第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末综合试题 2025--2026学年上学期高中数学必修第一册 （人教A版2019）

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一元二次函数、方程和不等式 章末综合试题
2025--2026学年上学期高中数学必修第一册 （人教A版2019）
满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）．
A． B．
C． D．
5．已知，且，，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．命题恒成立，命题成立，若是真命题，是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，由杠杆原理可推出：左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金质量（ ）
A．大于10克 B．小于10克
C．等于10克 D．当时，大于10克；当时，小于10克
8．关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知关于的不等式（）的解集为，下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C．的最小值为4 D．若，则的最小值为4
11．已知，则下列正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．最大值为8 D．的最大值为6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．不等式的解集为 ．
13．已知实数x、y满足，，则的取值范围为 .
14．已知对任意恒成立，则实数的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
（1）比较与的大小；
（2）已知，求证：．
16．（15分）
（1）已知，，且，求的最大值；
（2）证明：、、，.
17．（15分）
已知，，且．
(1)求的最小值；
(2)证明：．
18．（17分）
某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）.
(1)求的值；
(2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
(3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
19．（17分）
已知函数，．
(1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
(2)解关于x的不等式．
答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． C
【分析】先解不等式，然后根据充分条件、必要条件的定义判断即可
【详解】由或，，
若或成立，则不一定成立，故充分性不成立，
若成立，则或一定成立，故必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：C.
C
【分析】利用特殊值法可判断AD错误，利用作差法计算可得B正确，再由不等式性质可得C错误.
【详解】对于A，当时，可知不成立，故A错误；
对于B，由，可得，则，即，故B错误；
对于C，因为，可得；
所以，故C正确；
对于D，，当时，，故D错误．
故选：C
B
【分析】由题设可得，再应用基本不等式求目标式的最大值.
【详解】因为，所以，
因为，
当且仅当，即时等号成立，故的最大值为.
故选：B
A
【分析】根据一元二次不等式解法以及根与系数的关系即可求得结果.
【详解】依题意可知和3是方程的两个实数根，且；
因此，解得；
所以不等式可化为，即，
解得或，即不等式的解集为
故选：A
A
【分析】由，可得，利用的代换结合基本不等式求出最小值．
【详解】，，
当且仅当，即时取等号.
故选：A.
D
【分析】根据含有量词的命题真假关系分别求出真假时的范围，即可求解．
【详解】因为恒成立为真命题，
所以在时恒成立，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以，即，
因为命题成立为假命题，
所以为真命题，则，即，
若是真命题，是假命题，则．
故选：D
A
【分析】设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案.
【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为，
所以，所以，
先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.
由杠杆的平衡原理：，．解得，，
则.
下面比较与10的大小：
因为，
因为，所以，即，
所以这样可知称出的黄金质量大于.
故选：A.
B
【分析】原不等式可化为，即可得，即或，再分及，结合解集及正整数解的个数讨论即可得.
【详解】原不等式可化为，
即恰有2个整数解，
，解得或.
当时，不等式的解集为，
，个整数解为1，2，
，即，解得；
当时，不等式的解集为，
，个整数解为，，
，即，解得.
综上所述，实数的取值范围是或.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9． BD
【分析】根据不等式性质证明B正确，利用作差法证明D正确，其余举反例即可.
【详解】，所以B正确；
当时，满足，
但，所以A，C；
,故D正确.
故选：BD
10． ACD
【分析】由不等式的解集判断该函数开口向上，从而判断A选项；又因为方程只有一个解，根据求解的值；再根据均值不等式计算CD即可.
【详解】选项A中，因为关于的不等式（）的解集为，
所以判断二次函数开口向上，即，选项A正确；
选项B中，因为方程只有一个解，得，
解得，选项B错误；
选项C中，因为，且，所以，，
当且仅当，即，时，取到最小值，选项C正确；
选项D中，若，则，，
当且仅当，即时等号成立，选项D正确.
故选：ACD.
BC
【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，，
A选项，，
，解得，
当且仅当，即时等号成立，
所以，所以A选项错误.
B选项，，，
，
当且仅当时等号成立，所以B选项正确.
D选项，，
整理得，，
当且仅当时等号成立，所以D选项错误.
C选项，，
由D选项的分析可知：，所以C选项正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． ，或
【分析】先移项、通分，再转化为整式不等式求解即可.
【详解】由得，，通分得，
此不等式等价于，解得或，
故不等式的解集为，或
故答案为：，或
13．
【分析】根据不等式的性质求得正确答案.
【详解】通过观察可知，
由于，则，
而，所以.
故答案为：
【分析】变形得到在上恒成立，由基本不等式求出，得到.
【详解】，
因为，所以问题等价于在上恒成立，
其中，
当且仅当，即时，等号成立，
故.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
（1） ；（2）证明见解析 ．
【分析】（1）利用比较法，作差即可判断大小：
（2）结合不等式性质即可证明．
【详解】解：（1）
.
（2）证明：因为，可得，
则，又，可得．
16．（15分）
（1）；（2）证明见解析
【分析】（1）利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最大值；
（2）利用基本不等式可证得所求不等式成立.
【详解】（1）因为，，且，
由基本不等式可得，可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最大值为；
（2）因为、、都是正数，
由基本不等式可得，，，
由不等式的基本性质可得，
当且仅当时，等号成立.
故.
17．（15分）
(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）变换得到，再利用均值不等式计算得到答案；
（2）变换，展开利用均值不等式即可证明.
【详解】（1）因为，所以，
，，故，当且仅当，即时取等号，
所以，即的最小值为8；
（2）证明：
，
当且仅当，即时取等号，所以.
18．（17分）
(1)
(2)
(3)3万元
【分析】（1）由时，代入即可求解；
（2）由销售综合减去促销费用、成本即可求解；
（3）由（2）结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题意知，当时，（万件），
则，解得；
（2）由（1）可得.
所以每件产品的销售价格为（元），
2024年的利润.
（3）当时，，
，当且仅当时等号成立.
，
当且仅当，即万元时，（万元）.
故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.
19．（17分）
(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）先对二次项系数分类讨论，再依据二次函数性质建立不等式，求解参数即可.
（2）对参数分类讨论，再求解不等式即可.
【详解】（1）由题意得对任意的恒成立，
当时，，而，
此时对任意的不成立，故排除，
故我们讨论的开口，当时，此时开口向下，不符合题意，故排除，
当时，此时开口向上，符合题意，令，
故，解得，得到实数的取值范围为.
（2）当时，，令，解得
当时，我们讨论如下，因为，
所以，令，
解得或，当时，解得，
此时，
故得到的解集为，
当时，我们做出如下讨论，令，解得，
此时，令，解得，
令，解得，此时令，解得，
当时，恒成立，令，解得
综上，当时，解集为，
当时，解集为，
当时，解集为，
当时，解集为，
当时，解集为.
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