2.2 基本不等式 重点题型梳理 专题练 2025--2026学年上学期高中数学必修第一册 （人教A版2019）

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2.2 基本不等式 重点题型梳理 专题练 2025--2026学年上学期高中数学必修第一册 （人教A版2019）
梳理练
一：条件等式求最值
1.若正实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.已知，则的最小值是（ ）
A．14 B． C．8 D．
3.（多选题）已知正数a，b满足，若a+b∈Z，则
a+b的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4.（多选题）若，，且，则下列结论正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
二：由基本不等式证明不等关系
1.已知实数,，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
2.（多选题）若，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
3.（多选题）若，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4.（多选题）若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
三 基本不等式求和的最小值
1.的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2.已知，则当取得最小值时，的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
3.已知，，，则的最小值为（ ）
A． B．12 C． D．6
4.已知，均为正实数，且，则使得取得最小值的，的值分别是（ ）.
A．， B．， C．， D．，
四：由基本不等式比较大小
1.已知a>1，b>1，记M＝，N＝，则M与N的大小关系为（ ）
A．M>N B．M＝N
C．M2.（多选题）若，为正数，则（ ）
A． B．当时，
C．当时， D．当时，
3.（多选题）下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4.（多选题）若．且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
能力练
一：基本不等式“1”的妙用求最值
1.已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．10
2.已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
3.已知，且，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
4.下列结论正确的是（ ）
A．当，且时，
B．当时，
C．当时，的最小值是
D．当时，的最小值为1
二：基本不等式求和的最小值、基本不等式的内容及辨析
1.已知，，且，那么（ ）
A． B．
C． D．
2.不等式(其中x＞2)中等号成立的条件是(　　)
A．x＝5 B．x＝－3
C．x＝3 D．x＝－5
3.如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（ ）
A．如果,那么 B．如果,那么
C．对任意正实数和，有， 当且仅当时等号成立 D．对任意正实数和，有,当且仅当时等号成立
4.（多选题）下列说法中，正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
三 基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值
1.已知，那么函数有（ ）
A．最大值2 B．最小值2 C．最小值4 D．最大值4
2.（多选题）已知，，且，则（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．的最小值为
D．的最小值为16
3.（多选题）若实数m，，满足，以下选项中正确的有（ ）
A．mn的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．最小值为
4.（多选题）设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为3 B．的最大值为1
C．的最小值为2 D．的最小值为2
拓展练
1. （多选题）设，且，，则必有（ ）
A． B． C． D．
2.若实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3.（多选题）若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
4.（多选题）下列表达式的最小值为2的有（ ）
A．当时，
B．当时，
C．
D．
答案
梳理练
一：条件等式求最值
D
【知识点】条件等式求最值
【分析】由可得，由基本不等式可得，即，解不等式即可求解.
【详解】由可得，
因为，，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以，解得：，
所以，
当且仅当即时等号成立，
的最小值为.
故选：D.
A
【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值
【分析】根据给定条件，用含x的式子表示，再运用基本不等式求解作答.
【详解】因为，则，
于是得，
当且仅当，即时取“=”，
所以当时，取最小值14.
故选：A
BC
【知识点】条件等式求最值
【分析】利用基本不等式构造关于的一元二次不等式，即可求解.
【详解】解：（当且仅当时，取等号），
即，解得：，又a+b=2时，ab=0，不合题意，
故选：BC
AB
【知识点】条件等式求最值
【分析】根据基本不等式分别求最值即可.
【详解】，，，
当且仅当时，等号成立，A正确，C错误；
又，当且仅当时，等号成立，B正确，D错误．
故选：AB．
二：由基本不等式证明不等关系
C
【知识点】充分条件、由基本不等式证明不等关系
【解析】利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断.
【详解】 且 ，
，
等号成立的条件是，
又 ，
，
等号成立的条件是,
，
反过来，当时，此时，但 ，不成立，
“”是“”的充分不必要条件.
故选:C
【点睛】本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础.
AD
【知识点】由基本不等式证明不等关系、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值
【分析】利用判断A；利用判断B；利用判断C；利用判断D；
【详解】因为，，，
对于A，，则，即，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B，，所以，当且仅当时取等号，故B错误；
对于C，，当且仅当时取等号，故C错误；
对于D，结合，，当且仅当时取等号，故D正确.
AD
【知识点】由基本不等式证明不等关系
【解析】利用基本不等式的性质来逐一判断正误即可.
【详解】解：对于A，，所以A正确；
对于B、C，虽然，只能说明同号，若都小于0时，则不等式不成立，所以B，C错误；
对于D，，；
CD
【知识点】由基本不等式证明不等关系
【分析】因为正实数,满足,可用“乘1法则”再根据基本不等式判断判断每个选项的正误.
【详解】解:,,且,,,A错误;
,
,B错误;,
,C正确;,
,D正确.
三 基本不等式求和的最小值
C
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】利用均值不等式求解即可.
【详解】因为，所以，当且仅当即时等号成立.
所以当时，函数有最小值4.
故选：C.
B
【知识点】基本不等式求和的最小值
【解析】根据基本不等式的取等条件可求得结果.
【详解】（当且仅当，即时取等号）
当取得最小值时，
故选：
【点睛】本题考查基本不等式取等条件的确定问题，关键是明确可利用基本不等式求解函数最值.
A
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】利用代换1法求最值即可.
【详解】因为，，，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立.
故选：A.
B
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】由，均为正实数，且，结合“1”的应用，原式可变形为，再利用均值不等式求最小值即可.
【详解】解：因为，均为正实数，且，所以，当且仅当时，等号成立，解得，.
即使得取得最小值的，的值分别是，.
四：由基本不等式比较大小
A
【知识点】由基本不等式比较大小
【分析】利用基本不等式可得答案.
【详解】因为，所以
，当且仅当取等号，
而，
故选：A．
BCD
【知识点】由基本不等式比较大小、由基本不等式证明不等关系
【解析】利用基本不等式，逐一检验即可得解.
【详解】解：对A，因为，所以，当时取等号，A错误；
对B，，当时取等号，B正确；
对C，，则，，当时取等号，C正确；
对D，， 当时取等号，即，D正确.
AD
【知识点】由基本不等式比较大小
【分析】对式子的结构适当变形，结合“正”、“定”、“等”即可作出判断.
【详解】A项，当x<0时，，∴A错误；
B项，，∴B正确；
C项，，其中，满足基本不等式的要求，∴C正确；
D项，变形为，当x取正数时，不成立，∴D错误.
故选：AD
CD
【知识点】由基本不等式比较大小
【分析】结合基本不等式对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】，当且仅当时等号成立，
则或，
则，
即AB错误，D正确.
对于C选项，，C选项正确.
故选：CD
能力练
一：基本不等式“1”的妙用求最值
C
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值
【分析】根据题意，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为，，且，
所以，
当且仅当时，即时取“”，所以的最小值为.
B
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】将变形为，代入，再通过常数代换和基本不等式可得.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为9.
故选：B
A
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值
【解析】将变形为，再将变形为，整理后利用基本不等式可求最小值.
【详解】因为，故，
故，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为3.
B
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值
【分析】根据结合基本不等式，即可判断A；
直接利用基本不等式即可判断BC，注意取等号的条件；
根据结合基本不等式，即可判断D.
【详解】解：因为，且，
所以，当且仅当，，即，时等号成立，所以，故A错误：
当时，，当且仅当，即时等号成立，故B正确；
当时，，当且仅当．即时等号成立，但已知条件中，故C错误；
当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，故D错误．
故选：B.
二：基本不等式求和的最小值、基本不等式的内容及辨析
C
【知识点】基本不等式的内容及辨析
【分析】利用基本不等式可判断各选项的正误.
【详解】因为，，由基本不等式可得，，
上述两个不等式当且仅当时成立，故ABD选项错误，C选项正确.
故选：C.
A
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的内容及辨析
【分析】根据基本不等式等号成立的条件可知，当时等号成立.
【详解】当时，，
等号成立的条件是 ，
，解得：.
C
【知识点】基本不等式的内容及辨析
【分析】观察图形,设直角三角形的长直角边为,短直角边为,由4个三角形的面积和与大正方形的面积的大小关系,得到,并判明何时取等即可
【详解】通过观察,可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的,设直角三角形的长直角边为,短直角边为,如图,整个大正方形的面积大于等于4个小三角形的面积和,即,即.当时,中间空白的正方形消失,即整个大正形与4个小三角形重合.其他选项通过该图无法证明,
ABD
【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式的内容及辨析
【分析】利用基本不等式分别判断每个选项的正误即可.
【详解】解：对于A选项，由，得，故A正确；
对于B选项，由，得，即，故B正确；
对于C选项，虽然，，但不一定有，，故C不一定成立，故C不正确；
对于D选项，由基本不等式，得，故D正确．
三 基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值
B
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】利用基本不等式，即可得到答案；
【详解】
，等号成立当且仅当，
函数的最小值2，
故选：B.
BCD
【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值
【分析】利用基本不等式有，结合换元法解一元二次不等式求范围，注意所得范围端点取值判断A；由已知得，利用基本不等式判断B、C、D，注意最值取值条件.
【详解】因为，，
所以，仅当时，即等号成立，
令，则，故，
所以，即，仅当时右侧等号成立，
所以的最大值为，A错误；
由，则，
所以，
仅当，即时等号成立，故的最小值为，B正确；
由，仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，C正确；
由，仅当，即时等号成立，
所以的最小值为16，D正确.
故选：BCD
AD
【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】利用基本不等式解决条件的最值问题求解和为定值或乘积为定值.
【详解】解：对于A，由m，，得，又，
所以，解得，当且仅当，
即，时等号成立，
所以mn最大值为，选项A正确；
对于B，，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，选项B错误；
对于C，由，得，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，又m，，
所以，选项C错误；
对于D，由m，，，得，
则，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，选项D正确．
故选：AD．
ABD
【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值
【分析】根据基本不等式判断．
【详解】因为正实数m、n，
所以，
当且仅当且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确；
由 ，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确；
因为，当且仅当m=n=1时取等号，故≤2即最大值为2，C错误；
，当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故D正确.
故选：ABD
拓展练
1. BD
【知识点】基本不等式的内容及辨析
【解析】利用基本不等式计算出的取值范围，再结合求解出的取值范围，从而可判断出结果.
【详解】解：由基本不等式可得，，∴，
又，
∴，所以，
所以A错B对C错D对，
故选：BD.
B
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】两次应用基本不等式可得最值，注意等号成立的条件是一致的．
【详解】解：因为，则，
当且仅当且时取等号，即时取等号，
此时取得最小值3．
CD
【知识点】由基本不等式证明不等关系
【分析】因为正实数,满足,可用“乘1法则”再根据基本不等式判断判断每个选项的正误.
【详解】解:,,且,,,A错误;
,
,B错误;,
,C正确;,
,D正确.
BC
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】根据基本不等式及二次函数性质判断．
【详解】解：①对选项A，当均为负值时，，故最小值不为2;
②对选项B，因为，所以同号，所以，
所以，当且仅，即时取等号，故最小值为2;
③对选项C，，当时，取最小值2;
④对选项D，，
当且仅当，即时，取等号，但等号显然不成立，
故最小值不为2.
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