2.3 二次函数与一元二次方程不等式 重点题型梳理 专题练 2025--2026学年上学期高中数学必修第一册 （人教A版2019）

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2.3 二次函数与一元二次方程不等式 重点题型梳理 专题练 2025--2026学年上学期高中数学必修第一册 （人教A版2019）
梳理练
一：根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式
1.设集合，.若，则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
2.已知集合，，若，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
3.已知集合，，则有
A． B． C． D．
4.若，则实数的一个取值为 .
二：由一元二次不等式的解确定参数
1.若关于的不等式的解集为，则（ ）
A．或1 B．1 C．或1 D．或或1
2.若不等式的解集为，则等于（ ）
A．-18 B．8 C．-13 D．1
3.已知命题：对任意实数，有；命题：存在实数使，若为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.已知不等式 的解集为 , 则不等式 的解集为 （ ）
A． 或
B．
C．
D． 或
三 解含有参数的一元二次不等式
1.不等式的解集可能是（ ）
A．或
B．R
C．
D．
2.二次函数的部分对应值如下表：
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
则不等式的解集是
A． B．
C． D．
3.不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C． D．
4.关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
能力练
一：一元二次不等式在实数集上恒成立问题
1.若不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是
A．－24＜k＜0 B．－24＜k≤0 C．0＜k≤24 D．k≥24
3.若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为(　　)
A．1 B．－1 C．－3 D．3
4.使“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
二：由一元二次不等式的解确定参数
1.已知，.若，，则有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2.若关于的不等式的解集是，则实数等于（　　）
A．－1 B．－2 C．1 D．2
3.若不等式的解集是，则的值为（ ）
A．-10 B．-14 C．10 D．14
4.已知不等式的解集是，则的值为（ ）
A． B．7 C． D．
三 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
1.若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．
2.（多选题）设函数.对于任意恒成立，则实数x的取值范围不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3.（多选题）设函数.对于任意恒成立，则实数x的取值范围不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4.设函数．
(1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围．
(2)对于恒成立，求的取值范围．
拓展练
1. 已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A． B． C．0 D．
2.若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.若方程的两根都大于 ，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4.某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售价销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案
梳理练
一：根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式
C
【知识点】根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式
【分析】解一元二次不等式求得集合，根据两个集合的交集为空集列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】由解得，由于，故.所以本小题选C.
C
【知识点】根据交集结果求集合或参数、解含有参数的一元二次不等式、分式不等式
【详解】试题分析：由中不等式变形得，且，解得：，即；由中不等式解得：，即，所以分两种情况考虑：当时，，即；当时，则有或，即，综上，则实数的取值范围为，故选C．
考点：1、集合的表示；2、集合的交集及其应用．
A
【知识点】判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算、并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式
【分析】解不等式，得出集合，再对四个选项的命题进行验证．
【详解】解不等式，得或，则集合，
所以，，，，，故选A.
（答案不唯一）
【知识点】根据交集结果求集合或参数、解含有参数的一元二次不等式
【分析】根据题意，由交集的定义可知不等式的解集为的子集即可满足题意.
【详解】因为，
且当时，即时，，
当时，即时，才有可能使得，
所以的解集为的子集，
则，所以，所以实数的一个取值可以为.
故答案为:
二：由一元二次不等式的解确定参数
B
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数
【分析】将和5代入方程，求解即可.
【详解】解：由题意知方程的实数根为和5，
代入得，解得.
故选：B.
C
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系
【分析】由题可得为方程的两根，代入列方程解出即可.
【详解】不等式的解集为，
为方程的两根，
则根据根与系数关系可得，
，则.
C
【知识点】根据或且非的真假求参数、由一元二次不等式的解确定参数
【分析】根据含有逻辑连接词的否定，由题意可得为真命题，解不等式组即可得解.
【详解】由为假命题可得“”为真命题，
所以，解得，
故选：C
或
【答案】A
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数
【分析】根据给定的解集求出值，再代入角一元二次不等式即可.
【详解】因为不等式 的解集为 ,
因此 的两根为 , 且，即 , 解得 ，
所以不等式 化为 , 其解集为 或 .
故选： A
三 解含有参数的一元二次不等式
A
【知识点】解含有参数的一元二次不等式
【分析】根据判别式结合二次函数图象可以判断.
【详解】因为，所以函数的图像与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集在两根之外，不可能是B、C、D选项.
D
【知识点】解不含参数的一元二次不等式
【分析】根据表中数据，确定二次函数的零点，得到二次函数解析式，再由特殊点代入，求出，进而即可得出结果.
【详解】由表知，当或时，，
∴二次函数可化为.
又∵当 时， ，∴.
不等式的解集为.
B
【知识点】解不含参数的一元二次不等式
【分析】因式分解求解即可.
【详解】即，解得或
故选：B
C
【知识点】解含有参数的一元二次不等式
【分析】先求出对应方程的根，比较两根大小，再结合二次函数的图象写出解集即可.
【详解】方程的两根分别为 ，
又，所以，故此不等式的解集为.
能力练
一：一元二次不等式在实数集上恒成立问题
A
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】因为恒成立，则恒成立可转化为恒成立，则，即可解得的取值范围
【详解】因为恒成立
所以恒成立
恒成立
恒成立
故
解之得：
故选：A
B
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【详解】试题分析：当时不等式即为，不等式恒成立，当时，若不等式恒成立，则，即，即，综合知，故选择B．
考点：二次函数与二次不等式.
C
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】由题意可得m≤x2﹣4x对一切x∈（0，1]恒成立，再根据f（x）＝x2﹣4x在（0，1]上为减函数，求得f（x）的最小值，可得 m的最大值．
【详解】解：由已知可关于x的不等式x2﹣4x﹣m≥0对任意x∈（0，1]恒成立，可得m≤x2﹣4x对一切x∈（0，1]恒成立，
又f（x）＝x2﹣4x在（0，1]上为减函数，
∴f（x）min＝f（1）＝﹣3，
∴m≤﹣3，即 m的最大值为﹣3，
B
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、判断命题的必要不充分条件
【分析】先利用参变量分离法求出的取值范围，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．
【详解】解：因为不等式在上恒成立，
所以，
即，而可以推出，不能推出，
所以“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是，
二：由一元二次不等式的解确定参数
B
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解不含参数的一元二次不等式、根据交并补混合运算确定集合或参数
【解析】先化简集合，再根据，，求出集合，再根据方程与不等式的关系，运用根与系数的关系求解.
【详解】由，得，得或，即，
又，，得，即是方程的两根，
得，.
C
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数
【分析】根据一元一次不等式与一元一次方程的关系，列出方程，即可求解.
【详解】由题意不等式的解集是，
所以方程的解是，则，解得，故选C.
B
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数
【分析】根据一元二次不等式的解集，结合根与系数关系求出a、b，即可得结果.
【详解】由题意，和是方程的两个根，
由韦达定理得：且，解得：，，
所以.
故选：B
A
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数
【分析】先将题目转化为和为方程的根，且，再结合韦达定理即可求解.
【详解】由题意，不等式的解集是，
则和为方程的根，且，
即，解得，，
所以.
故选：A.
三 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
B
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值
【分析】依据题意先将问题等价转化成在上恒成立，接着将恒成立问题转化成最值问题，再结合基本不等式即可求解.
【详解】，使得成立是真命题，
所以,恒成立.
所以在上恒成立，
所以，
因为，当且仅当即时等号成立，
所以，所以，即实数的最大值为.
故选：B.
ABC
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】根据条件将问题转化为：不等式对任意成立，求解的取值范围，从而判断出取值范围不正确的选项.
【详解】根据条件可知：不等式对任意成立，
所以对任意成立，
所以对任意成立，
问题等价于且，
所以，解得：，
ABC
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】根据条件将问题转化为：不等式对任意成立，求解的取值范围，从而判断出取值范围不正确的选项.
【详解】根据条件可知：不等式对任意成立，
所以对任意成立，
所以对任意成立，
问题等价于且，
所以，解得：，
(1)
(2)
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】（1）通过两种情况讨论即可；
（2）法一：结合二次函数最值即可求解，法二：通过参变分离求最值即可求解.
【详解】（1）要使恒成立，
若，显然．
若
需满足
综上：．
（2）解法一：要使在上恒成立，
就要使在上恒成立．
令．
当时，在上随的增大而增大，
当时，；
当时，恒成立；
当时，在上随的增大而减小，
当时，得，
．
综上所述：．
解法二：当时，恒成立，
即当时，恒成立．
，
又，．
函数在1上的最小值为，
．
拓展练
1. A
【知识点】方程与不等式
【解析】根据，利用韦达定理即可求得另一根.
【详解】因为是一元二次方程的一个根
设方程的另一根为，由韦达定理可得
，解得.
C
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】分和，当时，根据二次函数性质可求得a的范围.
【详解】当，即时，原不等式恒成立；
当时，要使原不等式对一切恒成立，则，解得.
综上，实数a的取值范围为.
故选：C
D
【知识点】一元二次方程根的分布问题
【分析】构造函数，根据二次函数的两个零点都大于列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】设，
由题意得：，
解之得实数的取值范围为：.
B
【知识点】一元二次不等式的实际应用
【分析】由题意为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，
可列不等式 同时需要注意最低售价为15元，即.同时满足上述条件，可解得范围得到答案
【详解】由题意，得，即，∴，解得．又每盏的最低售价为15元，∴．
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