第二章 一元二次函数、方程和不等式（含解析）--2025-2026学年高中数学人教A版（2019）必修第一册单元测试

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第二章 一元二次函数、方程和不等式--2025-2026学年高中数学人教A版（2019）必修第一册单元测试
一、选择题
1．已知关于x的方程的两根分别是,,且满足,则实数c的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2．设,,则M与N的大小关系为( )
A. B. C. D.无法确定
3．设，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．已知，，，则的最小值为( )
A.4 B. C. D.
5．已知,,则的最小值为( )
A.15 B.12 C.8 D.6
6．若,则的最小值为( )
A. B.0 C.2 D.3
7．已知，，，则( )
A. B. C. D.
8．设,若,则下列不等式中不正确的是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列说法中,正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,,则
10．已知a,b,c,,则下列命题正确的是( )
A.若,,则
B.若,,则
C.若,则
D.若,,则,
11．下列命题中正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,,则
三、填空题
12．若直线过点，则的最小值为________.
13．在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为_________________(m).
14．函数的最小值为________.
15．已知实数且,则的最小值为________.
四、解答题
16．已知，求证.某同学解这道题时，注意到结论中的三个量，，.由已知条件得到，，.进一步发现三者的关系：.又观察左边式子的结构发现就是两个数的倒数和，从而联想到以前做过的题目“已知，，求证”，类比其解法得到题目的解法：，当且仅当时取等号.所以.求的最小值.
17．已知函数,.
(1)若,解不等式；
(2)解关于x的不等式.
18．已知，因此，当且仅当时，等号成立，即a，b的算术平均数的平方不大于a，b平方的算术平均数.
请运用这个结论解答下列问题.
（1）求的最大值；
（2）已知，，若不等式恒成立，求实数m的取值范围.
19．设a,b,c,d均为正数，且.证明：若，则.
20．设．
(1)若不等式对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围；
(2)解关于x的不等式．
参考答案
1．答案：A
解析：由题设,,
又,
所以,可得.
故选:A
2．答案：A
解析：因为,
所以.
故选：A.
3．答案：B
解析：由题意，，，
所以，
由同向不等式相加得.
故选：B.
4．答案：D
解析：因为，，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
故选：D
5．答案：B
解析：由基本不等式可知：,
当且仅当,即时,等号成立,则的最小值为12.
故选：B.
6．答案：C
解析：因为,所以,
当且仅当时,即,等号成立,
所以的最小值为2.
故选：C.
7．答案：D
解析：因为，，，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故选：D.
8．答案：D
解析：因为,则,则,A选项正确；
因为,则,,则,B选项正确；
因为,则,,则,C选项正确；
取,,,所以,D选项错误；
故选：D.
9．答案：BCD
解析：A选项,,,,,所以A选项错误.
B选项,若,则,则,所以B选项正确.
C选项,若,则,,所以C选项正确.
D选项,若,,则,所以,所以D选项正确.
故选：BCD.
10．答案：BCD
解析：若,,,,此时,故A错误;
,由,,则,故B正确;
因为,所以,所以,即,故C正确;
,由,则,因为,所以,故,,故D正确.
故选:BCD.
11．答案：CD
解析：对于A项：因为：,,所以得：,
又因为：,所以得：,故A项错误；
对于B项：令,,所以得：,但,故B项错误；
对于C项：由,得：,所以得：,故C项正确；
对于D项：由,,得：,
所以得：,故D项正确；
故选：CD.
12．答案：8
解析：因为直线过点，所以，
因为，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为8
故答案为：8
13．答案：20
解析：设矩形高为y,由三角形相似得且,,,,
所以,仅当时,矩形的面积取最大值,所以其边长为.
14．答案：
解析：因为,所以,当且仅当时取等号,故y的最小值为.
故答案为:
15．答案：2
解析：,,
,
,
当且仅当,即,时等号成立,
故的最小值为2.
故答案为:2.
16．答案：4
解析：因为,
所以
即
解方程得，
当时取等号，所以的最小值为4.
17．答案：(1)或
(2)答案见解析
解析：(1)当时,,
所以由得,解得或,
故的解集为或.
(2)由得,
当时,不等式化为,解得,故不等式的解集为；
令,解得或,
当,即时,不等式解得或,故不等式的解集为或；
当,即时,不等式化为,解得,故不等式的解集为；
当,即时,不等式解得或,故不等式的解集为或；
当,即时,不等式解得,故不等式的解集为；
综上：当时,不等式的解集为；
当时,不等式的解集为；
当时,不等式的解集为或；
当时,不等式的解集为；
当时,不等式的解集为或；
18．答案：（1）的最大值为
（2）实数m的取值范围是
解析：（1）由题意得，且，故，所以,
当且仅当，即时，等号成立，所以，
故的最大值为.
（2）当，时，有，所以，
即，当且仅当时，等号成立.因此的最小值为.
因为不等式恒成立，即恒成立，所以.
故实数m的取值范围是.
19．答案：证明见解析
解析：证明：由题设知，所以.又因为，
则，
即，而，，故.
20．答案：(1)；
(2)答案见解析.
解析：(1)由题设,即对一切实数x恒成立,
当时,不恒成立；
当时,只需,可得；
综上,.
(2)当时,,即,可得；解集为；
当时,,
若,则,
若,即时,可得或,解集为；
若,即时,可得,解集为；
若,即时,可得或,解集为；
若,则,可得,解集为.
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