两个角可以组成一个平角，一共能组成几个平角？
（2）你能推出吗？
21．乐乐把两张硬纸条订在一起，组成了一个37°的角，同桌欢欢在乐乐摆的基础上旋转其中一条边，所形成的角的度数比乐乐的4倍还大12°，这个角是多少度？是什么角？
22．如图，欢欢要从家出发去奇奇家玩。最短的路线是几号？为什么？
23．刘亮同学课余时间喜欢打台球，他发现一个有趣的现象，就是当台球撞向桌边的时候就会向另一个方向弹走（如图）：
（1）请你分别量出∠1、∠2、∠3、∠4的度数。
（2）通过上面的度量，你发现台球撞向桌边后弹走有什么规律？
24．1.9万名志愿者是冬奥会最温暖的光。小明准备做一些蝴蝶结送给他们，设计图如下。请量出蝴蝶结中所标角的度数，并指出它们分别是什么角。
（1）∠1＝（ ），是（ ）角。∠2＝（ ），是（ ）角。
（2）过蝴蝶结∠1的顶点画一条直线，并在直线上截取一段长4厘米的线段。
25．乐乐将一张长方形白纸按如图所示的方式折叠，通过测量得出，∠1＝∠2，∠3＝120°。算一算：∠1和∠4各是多少度？
26．小明发现：当光照射到物体上时，会有一部分光被物体表面反射回去，这种现象叫做光的反射。如图：
（1）量一量∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°，∠3＝（ ）°，∠4＝（ ）°。
我发现：
（2）想一想，如果光照射到物体上时的角度如图，那么反射出来的光线有没有可能照到狗身上？（请你说明理由或画图表示）
27．经过纸面上2个点可以画1条直线，经过3个点中的每2个点最多可以画3条直线，经过4个点中的每2个点最多可以画几条直线？经过5个、6个点呢？你能发现其中的规律吗？
点数/个 2 3 4 5 6 8 …
直线数/个 1 3
28．如果两条平行线被一条直线所截（如图），会产生很多个有联系的角。
（1）请用量角器测量∠1、∠2，你发现了什么？
（2）根据上面得到的结论，观察∠3、∠5，通过推理说明∠3和∠5的关系。
29．晚上淘气在路灯下行走，他从A点走到B点。（见下图）
（1）请在图上分别画出淘气在A、B两点处的影子。
（2）观察影子的变化，你发现淘气从A点走到B点，影子越来越（ ），说明同一物体离路灯越远，它的影子就越（ ）。（填“长”或“短”）
30．小亮星期天想到少年宫游玩，他可以有几种走法？把最近的路线在图上画出来。
他可以有（ ）种走法。
31．小乐用一副三角尺在一块长方形纸板上拼出了下面的图形（图中的阴影部分），爸爸说∠1＝30°，请求出∠2的度数。
32．要从幸福小区向小河挖一条通水管道，要使管道最短，应该怎样挖？请你在图上画出来。
33．风筝比赛时，选手们所用的风筝线一样长，假如他们都把风筝线放到最长。
（1）量一量，甲的风筝线与地面的夹角是（ ），乙的风筝线与地面的夹角是（ ）。
（2）风筝的高度和风筝线与地面的夹角有什么关系？
（3）如果丙的风筝线与地面的夹角为35°，他的风筝飞得比甲、乙高吗？
34．折纸艺术起源于中国，折纸不仅具有极高的艺术性，还可以启发人们的创造力和逻辑思维，促进手脑的协调。小明用一张长方形纸折一个正方形，如图所示，求∠1的度数。
35．你能发现什么？
（1）用量角器测量。
∠1＝（ ） ∠2＝（ ） ∠3＝（ ） ∠4＝（ ）
（2）通过你的测量，你发现了什么？请用合适的方式表述你的发现。
36．张叔叔不小心把家里的一块玻璃摔成3块（如下图），可他只拿其中一块玻璃去玻璃店划了一块与原来一样大的玻璃，你知道他拿的是哪一块玻璃吗？动脑想一想吧！
37．一个用旧了的量角器，大部分的刻度都已经磨损，只有下列刻度还看的清楚：0°，10°，32°，85° 和180°，用这个量角器测量角度时，有多少种角度（0°除外且不大于180°）能够一次性测量出来？
38．小花用三个同样大的正方形硬纸板摆成了如下图所示的图案。已知，，请你计算的度数。
39．想一想，上午8：00到9：00这一小时内，钟面上分针和时针有几次重合，大概在什么时刻？分针和时针有几次成一条直线，大概在什么时刻？分针和时针有几次成直角，大概在什么时刻？
40．下面是明明测量角的度数的方法。
（1）明明的测量结果对吗？如果不对，请你写出他的错误原因。
（2）请你使用量角器量一下这个角是（ ）°，它是（ ）角。
41．生活中的数学。
当光照射到物体表面时，有一部分光会被物体表面反射回去，这种现象叫做光的反射。如图所示，用激光笔照射一块平面镜时，光会发生反射。
（1）量一量，（ ）度，（ ）度。
（2）通过刚刚的度量，你发现激光的光线与平面镜所形成的与反射后的光线与平面镜所形成的的大小有什么关系？
42．用一把长度15厘米的尺子可以画出比它长很多的线段，那么用一个常规量角器能画230°的角码？请你想办法试一试，以点A为顶点，把230°的角画在下面框内，并说明你的想法。
我是这样想的：
43．少年宫在欢欢家东向北60°1.5千米的地方，科技馆在少年宫正东1.4千米的地方。那么从欢欢家到少年宫与少年宫到科技馆两条路线之间的角度是多少？
44．将一束光照在一面镜子上，会产生反射现象，指光照射在镜子上时，通过镜面改变传播方向反射出来。光线照射路径如图所示，如果∠1＝∠2＝50°，那么∠3和∠4是多少度？
45．涛涛要从艺术楼到教学楼，再到操场。
（1）请你画出涛涛从艺术楼去教学楼，再到操场最近的路。
（2）从艺术楼去教学楼，再到操场最近的距离是186米。如果涛涛平均每分走62米，从艺术楼沿最近的路先到教学楼再到操场要多少分钟？
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参考答案与试题解析
1．（1）50°
（2）∠1＝∠4；50°
【分析】（1）∠1、∠2和∠3构成了一个平角，平角是180°，垂直的两条直线夹角是90°，即∠3＝90°，用180°减去∠1的度数，再减去∠3的度数，就可以求出∠2的度数；
（2）用量角器可以量出∠4＝40°，因为∠1＝40°，所以∠1＝∠4＝40°，即∠1＝∠4；因为∠2与∠5的关系就是∠1与∠4的关系，根据∠2的度数即可求得∠5的度数。
【解析】（1）已知∠1＋∠3＋∠2＝180°，∠1＝40°，∠3＝90°
∠2＝180°－90°－40°＝90°－40°＝50°
答：∠2的度数为50°。
（2）量角器量出∠4＝40°
因为∠1＝40°，所以∠1＝∠4＝40°，可以发现规律：∠4＝∠1；
所以∠5＝∠2；
因为∠2＝50°，所以∠5＝50°
答：∠1＝∠4，∠5的度数为50°。
2．（1）见详解
（2）90
【分析】（1）根据角平分线的定义，先用量角器分别量出各角的度数，即把量角器的中心点与角的顶点重合，角的一条边和量角器的0°刻度线重合，看另一条边对着的刻度（从0°刻度数起）就是角的度数；再把图②角的度数除以2算出结果，再把量角器的中心点与角的顶点重合，角的一条边和量角器的0°刻度线重合，在角内部找到等于结果的刻度打上一点，再连接角的顶点和这一点作射线，就是这个角的角平分线。据此作图。
（2）根据题意，A，O，C在同一条直线上，则∠AOC是平角，等于180°；OD，OE分别是∠AOB，∠BOC的角平分线，则∠1＝∠AOD，∠2＝∠COE，因∠AOD＋∠1＋∠2＋∠COE＝180°，所以∠1＋∠2的和等于180°的一半，即180°÷2＝90°。据此解答。
【解析】（1）经测量：图②的度数是120°，120°÷2＝60°
所以，作图如下：
（2）∠AOC＝180°
∠1＝∠AOD
∠2＝∠COE
∠AOD＋∠1＋∠2＋∠COE＝180°
即（∠1＋∠2）×2＝180°
∠1＋∠2＝180°÷2＝90°
所以∠1＋∠2＝90°。
3．（1）图见详解；两点之间线段最短
（2）建议政府可以在地铁站和公交站之间新修一条路，方便更快换乘（答案不唯一）
【分析】（1）线段：直线上任意两点之间的一段叫做线段；连接两点的线段的长度叫做两点间的距离；两点之间，线段最短；连接地铁站和公交站，画一条线段即可；
（2）可以从开发新路线的方面建议，合理即可；据此解答。
【解析】（1）如图：
答：因为两点之间线段最短。
（2）答：建议政府可以在地铁站和公交站之间新修一条路，方便更快换乘。（答案不唯一）
4．80°
【分析】如图：
根据题意可知，∠1＝∠4，∠2＝∠5，∠1、∠4、∠3、∠2和∠5组成一个平角，平角是180°，所以用180°减去∠1、∠4、∠2和∠5的度数，即可求出∠3的度数。
【解析】
答：∠3的度数是80°。
5．（1）66；50
（2）风筝线与地面的夹角越大，风筝就越高。
（3）没有；丙的风筝线与地面的夹角，比甲、乙的风筝线与地面的夹角都要小。
【分析】（1）量角的步骤是：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，依此测量并填空即可。
（2）根据测量的结果说明风筝的高度和风筝线与地面的夹角的关系即可。
（3）先比较风筝线与地面的夹角的度数，再判断即可。
【解析】（1）量一量，甲的风筝线与地面的夹角是66°，乙的风筝线与地面的夹角是50°。
（2）经过测量发现，风筝线与地面的夹角越大，风筝就越高。
（3）35°＜50°＜66°，即丙的风筝飞的高度没有甲和乙的高，因为丙的风筝线与地面的夹角，比甲、乙的风筝线与地面的夹角都要小。
6．(1)60
(2)30
【分析】（1）角的起始边不是与0°刻度线重合，角的度数为两条边所对的刻度之差，据此用第二条边对应的刻度线度数减去第一条边对应的刻度线度数即可求出这个角的度数；
（2）同一刻度线上，内圈的读数加外圈的读数等于180°，由于看错了内外圈，一个锐角被读成了150°的钝角，这个锐角的度数等于180°－150°＝30°；据此即可解答。
【解析】（1）70°－10°＝60°
第一个角的一条边没有与0°刻度线对齐，而是与10°的刻度线对齐了，这样读出的数为70°，实际这个角的度数是60°。
（2）180°－150°＝30°
读第二个角时看错了内外圈，一个锐角被他读成了150°的钝角，实际这个锐角的度数是30°。
7．180°；90°；45°
【分析】根据题意，圆形纸是一个周角，等于360°，第一次对折后，用360°÷2即可求出得到的角的度数；第二次对折后，用第一次对折后角的度数除以2即可求出角的度数；第三次对折后，用第二次对折后角的度数除以2即可求出角的度数，据此填空即可。
【解析】360°÷2＝180°
180°÷2＝90°
90°÷2＝45°
对折次数 第一次 第二次 第三次
图形
度数 （180°） （90°） （45°）
8．（1）画图见详解
（2）90°
【分析】（1）根据角平分线的定义，先用量角器分别量出各角的度数，即把量角器的中心点与角的顶点重合，角的一条边和量角器的0°刻度线重合，看另一条边对着的刻度（从0°刻度数起）就是角的度数；再把各角的度数除以2算出结果，再把量角器的中心点与角的顶点重合，角的一条边和量角器的0°刻度线重合，在角内部找到等于结果的刻度打上一点，再连接角的顶点和这一点作射线，就是这个角的角平分线。据此作图。
（2）根据题意，A，O，C在同一条直线上，则∠AOC是平角，等于180°；OD，OE分别是∠AOB，∠BOC的角平分线，则∠1＝∠AOD，∠2＝∠COE，因∠AOD＋∠1＋∠2＋∠COE＝180°，所以∠1＋∠2的和等于180°的一半，即180°÷2＝90°。据此解答。
【解析】（1）经测量：左图的度数是60°，右图的度数是110°；
60°÷2＝30°
110°÷2＝55°
所以，作图如下：
（2）∠AOC＝180°
∠1＝∠AOD
∠2＝∠COE
∠AOD＋∠1＋∠2＋∠COE＝180°
即（∠1＋∠2）×2＝180°
所以∠1＋∠2＝180°÷2＝90°
所以∠1＋∠2＝90°。
9．65°
【分析】通过观察发现，长方形的一个角和∠1、∠2一起组成一个平角，平角是等于180°的角，根据长方形的特点可知，长方形的四个角都是90°，已知∠1＝25°，用平角减去90°，再减去25°，即可求出∠2的度数。
【解析】180°－90°－25°
＝90°－25°
＝65°
答：∠2是65°。
10．如果∠1＝20°，那么∠2是50°，如果∠2＝40°，则∠1是25°
【分析】长方形四个角都是直角，根据题意，因为是折叠，所以两个∠1和∠2组成直角，直角等于90°，用90°减去两个∠1的度数，即可求出∠2是多少度；用90°减去∠2的度数，再除以2即可求出∠1的度数。
【解析】∠2：90°－20°－20°
＝70°－20°
＝50°
∠1：（90°－40°）÷2
＝50°÷2
＝25°
答：如果∠1＝20°，那么∠2是50°，如果∠2＝40°，则∠1是25°。
11．(1) 60 45
(2)风筝高度越高，风筝线与地面的夹角越大
【分析】（1）用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合， 0°刻度线与角的一条边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数；据此量出∠1和∠2的度数。
（2）因为两人所用的风筝线一样长，通过观察可知，风筝高度越高风筝线与地面的夹角越大。
【解析】（1）通过测量可知，甜甜的风筝线与地面的夹角（∠1）是60°，妙妙的风筝线与地面的夹角（∠2）是45°。
（2）由分析可知，风筝的高度和风筝线与地面的夹角关系为：风筝高度越高，风筝线与地面的夹角越大。
12．
60°
【分析】解答本题的关键是知道折叠过来的角度和折痕另一边的角度相等，并且知道图中虚线上的角度是是平角180°，再解答。
从180°里减去∠1乘2，再减去∠2乘2就是∠3的度数。
【解析】35°×2＝70°
25°×2 ＝50°
180°－70°－50°
＝110°－50°
＝60°
答：那么图中的∠3是60°。
13．见详解
【分析】如图：
∠1和∠BOC拼成一个平角，用量角器量出∠BOC是30°，然后用180°－30°即可求出∠1的度数是150度，据此解答即可。
【解析】如图：
∠1和∠BOC拼成一个平角，用量角器量出∠BOC是30°，然后用180°－30°即可求出∠1的度数是150度。
∠1＝180－30＝150°
14．
60°
【分析】折起来之前的角和∠1是相等的，而且折起来之前这里应该是一个平角；所以∠2等于平角减两个∠1，据此解答即可。
【解析】
答：∠2＝
15．180°；平角
【分析】根据题意，用兰兰摆的角的度数乘3再加上30°，就是佳佳摆的角的度数，再根据角的分类：大于0°小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°小于180°的角是钝角，等于180°的角是平角；进行判定即可。
【解析】50°×3＋30°
＝150°＋30°
＝180°
答：佳佳摆的角是180°，是平角。
16．45°
【分析】根据题意，因为∠1＝∠2＝∠3，所以把三个角各看作1份，图中所有角中，包含1份组成的角有3个，即∠1、∠2、∠3共有（1×3）份，2份组成的角有2个，即∠1＋∠2、∠2＋∠3共有（2×2）份，3份组成的角有1个，即∠1＋∠2＋∠3共有（3×1）份，则所有角一共有（1×3＋2×2＋3×1）份，再用所有角的度数和150°除以总份数，即得到每份的度数；因∠AOB一共有3份，用每份的度数乘3即得到∠AOB的度数。
【解析】150°÷（1×3＋2×2＋3×1）
＝150°÷（3＋4＋3）
＝150°÷10
＝15°
15°×3＝45°
所以，∠AOB是45°。
17．2个；两点确定一条直线
【分析】经过两个点可以画一条直线，并且只能画一条直线，即两点确定一条直线，据此解答。
【解析】根据分析可知，想将衣帽钩固定在墙上，至少需要2个钉子，因为两点确定一条直线。
18．不公平，因为乙蚂蚁与旗的距离短一些。
【分析】甲、乙两只蚂蚁夺旗，要想游戏规则公平，甲、乙蚂蚁与旗的距离必须相等，由图可知距离长短，据此解答。
【解析】答：由图可以看出，不公平，因为乙蚂蚁与旗的距离短一些。
19．（1）45°；50°
（2）这两个角相等
（3）见详解
【分析】（1）量角器可以分别量出∠2、∠4的度数（把量角器的中心与角的顶点重合，刻度线与边的一边重合，角的另一边所经过的量角器上所显示的刻度就是被量角的度数）。
（2）根据量出的各角度数，台球撞向桌边的路线与桌边形成了一个角，它弹走的路线也与桌边形成了一个角，两个角度数相同，据此解答。
（3）根据以上发现，即可完成如图的台球运动线路图。
【解析】（1）已知∠1＝45°，∠3＝50°，经测量∠2＝45°，∠4＝50°。
台球撞向桌边的路线与桌边形成了一个角，它弹走的路线与桌边也形成了一个角，发现这两个角相等。
（3）如图：
20．（1）4个
（2）见详解
【分析】（1）平角的两边在一条直线上，和，和，和，和，一共能组成4个平角；
（2）根据第（1）题的结论，可以得到，。
根据等式的性质，等式的两边都减去∠2，由此解答。
【解析】平角：一条射线绕它的端点旋转半周，形成的角叫做平角。它由一个顶点，两条边组成，角的两边在一条直线上。
直线的两端是无限延长的，没有端点。
（1）由分析可得：和，和都能组成平角。
（2）根据第（1）题的结论，可以得到，。
根据等式的性质，等式的两边都减去∠2，可以得到，。
因为，所以。
21．160°；钝角
【分析】根据题意可知，用乐乐组成角的度数乘4后，再加12°，即可得到欢欢组成角的度数，依此计算并根据角的分类标准解答即可。
【解析】37°×4＋12°
＝148°＋12°
＝160°
160°是一个钝角。
答：这个角是160°，是钝角。
22．③；两点之间的所有连线中，线段最短。
【分析】根据线段的定义及特征可知，两点之间的所有连线中，线段最短，据此解答即可。
【解析】欢欢要从家出发去奇奇家玩的五条路中，只有③是线段，而两点之间，线段最短。即可得出答案。
23．（1）∠1＝45°；∠2＝45°；∠＝40°；∠4＝40°
（2）台球撞向桌边的路线与桌边形成了一个角，它弹走的路线也与桌边形成了一个角，两个角度数相同。
【分析】先用量角器量出角的度数，再比较每组中两个角的度数即可发现规律：入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角。
【解析】（1）通过测量可知，∠1＝45°，∠2＝45°，∠3＝40°，∠4＝40°。
（2）通过上面的度量，发现：台球撞向桌边的路线与桌边形成了一个角，它弹走的路线也与桌边形成了一个角，两个角度数相同。
24．（1）60°；锐；120°；钝
（2）见详解
【分析】（1）量角的步骤：先把量角器的中心点与角的顶点重合，0°刻度与角的一条边重合，再看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，据此先用量角器量出各角的度数，再根据锐角、钝角和直角的定义解答。
（2）用直尺经过顶点画一条直线，再在这条线上量出4厘米长的线段，标出两个端点，据此解答即可。
【解析】（1）∠1＝（ 60° ），是（ 锐 ）角；∠2＝（ 120° ），是（ 钝 ）角。
（2）过蝴蝶结∠1的顶点画一条直线，并在直线上截取一段长4厘米的线段，如下：
25．60°；120°
【分析】根据图示，∠2＋∠3＋90°＋90°＝360°，∠3已知，据此可以求出∠2，又因为∠1＝∠2，据此可知∠1；
如图，∠5＋∠6＋90°＋90°＝360°，∠1和∠2已知，用180°－∠1－∠2，即可求出∠5，据此求出∠6，又因为∠3＋∠4＋∠6是360°，据此可以求出∠4。
【解析】如图：
因为∠2＋∠3＋90°＋90°＝360°，∠3＝120°，据此可以求出∠2＝360－90－90－120＝60（度），又因为∠1＝∠2，据此可知∠1＝60°；
因为∠1＝∠2＝60°，所以∠5＝180°－∠1－∠2＝180°－60°－60°＝60°
因为∠5＋∠6＋90°＋90°＝360°，所以∠6＝360－90－90－60＝120（度）
又因为∠3＋∠4＋∠6是360°，所以∠4＝360－120－120＝120（度）
答：∠1等于60°；∠4等于120°。
26．（1）50；50；30；30；
入射角和反射角的度数一样大。
（2）反射出来的光线不可能照到狗身上。
【分析】（1）用量角器度量角的方法是：把量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与边的一边重合，角的另一边所经过的量角器上所显示的刻度就是被量角的度数。然后比较发现入射角和反射角的度数一样大。
（2）根据上面光反射的特点，作图解答即可。
【解析】（1）量一量∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝30°，∠4＝30°
我发现：入射角和反射角的度数一样大。
（2）根据图示可知，反射出来的光线不可能照到狗身上。
27．6；10；15；28
经过n个点，可以画n（n－1）÷2条直线。
【分析】4个点中每2个点为一组，每个点可以和其余3个点为一组，有（4×3）组。过2个点只能画一条直线，则画（4×3÷2）条直线。过5个点可以画（5×4÷2）条直线，过6个点可以画（6×5÷2）条直线，过8个点可以画（8×7÷2）条直线。据此解答。
【解析】4×3÷2＝6（条）
5×4÷2＝10（条）
6×5÷2＝15（条）
8×7÷2＝28（条）
点数/个 2 3 4 5 6 8 …
直线数/个 1 3 6 10 15 28
发现的规律是：经过n个点，可以画n（n－1）÷2条直线。
28．（1）∠1＝∠2
（2）∠3＝∠5
【分析】（1）分别量出∠1、∠2的度数，再比较大小即可；
（2）平角＝180°，∠1加∠3为平角，∠2加∠5为平角，根据平角的定义，再判断∠3、∠5的大小关系即可；据此解答。
【解析】（1）∠1＝150°，∠2＝150°
所以∠1＝∠2。
答：我发现了∠1＝∠2。
（2）因为∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠5＝180°
又因为∠1＝∠2，所以∠3＝∠5。
答：∠3＝∠5。
29．（1）见详解；（2）短，长
【分析】（1）由路灯与淘气的头顶连接成一条直线，并延长至地面，阴影部分的长度就是物体的影子，据此可以画出淘气在A、B两点处的影子。
（2）根据（1）中所画的影长，比较两点处影长的变化情况，即可得出结论。
【解析】（1）作图如下：
（2）观察（1）中影子的变化，发现淘气从A点走到B点，影子越来越短，说明同一物体离路灯越远，它的影子就越长。
30．画图见详解；6
【分析】小亮经过超市时，有2条路可到少年宫；经过银行时，也有2条路可到少年宫；小亮也可直接到邮局后，再直接到少年宫；还可以直接到邮局后，再经过图书馆到少年宫；两点之间，线段距离最短，依此解答。
【解析】最近的线路图如下：
2＋2＋1＋1＝6（条），即他可以有6种走法。
31．45°
【分析】根据题图可知，∠1、∠2和三角尺中60°、45°的角组成一个平角，则∠2＝180°－∠1－60°－45°。
【解析】∠2＝180°－∠1－60°－45°＝180°－30°－60°－45°＝45°
32．从幸福小区到小河作垂线段；画图见详解
【分析】根据从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，要从幸福小区向小河挖一条通水管道，要使管道最短，就要从幸福小区到小河作垂线段。
【解析】要使管道最短，就要从幸福小区到小河作垂线段；画图如下：
33．（1）65°；40°
（2）同样长的风筝线，风筝线与地面夹角越大，风筝飞得越高
（3）他的风筝比甲、乙飞得低
【分析】（1）量角的步骤是：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，依此测量并填空即可。
（2）根据测量的结果说明风筝的高度和风筝线与地面的夹角的关系即可；
（3）先比较风筝线与地面的夹角的度数，再判断即可。
【解析】（1）经过测量可知：甲的风筝线与地面的夹角是65°；乙的风筝线与地面的夹角是40°。
（2）经过测量发现，同样长的风筝线，风筝线与地面夹角越大，风筝飞得越高。
（3）35°＜40°＜65°，即他的风筝没有甲、乙飞得高，即比甲、乙飞得低。
34．135°
【分析】先将对折的两个角表明∠2、∠3（如下图所示），根据题意可知，∠2＝∠3，由于折成的是正方形，∠2＋∠3＝90°，那么∠3＝90°÷2，∠1＝90°＋∠3，依此计算。
【解析】∠3＝90°÷2＝45°
∠1＝90°＋∠3＝90°＋45°＝135°
35．（1）45°；45°；60°；60°
（2）任意画一条与两条平行线相交的直线，同方向同位置的两个角的度数相等。
【分析】（1）量角的步骤是：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，依此测量即可。
（2）通过测量出的结果得出结论，言之合理即可。
【解析】（1）经过测量可知：∠1＝45°；∠2＝45°；∠3＝60°；∠4＝60°。
（2）通过测量，我发现：任意画一条与两条平行线相交的直线，同方向同位置的两个角的度数相等。
36．3号
【分析】三角形的内角和为180° ，已知三角形中两个角的度数，即可求出第三个角的度数。据此解答即可。
【解析】这三块玻璃中，只有3号玻璃中有原来三角形的两个角，可以用这块玻璃得到与原来一样大的玻璃。
37．10种
【分析】量角器中，内圈的度数和外圈的度数和为180°。根据题意可知，0°除外且不大于180°，用这个量角器可以测量10°，32°，85°，180°，同时还可以测量180°－10°＝170°，180°－32°＝148°，180°－85°＝95°。此外，当分别以10°，32°，85°，180°为起点时也可以测量出不同的度数；以据此解答即可。
【解析】用这个量角器测量角度（0°除外且不大于180°），首先有4种角度，分别为10°，32°，85°和180°；
180°－10°＝170°，180°－32°＝148°，180°－85°＝95°
以10°为起点时，可以测量出32°－10°＝22°，85°－10°＝75°，180°－10°＝170°（重复度数）；
以32°为起点时，85°－32°＝53°，180°－32°＝148°
以85°为起点时，180°－85°＝95°
则用这个量角器测量角度时，有10种角度，分别为10°，32°，85°，170°，180°，22°，75°，53°，148°，95°。
38．55°
【分析】根据正方形的性质可知，∠1＋∠2＋∠3＝90°，∠4＋∠3＝90°，因为∠1＝∠3，∠2＝20°，用90°减去∠2，再除以2，即可求出∠3的度数，再用90°减去∠3的度数，即可求出∠4的度数，据此解答即可。
【解析】∠1＋∠2＋∠3＝90°，∠1＝∠3
∠3＝（90°－∠2）÷2＝（90°－20°）÷2＝70°÷2＝35°；
∠4＝90°－35°＝55°。
39．1次，8：43；2次，8：10和8：43；2次，8：28和9：00
【分析】上午8：00到9：00这一小时内，钟面上分针和时针有1次重合，重合时，时针、分针约在从12起顺时针方向第43小格处，即大概8时43分；分针和时针有2次成一条直线，时针刚过8时，分针指向约10分，即大概8时10分，另外重合时候也是一次在同一条直线上；分针和时针有2次成直角，一次是时针约在8、9中间，分针指向28分，既大概8时28分，一次在9时整。
【解析】根据分析可知：
上午8：00到9：00这一小时内，钟面上分针和时针有1次重合，大概在8时43分；分针和时针有2次成一条直线，大概在8时10分和8时43分；分针和时针有2次成直角，一次是大概在8时28分，一次在9时整。
答：钟面上分针和时针有1次重合，大概在8：43；分针和时针有2次成一条直线，大概在8：10和8：43；分针和时针有2次成直角，一次是大概在8：28，一次是9：00。
40．（1）错；他看的是外圈的度数，要根据量角时选择的刻度线来看；
（2）110；钝
【分析】（1）量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐，量角器的0刻度线和角的一条边对齐。做到对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度。据此判断即可。
（2）根据量角的方法先测量出具体角度，再根据角度的分类得到这个角属于什么角度。
【解析】（1）明明的测量结果是错误的，他看的是外圈的度数，要根据量角时选择的刻度线来看；
（2）这个角是110°，它是钝角。
41．（1）30，30；（2）
【分析】（1）量角的步骤：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。再看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。据此解答即可。
（2）通过测量可知，度，据此解答即可。
【解析】（1）30度，30度。
（2）
42．见详解
【分析】180°＋50°＝230°，所以先画一个平角，再画一个50°的角，两个角就组成230°的角，据此即可解答。
【解析】
先画一个平角，再用量角器画一个50°的角，两个角就组成230°的角。
43．120°
【分析】如图画辅助线。
90°－60°＝∠1，∠2＝90°，从欢欢家到少年宫与少年宫到科技馆两条路线之间的角度为：“∠1＋∠2”的度数和。
【解析】90°－60°＝30°；
30°＋90°＝120°。
答：从欢欢家到少年宫与少年宫到科技馆两条路线之间的角度是120°。
44．40°
【分析】观察图形可知，∠1和∠3、∠2和∠4组成直角，即∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°，则∠3和∠4相等，均为90°－50°。
【解析】90°－50°
＝40°
答：∠3和∠4是40°。
45．（1）
（2）3分钟
【分析】（1）两点之间线段最短，点到直线之间的距离最短，据此画出最短路线即可；
（2）根据时间＝路程÷速度，求出所需时间即可。
【解析】（1）如图所示：；
（2）186÷62＝3（分钟）
答：从艺术楼沿最近的路先到教学楼再到操场要3分钟。
故答案为：（1）
（2）3分钟
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