第四章 指数函数与对数函数（含解析）--2025-2026学年高中数学人教A版（2019）必修第一册单元测试

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第四章 指数函数与对数函数--2025-2026学年高中数学人教A版（2019）必修第一册单元测试
一、选择题
1．已知，则( )
A. B. C. D.
2．函数的零点所在区间是( )
A. B. C. D.
3．已知,,则的值为( )
A.25 B.5 C. D.
4．已知,,,则a、b、c的大小关系为( )
A. B. C. D.
5．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大,水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由变为,生物丰富度指数由提高到,则( )
A. B. C. D.
6．已知,,,则( )
A. B. C. D.
7．设，，，则( ）
A. B. C. D.
8．若实数a、b、c使得函数的三个零点分别为椭圆、双曲线、抛物线的离心率、、,则a、b、c的一种可能取值依次为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．若一元二次方程有正实数根,则实数m可以是( )
A. B. C. D.
10．下列函数中有零点的是( )
A. B. C. D.
11．下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题
12．设，，则a_______b.（填“”或“”）
13．化简：_______________.
14．为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方式如下表：
每户每月用水量 水价
不超过的部分 3元/
超过但不超过的部分 6元/
超过的部分 9元/
若某户居民本月交纳水费为66元,则此户居民本月用水量为____________.
15．若函数在上恰有三个零点，则的可能取值为__________写出一个满足条件的正整数
四、解答题
16．化简：.
17．声强级L（单位：）由公式给出，其中I为声强（单位：）.在一次演唱会中，某女高音的声强级高出某男低音的声强级，请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍？
18．已知函数，的图象如图所示.
（1）试根据函数的增长差异指出，分别对应的函数；
（2）以两图象的交点为分界点，对，的大小进行比较.
19．化简求值：
（1）
（2）,
20．如图,已知,,,点P从B点沿直线BC运动到C点,过P作BC垂线l,记直线l左侧部分的多边形为,设,的面积为,的周长为．
(1)求和的解析式；
(2)记,求的最大值．
参考答案
1．答案：D
解析：依题意，，所以，.
故选：D
2．答案：B
解析：由于在上均单调递增,
故在上单调递增,
又,,,
,,
即,故函数的零点所在区间是,
故选：B.
3．答案：D
解析：,,.
故选：D.
4．答案：B
解析：,即在定义域上单调递增,且,,
,即在定义域上单调递增,且,,
,即在定义域上单调递减,且,
.
故选：B.
5．答案：D
解析：由题意得,,则,
即,所以.
故选：D.
6．答案：C
解析：因为,所以,,即,
因为,所以,,即,
综上,.
故选：C.
7．答案：C
解析：由内容提要2，，
所以，，
所以，
又，所以.
8．答案：C
解析：由题意可知,,,,
设
,
所以,,且,故满足条件的为C选项.
故选：C.
9．答案：ACD
解析：因为方程对应的函数为,开口向上,对称轴为,
所以方程有正实数根,则,即,解得.
故选：ACD.
10．答案：ABC
解析：对于A,时,,所以有零点,故A正确;
对于B,时,,所以有零点,故B正确;
对于C,时,,所以有零点,故C正确;
对于D,时,,因为,所以方程无解,所以没有零点,故D错误;
故选:ABC.
11．答案：BCD
解析：对于A,因为,
所以,故A错误;
对于B,因为,所以,即,故B正确;
对于C,因为,,
所以,故C正确;
对于D,因为,,,
又,,所以,,即,
所以,即,故D正确.
故选:BCD.
12．答案：
解析：由题意，，，所以，，
由糖水不等式，，结合a，b均为正数知.
13．答案：0
解析：.
故答案为：0.
14．答案：
解析：当用水量为时,水费为,而本月交纳的水费为66元,显然用水量超过,
当用水量为时,水费为,
而本月交纳的水费为66元,所以本月用水量不超过,
即有,
因此本月用水量为,
故答案为：.
15．答案：6（或7，答案不唯一）
解析：函数，
当时，，
又函数在上恰有3个零点，
所以，解得，
所以的可能取值为6或7.
故答案为：6或7
16．答案：
解析：原式.
17．答案：女高音的声强是该男低音声强的100倍
解析：设该女高音的声强级为，声强为，该男低音的声强级为，声强为，
由题意知，则，
所以，所以.
故该女高音的声强是该男低音声强的100倍.
18．答案：（1）；
（2）当时，；
当时，；
当时，；
当或时，
解析：（1）对应的函数为，对应的函数为.
（2）当时，；
当时，；
当时，；
当或时，.
19．答案：（1）
（2）a
解析：（1）原式
.
（2）原式
20．答案：(1)；
(2).
解析：(1)作的高,,,,
当,,所以,,
,.
当,,所以,,；
(2)当,,最大值为.
当时,,
当且仅当时,有最大值,又,
故最大值为．
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