第三章圆锥曲线的方程（含解析）--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一单元测试

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第三章圆锥曲线的方程--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一单元测试
一、选择题
1．抛物线准线方程为( )
A. B. C. D.
2．已知A为抛物线上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则( )
A.2 B.3 C.6 D.9
3．已知椭圆右焦点为F，点M是C上的一点，点P是线段的中点，O为坐标原点，若，则( )
A. B. C. D.
4．若椭圆C的焦距是短轴长的2倍，则椭圆C的离心率是( )
A. B. C. D.
5．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，且直线过双曲线的一个焦点，则双曲线实轴长为( )
A. B. C. D.
6．若椭圆C的短轴长为焦距的倍，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
7．已知直线是双曲线的一条渐近线，则C的离心率等于( )
A. B. C. D.或
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，A为C的左支上一点，与C的一条渐近线平行.若，则C的离心率为( )
A.2 B. C.3 D.
二、多项选择题
9．过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线是( )
A. B. C. D.
10．对抛物线,下列描述正确的是( )
A.开口向左,焦点为 B.开口向左,准线方程为
C.开口向下,准线方程为 D.开口向下,焦点为
11．已知点P是双曲线右支上一点，、分别为双曲线的左、右焦点，I为的内心，若成立，则的值( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．双曲线的渐近线方程为______.
13．若双曲线一个焦点坐标为,则双曲线离心率为______.
14．已知抛物线焦点为F，抛物线上一点P的横坐标为2，则______．
15．已知椭圆的右焦点F与抛物线焦点重合，M是椭圆与抛物线的一个公共点，，则椭圆的离心率为______.
四、解答题
16．已知直线和椭圆.分别求直线l与椭圆C有两个公共点，只有一个公共点和没有公共点时k的取值范围.
17．已知双曲线的右焦点为F，点在C上，且轴.
(1)求C的方程；
(2)过F且斜率大于0的直线l与C的右支交于P，Q两点，若，求l的一般方程.
18．已知双曲线的虚轴长为2,且离心率为.
（1）求C的方程和焦点坐标;
（2）设C的右焦点为F,过F的直线交C于A,B两点,若中点的横坐标为3,求.
19．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长为6,离心率为;
(2)x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为6.
20．已知动圆P经过点，并且与圆相切.
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)动直线l过点，且与轨迹C分别交于S，T两点，点Q与点S关于y轴对称（点Q与点T不重合），求证：直线恒过定点.
参考答案
1．答案：B
解析：依题意得，所以，
所以，又抛物线开口向左，
所以抛物线的准线方程为．
故选：B.
2．答案：C
解析：设抛物线的焦点为F,由抛物线的定义知,即,解得.
故选:C.
3．答案：A
解析:记椭圆C的左焦点为，连接，
又点P是线段的中点，O为的中点，所以，
又，所以，
在椭圆中，，
又点M是C上的一点，所以，所以．
故选：A．
4．答案：B
解析:设椭圆C焦距为，长轴长为，短轴长为，则，
所以，，
所以椭圆C的离心率.
故选：B
5．答案：C
解析：由题意知，，，又，
∴，，，
故双曲线实轴长为.
故选：C.
6．答案：B
解析:根据题意有，
所以.
故选：B.
7．答案：B
解析：直线是双曲线的一条渐近线，
则有，得，
故C的离心率为.
故选：B.
8．答案：C
解析：
因为与C的一条渐近线平行，根据双曲线的对称性，不妨设，
又因为，所以，
注意到，
所以，即，
整理得，因为，
所以，解得.
故选：C.
9．答案：AD
解析：点在抛物线外,过此点且与抛物线有一个公共点的直线共有3条：
其中两条是抛物线的切线;一条平行于抛物线的对称轴;
可得：直线是过且与抛物线相切的直线,
直线是过且平行于抛物线的对称轴的直线,
BC选项的直线不满足条件．
故选：AD.
10．答案：CD
解析：抛物线的标准方程为,则,可得,
所以,该抛物线的焦点坐标为,准线方程为,其开口向下,
故选：CD.
11．答案：B
解析：设的内切圆半径为r，
由双曲线的定义得，，
，，，
因为，即，
可得.
故选：B
12．答案：
解析：由得，
即，，焦点在y轴上，
所以渐近线方程为.
故答案为：
13．答案：或0.5
解析：因为双曲线的一个焦点坐标为,
所以,解得,
即有,,
所以离心率.
故答案为:
14．答案：2
解析:由抛物线的定义，等于点P到抛物线的准线的距离，
因，代入，解得，
故.
故答案为：2.
15．答案：
解析：设椭圆其右焦点为，椭圆上一点，
则
，
此公式为椭圆的焦半径公式.
因为椭圆的右焦点F与抛物线焦点重合，
所以，
设是椭圆与抛物线的一个公共点，因为，
根据抛物线的定义，，
即①
又由椭圆的焦半径公式有②
由①②解得，
所以离心率.
故答案为：
16．答案：或时，有两个公共点；或时，只有一个公共点；时，没有公共点
解析：由题意，联立消去y，
得，.
（1）当，即或时，直线与椭圆有两个公共点.
（2）当，即或时，直线与椭圆只有一个公共点.
（3）当，即时，直线与椭圆没有公共点.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为点在C上，所以，
又F为C的右焦点，轴，
则，故，
所以，
因此C的方程为.
(2)设直线l的方程为，，
因为斜率大于0的直线l与C的右支交于两点，
所以，即，
故，联立方程，
消去得，
则，，，
所以
，
解得，即，
故直线l的方程为.
18．答案：（1）方程为,左、右焦点坐标分别为,
（2）
解析：（1）因为C的离心率为,又C的虚轴长为2,所以,
又,
联立解得,,
所以C的方程为,左、右焦点坐标分别为,.
（2）由（1）知,
根据题意易得过F的直线斜率存在,
设的直线方程为,,,如下图所示:
联立,化简得,
所以,,
因为中点横坐标为3,所以,
解得,所以,
则,
则.
19．答案：(1)或
(2)
解析：(1)由题意,椭圆的长轴长为6,离心率为,
可得,,可得,,则,
当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为;
当椭圆的焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为.
综上,椭圆的方程为或.
(2)由题意,设椭圆的标准方程为,
如图所示,F为椭圆的一个焦点,,分别为短轴的两个端点,且焦距为6,
则为一等腰直角三角形,所以,所以,
故所求椭圆的标准方程为.
20．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)设动圆P与圆M相切的切点为B，
则，
所以点P的轨迹C是以M，N为焦点的椭圆，
设椭圆的方程为，
则，，所以，
所以椭圆的方程为，
即点P的轨迹C的方程为.
(2)由题意可知直线的斜率显然不为0，
不妨设直线的方程为，
设，，则，
联立，
消去x整理得，
所以，，
因为T，A，S三点共线，所以，
所以，
即，
所以，
解得，
故直线的方程为，
所以直线过定点.
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