第二十一章 实际问题与一元二次方程 关键题型总结+训练（一） 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十一章 实际问题与一元二次方程 关键题型总结+训练（一）
2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
归纳+训练（一）
一、图形面积问题
1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨第六十九中学建设的校区篮球场是一个面积为608平方米的矩形活动场地，它的长比宽多13米，设场地的宽为x米，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，从一个长10分米、宽8分米的铁片中间截去一个面积为60平方分米的小长方形，使剩下长方形框四周宽度一样，如果设这个宽度为分米，那么所列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，某校为生物兴趣小组规划一块长，宽的矩形试验田，现需在试验田中修建同样宽的两天互相垂直的小路（两条小路各与举行的一条边平行），根据学校规划，小路分成的四块试验田的总面积为，求小路的宽为多少米？若设小路的宽为，根据题意所列方程是 ．
4．（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在长为62米、宽为42米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为2400平方米，求道路的宽为多少米？
二、销售问题
1．（24-25九年级上·云南·期中）某商场将进价为45元/件的甲商品以65元/件出售时，平均每天能卖出30件，若每降价1元，则每天可多卖出5件，如果降价元，每天盈利800元，那么可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23九年级上·山西临汾·期中）由于换季，某童装专柜决定降价销售减少库存．已知某款童装平均每天可售出件，每件盈利元．如果每件每降价元，那么平均每天可多售出件．若要使该款童装每天的销售利润为元，设每件降价元，则应满足（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·江苏苏州·一模）某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为 元．
4．（24-25八年级下·全国·期中）某服装店销售一批衬衫，每件进价150元，开始以每件200元的价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，决定降价销售，经两次降价后的每件售价162元．
(1)已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率；
(2)聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售收入又可增加收入，且每件衬衫售价每降低1元，销售会增加2件，若店主想要每星期获利1750元，售价应定为多少元？
三、图形动点问题
1．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，中，，，，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，两点同时出发，一点先到达终点时两点同时停止，则（ ）秒后，的面积等于．
A． B． C．或 D．或
2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，已知在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当的面积等于时，共需的时间为（　　）
A．1s B．2s或4s C．3s D．3.5s
3．（24-25九年级上·新疆·阶段练习）中，，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．当运动时间t为 时，的面积为．
4．（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为 ．
四、数字问题
1．（24-25八年级下·山东烟台·期中）淇淇同学在计算正数的平方时，误算成与的积，求得的答案比正确答案小，则正数的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
2.（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）已知两个相邻的偶数之积为，若设较小的偶数为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）一个两位数，个位数字与十位数字之和是5，十位数字与个位数字对调后所得的数与原数相乘，得736，这个两位数是 ．
4．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）小亮改编了苏轼的诗词《念奴娇 赤壁怀古》；“大江东去浪淘尽，千古风流人物，而立之年督东吴，早逝英才两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜去世时年 为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，求周瑜去世时年龄．注：“而立之年”指的是三十岁，两位数表示为（十位数字）+（个位数字）．
五、工程问题
1．（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个．
(1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？
(2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值．
2．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？
3．（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．
六、行程问题
1．（24-25九年级上·河南周口·期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了 秒．
4．（23-24九年级上·全国·单元测试）一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车．
(1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？
(2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？
(3)汽车滑行20米时用了多长时间？
答案
一、图形面积问题
1． C
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程；根据矩形的面积公式得到方程是解决本题的基本思路．根据题意设出未知数，利用矩形的面积公式列出方程即可．
【详解】解：设场地的宽为x米，则长为米，
根据题意得，
故选：C．
C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设这个宽度为分米，根据中间小长方形面积为60平方分米，列出方程即可．
【详解】解：设这个宽度为分米，则中间小长方形的长为分米，宽为分米，根据题意得：，
故选：C．
【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意，四块试验田可以拼为长为，宽为的矩形，根据矩形面积公式列方程即可．
【详解】解：设小路的宽为，
根据题意，得，
故答案为：．
2米
【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程解决问题，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
设道路的宽为x米，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程，解出即可．
【详解】解∶设道路的宽为x米，根据题意得
整理得，
解得：（舍去），
答∶道路的宽为2米．
二、销售问题
1． D
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．由题意可知降价元，平均每天能卖出件，每件盈利元，即可列出方程．
【详解】解：降价元，则可多卖出件，此时售价为元/件，
∴此时平均每天能卖出件，每件盈利元，
∴每天盈利元，
即可列方程为．
故选D．
A
【分析】设每件降价元，可得每件盈利元，每天可售出件，根据利润的计算方法列式即可求解．
【详解】若每件降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，
根据题意得：，
故选：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程与销售问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握一元二次方程的运用是解题的关键．
【分析】设定价为x元，利用销售量×每千克的利润元列出方程求解即可. 本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，表示出销售量和每千克的利润，再列出方程．
【详解】解：设定价为x元.根据题意可得，
解之得：，
∵销售量尽可能大
∴，
故答案为：
(1)
(2)175或185元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
（1）设每次降价的百分率为x，根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得解；
（2）设售价应定为y元，则每件的销售利润为元，每星期可卖出件，根据总利润每件利润件数，列出关于的一元二次方程，解方程即可得解．
【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：每次降价的百分率为；
（2）解：设售价应定为y元，则每件的销售利润为元，每星期可卖出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：售价应定为175或185元．
三、图形动点问题
1． A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列方程是解题的关键．
设移动时间为秒，因为秒，所以，列方程得，解方程即可得到答案．
【详解】解：设移动时间为秒，
秒，
，
根据题意得，
解得或（不符合题意，舍去），
秒后，的面积等于，
故选：A．
B
【分析】本题考查一元二次方程的应用——几何问题，用运动路程表示相关线段的长度是解题的关键．
运动x秒后，，，根据三角形的面积公式建立一元二次方程，求解即可．
【详解】解：设x秒后的面积等于，由题意得，
，
解得：，，
故选：B．
1
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．在解答时要注意所求的解使实际问题有意义．根据三角形的面积公式建立方程就可以求出的值．
【详解】解：由题意，得，．
列方程，得，
解得：，（不符合题意，舍去），
当时，的面积等于．
故答案为：1
或
【分析】本考查了一元一次方程，一元二次方程的应用，分两种情况讨论，，，根据分别列出方程，解方程，即可求解．
【详解】解：如图所示，当时，点在线段上，在上，
∵正方形的边长为，为的中点，
∴
依题意，，，则；
∵
∴
∴
∴，
解得：
则
如图所示，当时，点在线段上，在上，
依题意，，则，
∵，即
∴
解得：或（舍去）
综上所述，或
则
故答案为：或．
四、数字问题
1． A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，无理数的大小判断，熟练掌握解一元二次方程的求根公式是解题关键．
根据题意，建立方程，解方程，即可求解．
【详解】解：根据题意，得：，即，
解得：，
或，
，
，
∵a为正数，
．
故选：A．
2 ． D
【分析】本题考查了列一元二次方程，设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据题意得出方程，即可求解．
【详解】解：设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据题意得
故选：D．
23或32
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设原数的个位数字是，则十位数字是，然后根据等量关系“个位数字与十位数字对调后所得新数比原数小9”列一元二次方程求解即可．
【详解】解：设原数的个位数字是，则十位数字是．
根据题意得：，
解得：或，
则或．
则这个两位数是23或32．
故答案为：23或32．
周瑜去世时年龄为36岁
【分析】本题考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则设周瑜去世时年龄的十位数字为，然后根据个位的平方恰好等于该数列出方程求解即可．
【详解】解：设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则设周瑜去世时年龄的十位数字为，
由题意得，
解得，
∴十位数字为2或3
∵而立之年督东吴，“而立之年”指的是三十岁，
∴应舍去，
∴周瑜去世时年龄为36岁．
五、工程问题
1．(1)B生产线至少加工6小时
(2)a的值为2
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解．
设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可；
根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值．
【详解】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时，
根据题意可得：，
解得：
答：生产线至少加工小时；
（2）解：由题意可得：，
整理得：，
解得，（不符合题意，舍去），
答：的值为．
2 ． (1)该品牌头盔销售量的月增长率为
(2)增加4条或条生产线
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解；
（2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x．
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设增加x条生产线．
，
解得，，
答：增加4条或条生产线．
(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米
(2)的值为10
【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可；
（2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，
根据题意得，
，
解得：，
则，
答：型设备每小时铺设的路面长度为90米；
（2）根据题意得，
，
整理得，，
解得：，（舍去），
∴的值为10．
【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程．
六、行程问题
1． C
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解．
根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可．
【详解】解：依题意得：
，
整理得，
解得(不合题意舍去)，，
即行驶需要．
故选：C.
A
【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用，理解题意，利用勾股定理列出方程是解题的关键．由题意得，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形，设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，利用勾股定理列出方程即可解答．
【详解】解：如图，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形：
设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，
则，，
由勾股定理得，，
．
故选：A．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：根据题意得：，
整理得： ，
解得： (不符合题意，舍去)，
故答案为：．
(1)15米/秒；2秒
(2)15米/秒
(3)秒
【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子．
（1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间；
（2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案；
（3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案．
【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米，
则在这段时间内的平均车速为米/秒；
从刹车到停车所用的时间是秒；
（2）从刹车到停车车速的减少值是，
从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒；
（3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，
则这段路程内的平均车速为米/秒，
所以，
整理，得，
解得，（不合题意，舍去），
答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒．
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