第二章 匀变速直线运动的研究 追及相遇问题常见题型梳理 专题练 2025-2026学年物理高一年级必修一（2019）
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| 名称 | 第二章 匀变速直线运动的研究 追及相遇问题常见题型梳理 专题练 2025-2026学年物理高一年级必修一（2019） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 521.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版（2019） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2025-09-11 08:57:20 | ||
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匀变速直线运动的研究 追及相遇问题常见题型梳理
专题练 2025-2026学年物理高一年级必修一（2019）
一．先远离后靠近的问题
1．甲、乙两物体在两地同时同向出发做匀加速直线运动，出发时甲的初速度为2 m/s，乙的初速度为1 m/s，运动时甲的加速度为2 m/s2，乙的加速度为4 m/s2，已知甲、乙在2 s时恰好相遇，下列说法正确的是( )
A.从出发到相遇，甲的位移为6 m
B.在2 s后，若甲、乙保持加速度不变，则会再次相遇
C.甲与乙出发地之间的距离为4 m
D.相遇之前，甲与乙在t＝0.5 s时相距最远
2．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车．则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？
3．(多选)为了测试小车的性能，甲、乙两辆小车同时从M处由静止开始沿平直公路均先做匀加速直线运动，然后刹车做匀减速直线运动直至静止，两车先后停在N处，甲、乙两车的v－t图像如图所示，假设两车在各自匀加速阶段和匀减速阶段的加速度大小相等，甲车、乙车全程经历的时间分别为t0和2t0，甲、乙两车加速度大小分别为a1和a2，最大速度分别为v1和v2，则( )
A.v1∶v2＝2∶1
B.a1∶a2＝∶1
C.甲车停下时，两车相距最远
D.甲车运动了t0时，两车相距最远
4．小李利用假日游学，他乘坐的公共汽车从车站开出，以大小为的速度沿平直公路匀速行驶，由于有东西忘了带，汽车开出后他爸爸骑一辆摩托车从同一车站由静止以大小的加速度匀加速直线追赶，求：
（1）摩托车出发后，追上汽车的时间及其追赶过程中通过的距离；
（2）摩托车追上汽车前两车间的最大距离；
（3）若小李爸爸骑的是电动车，其加速度不变，但最大行驶速度为，则他爸爸至少多长时间才能追上。
二．先靠近后远离的问题
1．甲、乙两辆玩具车在同一平直路面上行驶，二者运动的位移－时间图像如图所示，其中乙车的位移－时间图线是关于x轴对称的抛物线的一部分，则下列说法正确的是( )
A．甲车先做匀减速直线运动后做匀速直线运动
B．乙车一定做初速度为零的匀加速直线运动
C．甲车在0～10 s内的平均速度为－1.5 m/s
D．在0～10 s内甲、乙两车相遇两次，且相遇时速度可能相等
2．(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图像如图所示．已知两车在t＝3 s时并排行驶，则( )
A．在t＝1 s时，甲车在乙车后
B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m
C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s
D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
3．甲、乙两车在同一平直公路上同向行驶，甲车在前，速度为10m/s，乙车在后，速度为15m/s。当两车相距64m且甲车距离停车线10m时，甲车司机突然发现前方斑马线处有行人，立即刹车做匀减速直线运动，并恰好停在停车线处，甲车停车等待4s后以的加速度启动。甲车开始刹车1s后，乙车以的加速度做匀减速直线运动，当看到甲车启动时才以的加速度做匀加速直线运动。司机的反应时间忽略不计。求：
（1）甲车刹车时加速度的大小；
（2）甲车启动时，两车之间的距离；
（3）两车之间的最近距离。
4．一步行者以6.0 m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，则( )
A．人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36 m
B．人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7 m
C．人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43 m
D．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远
三．刹车类问题
1 ．(多选)两辆汽车在同一直道上以相等的速度v0做同向直线运动，某时刻前车突然熄火做加速度大小为a1的匀减速运动，后车司机经Δt时间后刹车，以大小为a2的加速度做匀减速运动，结果两车同时停下且没有发生碰撞，则在前车熄火前，两车正常行驶时之间距离至少是( )
A. B．v0Δt
C.(＋) D.(－)
2．如图所示，直线MN表示一条平直单车道，甲、乙两辆汽车开始静止，车头分别在A、B两处，两辆车长均为L＝4 m，两个车头间的距离为x0＝89 m，现甲车先开始向右做匀加速直线运动，加速度a1＝2.5 m/s2，甲车运动了t0＝5 s后，发现乙车仍然静止，甲车立即鸣笛，又经过t1＝1 s，乙车才开始向右做匀加速直线运动。
(1)若乙车运动的加速度a2＝5.0 m/s2，两辆汽车是否会相撞？通过计算说明。
(2)若要使两车不相撞，乙车运动的加速度至少是多少？
3．两辆完全相同的汽车，沿水平道路一前一后匀速行驶，速度均为v0。若前车突然以恒定的加速度a刹车，在它刚停住时，后车以加速度2a开始刹车。已知前车在刹车过程中所行驶的路程为s，若要保证两辆车在上述情况中不发生碰撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为( )
A．s B．s C．2s D．s
4．某产业园内部货运铁路系统因调度失误，导致快慢不同的A、B两列火车在同一轨道上同向行驶，A车在前，速度；B车在后，速度。B车在距A车600m时发现A车，立即采取制动措施刹车。
（1）若B车以的加速度刹车，通过计算判断两车是否发生碰撞；
（2）若要避免发生碰撞，B车刹车时的加速度至少应是多少。
四．图像问题
1．在水平直轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同.要使两车不相撞，求A车的初速度v0应满足什么条件？(请用临界法与图象法分别分析解题)
2 ．(多选)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图像分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶。下列说法正确的是( )
A.两车在t1时刻也并排行驶
B.在t1时刻甲车在后，乙车在前
C.甲车的加速度大小先增大后减小
D.乙车的加速度大小先减小后增大
3．随着智能手机的使用越来越广泛，一些人在驾车时也常常低头看手机，然而开车时看手机是一种危险驾驶行为，极易引发交通事故。如图甲所示，一辆出租车在平直公路上以v0＝20 m/s的速度匀速行驶，此时车的正前方x0＝63.5 m处有一辆电动车，正以v1＝6 m/s的速度匀速行驶，而出租车司机此时开始低头看手机，3.5 s后才发现危险，司机经0.5 s反应时间后，立即采取紧急制动措施。若从司机发现危险开始计时，出租车的速度—时间图像如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2。
(1)若出租车前面没有任何物体，从司机开始低头看手机到出租车停止运动的这段时间内，出租车前进的距离是多少？
(2)通过计算判断电动车是否会被撞。若不会被撞，求二者之间的最小距离；若会相撞，求从出租车刹车开始，经过多长时间二者相撞。
4．甲、乙两辆小车，在同一平直公路上同向做直线运动，甲做加速度增大的加速运动，乙做匀加速直线运动。其速度—时间图像如图所示，下列说法正确的是( )
A.在t1时刻两车加速度相等
B.在0～t1时间内，两车位移相等
C.在t1～t2之间的某一时刻，两车速度相等
D.在t1～t2之间的某一时刻，两车加速度相等
五．能否撞上的问题
1．自动驾驶汽车依靠人工智能、雷达，监控装置和全球定位系统协同合作，让电脑可以在没有任何人操作的情况下，自动安全地操作机动车辆.如图所示，某平直公路上一辆自动驾驶汽车正以v1＝40 km/h的速度匀速行驶，某时刻其右前方一小狗以v2＝5 m/s的速度垂直车道方向匀速跑入公路，当汽车传感器探测到小狗时，小狗到汽车右侧所在直线的距离L1＝5 m，到汽车前沿所在直线的距离L2＝8 m.已知汽车的车长d1＝5 m、车宽d2＝2 m，汽车加速时的加速度大小a1＝4 m/s2，刹车时的加速度大小a2＝5 m/s2.为了避免与小狗发生碰撞，汽车的自动驾驶系统该作出的正确判断是( )
A.汽车应保持原速通过
B.汽车应刹车减速
C.汽车应加速通过
D.不论汽车是加速还是刹车均不能避免与小狗发生碰撞
2．(多选)汽车在路上出现故障时，应在车后放置三角警示牌(如图所示)，以提醒后面驾车司机减速安全通过。在夜间，有一货车因故障停驶，后面有一小轿车以30 m/s的速度向前驶来，由于夜间视线不好，小轿车驾驶员只能看清前方50 m内的物体，并且他的反应时间为0.6 s，制动后最大加速度为5 m/s2。假设小轿车始终沿直线运动。下列说法正确的是( )
A．小轿车从刹车到停止所用的最短时间为6 s
B．小轿车的刹车距离(从刹车到停止运动所走的距离)为80 m
C．小轿车运动到三角警示牌时的最小速度为20 m/s
D．三角警示牌至少要放在货车后58 m远处，才能有效避免两车相撞
3 ．A、B两辆列车在能见度很低的雾天里在同一轨道上同向行驶，A车在前，速度vA＝10 m/s，B车在后，速度vB＝30 m/s。当B车发现A车时就立刻刹车。已知B车在进行刹车测试时发现，若车以30 m/s的速度行驶时，刹车后至少要前进1 800 m才能停下，假设B车刹车过程中加速度恒定。为保证两辆列车不相撞，则能见度至少要达到( )
A．400 m B．600 m
C．800 m D．1 600 m
4．某一长直的赛道上，一辆F1赛车前方200 m处有一安全车正以10 m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶.
(1)求赛车出发3 s末的瞬时速度大小；
(2)求赛车何时追上安全车？追上之前与安全车最远相距多少？
(3)当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？(设赛车可以从安全车旁经过而不相碰)
六．极值问题
1．图(a)为自动感应门，门框上沿中央安装有传感器，当人与传感器的水平距离小于或等于某个设定值(可称为水平感应距离)时，中间两扇门分别向左右平移，当人与传感器的距离大于设定值时，门将自动关闭。图(b)为感应门的俯视图，A为传感器位置，虚线圆是传感器的感应范围，已知每扇门的宽度为d，最大移动速度为v0，若门开启时先匀加速运动而后立即以大小相等的加速度匀减速运动，每扇门完全开启时的速度刚好为零，移动的最大距离为d，不计门及门框的厚度。
(1)求门开启时做加速和减速运动的加速度大小；
(2)若人以v0的速度沿图中虚线s走向感应门，要求人到达门框时左右门同时各自移动的距离，那么设定的传感器水平感应距离l应为多少？
(3)若以(2)的感应距离设计感应门，欲搬运宽为的物体(厚度不计)，并使物体中间沿虚线s垂直地匀速通过该门，如图(c)所示，物体的移动速度不能超过多少？
2．若A、B两辆车相距2 m，沿同一直线同向运动，B车在前做初速度为零，加速度为a1的匀加速直线运动，A车在后面做初速度为2 m/s，加速度为a2的匀加速直线运动，讨论a1与a2满足什么条件时两车相遇一次？
3．(多选)为解决疫情下“最后500米”配送的矛盾，将“人传人”的风险降到最低，目前一些公司推出了智能物流机器人。机器人运动的最大速度为1 m/s，当它过红绿灯路口时，发现绿灯时间是20 s，路宽是19.5 m，它启动的最大加速度是0.5 m/s2，下面是它过马路的安排方案，既能不闯红灯，又能安全通过的方案是( )
A．在停车线等绿灯亮起，以最大加速度启动
B．在距离停车线1 m处，绿灯亮起之前2 s，以最大加速度启动
C．在距离停车线2 m处，绿灯亮起之前2 s，以最大加速度启动
D．在距离停车线0.5 m处，绿灯亮起之前1 s，以最大加速度启动
4 ．一汽车在直线公路上以54 km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14 m处有一辆自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶。经过0.4 s的反应时间后，司机开始刹车，则：
(1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？
(2)若汽车刹车时的加速度只为4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度加速，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？
答案
一．先远离后靠近的问题
1. D
解析 由x＝v0t＋at2可得甲从出发到相遇的位移为8 m，A错误；2 s相遇时甲的速度由v＝v0＋at可得v甲＝6 m/s，同理可得v乙＝9 m/s，又乙的加速度大于甲，可知2 s后乙的速度始终大于甲，不会再次相遇，B错误；由x＝v0t＋at2可得从出发到相遇甲、乙的位移分别为x甲＝8 m，x乙＝10 m，则甲与乙出发地之间的距离为x乙－x甲＝2 m，C错误；分析可知甲、乙速度相等的时刻相距最远，由v甲0＋a甲t＝v乙0＋a乙t，可得t＝0.5 s时甲、乙相距最远，D正确。
2.2 s 6 m
解析 解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t，两车间的距离为Δx，则有v＝at
所以t＝＝2 s
Δx＝vt－at2＝6 m.
解法二(极值法)：设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则Δx＝vt－at2
代入已知数据得Δx＝6t－t2
由二次函数求极值的条件知：t＝2 s时，Δx有最大值6 m
所以t＝2 s时两车相距最远，为Δx＝6 m.
解法三(图像法)：自行车和汽车的v－t图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，
v1＝6 m/s
所以有t1＝＝ s＝2 s，
Δx＝＝ m＝6 m.
3. AD
解析 由两车位移相等有v1t0＝v2·2t0，解得v1∶v2＝2∶1，故A正确；由图像可得，甲的加速度a1＝，乙的加速度a2＝，整理有a1∶a2＝4∶1，故B错误；速度相等时相距最远，设甲达到最大速度后，再经过Δt时间，两车相距最远。速度相等时有v1－a1Δt＝a2，对甲车v1＝a1·，再联立a1∶a2＝4∶1，解得Δt＝t0，甲车运动时间t甲＝＋Δt＝t0时，两车相距最远，故C错误，D正确。
4.（1），；（2）；（3）
【详解】（1）摩托车出发后，追上汽车时，有，
解得，
（2）当摩托车速度等于汽车速度时，摩托车追上汽车前两车间的距离最大，设经时间，摩托车速度等于汽车速度，则
摩托车追上汽车前两车间的最大距离为
（3）电动车做加速运动的时间为
电动车做加速运动的位移为
设自行车出发后，经时间追上汽车，则
解得
二．先靠近后远离的问题
1.B
解析 甲车先做匀速运动后静止不动，选项A错误；乙车的x－t图像为关于x轴对称的抛物线的一部分，由此得位移方程x＝－at2，可知乙车做初速度为零的匀加速直线运动，选项B正确；甲车在10 s内的平均速度 v＝＝－0.6 m/s，选项C错误；从图像中可知图线相交两次，则两车相遇两次，图线的斜率表示速度，可知两次相遇时甲、乙速度都不同，选项D错误．
2. BD
解析 根据v－t图像知，甲、乙两车都沿正方向运动．t＝3 s时，甲、乙两车并排行驶，此时v甲＝30 m/s，v乙＝25 m/s，由v－t图线与时间轴所围“面积”对应位移知，0～3 s内甲车位移x甲＝×3×30 m＝45 m，乙车位移x乙＝×3×(10＋25) m＝52.5 m．故t＝0时，甲、乙两车相距Δx1＝x乙－x甲＝7.5 m，即甲车在乙车前方7.5 m，选项B正确；0～1 s内，x甲′＝×1×10 m＝5 m，x乙′＝×1×(10＋15) m＝12.5 m，Δx2＝x乙′－x甲′＝7.5 m＝Δx1，说明在t＝1 s时甲、乙两车第一次并排行驶，选项A、C错误；甲、乙两车两次并排行驶的位置之间的距离为x＝x甲－x甲′＝45 m－5 m＝40 m，选项D正确．
3.（1）；（2）9m；（3）4m
【详解】（1）甲车立即刹车做匀减速直线运动，并恰好停在停车线处，所以
解得
（2）甲车刹车时间为
乙车如果完全刹停所需要的时间为
所以乙先匀速运动1s，在匀减速运动5s，再开始匀加速。则在甲车启动前，乙的位移为
则甲车启动时，两车之间的距离为
（3）甲乙的图如图所示。
则前8s，乙一直在后面追赶甲，所以第8秒末，甲乙两车距离最近。
这8秒内，乙的位移为
这8秒内，甲的位移为
两车之间的最近距离为
4.选B 汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速到6.0 m/s时二者相距最近。汽车加速到6.0 m/s所用时间t＝6 s，人运动距离为6×6 m＝36 m，汽车运动距离为18 m，二者最近距离为18 m＋25 m－36 m＝7 m，A、C错误，B正确。人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离先减小后增大，D错误。
三．刹车类问题
1.AD
解析 前车减速到零所需时间为：t1＝，减速通过的位移为：x1＝，后车在Δt时间内通过的位移为x′＝v0Δt，后车减速到零经历的时间为：t2＝，减速通过的位移为：x2＝，由于两车同时停下且没有发生碰撞，故t1－Δt＝t2，x′＋x2＝x1＋s0，联立解得，在前车熄火前，两车正常行驶时之间距离至少是：s0＝或(－)，故A、D正确，B、C错误．
2.(1)会 (2) m/s2
解析 (1)假设两车某时刻相撞，如图所示。
应满足时间关系t甲＝t乙＋t0＋t1
位移关系x甲＝x乙＋x0－L
甲车在t0＋t1＝6 s时的位移为
a1(t0＋t1)2＝45 m此时尚未撞上乙车，若此后再经时间t与乙车相撞
则有a1(t＋t0＋t1)2＝a2t2＋x0－L
代入数据解得t＝4 s(另一解舍去)，即再经过t＝4 s甲、乙两车会相撞。
(2)若经过时间t2，两车速度相等，且此时两车恰好不相撞，此种情况下乙车加速度设为a0，则有a1t2＝a0(t2－t0－t1)
a1t＝a0(t2－t0－t1)2＋x0－L
解得a0＝ m/s2
即要使两车不相撞，乙车运动的加速度至少为 m/s2。
3.选B 因后车以加速度2a开始刹车，刹车后滑行的距离为s；在前车刹车滑行的时间内，后车匀速运动的距离为2s，所以，两车在匀速行驶时保持的距离至少应为2s＋s－s＝s。
4.（1）两车发生碰撞；（2）
【详解】（1）若B车以的加速度刹车，当B车速度减小到等于A车速度时，所用时间为
该过程B车的位移为
A车的位移为
由于
可知两车发生碰撞。
（2）若要避免发生碰撞，设B车刹车时的加速度至少，当B车速度减小到等于A车速度时，所用时间为
该过程B车的位移为
A车的位移为
又
联立解得
四．图像问题
1.见解析
解析 方法一 图象法
利用v－t图象求解，先作出A、B两车的v－t图象，如图所示.设经过t时间两车刚好不相撞，
则对A车有vA＝v′＝v0－2at
对B车有vB＝v′＝at
以上两式联立解得t＝
经时间t两车的位移之差为原来两车间距离x，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知
x＝v0·t＝v0·＝
所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤.
方法二 临界条件法
两车不相撞的临界条件是，A车追上B车时其速度与B车相等.设从A、B两车相距x到A车追上B车时，A车的位移为xA、末速度为vA、所用时间为t；B车的位移为xB、末速度为vB，运动过程如图所示.
对A车有xA＝v0t＋(－2a)t2，vA＝v0＋(－2a)t
对B车有xB＝at2，vB＝at
由两车位移关系有x＝xA－xB
追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB
联立以上各式解得v0＝
故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤.
2. 本题可巧用逆向思维分析，两车在t2时刻并排行驶，根据题图分析可知在t1～t2时间内甲车运动的位移大于乙车运动的位移，所以在t1时刻甲车在后，乙车在前，B正确，A错误；依据v－t图像斜率表示加速度知，甲、乙车的加速度大小都是先减小后增大，C错误，D正确。
3.(1)根据题意可知，出租车先匀速行驶t1＝3.5 s，然后在反应时间t2＝0.5 s内继续匀速行驶，再匀减速行驶t3＝4.0 s停止，
总位移为x＝v0(t1＋t2)＋v0t3＝120 m。
(2)由题图乙可知，出租车做匀减速运动的加速度大小为a＝＝5 m/s2，
设两车速度相等时，出租车的刹车时间为Δt，
则有v0－aΔt＝v1，解得Δt＝2.8 s，
出租车的位移为x1＝v0(t1＋t2)＋(v0＋v1)Δt，
代入数据可解得x1＝116.4 m。
电动车的位移为x2＝v1(t1＋t2＋Δt)＝40.8 m，
因为x1－x2＝75.6 m>63.5 m，故电动车会被撞。
设出租车刹车后经过时间t′电动车被撞，则有
v0(t1＋t2)＋v0t′－at′2＝x0＋v1(t1＋t2＋t′)，
代入数据解得t′＝0.6 s(另一解不符合题意，舍去)。
答案：(1)120 m (2)电动车会被撞 刹车后经过0.6 s二者相撞
4. D
解析 v－t图线斜率表示加速度，由图可知，在t1时刻两车加速度不相等，故A错误；v－t图线与坐标轴所围面积表示位移，由图可知，在0～t1时间内，两车位移不相等，故B错误；由图线可知，在t1～t2之间，乙的速度始终大于甲的速度，故C错误；由图可知，在t1～t2之间的某一时刻，两图线的斜率相等，即两车加速度相等，故D正确。
五．能否撞上的问题1.C
解析 小狗走过L1距离的时间为t1＝＝ s＝1 s
汽车的速度v1＝40 km/h≈11.1 m/s，若保持原速行驶，
则在t1时间内的位移为x1＝v1t1＝11.1 m
因为L2＋d1>x1>L2
则小狗会与车相撞，选项A错误；
若汽车刹车减速，则在t1＝1 s内的位移x2＝v1t1－a2t12＝8.6 m>L2，
则汽车也会与小狗相撞，选项B错误；
若汽车加速通过，则在t1＝1 s内的位移
x3＝v1t1＋a1t12＝13.1 m>L2＋d1＝13 m
则可避免车与小狗相撞，选项C正确，选项D错误.
2.选AD 设小轿车从刹车到停止时间为t2，则t2＝＝6 s，故A正确；小轿车的刹车距离x＝＝90 m，故B错误；反应时间内通过的位移为x1＝v0t1＝18 m，减速通过的位移为x′＝50 m－18 m＝32 m，设减速到警示牌的速度为v′，则2ax′＝v′2－v02，解得v′＝2 m/s，故C错误；小轿车驾驶员发现三角警示牌到小轿车停止的过程中，小轿车通过的总位移为x总＝(90＋18)m＝108 m，三角警示牌放置的位置到货车的距离为Δx＝(108－50)m＝58 m，故D正确。
3.选C
对B车，由运动学公式有0－v02＝2ax，解得a＝ m/s2＝－0.25 m/s2，作出A、B两车运动过程中的速度—时间图像如图所示，图线的交点的横坐标为两车速度相等的时刻，有t＝＝80 s，当两车速度相等时相距最近，此时两车不相撞，则以后不能相撞，由v-t图像与坐标轴围成的面积表示位移可知，图像中阴影三角形的面积为能见度的最小值，则xmin＝×(30－10)×80 m＝800 m，C正确。
(1)6 m/s (2)20 s 225 m (3)20 s
解析 (1)赛车3 s末的速度
v1＝a1t1＝2×3 m/s＝6 m/s.
(2)设经t2时间追上安全车，由位移关系得
v0t2＋200 m＝a1t22
解得t2＝20 s
此时赛车的速度
v＝a1t2＝2×20 m/s＝40 m/s
当两车速度相等时，两车相距最远
由v0＝a1t3得两车速度相等时，经过的时间t3＝＝ s＝5 s
两车最远相距
Δs＝v0t3＋200 m－a1t32
＝(10×5＋200－×2×52) m＝225 m.
(3)假设再经t4时间两车第二次相遇(两车一直在运动)
由位移关系得vt4－a2t42＝v0t4
解得t4＝15 s
赛车停下来的时间t′＝＝ s＝10 s
所以t4＝15 s不合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动.
设再经时间t5两车第二次相遇，应满足＝v0t5
解得t5＝20 s.
六．极值问题
1.(1)依题意每扇门开启过程中的速度图像如图所示：
设门全部开启所用的时间为t0，由图可得d＝v0t0
由速度公式得：v0＝a·
联立解得：a＝。
(2)要使单扇门打开，需要的时间为t＝t0
人只要在t时间内到达门框处即可符合要求，所以人到门的距离为l＝v0t，联立解得：l＝d。
(3)宽为d的物体运动到门框过程中，每扇门至少要运动d的距离，每扇门的运动各经历两个阶段：开始以加速度a运动s1＝的距离，速度达到v0，所用时间为t1＝，而后又做匀减速运动，设减速时间为t2，门又运动了s2＝d－d＝d的距离
由匀变速运动公式，得：s2＝v0t2－at22
解得：t2＝和t2＝(不合题意舍去)
要使每扇门打开d所用的时间为t1＋t2＝
故物体移动的速度不能超过v＝＝v0。
答案：(1) (2)d (3)v0
2.对A：xA＝v0t＋a2t2，对B：xB＝a1t2
若相遇，xA＝xB＋x0，整理得(a2－a1)t2＋2t－2＝0
当a2－a1＝0时，t＝1 s，两车相遇一次
当a2－a1＝－1 m/s2时，t＝2 s，两车相遇一次
当a2－a1＜－1 m/s2时，Δ＝4＋4(a2－a1)＜0，无解
当－1 m/s2＜a2－a1＜0时，t＝＞0，相遇两次
当a2－a1＞0时，t＝＞0，t＝＜0(舍去)，相遇一次
综上，当a2－a1＝－1 m/s2或a2－a1≥0时，相遇一次。
答案：a2－a1＝－1 m/s2或a2－a1≥0
3.选BD 机器人在停车线等绿灯亮起后，需要t1＝＝2 s达到最大速度，位移是x1＝at12＝1 m，匀速运动的位移x2＝l－x1＝18.5 m，需要时间为t2＝＝18.5 s，两次运动时间之和为20.5 s，不安全，故A不对。在距离停车线1 m处以最大加速度启动2 s，正好绿灯亮，机器人也正好到了停车线，再经过19.5 s，过了马路，这个方案是可以的，故B对。在距离停车线2 m处，机器人启动2 s后，走了1 m，距离停车线还有1 m，这时绿灯亮起，机器人距离马路另外一端还有20.5 m，需要20.5 s通过，而绿灯时间为20 s，所以不安全，故C不对。在距离停车线0.5 m处，1 s后绿灯亮起，其位移为x＝at2＝0.25 m，小于0.5 m，故没有闯红灯，继续前进0.75 m，达到最大速度，共用去了2 s，绿灯还有19 s，这时剩下的距离还有19 m，正好通过马路，故D对。
4.(1)5 m/s2 (2)1 m/s2
解析 (1)设汽车的加速度大小为a，初速度v汽＝54 km/h ＝15 m/s，初始距离d＝14 m
在经过反应时间0.4 s后，汽车与自行车相距
d′＝d－(v汽－v自)t′＝10 m
从汽车刹车开始计时，自行车的位移为x自＝v自t
汽车的位移为x汽＝v汽t－at2
假设汽车能追上自行车，此时有x汽＝x自＋d′
代入数据整理得at2－10t＋10＝0
要保证不相撞，即此方程最多只有一个解，即得
Δ＝102－20a≤0
解得a≥5 m/s2，则汽车的加速度至少为5 m/s2。
(2)设自行车的加速度为a′，同理可得
x汽′＝x自′＋d′
其中x汽′＝v汽t－at2，x自′＝v自t＋a′t2
整理得(a′＋2)t2－10t＋10＝0
要保证不相撞，即此方程最多只有一个解，即得
Δ＝102－20a′－80≤0
解得a′≥1 m/s2，则自行车的加速度至少为1 m/s2。
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匀变速直线运动的研究 追及相遇问题常见题型梳理
专题练 2025-2026学年物理高一年级必修一（2019）
一．先远离后靠近的问题
1．甲、乙两物体在两地同时同向出发做匀加速直线运动，出发时甲的初速度为2 m/s，乙的初速度为1 m/s，运动时甲的加速度为2 m/s2，乙的加速度为4 m/s2，已知甲、乙在2 s时恰好相遇，下列说法正确的是( )
A.从出发到相遇，甲的位移为6 m
B.在2 s后，若甲、乙保持加速度不变，则会再次相遇
C.甲与乙出发地之间的距离为4 m
D.相遇之前，甲与乙在t＝0.5 s时相距最远
2．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车．则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？
3．(多选)为了测试小车的性能，甲、乙两辆小车同时从M处由静止开始沿平直公路均先做匀加速直线运动，然后刹车做匀减速直线运动直至静止，两车先后停在N处，甲、乙两车的v－t图像如图所示，假设两车在各自匀加速阶段和匀减速阶段的加速度大小相等，甲车、乙车全程经历的时间分别为t0和2t0，甲、乙两车加速度大小分别为a1和a2，最大速度分别为v1和v2，则( )
A.v1∶v2＝2∶1
B.a1∶a2＝∶1
C.甲车停下时，两车相距最远
D.甲车运动了t0时，两车相距最远
4．小李利用假日游学，他乘坐的公共汽车从车站开出，以大小为的速度沿平直公路匀速行驶，由于有东西忘了带，汽车开出后他爸爸骑一辆摩托车从同一车站由静止以大小的加速度匀加速直线追赶，求：
（1）摩托车出发后，追上汽车的时间及其追赶过程中通过的距离；
（2）摩托车追上汽车前两车间的最大距离；
（3）若小李爸爸骑的是电动车，其加速度不变，但最大行驶速度为，则他爸爸至少多长时间才能追上。
二．先靠近后远离的问题
1．甲、乙两辆玩具车在同一平直路面上行驶，二者运动的位移－时间图像如图所示，其中乙车的位移－时间图线是关于x轴对称的抛物线的一部分，则下列说法正确的是( )
A．甲车先做匀减速直线运动后做匀速直线运动
B．乙车一定做初速度为零的匀加速直线运动
C．甲车在0～10 s内的平均速度为－1.5 m/s
D．在0～10 s内甲、乙两车相遇两次，且相遇时速度可能相等
2．(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图像如图所示．已知两车在t＝3 s时并排行驶，则( )
A．在t＝1 s时，甲车在乙车后
B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m
C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s
D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
3．甲、乙两车在同一平直公路上同向行驶，甲车在前，速度为10m/s，乙车在后，速度为15m/s。当两车相距64m且甲车距离停车线10m时，甲车司机突然发现前方斑马线处有行人，立即刹车做匀减速直线运动，并恰好停在停车线处，甲车停车等待4s后以的加速度启动。甲车开始刹车1s后，乙车以的加速度做匀减速直线运动，当看到甲车启动时才以的加速度做匀加速直线运动。司机的反应时间忽略不计。求：
（1）甲车刹车时加速度的大小；
（2）甲车启动时，两车之间的距离；
（3）两车之间的最近距离。
4．一步行者以6.0 m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，则( )
A．人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36 m
B．人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7 m
C．人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43 m
D．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远
三．刹车类问题
1 ．(多选)两辆汽车在同一直道上以相等的速度v0做同向直线运动，某时刻前车突然熄火做加速度大小为a1的匀减速运动，后车司机经Δt时间后刹车，以大小为a2的加速度做匀减速运动，结果两车同时停下且没有发生碰撞，则在前车熄火前，两车正常行驶时之间距离至少是( )
A. B．v0Δt
C.(＋) D.(－)
2．如图所示，直线MN表示一条平直单车道，甲、乙两辆汽车开始静止，车头分别在A、B两处，两辆车长均为L＝4 m，两个车头间的距离为x0＝89 m，现甲车先开始向右做匀加速直线运动，加速度a1＝2.5 m/s2，甲车运动了t0＝5 s后，发现乙车仍然静止，甲车立即鸣笛，又经过t1＝1 s，乙车才开始向右做匀加速直线运动。
(1)若乙车运动的加速度a2＝5.0 m/s2，两辆汽车是否会相撞？通过计算说明。
(2)若要使两车不相撞，乙车运动的加速度至少是多少？
3．两辆完全相同的汽车，沿水平道路一前一后匀速行驶，速度均为v0。若前车突然以恒定的加速度a刹车，在它刚停住时，后车以加速度2a开始刹车。已知前车在刹车过程中所行驶的路程为s，若要保证两辆车在上述情况中不发生碰撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为( )
A．s B．s C．2s D．s
4．某产业园内部货运铁路系统因调度失误，导致快慢不同的A、B两列火车在同一轨道上同向行驶，A车在前，速度；B车在后，速度。B车在距A车600m时发现A车，立即采取制动措施刹车。
（1）若B车以的加速度刹车，通过计算判断两车是否发生碰撞；
（2）若要避免发生碰撞，B车刹车时的加速度至少应是多少。
四．图像问题
1．在水平直轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同.要使两车不相撞，求A车的初速度v0应满足什么条件？(请用临界法与图象法分别分析解题)
2 ．(多选)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图像分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶。下列说法正确的是( )
A.两车在t1时刻也并排行驶
B.在t1时刻甲车在后，乙车在前
C.甲车的加速度大小先增大后减小
D.乙车的加速度大小先减小后增大
3．随着智能手机的使用越来越广泛，一些人在驾车时也常常低头看手机，然而开车时看手机是一种危险驾驶行为，极易引发交通事故。如图甲所示，一辆出租车在平直公路上以v0＝20 m/s的速度匀速行驶，此时车的正前方x0＝63.5 m处有一辆电动车，正以v1＝6 m/s的速度匀速行驶，而出租车司机此时开始低头看手机，3.5 s后才发现危险，司机经0.5 s反应时间后，立即采取紧急制动措施。若从司机发现危险开始计时，出租车的速度—时间图像如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2。
(1)若出租车前面没有任何物体，从司机开始低头看手机到出租车停止运动的这段时间内，出租车前进的距离是多少？
(2)通过计算判断电动车是否会被撞。若不会被撞，求二者之间的最小距离；若会相撞，求从出租车刹车开始，经过多长时间二者相撞。
4．甲、乙两辆小车，在同一平直公路上同向做直线运动，甲做加速度增大的加速运动，乙做匀加速直线运动。其速度—时间图像如图所示，下列说法正确的是( )
A.在t1时刻两车加速度相等
B.在0～t1时间内，两车位移相等
C.在t1～t2之间的某一时刻，两车速度相等
D.在t1～t2之间的某一时刻，两车加速度相等
五．能否撞上的问题
1．自动驾驶汽车依靠人工智能、雷达，监控装置和全球定位系统协同合作，让电脑可以在没有任何人操作的情况下，自动安全地操作机动车辆.如图所示，某平直公路上一辆自动驾驶汽车正以v1＝40 km/h的速度匀速行驶，某时刻其右前方一小狗以v2＝5 m/s的速度垂直车道方向匀速跑入公路，当汽车传感器探测到小狗时，小狗到汽车右侧所在直线的距离L1＝5 m，到汽车前沿所在直线的距离L2＝8 m.已知汽车的车长d1＝5 m、车宽d2＝2 m，汽车加速时的加速度大小a1＝4 m/s2，刹车时的加速度大小a2＝5 m/s2.为了避免与小狗发生碰撞，汽车的自动驾驶系统该作出的正确判断是( )
A.汽车应保持原速通过
B.汽车应刹车减速
C.汽车应加速通过
D.不论汽车是加速还是刹车均不能避免与小狗发生碰撞
2．(多选)汽车在路上出现故障时，应在车后放置三角警示牌(如图所示)，以提醒后面驾车司机减速安全通过。在夜间，有一货车因故障停驶，后面有一小轿车以30 m/s的速度向前驶来，由于夜间视线不好，小轿车驾驶员只能看清前方50 m内的物体，并且他的反应时间为0.6 s，制动后最大加速度为5 m/s2。假设小轿车始终沿直线运动。下列说法正确的是( )
A．小轿车从刹车到停止所用的最短时间为6 s
B．小轿车的刹车距离(从刹车到停止运动所走的距离)为80 m
C．小轿车运动到三角警示牌时的最小速度为20 m/s
D．三角警示牌至少要放在货车后58 m远处，才能有效避免两车相撞
3 ．A、B两辆列车在能见度很低的雾天里在同一轨道上同向行驶，A车在前，速度vA＝10 m/s，B车在后，速度vB＝30 m/s。当B车发现A车时就立刻刹车。已知B车在进行刹车测试时发现，若车以30 m/s的速度行驶时，刹车后至少要前进1 800 m才能停下，假设B车刹车过程中加速度恒定。为保证两辆列车不相撞，则能见度至少要达到( )
A．400 m B．600 m
C．800 m D．1 600 m
4．某一长直的赛道上，一辆F1赛车前方200 m处有一安全车正以10 m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶.
(1)求赛车出发3 s末的瞬时速度大小；
(2)求赛车何时追上安全车？追上之前与安全车最远相距多少？
(3)当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？(设赛车可以从安全车旁经过而不相碰)
六．极值问题
1．图(a)为自动感应门，门框上沿中央安装有传感器，当人与传感器的水平距离小于或等于某个设定值(可称为水平感应距离)时，中间两扇门分别向左右平移，当人与传感器的距离大于设定值时，门将自动关闭。图(b)为感应门的俯视图，A为传感器位置，虚线圆是传感器的感应范围，已知每扇门的宽度为d，最大移动速度为v0，若门开启时先匀加速运动而后立即以大小相等的加速度匀减速运动，每扇门完全开启时的速度刚好为零，移动的最大距离为d，不计门及门框的厚度。
(1)求门开启时做加速和减速运动的加速度大小；
(2)若人以v0的速度沿图中虚线s走向感应门，要求人到达门框时左右门同时各自移动的距离，那么设定的传感器水平感应距离l应为多少？
(3)若以(2)的感应距离设计感应门，欲搬运宽为的物体(厚度不计)，并使物体中间沿虚线s垂直地匀速通过该门，如图(c)所示，物体的移动速度不能超过多少？
2．若A、B两辆车相距2 m，沿同一直线同向运动，B车在前做初速度为零，加速度为a1的匀加速直线运动，A车在后面做初速度为2 m/s，加速度为a2的匀加速直线运动，讨论a1与a2满足什么条件时两车相遇一次？
3．(多选)为解决疫情下“最后500米”配送的矛盾，将“人传人”的风险降到最低，目前一些公司推出了智能物流机器人。机器人运动的最大速度为1 m/s，当它过红绿灯路口时，发现绿灯时间是20 s，路宽是19.5 m，它启动的最大加速度是0.5 m/s2，下面是它过马路的安排方案，既能不闯红灯，又能安全通过的方案是( )
A．在停车线等绿灯亮起，以最大加速度启动
B．在距离停车线1 m处，绿灯亮起之前2 s，以最大加速度启动
C．在距离停车线2 m处，绿灯亮起之前2 s，以最大加速度启动
D．在距离停车线0.5 m处，绿灯亮起之前1 s，以最大加速度启动
4 ．一汽车在直线公路上以54 km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14 m处有一辆自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶。经过0.4 s的反应时间后，司机开始刹车，则：
(1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？
(2)若汽车刹车时的加速度只为4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度加速，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？
答案
一．先远离后靠近的问题
1. D
解析 由x＝v0t＋at2可得甲从出发到相遇的位移为8 m，A错误；2 s相遇时甲的速度由v＝v0＋at可得v甲＝6 m/s，同理可得v乙＝9 m/s，又乙的加速度大于甲，可知2 s后乙的速度始终大于甲，不会再次相遇，B错误；由x＝v0t＋at2可得从出发到相遇甲、乙的位移分别为x甲＝8 m，x乙＝10 m，则甲与乙出发地之间的距离为x乙－x甲＝2 m，C错误；分析可知甲、乙速度相等的时刻相距最远，由v甲0＋a甲t＝v乙0＋a乙t，可得t＝0.5 s时甲、乙相距最远，D正确。
2.2 s 6 m
解析 解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t，两车间的距离为Δx，则有v＝at
所以t＝＝2 s
Δx＝vt－at2＝6 m.
解法二(极值法)：设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则Δx＝vt－at2
代入已知数据得Δx＝6t－t2
由二次函数求极值的条件知：t＝2 s时，Δx有最大值6 m
所以t＝2 s时两车相距最远，为Δx＝6 m.
解法三(图像法)：自行车和汽车的v－t图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，
v1＝6 m/s
所以有t1＝＝ s＝2 s，
Δx＝＝ m＝6 m.
3. AD
解析 由两车位移相等有v1t0＝v2·2t0，解得v1∶v2＝2∶1，故A正确；由图像可得，甲的加速度a1＝，乙的加速度a2＝，整理有a1∶a2＝4∶1，故B错误；速度相等时相距最远，设甲达到最大速度后，再经过Δt时间，两车相距最远。速度相等时有v1－a1Δt＝a2，对甲车v1＝a1·，再联立a1∶a2＝4∶1，解得Δt＝t0，甲车运动时间t甲＝＋Δt＝t0时，两车相距最远，故C错误，D正确。
4.（1），；（2）；（3）
【详解】（1）摩托车出发后，追上汽车时，有，
解得，
（2）当摩托车速度等于汽车速度时，摩托车追上汽车前两车间的距离最大，设经时间，摩托车速度等于汽车速度，则
摩托车追上汽车前两车间的最大距离为
（3）电动车做加速运动的时间为
电动车做加速运动的位移为
设自行车出发后，经时间追上汽车，则
解得
二．先靠近后远离的问题
1.B
解析 甲车先做匀速运动后静止不动，选项A错误；乙车的x－t图像为关于x轴对称的抛物线的一部分，由此得位移方程x＝－at2，可知乙车做初速度为零的匀加速直线运动，选项B正确；甲车在10 s内的平均速度 v＝＝－0.6 m/s，选项C错误；从图像中可知图线相交两次，则两车相遇两次，图线的斜率表示速度，可知两次相遇时甲、乙速度都不同，选项D错误．
2. BD
解析 根据v－t图像知，甲、乙两车都沿正方向运动．t＝3 s时，甲、乙两车并排行驶，此时v甲＝30 m/s，v乙＝25 m/s，由v－t图线与时间轴所围“面积”对应位移知，0～3 s内甲车位移x甲＝×3×30 m＝45 m，乙车位移x乙＝×3×(10＋25) m＝52.5 m．故t＝0时，甲、乙两车相距Δx1＝x乙－x甲＝7.5 m，即甲车在乙车前方7.5 m，选项B正确；0～1 s内，x甲′＝×1×10 m＝5 m，x乙′＝×1×(10＋15) m＝12.5 m，Δx2＝x乙′－x甲′＝7.5 m＝Δx1，说明在t＝1 s时甲、乙两车第一次并排行驶，选项A、C错误；甲、乙两车两次并排行驶的位置之间的距离为x＝x甲－x甲′＝45 m－5 m＝40 m，选项D正确．
3.（1）；（2）9m；（3）4m
【详解】（1）甲车立即刹车做匀减速直线运动，并恰好停在停车线处，所以
解得
（2）甲车刹车时间为
乙车如果完全刹停所需要的时间为
所以乙先匀速运动1s，在匀减速运动5s，再开始匀加速。则在甲车启动前，乙的位移为
则甲车启动时，两车之间的距离为
（3）甲乙的图如图所示。
则前8s，乙一直在后面追赶甲，所以第8秒末，甲乙两车距离最近。
这8秒内，乙的位移为
这8秒内，甲的位移为
两车之间的最近距离为
4.选B 汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速到6.0 m/s时二者相距最近。汽车加速到6.0 m/s所用时间t＝6 s，人运动距离为6×6 m＝36 m，汽车运动距离为18 m，二者最近距离为18 m＋25 m－36 m＝7 m，A、C错误，B正确。人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离先减小后增大，D错误。
三．刹车类问题
1.AD
解析 前车减速到零所需时间为：t1＝，减速通过的位移为：x1＝，后车在Δt时间内通过的位移为x′＝v0Δt，后车减速到零经历的时间为：t2＝，减速通过的位移为：x2＝，由于两车同时停下且没有发生碰撞，故t1－Δt＝t2，x′＋x2＝x1＋s0，联立解得，在前车熄火前，两车正常行驶时之间距离至少是：s0＝或(－)，故A、D正确，B、C错误．
2.(1)会 (2) m/s2
解析 (1)假设两车某时刻相撞，如图所示。
应满足时间关系t甲＝t乙＋t0＋t1
位移关系x甲＝x乙＋x0－L
甲车在t0＋t1＝6 s时的位移为
a1(t0＋t1)2＝45 m
则有a1(t＋t0＋t1)2＝a2t2＋x0－L
代入数据解得t＝4 s(另一解舍去)，即再经过t＝4 s甲、乙两车会相撞。
(2)若经过时间t2，两车速度相等，且此时两车恰好不相撞，此种情况下乙车加速度设为a0，则有a1t2＝a0(t2－t0－t1)
a1t＝a0(t2－t0－t1)2＋x0－L
解得a0＝ m/s2
即要使两车不相撞，乙车运动的加速度至少为 m/s2。
3.选B 因后车以加速度2a开始刹车，刹车后滑行的距离为s；在前车刹车滑行的时间内，后车匀速运动的距离为2s，所以，两车在匀速行驶时保持的距离至少应为2s＋s－s＝s。
4.（1）两车发生碰撞；（2）
【详解】（1）若B车以的加速度刹车，当B车速度减小到等于A车速度时，所用时间为
该过程B车的位移为
A车的位移为
由于
可知两车发生碰撞。
（2）若要避免发生碰撞，设B车刹车时的加速度至少，当B车速度减小到等于A车速度时，所用时间为
该过程B车的位移为
A车的位移为
又
联立解得
四．图像问题
1.见解析
解析 方法一 图象法
利用v－t图象求解，先作出A、B两车的v－t图象，如图所示.设经过t时间两车刚好不相撞，
则对A车有vA＝v′＝v0－2at
对B车有vB＝v′＝at
以上两式联立解得t＝
经时间t两车的位移之差为原来两车间距离x，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知
x＝v0·t＝v0·＝
所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤.
方法二 临界条件法
两车不相撞的临界条件是，A车追上B车时其速度与B车相等.设从A、B两车相距x到A车追上B车时，A车的位移为xA、末速度为vA、所用时间为t；B车的位移为xB、末速度为vB，运动过程如图所示.
对A车有xA＝v0t＋(－2a)t2，vA＝v0＋(－2a)t
对B车有xB＝at2，vB＝at
由两车位移关系有x＝xA－xB
追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB
联立以上各式解得v0＝
故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤.
2. 本题可巧用逆向思维分析，两车在t2时刻并排行驶，根据题图分析可知在t1～t2时间内甲车运动的位移大于乙车运动的位移，所以在t1时刻甲车在后，乙车在前，B正确，A错误；依据v－t图像斜率表示加速度知，甲、乙车的加速度大小都是先减小后增大，C错误，D正确。
3.(1)根据题意可知，出租车先匀速行驶t1＝3.5 s，然后在反应时间t2＝0.5 s内继续匀速行驶，再匀减速行驶t3＝4.0 s停止，
总位移为x＝v0(t1＋t2)＋v0t3＝120 m。
(2)由题图乙可知，出租车做匀减速运动的加速度大小为a＝＝5 m/s2，
设两车速度相等时，出租车的刹车时间为Δt，
则有v0－aΔt＝v1，解得Δt＝2.8 s，
出租车的位移为x1＝v0(t1＋t2)＋(v0＋v1)Δt，
代入数据可解得x1＝116.4 m。
电动车的位移为x2＝v1(t1＋t2＋Δt)＝40.8 m，
因为x1－x2＝75.6 m>63.5 m，故电动车会被撞。
设出租车刹车后经过时间t′电动车被撞，则有
v0(t1＋t2)＋v0t′－at′2＝x0＋v1(t1＋t2＋t′)，
代入数据解得t′＝0.6 s(另一解不符合题意，舍去)。
答案：(1)120 m (2)电动车会被撞 刹车后经过0.6 s二者相撞
4. D
解析 v－t图线斜率表示加速度，由图可知，在t1时刻两车加速度不相等，故A错误；v－t图线与坐标轴所围面积表示位移，由图可知，在0～t1时间内，两车位移不相等，故B错误；由图线可知，在t1～t2之间，乙的速度始终大于甲的速度，故C错误；由图可知，在t1～t2之间的某一时刻，两图线的斜率相等，即两车加速度相等，故D正确。
五．能否撞上的问题1.C
解析 小狗走过L1距离的时间为t1＝＝ s＝1 s
汽车的速度v1＝40 km/h≈11.1 m/s，若保持原速行驶，
则在t1时间内的位移为x1＝v1t1＝11.1 m
因为L2＋d1>x1>L2
则小狗会与车相撞，选项A错误；
若汽车刹车减速，则在t1＝1 s内的位移x2＝v1t1－a2t12＝8.6 m>L2，
则汽车也会与小狗相撞，选项B错误；
若汽车加速通过，则在t1＝1 s内的位移
x3＝v1t1＋a1t12＝13.1 m>L2＋d1＝13 m
则可避免车与小狗相撞，选项C正确，选项D错误.
2.选AD 设小轿车从刹车到停止时间为t2，则t2＝＝6 s，故A正确；小轿车的刹车距离x＝＝90 m，故B错误；反应时间内通过的位移为x1＝v0t1＝18 m，减速通过的位移为x′＝50 m－18 m＝32 m，设减速到警示牌的速度为v′，则2ax′＝v′2－v02，解得v′＝2 m/s，故C错误；小轿车驾驶员发现三角警示牌到小轿车停止的过程中，小轿车通过的总位移为x总＝(90＋18)m＝108 m，三角警示牌放置的位置到货车的距离为Δx＝(108－50)m＝58 m，故D正确。
3.选C
对B车，由运动学公式有0－v02＝2ax，解得a＝ m/s2＝－0.25 m/s2，作出A、B两车运动过程中的速度—时间图像如图所示，图线的交点的横坐标为两车速度相等的时刻，有t＝＝80 s，当两车速度相等时相距最近，此时两车不相撞，则以后不能相撞，由v-t图像与坐标轴围成的面积表示位移可知，图像中阴影三角形的面积为能见度的最小值，则xmin＝×(30－10)×80 m＝800 m，C正确。
(1)6 m/s (2)20 s 225 m (3)20 s
解析 (1)赛车3 s末的速度
v1＝a1t1＝2×3 m/s＝6 m/s.
(2)设经t2时间追上安全车，由位移关系得
v0t2＋200 m＝a1t22
解得t2＝20 s
此时赛车的速度
v＝a1t2＝2×20 m/s＝40 m/s
当两车速度相等时，两车相距最远
由v0＝a1t3得两车速度相等时，经过的时间t3＝＝ s＝5 s
两车最远相距
Δs＝v0t3＋200 m－a1t32
＝(10×5＋200－×2×52) m＝225 m.
(3)假设再经t4时间两车第二次相遇(两车一直在运动)
由位移关系得vt4－a2t42＝v0t4
解得t4＝15 s
赛车停下来的时间t′＝＝ s＝10 s
所以t4＝15 s不合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动.
设再经时间t5两车第二次相遇，应满足＝v0t5
解得t5＝20 s.
六．极值问题
1.(1)依题意每扇门开启过程中的速度图像如图所示：
设门全部开启所用的时间为t0，由图可得d＝v0t0
由速度公式得：v0＝a·
联立解得：a＝。
(2)要使单扇门打开，需要的时间为t＝t0
人只要在t时间内到达门框处即可符合要求，所以人到门的距离为l＝v0t，联立解得：l＝d。
(3)宽为d的物体运动到门框过程中，每扇门至少要运动d的距离，每扇门的运动各经历两个阶段：开始以加速度a运动s1＝的距离，速度达到v0，所用时间为t1＝，而后又做匀减速运动，设减速时间为t2，门又运动了s2＝d－d＝d的距离
由匀变速运动公式，得：s2＝v0t2－at22
解得：t2＝和t2＝(不合题意舍去)
要使每扇门打开d所用的时间为t1＋t2＝
故物体移动的速度不能超过v＝＝v0。
答案：(1) (2)d (3)v0
2.对A：xA＝v0t＋a2t2，对B：xB＝a1t2
若相遇，xA＝xB＋x0，整理得(a2－a1)t2＋2t－2＝0
当a2－a1＝0时，t＝1 s，两车相遇一次
当a2－a1＝－1 m/s2时，t＝2 s，两车相遇一次
当a2－a1＜－1 m/s2时，Δ＝4＋4(a2－a1)＜0，无解
当－1 m/s2＜a2－a1＜0时，t＝＞0，相遇两次
当a2－a1＞0时，t＝＞0，t＝＜0(舍去)，相遇一次
综上，当a2－a1＝－1 m/s2或a2－a1≥0时，相遇一次。
答案：a2－a1＝－1 m/s2或a2－a1≥0
3.选BD 机器人在停车线等绿灯亮起后，需要t1＝＝2 s达到最大速度，位移是x1＝at12＝1 m，匀速运动的位移x2＝l－x1＝18.5 m，需要时间为t2＝＝18.5 s，两次运动时间之和为20.5 s，不安全，故A不对。在距离停车线1 m处以最大加速度启动2 s，正好绿灯亮，机器人也正好到了停车线，再经过19.5 s，过了马路，这个方案是可以的，故B对。在距离停车线2 m处，机器人启动2 s后，走了1 m，距离停车线还有1 m，这时绿灯亮起，机器人距离马路另外一端还有20.5 m，需要20.5 s通过，而绿灯时间为20 s，所以不安全，故C不对。在距离停车线0.5 m处，1 s后绿灯亮起，其位移为x＝at2＝0.25 m，小于0.5 m，故没有闯红灯，继续前进0.75 m，达到最大速度，共用去了2 s，绿灯还有19 s，这时剩下的距离还有19 m，正好通过马路，故D对。
4.(1)5 m/s2 (2)1 m/s2
解析 (1)设汽车的加速度大小为a，初速度v汽＝54 km/h ＝15 m/s，初始距离d＝14 m
在经过反应时间0.4 s后，汽车与自行车相距
d′＝d－(v汽－v自)t′＝10 m
从汽车刹车开始计时，自行车的位移为x自＝v自t
汽车的位移为x汽＝v汽t－at2
假设汽车能追上自行车，此时有x汽＝x自＋d′
代入数据整理得at2－10t＋10＝0
要保证不相撞，即此方程最多只有一个解，即得
Δ＝102－20a≤0
解得a≥5 m/s2，则汽车的加速度至少为5 m/s2。
(2)设自行车的加速度为a′，同理可得
x汽′＝x自′＋d′
其中x汽′＝v汽t－at2，x自′＝v自t＋a′t2
整理得(a′＋2)t2－10t＋10＝0
要保证不相撞，即此方程最多只有一个解，即得
Δ＝102－20a′－80≤0
解得a′≥1 m/s2，则自行车的加速度至少为1 m/s2。
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