第二十一章 实际问题与一元二次方程 关键题型总结+训练（二） 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
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| 名称 | 第二十一章 实际问题与一元二次方程 关键题型总结+训练（二） 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 341.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-11 08:57:20 | ||
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文档简介
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第二十一章 实际问题与一元二次方程 关键题型总结+训练（二）
2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
归纳+训练（二）
七、图表信息问题
1．（24-25九年级上·广东中山·阶段练习）如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．
2．（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
发布日期 10月8日 10月11日 10月12日
发布次数 第1次 第2次 第3次
票房 10亿元 12.1亿元
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票
3．（21-22八年级下·安徽池州·期中）如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数．
(1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）；
(2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．
八、传播传染问题
1．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
2．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26九年级上·全国·课后作业）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会 名同学．
4．（25-26九年级上·全国·课后作业）某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治疗．假定在病毒传播过程中，每轮平均1人会传染x人．若1人患病，则经过两轮传染就共有81人患病．
(1)每轮平均1人会传染多少人？
(2)若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？
九、增长率问题
1．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，该公司2021年缴税40万，2023年缴税48.4万，该公司这两年缴税的年平均增长率是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·全国·课后作业）在“双减”政策的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为，经过去年下半年和今年上半年两次调整后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了64%．设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）为丰富学生课后活动，学校成立了“课外阅读社团”，并且不断完善藏书数量，今年3月份课外阅读社团有藏书500册，到今年5月份藏书数量增长到720册．
(1)求课外阅读社团这两个月藏书的平均增长率．
(2)按照这样的增长方式，今年6月份课外阅读社团的藏书量是多少册？
十、循环比赛问题
1．（25-26九年级上·全国·课后作业）2023年国际篮联篮球世界杯比赛小组赛在印度尼西亚、日本以及菲律宾同时进行．若某小组有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍都赛1场），单循环比赛共进行了15场，则该小组参加比赛的队伍共有（ ）
A．7支 B．6支 C．5支 D．4支
2．（2025九年级上·全国·专题练习）某次女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间都赛1场），单循环比赛共进行了45场，则参加比赛的队伍有（ ）
A．8支 B．10支 C．7支 D．9支
3．（2025九年级上·全国·专题练习）一次足球比赛采取双循环比赛（每两支队伍之间都进行2场比赛）．若要比赛56场，则共有 支队伍参加比赛．
4．（24-25九年级上·广东江门·期中）列方程解应用题：学校举行乒乓球比赛，有若干个队报名，比赛采取单循环制（每两个队要比赛一场），一共比了66场，有多少个队参加了报名？
十一、握手问题
1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在一次同学聚会时，大家相互握手问候．如果每人都和其他人握手一次，一共握了 45次手，那么参加这次聚会的同学共有（ ）人．
A．9 B．10 C．45 D．46
2．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手45次，则这次会议参加的人数是（ ）
A．7 B．10 C．12 D．20
3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）第33届“哈洽会”有若干家公司参加，每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同．则参加此次“哈洽会”的公司有 家．
十二、树干分支问题
1．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是，则每个支干长出（ ）根小分支
A． B． C． D．
2．（2024·辽宁抚顺·二模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支：设每个支干长出x小分支，那么根据题意可以列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（26-27九年级上·全国·课后作业）某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的又长出同样多的小支根，而其余支根长出一半数目的小支根．主根、支根、小支根的总数是109根，则这种植物的主根长出 根支根．
4．（24-25九年级下·河南开封·阶段练习）某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若该植物的一个主干及其上面的支干和小分支的总数是57，求这种植物每个支干长出的小分支个数．
答案
七、图表信息问题
1． 最小数为8，最大数为18
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可．
【详解】解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为，
∴，
解得（舍去）．
故最小数为8，最大数为18．
(1)10%
(2)2500000张
【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用数量=总结单价，即可求出结论；
【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：平均每次累计票房增长的百分率是10%．
（2）解：
（张）．
答：10月11日卖出2500000张电影票．
（或（张）．）
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
(1)；
(2)9．
【分析】（1）设圈出的四个数中，最小的数为，根据日历上两个数之间的关系可得答案；
（2）根据最小数与最大数的乘积为105，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】（1）解：设圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为
故答案为：
（2）设四个数中，最小数为，根据题意，得.
解得（不符合题意负值舍去）
答：这个最小值为9.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
八、传播传染问题
1． A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用．设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感”列出方程求解即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，
，
整理得：，
解得：，（舍），
∴每轮传染中平均一个人传染的人数为8人，
故选：A．
C
【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键，根据题意，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，
∴第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，
∴，
故选：C．
6
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
设一个人每节课手把手教会了 名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设1人每次能手把手教会x名同学．由题意，得，
解得（不合题意，舍去），
∴1人每次能手把手教会6名同学．
故答案为：6．
(1)每轮平均1人会传染8人
(2)三轮传染后，患病的人数会超过700
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了这种传染病即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患病的人数=经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数×8，即可求出结论．
【详解】（1）解：由题意，得，解得（不合题意，舍去）．
故每轮平均1人会传染8人．
（2）解：三轮传染后的人数为．
，
∴三轮传染后，患病的人数会超过700．
九、增长率问题
1． (1)每轮传染中平均一个人传染8个人
(2)患病的人数会超过700人
【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了这种传染病即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患病的人数=经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数×8，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：，不合题意，舍去
答：每轮传染中平均一个人传染8个人．
（2）
三轮感染后，患病的人数为（人
∵，
患病的人数会超过700人．
答：患病的人数会超过700人
A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
设年平均增长率是，依题意得，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是，
依题意得，，
解得，或（舍去），
∴年平均增长率是，
故选：A．
C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设每半年平均每周作业时长的下降率为x，根据现在平均每周作业时长比去年上半年减少了64%，列方程即可得到结论．
【详解】解：设每半年平均每周作业时长的下降率为x，
由题意可得，即
故选：C．
(1)阅读公园这两个月藏书的平均增长率
(2)估算出今月6月份阅读公园的藏书量是864册
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设这两个月藏书的月平均增长率为x，利用该校“阅读公园”5月底的藏书量=该校“阅读公园”3月的藏书量×，即可得出关于x的一元二次方程，解之，取其正值即可得出结论；
（2）利用该校“阅读公园”6月的藏书量=该校“阅读公园”5月的藏书量×（1+藏书的月平均增长率），即可求出该校“阅读公园”6月的藏书量．
【详解】（1）解：设该校这两个月藏书的月均增长率为x，
根据题意，得
解得，（不合题意，舍去）
该校这两个月藏书的月均增长率为；
（2）解；（册），
所以，预测到6月该校“阅读公园”的藏书量是册．
十、循环比赛问题
1． B
【详解】设该小组参加比赛的队伍共有x支．
根据题意，得，
解得（不合题意，舍去），
∴该小组参加比赛的队伍共有6支．
【点睛】考察一元二次方程循环赛的应用问题，注意是单循环赛制，需要除以2才行
B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．设参加比赛的队伍有支，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：设参加比赛的队伍有支，根据题意得，
解得：，（舍去）
故选：B．
8
【分析】一元二次方程循环赛问题，根据总赛场56场列等量关系，设方程解答即可
【详解】解：设共有支队伍参加比赛
解得：（舍去）
∴共有8支队伍参加比赛
【点睛】本题考查了一元二次方程循环赛问题，注意双循环表示每支队伍都与除自己外的所有队伍比赛2场
有12个队参加了报名
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设有个队参加了报名，由单循环制的特点可得，再解方程并检验即可．
【详解】解：设有个队参加了报名，则
，
∴，
∴，
解得，（经检验不符合题意），
所以有12个队参加了报名．
十一、握手问题
1．B
【分析】本题考查列一元二次方程解决实际问题，解题的关键在于分析题意，找出相等关系并建立方程．
设这次聚会的同学共n人，则每人与其他人各握手一次，而两个人之间握手一次，因而共握手次，即可列方程求解．
【详解】解设有名同学参加聚会，每人与其他人各握手一次，但每两次握手被重复计算一次，故总握手次数为．根据题意，得：
解得（舍去负根）．
因此，参加聚会的同学共有10人，
故选：B．
B
【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．设这次会议参加的人数是x人，根据题意列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：设这次会议参加的人数是x人，
根据题意，得，
解得，
故这次会议参加的人数是10人，
故选：B．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有家公司参加“哈洽会”，依题意得，求解即可，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的性质并根据题意列出方程．
【详解】解：设有家公司参加“哈洽会”，依题意得：
，
整理得：，
解得：（舍去），
∴参加此次“哈洽会”的公司有家，
故答案为：．
十二、树干分支问题
1． C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设每个支干长出个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是”得出一元二次方程，解方程可得答案．
【详解】解：设每个支干长出个小分支，由题意得：，
解得：（不合题意，舍去），
故每个支干长出个小分支，
故选：C．
2 ． A
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意，可以列出相应的方程：主干支干小分支，进而得出答案．
【详解】解：依题意得支干的数量为x个，
小分支的数量为个，
那么根据题意可列出方程为：．
故选：A．
3．12
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程即可，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设这种植物的主根长出x根支根．由题意，得，
解得（不合题意，舍去），
∴这种植物的主根长出12根支根．
故答案为：12．
这种植物每个支干长出的小分支个数是7．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是，根据主干、支干和小分支的总数是57，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案．
【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是，
根据题意，可得，
整理得，
解得，（不合题意，舍去），
答：这种植物每个支干长出的小分支个数是7．
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第二十一章 实际问题与一元二次方程 关键题型总结+训练（二）
2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
归纳+训练（二）
七、图表信息问题
1．（24-25九年级上·广东中山·阶段练习）如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．
2．（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
发布日期 10月8日 10月11日 10月12日
发布次数 第1次 第2次 第3次
票房 10亿元 12.1亿元
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票
3．（21-22八年级下·安徽池州·期中）如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数．
(1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）；
(2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．
八、传播传染问题
1．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
2．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26九年级上·全国·课后作业）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会 名同学．
4．（25-26九年级上·全国·课后作业）某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治疗．假定在病毒传播过程中，每轮平均1人会传染x人．若1人患病，则经过两轮传染就共有81人患病．
(1)每轮平均1人会传染多少人？
(2)若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？
九、增长率问题
1．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，该公司2021年缴税40万，2023年缴税48.4万，该公司这两年缴税的年平均增长率是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·全国·课后作业）在“双减”政策的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为，经过去年下半年和今年上半年两次调整后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了64%．设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）为丰富学生课后活动，学校成立了“课外阅读社团”，并且不断完善藏书数量，今年3月份课外阅读社团有藏书500册，到今年5月份藏书数量增长到720册．
(1)求课外阅读社团这两个月藏书的平均增长率．
(2)按照这样的增长方式，今年6月份课外阅读社团的藏书量是多少册？
十、循环比赛问题
1．（25-26九年级上·全国·课后作业）2023年国际篮联篮球世界杯比赛小组赛在印度尼西亚、日本以及菲律宾同时进行．若某小组有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍都赛1场），单循环比赛共进行了15场，则该小组参加比赛的队伍共有（ ）
A．7支 B．6支 C．5支 D．4支
2．（2025九年级上·全国·专题练习）某次女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间都赛1场），单循环比赛共进行了45场，则参加比赛的队伍有（ ）
A．8支 B．10支 C．7支 D．9支
3．（2025九年级上·全国·专题练习）一次足球比赛采取双循环比赛（每两支队伍之间都进行2场比赛）．若要比赛56场，则共有 支队伍参加比赛．
4．（24-25九年级上·广东江门·期中）列方程解应用题：学校举行乒乓球比赛，有若干个队报名，比赛采取单循环制（每两个队要比赛一场），一共比了66场，有多少个队参加了报名？
十一、握手问题
1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在一次同学聚会时，大家相互握手问候．如果每人都和其他人握手一次，一共握了 45次手，那么参加这次聚会的同学共有（ ）人．
A．9 B．10 C．45 D．46
2．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手45次，则这次会议参加的人数是（ ）
A．7 B．10 C．12 D．20
3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）第33届“哈洽会”有若干家公司参加，每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同．则参加此次“哈洽会”的公司有 家．
十二、树干分支问题
1．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是，则每个支干长出（ ）根小分支
A． B． C． D．
2．（2024·辽宁抚顺·二模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支：设每个支干长出x小分支，那么根据题意可以列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（26-27九年级上·全国·课后作业）某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的又长出同样多的小支根，而其余支根长出一半数目的小支根．主根、支根、小支根的总数是109根，则这种植物的主根长出 根支根．
4．（24-25九年级下·河南开封·阶段练习）某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若该植物的一个主干及其上面的支干和小分支的总数是57，求这种植物每个支干长出的小分支个数．
答案
七、图表信息问题
1． 最小数为8，最大数为18
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可．
【详解】解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为，
∴，
解得（舍去）．
故最小数为8，最大数为18．
(1)10%
(2)2500000张
【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用数量=总结单价，即可求出结论；
【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：平均每次累计票房增长的百分率是10%．
（2）解：
（张）．
答：10月11日卖出2500000张电影票．
（或（张）．）
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
(1)；
(2)9．
【分析】（1）设圈出的四个数中，最小的数为，根据日历上两个数之间的关系可得答案；
（2）根据最小数与最大数的乘积为105，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】（1）解：设圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为
故答案为：
（2）设四个数中，最小数为，根据题意，得.
解得（不符合题意负值舍去）
答：这个最小值为9.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
八、传播传染问题
1． A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用．设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感”列出方程求解即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，
，
整理得：，
解得：，（舍），
∴每轮传染中平均一个人传染的人数为8人，
故选：A．
C
【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键，根据题意，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，
∴第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，
∴，
故选：C．
6
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
设一个人每节课手把手教会了 名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设1人每次能手把手教会x名同学．由题意，得，
解得（不合题意，舍去），
∴1人每次能手把手教会6名同学．
故答案为：6．
(1)每轮平均1人会传染8人
(2)三轮传染后，患病的人数会超过700
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了这种传染病即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患病的人数=经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数×8，即可求出结论．
【详解】（1）解：由题意，得，解得（不合题意，舍去）．
故每轮平均1人会传染8人．
（2）解：三轮传染后的人数为．
，
∴三轮传染后，患病的人数会超过700．
九、增长率问题
1． (1)每轮传染中平均一个人传染8个人
(2)患病的人数会超过700人
【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了这种传染病即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患病的人数=经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数×8，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：，不合题意，舍去
答：每轮传染中平均一个人传染8个人．
（2）
三轮感染后，患病的人数为（人
∵，
患病的人数会超过700人．
答：患病的人数会超过700人
A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
设年平均增长率是，依题意得，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是，
依题意得，，
解得，或（舍去），
∴年平均增长率是，
故选：A．
C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设每半年平均每周作业时长的下降率为x，根据现在平均每周作业时长比去年上半年减少了64%，列方程即可得到结论．
【详解】解：设每半年平均每周作业时长的下降率为x，
由题意可得，即
故选：C．
(1)阅读公园这两个月藏书的平均增长率
(2)估算出今月6月份阅读公园的藏书量是864册
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设这两个月藏书的月平均增长率为x，利用该校“阅读公园”5月底的藏书量=该校“阅读公园”3月的藏书量×，即可得出关于x的一元二次方程，解之，取其正值即可得出结论；
（2）利用该校“阅读公园”6月的藏书量=该校“阅读公园”5月的藏书量×（1+藏书的月平均增长率），即可求出该校“阅读公园”6月的藏书量．
【详解】（1）解：设该校这两个月藏书的月均增长率为x，
根据题意，得
解得，（不合题意，舍去）
该校这两个月藏书的月均增长率为；
（2）解；（册），
所以，预测到6月该校“阅读公园”的藏书量是册．
十、循环比赛问题
1． B
【详解】设该小组参加比赛的队伍共有x支．
根据题意，得，
解得（不合题意，舍去），
∴该小组参加比赛的队伍共有6支．
【点睛】考察一元二次方程循环赛的应用问题，注意是单循环赛制，需要除以2才行
B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．设参加比赛的队伍有支，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：设参加比赛的队伍有支，根据题意得，
解得：，（舍去）
故选：B．
8
【分析】一元二次方程循环赛问题，根据总赛场56场列等量关系，设方程解答即可
【详解】解：设共有支队伍参加比赛
解得：（舍去）
∴共有8支队伍参加比赛
【点睛】本题考查了一元二次方程循环赛问题，注意双循环表示每支队伍都与除自己外的所有队伍比赛2场
有12个队参加了报名
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设有个队参加了报名，由单循环制的特点可得，再解方程并检验即可．
【详解】解：设有个队参加了报名，则
，
∴，
∴，
解得，（经检验不符合题意），
所以有12个队参加了报名．
十一、握手问题
1．B
【分析】本题考查列一元二次方程解决实际问题，解题的关键在于分析题意，找出相等关系并建立方程．
设这次聚会的同学共n人，则每人与其他人各握手一次，而两个人之间握手一次，因而共握手次，即可列方程求解．
【详解】解设有名同学参加聚会，每人与其他人各握手一次，但每两次握手被重复计算一次，故总握手次数为．根据题意，得：
解得（舍去负根）．
因此，参加聚会的同学共有10人，
故选：B．
B
【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．设这次会议参加的人数是x人，根据题意列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：设这次会议参加的人数是x人，
根据题意，得，
解得，
故这次会议参加的人数是10人，
故选：B．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有家公司参加“哈洽会”，依题意得，求解即可，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的性质并根据题意列出方程．
【详解】解：设有家公司参加“哈洽会”，依题意得：
，
整理得：，
解得：（舍去），
∴参加此次“哈洽会”的公司有家，
故答案为：．
十二、树干分支问题
1． C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设每个支干长出个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是”得出一元二次方程，解方程可得答案．
【详解】解：设每个支干长出个小分支，由题意得：，
解得：（不合题意，舍去），
故每个支干长出个小分支，
故选：C．
2 ． A
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意，可以列出相应的方程：主干支干小分支，进而得出答案．
【详解】解：依题意得支干的数量为x个，
小分支的数量为个，
那么根据题意可列出方程为：．
故选：A．
3．12
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程即可，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设这种植物的主根长出x根支根．由题意，得，
解得（不合题意，舍去），
∴这种植物的主根长出12根支根．
故答案为：12．
这种植物每个支干长出的小分支个数是7．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是，根据主干、支干和小分支的总数是57，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案．
【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是，
根据题意，可得，
整理得，
解得，（不合题意，舍去），
答：这种植物每个支干长出的小分支个数是7．
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