2.1 等式与不等式性质 重点题型梳理 专题练 2025--2026学年上学期高中数学必修第一册 （人教A版2019）

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2.1 等式与不等式性质 重点题型梳理 专题练 2025--2026学年上学期高中数学必修第一册 （人教A版2019）
梳理练
一：作差法比较代数式的大小
1.若，且，则在下列四个选项中，最大的是（ ）
A． B． C． D．
2.若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．a，b大小不确定
3.若，给出下列不等式：
①；②；③；④
其中正确的不等式是（ ）
A．①④ B．②③
C．①③ D．②④
4.已知，则（ ）
A． B． C． D．
二：由已知条件判断所给不等式是否正确
1.给定下列命题：①a>b a2>b2；②a2>b2 a>b；③a>b <1；④a>b <.其中正确的命题个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2.下列命题不正确的是.
A．
B．
C．
D．
3.对于实数x，y，z，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4.已知，则（ ）
A． B．
C． D．
三 由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小
1.若、、，，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知，则以下不等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3.下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则．
4.如果，，那么下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
能力练
一：利用不等式求值或取值范围
1.已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.已知二次函数的图象过原点，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3.已知，，则的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．4
4.已知，，则下列正确的是　　
A． B． C． D．
二：由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小
1.已知，则下列不等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．（）
2.（多选题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3.（多选题）已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式不成立的是（ ）
A．xy＞yz B．xy＞xz C．xz＞yz D．x|y|＞|y|z
4.（多选题）已知，，，都是正数，且，，则下列关系正确的有（ ）
A． B．
C． D．
拓展练
设 a＞b＞1， ，给出下列三个结论：
① ＞ ；② ＜ ； ③ ，
其中所有的正确结论的序号是
A．① B．① ② C．② ③ D．① ②③
2. 若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3.下列命题正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4.（多选题）已知、、、均为实数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，则
答案
一：作差法比较代数式的大小
C
作差法比较代数式的大小
（1）先判断，可得，所以，排除A、D，再用作差法比较B、C的大小，可得答案.
（2）也可以令，取特殊值进行验证排除.
方法一：∵且，∴，可排除A；又，排除D；
∵，
即，排除B.
故选：C.
方法二：因为且，可取，.
则：，，因为.
故选：C.
B
作差法比较代数式的大小
根据作差比较法可得解.
解：因为
，
所以．
故选：B.
C
由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小
根据不等式的基本性质，以及特例法，结合作差比较和对数的函数的单调性，逐项判定，即可求解.
因为，可得，所以，所以①正确；
例如：当，满足，此时，所以②不正确；
由，
因为，可得，所以，所以，
所以③正确；
由，可得，所以，所以④不正确.
故选：C.
C
作差法比较代数式的大小
用作差法比较大小即可求解.
,
.
故选：C
二：由已知条件判断所给不等式是否正确
A
由已知条件判断所给不等式是否正确
分别取特殊值即可判断.
对①，若，则，故①错误；
对②，若，满足，但，故②错误；
对③，若，则，故③错误；
对④，若，则，故④错误，
所以正确的命题个数是0.
故选：A.
B
由已知条件判断所给不等式是否正确
利用不等式的性质逐个对选项进行判断，B项通过特例法能推出不成立
根据不等式的性质可判断选项A、C、D中的命题正确；
对于B项，若，则推不出，
即命题不正确，
所以答案选B
对于简单的不等式判断的，需要结合基本性质进行判断
D
由已知条件判断所给不等式是否正确
举反例判断选项A、B、C不正确，由不等式的性质判断选项D，即可得正确选项.
对于A：当时，可得不成立，故选项A不正确；
对于B：取，，满足，，故选项B不正确；
对于C：取，，满足，但，故选项C不正确；
对于D：因为，，所以.又因为，，所以，
所以，故选项D正确，
故选：D.
C
由已知条件判断所给不等式是否正确
根据不等式的性质逐一判断即可.
因为，
所以，由不等式的性质4可知，，A错误；
由不等式的性质7可知，，B错误；
由不等式性质4可知，，C正确；
由，结合不等式的性质3可知，，D错误.
故选：C.
三 由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小
C
由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小
由不等式的性质和反例即可判断.
对于AB：取，满足，显然，不成立，错误；
对于C：因为，所以，正确；
对于D：取，显然不成立，错误，
故选：C
D
由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小
利用不等式的性质逐项判断即得.
∵，∴，故A正确；
∵，∴，∴，即，故B正确；
由可得，，∴，故C正确；
因为，所以，，所以，即．故D错误.
故选：D．
A
由不等式的性质比较数（式）大小
对于A：利用不等式的可乘性证明；
对于B：取特殊值即可判断；
对于C：取特殊值即可判断；
对于D：取特殊值即可判断.
对于A：因为，所以，所以.故A正确；
对于B：取满足，但.故B不正确；
对于C：取，则，不成立.故C不正确；
对于D：取，则，有，不成立.故D不正确.
故选：A
A
由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确
利用不等式的性质依次判断即可
由，，可知，所以选项A正确；
由，得，无法比较与的大小，所以与无法比较大小，选项B错误；
由，，无法比较与的大小，所以也不一定成立，选项C，D错误．
故选：A
能力练
一：利用不等式求值或取值范围
D
利用不等式求值或取值范围
根据不等式的性质即可求解.
解：因为，，
所以，，
所以，
所以的取值范围是，
故选：D.
B
利用不等式求值或取值范围
设二次函数为：，令，解出，则，利用，和不等式的性质可得结果.
因为二次函数的图像过原点，所以设二次函数为：，
因为，，
所以，，
令，，则，，
联立，解得，，
所以，
由，得，
即.
故选：B.
本题考查了利用不等式的性质求取值范围，解题关键是整体换元，化为关于的不等式，利用不等式的性质解题，属于中档题.
A
利用不等式求值或取值范围
用表示，利用不等式的性质求的范围.
由不等式的性质得，，，
∴，∴，
∵，∴，∴，
当且仅当即时，取到最大值.
故选：A.
AC
利用不等式求值或取值范围
直接利用不等式的基本性质的应用求出结果．
由于，，
所以：，故，故选项正确．
，所以，故选项错误．
对于选项，所以，故选项正确．
对于选项，即故选项错误．
二：由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小
D
由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小
利用不等式的基本性质，结合特殊值法，逐项判定，即可求解.
对于A中， 当时，，此时，所以A错误；
对于B中， 当时，，所以B错误.
对于C中， 当时，，所以C错误.
对于D中，因为，可得，所以D正确.
BCD
由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小
A选项可以举出反例，BCD可以利用不等式的基本性质推导出.
，，满足条件，故A错误；，故B正确；由得，故C正确；由有，故D正确．
故选：BCD
ACD
由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小
利用不等式的基本性质即可得出结果.
由题意知，，所以，
又，所以，得，
同理，，即.
所以若y=0时，不一定成立；成立；不成立；若时，则不一定成立.
故选：ACD
4.BCD
由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小、由不等式的性质证明不等式
在已知条件下，利用不等式的性质，判断选项中的结论是否正确.
已知，，，都是正数，且，，
对于A选项，满足已知条件，但此时，A选项错误；
对于B选项，由不等式的同向可加性，，时，有，B选项正确；
对于C选项，由，，有，所以，C选项正确；
对于D选项，由，，
有，
所以，得，D选项正确；
故选：BCD
拓展练
D
由已知条件判断所给不等式是否正确
由不等式及a＞b＞1知，又，所以＞，①正确;由幂函数函数的图像与性质知②正确；由a＞b＞1，知，由对数函数的图像与性质知③正确.
B
由已知条件判断所给不等式是否正确
根据已知条件，结合不等式的性质，对选项进行逐一判断即可.
因为，
对：当 不一定成立，比如不成立，故不成立；
对：因为，故可得，故一定成立；
对：因为，，故不成立；
对：因为，，故不成立.
D
由已知条件判断所给不等式是否正确
A项中，需要看分母的正负；B项和C项中，已知两个数平方的大小只能比较出两个数绝对值的大小.
A项中，若，则有，故A项错误；B项中，若，则，故B项错误；C项中，若则即，故C项错误；D项中，若，则一定有，故D项正确.
CD
由已知条件判断所给不等式是否正确
对于A：由和已知条件和，可判断；
对于B：由题意得，可判断；
对于C：由，得，又由，可判断；
对于D：由，可得，继而得，，可判断.
对于A：，，又，，即，故A不正确；
对于B：，，，所以，即，故B错误；
对于C：，，又，，故C正确；
对于D：由，可知，，，成立，故D正确.
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